Синтез и анализ дискриминационных алгоритмов оценки параметров фрагментов неоднородных полей

Во введении обоснована актуальность темы исследования, изложены современные
направления, перспективы и недостатки имеющихся подходов к решению поставленной
задачи. Сформулированы цели и задачи работы. Дана характеристика работы, определены
новые научные результаты и сформулированы положения, выносимые на защиту.
В первой главе приведен обзор методов предобработки неоднородных полей
(изображений), представленных в цифровом виде: методы гистограммной коррекции,
позволяющие повысить качество регистрируемого кадра; ортогональные преобразования, на
основе которых реализуется процедура сжатия и восстановления анализируемых кадров;
подход к оценке типа анизотропии и ориентации объекта на анализируемом кадре; метрики
структурного и спектрального подобия, позволяющие реализовать процедуру
автоматического обнаружения изменений на кадрах видеопоследовательности.
Исследованный в диссертации подход к анализу неоднородных полей, позволяет
выявить корреляцию поля по координатам (x,y) и путем геометрических преобразований к
системе (x’,y’) устранить ее. Рассмотрен двумерный сигнал s( x, y) , ( x, y)  D , у которого в
общем случае свойства по координатам ( x, y) различны. Оценка ориентации фрагмента на
двумерном неоднородном поле с учетом представления спектральной плотности в
окрестностимаксимумавыражением
S x , y  S00  0.5  S11x 2  S22 y 2  2S12x  y
вычисляется следующим образом:   0.5  arctg 
2S12 
,
 11  S 12 
S
где  x ,  y  – пространственные частоты,
S11    X 2 R( X , Y )dXdY , S22    Y 2 R( X , Y )dXdY , S12    XY  R( X , Y )dXdY ,(1)

R( X , Y ) – двумерная автокорреляционная функция (АКФ) сигнала.

В диссертации решена задача оценки ориентации объекта (рис. 1а) на неоднородном
цифровом поле (изображении), представленном на рис. 1б. АКФ изображения представлена
на рис. 2.

а)б)
Рис. 1 – а) макроблок анализируемого кадра, содержащий объект, б) анализируемый кадр

Рис. 2 – АКФ объекта

Для дискретного цифрового сигнала, двумерный спектр которого можно вычислить
при разложении, например, по базису дискретного косинусного преобразования (ДКП), в
диссертационной работе предложена метрика оценки типа анизотропии:
HL
ME (2)
HL
N 2 N 1N 2m1
где H    Ckm
, L    Ckm
,
k 0 mk 1m0 k 1
Ckm – спектральные коэффициенты подблоков изображения,
N – размер подблока изображения.
По значению M E можно судить о величине и направлении анизотропии. Если M E  0 ,
то поле анизотропно в вертикальном направлении. Если M E  0 , то поле анизотропно в
горизонтальном направлении. В случае если M E  0 поле является изотропным.
В диссертации предложен новый подход к локализации объектов на изображении в
условиях априорной неопределенности относительно формы объекта, его пространственной
протяженности, ориентации и местоположения, основанный на спектральном анализе
неоднородностей. Подход заключается в сравнении статистики
S  lg  H  L  ,(3)
вычисляемой для каждого подблока изображения в спектральной области, с порогом,
выбираемым в соответствии с критерием Неймана-Пирсона.
На рис. 3 представлен макроблок анализируемого кадра, а на рис. 4 – результат
применения предложенного подхода к локализации объекта.

Рис. 3 – Исследуемое изображениеРис. 4 – Поверхность значений статистики
обнаружения неоднородностей на изображении для
размера блока ДКП N  24
Решение о наличии или отсутствии неоднородностей на изображении принималось на
основе сравнения статистики S с порогом, выбранным в соответствии с критерием Немана-
Пирсона. Для этого была построена гистограмма статистики S , рассчитанной для каждого
спектрального подблока изображения. Для полученной гистограммы была реализована
процедура ядерного сглаживания (непараметрическая оценка плотности вероятностей
статистики, представляющая собой непрерывную функцию, полученную по дискретным
значениям гистограммы) с гауссовским ядром (рис. 5).
На рис. 6 представлена зависимость вероятности ошибки первого рода от порога,
рассчитанной по формуле
max( S )
 ( h) W ( x) d x ,(4)
h
где W ( x) – функция, полученная в результате ядерного сглаживания, h – порог обнаружения.
Для выбора порога задается некоторая фиксированная вероятность ошибки первого рода,
например, 103 и по графику (рис. 6) находится соответствующее значение порога. Так, для
  103 порог h  6.4 .
 ( h)
100.11

2
100.01
a(h)h 

3
110
3
44
110

55
110
0022446688 h
Рис. 5 – Гистограмма изображения и результатРис. 6 – Вероятность ошибки первого
h

ядерного сглаживаниярода от порога
Во второй главе предложен комбинированный подход к оценке сдвига фрагментов
полей-изображений.
Оценку местоположения неоднородности поля внутри большой области предложено
находить в несколько этапов.
˗ На первом этапе реализуется локализация области (макроблока), занятой объектом.
Если область обработки разбита на блоки, то необходимо указать блоки с сигналом;
˗ На втором этапе вычисляется предварительная оценка местоположения фрагмента с
точностью до одного пикселя дискретного поля. Этот этап целесообразно производить при
помощи алгоритмов поиска экстремума некоторой целевой функции;
˗ На третьем этапе находится оценка координат с субпиксельной точностью.
В диссертации предложены новые подходы к локализации области (макроблока),
занятой объектом. При анализе видеопоследовательностей целесообразно применять подход,
основанный на вычислении метрик структурного подобия. Для этого предыдущий и исходный
кадр разбиваются на квадратные блоки размером N  N . Вычислив метрику разности
характеристик поля одинаковых блоков двух кадров, можно обнаружить блоки, в которых
произошло изменение. При этом изменением считают плоско-параллельный сдвиг объекта,
поскольку большая частота кадров современных систем не позволяет зафиксировать
изменение ракурса объекта. Просканировав кадр, можно локализовать макроблок с объектом.
В случае анализа единичного кадра, целесообразно применять предложенный в диссертации
подход к локализации фрагмента, основанный на спектральном анализе неоднородностей,
предполагающий вычисление статистики (3).
На втором этапе для вычисления предварительной оценки с точностью до одного
пикселя, в диссертации предложено применять метод шаблонного поиска. Шаблонный поиск
может быть реализован как в пространственной области, так и с помощью спектрального
анализа блоков.
На третьем этапе поиск оценки сдвига с субпиксельной точностью предложено
выполнять с помощью дискриминатора.
Предполагалось, что фрагмент пространственного сигнала в момент t в области  
(макроблок опорного кадра) задан как двумерное поле вида sr , t, r  x, y . В момент t  t в
подобласти 0 наблюдается поле (анализируемый кадр)

r , t   t   s r , l0, t  (r ) ,(5)
представляющее собой смесь полезного сигналаs r , l0 , смещенного на неизвестный вектор


l0  l0x , l0 y , и некоррелированной помехи r  со спектральной плотностью мощности
N0 / 2 . Введение помехи обусловлено её неотделимостью от оптико-электронного
преобразования сигналов и передачи их по каналам связи. В дальнейшем дискретная
переменная времени t не фигурирует и может быть опущена.
Для вычисления оценки неизвестного параметра сдвига l0 был применен метод
максимального правдоподобия, согласно которому в качестве целевой функции требуется
сформировать логарифм функционала отношения правдоподобия (ЛФОП)
M l 

N0 

r s r , l dr 
   
 s r , l s r , l dr .
N0 
(6)

Разделяя ЛФОП на детерминированную и флуктуационную компоненты, вводя замену
M (l ) / q  M (l ) и вводя нормировку неизвестного параметра l на интервал корреляции
lx
, ly функции M (l ) , функционал отношения правдоподобия (6) принимает следующий
вид:
M ()  qS ()  N () ,(7)
где S () – нормированная АКФ, N () – нормированная шумовая функция с нулевым средним
значением и единичной дисперсией, q 2  2 Es N0 – энергетическое отношение сигнал/шум
(ОСШ), Es – энергия сигнала.
Для вычисления неизвестного параметра сдвига l в диссертации использована оценка
максимального правдоподобия (ОМП). С учетом численного алгоритма Ньютона-Рафсона
получено выражение для компонент оценки в виде

mx   fx  
   
 d x  d yy   d y  d xy     
 d y  d xx   d x  d xy  
, my   fy  (8)
2 2 

      
 d xx  d yy   d xy 
  f      
 d xx  d yy   d xy  
  f

 
d x    M    x , d x x    2M    2x ,

где d y    M    y , d y y    2M   2y ,

d x y    2M    x  y .
В диссертации показано, что для факторизуемых АКФ имеет место следующее
равенство: M ()  M (x )M ( y ) , тогда смешанные производные обращаются в нуль вблизи
точки максимума и получаются две раздельные оценки. Если ЛФОП не факторизуется, то
раздельные оценки будут квазиоптимальными. В диссертации основные результаты получены
для случая факторизуемых АКФ, то есть, реализована раздельная оценка положения фрагмент
mx , my , что имеет место для ряда реальных полей-изображений.
Для сравнения применимости различных вариантов дискриминаторов в диссертации
построены детерминированные дискриминационные характеристики (при q   ) конечно-
разностного, суммарно-разностного дискриминаторов и дискриминатора с АРУ и показано,
что наилучшими характеристиками из указанных обладает суммарно-разностный
дискриминатор:
S (  )  S (  )  N (  )  N (  )
 ffff
  ,(9)
S (  )  S (  )  N (  )  N (  )
 ffff
где κ – некоторая, константа, не влияющая на вид распределения,
δ – параметр расстройки,
θf – некоторое фиксированное значение, лежащее в окрестности истинного значения.
Результаты, представленные далее, справедливы для всех рассмотренных вариантов
дискриминаторов, но конкретизированы для суммарно-разностного дискриминатора.
В третьей главе выполнен аналитический расчет вероятностно-статистических
характеристик дискриминаторов. Известно, что при анализе дискриминаторов основное
внимание уделяется вопросам устойчивости, анализу динамических процессов, особенностям
реализации дискриминаторов. При этом предполагается нормальный закон распределения для
сигнала рассогласования по параметру, а предельная точность оценки характеризуется
границей Крамера – Рао.
В диссертации показано, что для дискриминаторов, реализующих алгоритм обработки
в виде отношения двух случайных величин 1 и 2 с гауссовским законом распределения
(ньютоновский алгоритм, алгоритмы с АРУ)
qM1  U1
  1 / 2 ,(10)
qM 2  U 2
где U1  N (0,D1) , U 2  N (0,D2 ) – гауссовские случайные величины с нулевым математическим
ожиданием и дисперсиями равными соответственно D1 и D2 , M1, M 2  детерминированные
компоненты числителя и знаменателя, зависящие от значений сигнальной функции или ее
первых двух производных, D1, D2  дисперсии случайных компонент U1, U 2 , зависящие от
значений сигнальной функции или ее первых двух производных,
гауссовская аппроксимация сигнала рассогласования может быть неприменима при конечных
ОСШ, что приводит к неустойчивой оценке неизвестного параметра.
В диссертации получено точное распределение для процесса на выходе
дискриминатора и определено условие сходимости этого распределения к нормальному, то
есть то значение ОСШ, при котором справедливо допущение о гауссовском законе
распределения дискриминационной статистики. Кроме того, показана неприменимость
классических характеристик оценки – смещения и рассеяния при малых значениях параметра
ОСШ.
Плотность вероятностей статистики  получается на основе распределения частного
двух случайных гауссовских величин (10):
 (t  q  )2  ( t  q )2 
0 
W (, q)  t exp dt ,(11)
2 2

DMMMM M
где введены следующие обозначени t  2 ,   2 ,   2 , 1   0 , 1  1 2  0 .
D2D1D2 M 2D2 M 2 D2
Для распределения (11) в диссертации получен явный аналитический вид в двух
случаях: ОСШ q  0 и q 1 . Первый случай соответствует распределению Коши:
1
W (, q  0) .(12)
 1 2
Во втором случае после асимптотического интегрирования по методу Лапласа
получено выражение:
 q 1  0 1 2 2 (   )2 
W ( , q)  exp  q 0
2 
.(13)
2 (1  2 )3/2 21  

В диссертации показано, что при конечном ОСШ распределение дискриминационной
статистики  является существенно негауссовским и имеет «тяжелые хвосты».
В частном случае, когда  f  0 , а, следовательно, и значение M1  0 , плотность
вероятностей  может представлена в виде:
μ 
 (t  q χ)  μ(λt)  

W (λ, q)  t expdt .(14)
2π 2

1 (то есть 
При q1 ) имеют место следующие равенства
 1 


exp  q22 2
 exp  2q22 ,   const.(15)
 21  2(1 2 )3/2
С учетом (15) распределение стремится к нормальному:

W (λ, q) 
 q
2
exp  q22  2 .
2(16)

с дисперсией 2  1/ q22 , а поведение хвостов распределения при 21 определяется
следующим выражением
μqχ q 2χ 2 μλ 2 
W (λ) exp2
.(17)
 2 1  μλ 
2π 1  μλ 232

Как следует из (17), выражение имеет два сомножителя: первый характеризует
W «хвосты»распределения,авторой,
22содержащийэкспоненту,характеризует
центральную часть распределения.
1.5
1.5
На рис. 7 сплошной линией представлено
теоретическоераспределение
дискриминационной статистики с параметром
 1 11q  3 и параметром рассогласования  f  0 .
Точкамипредставленоэмпирическое
0.5
0.5распределение (ядерная оценка с гауссовским
ядром), построенное для верификации
результатов моделирования по выборке
2.5  объемом n  3000 статистики  . Из рис. 7
00
2.5
2.51.25
1.25001.25
1.252.5
Рис. 7 – Теоретическая x (сплошная линия)видно,чтотеоретическоеи
и эмпирическая плотность вероятностиэкспериментальноераспределенияимеют
хорошеесоответствие,однакодля
количественного критерия был применен критерий согласия Колмогорова, который установил
согласие гипотезы о соответствии эмпирического и теоретического распределений (при
  0.1 ).
В диссертации показано, что распределение дискриминационной статистики при малом
значении ОСШ (негауссовское распределение с «тяжелыми хвостами») делает невозможным
применение обычных характеристик – смещения и рассеяния для определения точности
оценки параметра. Вместо выборочного среднего целесообразно использовать медиану
выборки, а вместо дисперсии – медианный квадрат оценки – непараметрический аналог
дисперсии, определяемый соотношением mediana  i  mediana(i )   .

Так, на рис. 8 точками приведены результаты моделирования зависимости дисперсии
D (q) оценки  от ОСШ. Здесь же сплошной линией показана граница Крамера–Рао Dm (q) .
На рис. 9 точками приведена зависимость смещения оценки, полученной с помощью
дискриминатора M (q) от отношения сигнал/шум для значения параметра рассогласования
 f  0 , а ромбиками – поведение медианы ME (q).
2q
Рис. 8 – Выборочная дисперсия оценки иРис. 9 – Выборочное среднее оценки
граница Крамера-Рао Dm (q)M (q) и выборочная медиана M E(q)
В диссертации показано, что можно перейти от повернутого изображения объекта к
 
виду с необходимым ракурсом. При этом можно привести АКФ к виду S x ,  y  Sx   S  y
для широкого класса изображений. В таком случае оценку можно производить раздельно по
координатам. Так, если в качестве эталонной оценки взять ОМП, тогда используя численный
алгоритм Ньютона  Рафсона, можно записать выражение для оценки в виде (8).
Применение суммарно-разностного алгоритма по дискретному изображению
позволило при отсутствии шумов получить ошибку оценки порядка 102 103 , в то время как
поиск максимума по дискретной сетке дает точность оценки в 1 пиксель. На рис. 10
представлены модельные АКФ: рис. 10а – соответствует дифференцируемой модели АКФ, а
рис. 10б – недифференцируемой. Здесь точками отмечена оценка, полученная с помощью
дискриминатора. Истинное значение практически (с точностью до сотых) совпадает с
оценкой. Установлено, что для недифференцируемой модели АКФ (рис. 10б) межпиксельная
интерполяция не повышает точности оценки.

а)б)
Рис. 10 – Контурные сечения АКФ
В четвертой главе предложено на выходе дискриминатора применять нелинейное
преобразование с целью подавления экстремально больших выбросов дискриминационной
статистики. Идея применения таких нелинейных преобразований взята из теории робастных
алгоритмов. Для корректного применения таких алгоритмов, в диссертации приведен анализ
поведения вероятности выхода статистики за пределы [h,h] . Влияние «хвостов»
распределения W (, q) дискриминационной статистики при малом отношении сигнал/шум и
гауссовского распределения оценки максимального правдоподобия Wml (, q) исследовано
при помощи анализа вероятностей P(h,q) и Pml (h,q) невыхода за пределы [h,h] , которые
вычисляются по следующим формулам:
hh
P(h , q)   W (, q)d ,Pml (h , q)   Wml (,q) d .(18)
hh
На рис. 11 приведены вероятности выхода значений статистики за пределы [h,h] :
1 P(h, q) сплошной линией для дискриминационной статистики при малом отношении
сигнал/шум ( q  2 ) и 1  Pml (h, q) – штриховой
линией для статистики, имеющей гауссовское
распределение с нулевым математическим
ожиданием и дисперсией, определяемой в
соответствии с неравенством Крамера-Рао. Из
рис. 11 видно, что при малых h поведение
вероятности P(h , q) определяется центральной
частью распределения, а при больших значениях
h – «тяжелыми хвостами». Так, например, при
параметре ОСШ q  2 условная граница
изменения характера зависимости, находится в
окрестности h 1.2 1.5 . Из сравнения кривых на
рис. 11 получен вывод, что вероятность
Рис. 11 – Вероятность аномально1  P(h , q)
больших выбросованомально больших выбросов Ра  
1  Pml (h , q)
для дискриминационной статистики на несколько порядков больше, чем для гауссовской
модели.
В таблице 1 кратко изложены основные результаты, полученные в диссертации для
ограничителей в виде нелинейных функций Тьюки, Хьюбера и Хампеля, предложенных для
подавления «тяжелых хвостов» распределения дискриминационной статистики. Показано, что
М-оценка Тьюки обеспечивает наименьшую выборочную дисперсию, однако отбрасывание
части значений сигнала рассогласования отсекает
не аномальные ошибки, а искажает саму оценку
параметра на выходе дискриминатора. Оценочная
функция Хампеля наиболее мягко подавляет
большие значения сигнала рассогласования.
Показана высокая эффективность применения
рассмотренныхробастныхалгоритмов,
предназначенных для «отсечения» аномальных
ошибок, для задачи оценки неизвестного
параметра с помощью измерителя типа
дискриминатор, который в случае малого
отношения сигнал/шум, даетоценку с
существеннонегауссовскимзаконом
Рис. 12 – Зависимость дисперсиираспределения.
модифицированной оценки и ОМП отДля сравнения эффективности оценки,
отношения сигнал/шумполученнойс помощью устройства типа
дискриминатор-ограничитель с нелинейностью в
виде функции Хампеля, и ОМП на малом априорном интервале при малом ОСШ было
проведено статистическое моделирование, которое показало, что при отношении сигнал/шум,
меньшем трех, дисперсия модифицированной оценки Dme превышает дисперсию оценки
максимального правдоподобия Dml (на ограниченном интервале) не более, чем на 6%, и
совпадает с ней при отношении сигнал/шум, большем четырех. Так, на рис. 12 представлена
зависимость дисперсии оценки на выходе устройства типа дискриминатор-ограничитель и
ОМП от отношения сигнал/шум.
Таблица 1 – Основные характеристики нелинейностей в виде функции Тьюки, Хьюбера и
Хампеля
ОценочнаТьюкиХьюберХампель
М-функция
Пусть случайная величина  поступает на ограничитель с характеристикой ()
 , 0    a

Аналитическая a,   a a, a    b
запись,   a

()   ,   a ,

()  ()   c  
()  ,,
нелинейного
0,   a
a,   aa  c  b , b    c
преобразование
a 10, c  
a 1 .
a  1, b  3, c  5
Плотность
W(u)  (Pc  Pc )(u) 
распределения
вероятностей
(Pab (u  a)  Pab (u  a)) 
дискриминационн
ой статистикиW(u)  (P  P )(u) W(u)  P(u  a) c bu
I (b  u  c)W (c  (c  b)) 
I  u  aW (u),P (u  a)  I  u / a W (u) ,
a a
cbu
I (c  u  b)W (c  (c  b)) 
aa
I ( u / a)W (u)

1, z  1
где I ( z)   индикаторная функция, (u) – дельта функция, P  W (u)du,
0, z  1a
acba
P   W (u)du, Pc  W (u)du, Pc   W (u)du, Pab

 W (u)du, Pab   W (u)du.
cab
Рис. 13 –
Оценочная
М-функция
а) Тьюки,
б) Хьюбера,
в) Хампеля

а)
б)в)
Рис. 14 -1.21.21 .2

Теоретическое
распределение
(сплошной0.80.80 .8

линией) и111

гистограмма
М-оценок:0.40.40 .4

а) Тьюки,
б) Хьюбера,
в) Хампеля0
21012
21012
21012

а)x
б) x
в) x

Выборочная
0.0860.1370.125
диперсия
Теоретическая
0.0830.1390.125
диперсия

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:
1. Предложен комбинированный метод оценки сдвига фрагмента поля, основанный на
локализации неоднородности, применении алгоритмов первоначального шаблонного поиска
сдвига в расширенной области и последующей точной (в том числе субпиксельной) оценки с
помощью дискриминаторов.
2. Предложен новый метод оценки анизотропии поля, локализации объекта,
предварительной оценки положения и ракурса фрагмента с помощью новых
спектральных алгоритмов, лишенный недостатков существующих подходов, реализующих
процедуру дифференцирования полей. Анализ анизотропии позволяет повысить точность
последующего оценивания неизвестного сдвига фрагмента.
3. Предложено использовать дискриминаторы для оценки сдвига фрагмента
зарегистрированного поля с небольшими вычислительными затратами и возможностью
измерять субпиксельные сдвиги. Проведено исследование методами математического
моделирования дискриминационных и комбинированных алгоритмов оценки сдвига
фрагмента, в том числе с субпиксельной точностью.
4. Впервые получен аналитический вид распределения статистики на выходе
дискриминатора при произвольном отношении сигнал/шум. Показано, что при малом
отношении сигнал/шум статистика является существенно негауссовской и имеет «тяжелые
хвосты» распределения. Это приводит к несостоятельности полученной оценки и отсутствию
моментов распределения. Установлено значение отношения сигнал/шум, при котором
распределение статистики можно считать асимптотически гауссовским. Методами
статистическогомоделированияподтвержденосоответствиетеоретическихи
экспериментальных распределений дискриминационной статистики для произвольного
отношения сигнал/шум.
5. Предложены и исследованы устойчивые оценки для статистики на выходе
дискриминатора, полученные путем добавления кусочно-линейных преобразований
выходного сигнала дискриминатора. Для некоторых типов нелинейностей – Тьюки, Хьюбера,
Хампеля,полученыаналитическиераспределениямодифицированныхоценок,
обеспечивающихконечностьихмоментов.Статистическоемоделирование
модифицированных оценок показало соответствие их теоретических и экспериментальных
характеристик: среднего, дисперсии.