Синтез методов обработки сигналов в антенных решетках на основе свойств минимального многочлена корреляционной матрицы

Во введении освещается современное состояние методов обработки сигналов в антенных решетках радиолокационных систем с точки зрения проблемы сверхразрешения близкорасположенных источников сигналов, обосновывается актуальность темы диссертации, кратко излагается содержа- ние работы.

конференции «Информационные системы и технологии»
ИСТ-2017 (НГТУ, Нижний Новгород, 2017),
8
В первой главе рассмотрена проблема оценки числа источников сиг- налов на основе метода минимального многочлена КМ сигналов в АР. Ос- новное внимание уделяется двум случаям. Первый  угловое расстоянием между источниками меньше ширины луча АР, второй  выборка входного процесса является произвольной, в том числе короткой с числом выбороч- ных векторов меньшем числа элементов АР.
В разделе 1.1 рассмотрены основные свойства минимального много- члена точной КМ сигналов в АР при наличии J коррелированных источни- ков сигналов. Важным свойством минимального многочлена является то, что его степень определяется числом источников сигналов. Однако при переходе от точной к выборочной КМ минимальный многочлен переходит в характе- ристический. Его степень становится равной либо числу N элементов АР (длинная выборка) или числу L выборочных векторов (короткая выборка), то есть перестает зависеть от числа J источников сигналов.
В разделе 1.2 рассмотрен метод определения числа источников сигна- лов, который основан на аппроксимации минимального многочлена КМ сиг- налов в АР, то есть на оценке параметров (степени и коэффициентов) этого многочлена. Используется статистически обоснованная процедура аппрок- симации минимального многочлена некоторым многочленом, который дол- жен иметь минимальную степень, и обеспечивать отличие от минимального многочлена, не превышающее (в среднеквадратическом смысле) некоторое пороговое значение Th.
k
Минимальная СКО аппроксимации равна
m ⌢2
I(m) minm, SpI M , (1)
k k1 
где m  степень многочлена, коэффициенты n являются оценками обратных значений собственных чисел выборочной КМ M⌢ . Коэффициенты  находят-
ся с помощью системы нелинейных уравнений, для решения которой ис- пользуется итерационная процедура, начинаемая со значения m = 1, что со- ответствует аппроксимации минимального многочлена многочленом первой
степени.ПриэтомфункционалСКОравен I(1) min Sp[(ΙM⌢)2]. 1 1
источников сигналов равна нулю ( J  m  1  0) . В противоположном случае
(I(1) > Th) итерационный процесс продолжается, задается m = 2, находится
функционал I(2) и сравнивается с порогом Th. Если I(2) < Th, то итерационная процедура завершается и делается заключение о том, что степень минималь- Если функционал I(1) меньше порога Th (I(1) < Th), то итерационный ⌢ процесс завершается, и оценка степени минимального многочлена m 1. Это означает, что в АР имеется только собственный шум, то есть оценка числа ⌢ ⌢ ного многочлена m2, то есть имеется один источник (J m11). Если I(2) > Th, то процедура продолжается и задается значение m = 3. Данная про-
⌢ ⌢⌢
цедура продолжается до тех пор, пока значение функционала I(m) при неко- ⌢
тором m  m не станет меньше порога. В диссертационной работе предло- жен новый подход к выбору порога при аппроксимации минимального мно-
n
гочлена КМ по критерию минимума функционала СКО, основанный на ста- тистических свойствах функционала СКО и не требующий задания вероят- ности «ложной тревоги» (обнаружение источников при их отсутствии).
В разделе 1.3 приводятся результаты численного моделирования эф- фективности метода минимального многочлена. Сравнивается эффектив- ность этого метода с эффективностью критериев AIC и MDL по оценке чис- ла близкорасположенных источников сигналов.
На рис. 1 (слева) даны сравнительные вероятности правильной оценки числа источников в зависимости от мощности v источника для метода мини- мального многочлена и критериев
N = 50, периоде d = 0.5λ (λ  длина волны), L = 10 (короткая выборка) и единичной мощности собственного шума. Из полученных ре- зультатов следует, что метод минимального многочлена обеспечивает более высокую вероятность правильной оценки числа источников (в данном слу- чае одного источника). Зададим эту вероятность на уровне 80 %. Тогда тре- буемая мощность источника в элементах АР будет составлять 8.0 дБ для метода минимального многочлена, 5.7 дБ для критерия MDL и 1.2 дБ для критерия AIC. Аналогичные результаты в случае двух некоррелированных источников приведены на рис. 1 (справа) при относительном угловом рас- стоянии между источниками =0.25 ширины луча по уровню половинной мощности. Видно, что метод минимального многочлена и критерий
критерия
мощности источников примерно на 45
дБ.
Рис. 1. Вероятность правильной оценки числа источников для метода минимального мно- гочлена (МММ) и критериев MDL и AIC при одном (слева) и двух источников (справа)
В разделе 1.4 сформулированы основные выводы, вытекающие из про- ведённых в первой главе исследований.
Во второй главе рассматриваются сверхразрешающие методы (псев- доспектральный и корневой) минимального многочлена КМ сигналов в АР,
MDL и AIC
при некоррелированных источниках имеют примерно одинаковую эффек-
при числе элементов АР
длине выборки
MDL
тивность, значительно превышающую эффективность
AIC, приме-
нение которого требует увеличения
10

основанные на оценке степени и коэффициентов этого многочлена. Основ- ное внимание уделяется случаю короткой выборки входного процесса, когда число выборочных векторов меньше числа элементов АР, и обобщению спектрального и корневого методов минимального многочлена на случай коррелированных источников сигналов.
В разделе 2.1 разработан «сверхразрешающий» корневой метод мини- мального многочлена при некоррелированных источниках сигналов и произ- вольной длине выборки входного процесса в АР.
После оценки степени и коэффициентов минимального многочлена КМ (то есть после оценки числа источников сигналов) можно построить
оценку P⌢ noise
Суть корневого метода заключается в поиске корней функции
плексную переменную z  exp j2(d )sin . Тогда вектор S(z)=(1, z, z2, …,
zN1)T – (<>T – транспонирование), а функция f(z) примет вид
N  1 N m
f(z) azk, a  (PH P ) , a a*, (m0). (3)
матрицы-проектора на шумовое подпространство в виде
⌢ ⌢ 1 ⌢J⌢J
p   ⌢
noise 
p1 p1 J1 
P (IM) (1p). (2)
S() , где S() – вектор поиска,  – азимутальный угол, отсчитываемый от нормали к АР, <>H – эрмитово сопряжение. Введем ком-
f ()  SH ()PH P noise noise
noise noise k,km m m
Таким образом, функция f(z) является полиномом степени (2N2), ко-
noise
km k(N1) k1
эффициенты которого представляют собой сумму элементов соответствую- щих диагоналей матрицы PH P . При m=0 суммирование проводится
noise noise
вдоль главной диагонали, а при положительных m  вдоль диагоналей, ле-
жащих выше главной диагонали.
Для точного проектора Pnoise, соответствующего точной КМ M, из об-
щего числа (2N2) корней функции f(z) имеется 2J сигнальных корней, кото- рые лежат на единичной окружности. Угол j-го источника находится по
формуле sinj arg(zj)(2d)1,гдеarg(zj)фазаzj.Прииспользовании оценки P⌢ (2) проектора на шумовое подпространство сигнальные корни
начинают «уходить» от единичной окружности и размываться в «облака».
⌢⌢
Учитывая заранее полученную оценку J числа сигналов, выберем J корней наиболее близко расположенных к единичной окружности и находящихся либо снаружи, либо внутри нее.
Положение корней полинома f(z) на комплексной плоскости для точ- нойКМпоказанонарис.2(слева)приN=20;d=0.5λ;J=2; =±1.5o
1,2 (=0.6), мощности источников v=5 дБ, где красным цветом показаны сиг-
нальные корни, а синим цветом  шумовые. Положение корней полинома f(z) в случае конечной длины L выборки входного процесса приведено на рис. 2 (справа). Видно, что, несмотря на отличие амплитуды сигнальных корней от единицы, значение их аргумента по-прежнему находится в
окрестности значений, соответствующих истинному положению источников. Следовательно, разрешение источников возможно и в случае конечной дли- ны выборки входного процесса. Отметим, что в рассмотренном примере вы- борка является короткой, так как L < N (L = 10, N = 20). 0 -1 Рис. 2. Положение корней полинома f(z) на комплексной плоскости для точной (слева) и выборочной КМ (справа) при N = 20, d = 0.5λ, L = 10, J = 2;  = 0.6; ОСШ = 5 дБ; 1000 реализаций Возможна модификация корневого метода минимального многочлена, которая уменьшает степень полинома в два раза и, тем самым, уменьшает -1 0 1 число искомых корней с (2N2) до (N1). Модификация заключается в за- ⌢H⌢ мене в скалярном произведении [P S()] P S() одного из векторов на noise noise некоторый другой вектор, также принадлежащий шумовому подпростран- ству. В качестве такого вектора можно взять любой из векторов, являющих- ся столбцами матрицы-проектора P⌢ . В результате вместо полинома f(z) noise получим усеченный полином вида f(z)(P ) P S(z), (4) ⌢H⌢ 1 noise q noise где (P⌢ )  q-ый столбец матрицы-проектора P⌢ . Среди (N1) корней ⌢ ⌢ J корней, наиболее близких к единичной окружности и затем найти угловое положение источников. Оценим объем вычислений, необходимый для реализации корневого метода минимального многочлена. Для многоэлементной (N>>1) АР основ-
ной объем вычислений связан с нахождением матричного проектора P⌢ на noise
шумовое подпространство, что предполагает решение системы нелинейных уравнений для оценок обратных значений n собственных чисел выборочной КМ M⌢ . Для этого необходимо вычислить след степенных матриц M, M2,…, M2(m+1). Эти матрицы можно найти последовательно с помощью итерацион- ной процедуры, которая непосредственно следует из максимально правдопо- добной оценки выборочной КМ и имеет вид:
noise q
полинома f1(z) необходимо (используя оценку J числа источников) отобрать
k1 Hk1 L
noise
M L X(l)X(l) M , (5) l1
⌢⌢
где X(l)  вектор входного процесса в l-ый момент времени.
Каждый шаг этой процедуры предполагает выполнение LN 2 операций комплексного умножения. Поэтому, для вычисления всех 2(m+1) степенных матриц необходимо выполнить 2(m+1)LN 2 комплексных умножений. Таким
образом, для оценки матричного проектора P⌢ требуется объем вычисле- noise
ний пропорциональный квадрату числа элементов АР (~N 2). В то же время оценка этого проектора на основе поиска собственных чисел и векторов в соответствии с методом MUSIC требует выполнения числа комплексных умножений, пропорционального кубу числа элементов АР (~N 3).
В разделе 2.2 получено обобщение спектрального и корневого методов минимального многочлена на случай, когда близкорасположенные источни- ки сигналов коррелированы между собой. Для борьбы с негативным эффек- том, вызванным корреляцией источников, применяется процедура простран- ственного сглаживания КМ. Она основана на разбиении АР на перекрываю- щиеся подрешетки, состоящие из Q соседних элементов и сдвинутые на один элемент относительно друг друга. Число таких подрешеток K=NQ+1. Су- ществует несколько модификаций процедуры сглаживания: прямое сглажи- вание (подрешетки формируются, начиная с первого элемента АР); обратное  подрешетки формируются, начиная с последнего элемента АР, и исполь- зуются комплексно сопряженные выборки входного процесса; совместное  результирующая КМ равна полусумме КМ при прямом и обратном сглажи- ваниях.
Использование процедуры пространственного сглаживания предпола- гает изменение порога при оценке степени минимального многочлена, то есть при оценке числа коррелированных источников сигналов. При этом формулы для порога, полученные для некоррелированных источников оста- ются справедливыми. Однако в случае коррелированных источников в соот- ветствующих выражениях необходимо заменить число N элементов АР чис- лом Q элементов в каждой из подрешеток, а число L выборок входного про- цесса заменить эффективным числом выборок Leff = (NQ1)L, пропорцио- нальным числу подрешеток, которое можно сформировать на апертуре АР.
В разделе 2.3 приведены результаты выполненного численного моде- лирования эффективности методов при произвольной длине выборки вход- ного процесса, а также при некоррелированных и коррелированных источ- никах сигналов.
На рис. 3 приведены вероятности правильной оценки числа источни- ков в зависимости от их мощности v для разных значений модуля коэффици- ента корреляции источников 1,2 = 0, 0.7, 0.9 и 0.95. Фаза коэффициента корреляции задавалась постоянной для каждого эксперимента. Однако, для разных экспериментов фаза была случайной величиной, равномерно распре- деленной в интервале [02]. Число экспериментов составляло 500. Число элементов N = 50, период d = 0.5 , размер подрешеток при пространствен- ном сглаживании Q = 30. При этом ширина луча полной АР составляет 2.0, а ширина луча каждой подрешетки  3.3. Два источника одинаковой мощ-
13

ности v располагались симметрично относительно нормали к АР с относи- тельным угловым расстоянием равным 2.0. Длина выборки входного про- цесса L = 10 (короткая выборка). Сплошные кривые получены с помощью процедуры пространственного сглаживания (SST), а пунктирные  без нее. Видно, что пространственное сглаживание эффективно для высоких коэф- фициентов корреляции (1,2 > 0.7), когда преобладает эффект декорреляции за счет пространственного сглаживания. При меньших коэффициентах кор- реляции увеличение ширины луча подрешеток является определяющим и приводит к снижению вероятности правильной оценки числа источников.
Рис. 3. Вероятность правильной оценки числа источников методом минимального много- члена для 1,2 = 0, 0.7, 0.9 и 0.95. Сплошные кривые получены с помощью процедуры пространственного сглаживания, пунктирные  без нее.
В разделе 2.4 сформулированы основные выводы, вытекающие из про- ведённых во второй главе исследований.
Третья глава посвящена натурным экспериментам, выполненным на автомобильном MIMO-радиолокаторе миллиметрового диапазона длин. Приводятся сравнительные результаты по разрешению двух близкорасполо- женных источников сигналов, полученные на этом радиолокаторе с помо- щью разработанных методов минимального многочлена и других методов.
В разделе 3.1
пространственного сглаживания КМ входного процесса. Ра- диолокатор относится к классу CSFMCW (Chirp Sequence  Frequency Mod- ulated Continuous Wave) радаров, которые используют широкополосные «ко- роткие»
MIMO-технологии, которая обеспечивает увеличение числа степеней свободы и размеров апертуры приемной АР за счет формирования дополнительных (виртуальных) антенн. Импульсы в трех
анализируются особенности обработки сигналов в ра-
диолокаторе, рассматривается формирование виртуальных приемных антенн
и особенности
импульсы с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ). АР радиолока-
тора была построена на основе
передающих антеннах кодировались ортогональными кодами Уолша длиной равной 4. Число реальных приемных антенн было равно четырем.
На рис. 4 показаны 3 передающие антенны и приемная 11-элементная АР MIMO-радиолокатора, состоящая из реальных (a, b, c и d) и виртуальных (номера 17) антенн. Обозначение (Tp, Rq) дает номера передающей (p-ая) и приемной (q-ая) антенн. Отметим, что две виртуальные антенны располага- лись в одном месте. Таким образом, результирующая приемная АР радара состояла из 2 строк. В верхней строке имелось 7 антенн с периодом 1.1, в нижней  4 антенны с таким же периодом. Расстояние между верхними и нижними строками составляло 0.74.
Рис. 4. Расположение передающих и приемных (реальных и виртуальных) антенн
В силу специфических особенностей радиолокатора в результате вре- менной обработки на выходе каждой антенны формировалась только одна выборка входного процесса, соответствующая максимальному значению сигнала в плоскости «Дальность – Скорость», то есть входной процесс для пространственной обработки состоял только из одной выборки (L = 1). В ре- зультате процедуры пространственного сглаживания формировалось 10 под- решеток по 4 элемента в каждой, и данная выборка порождала матрицу сиг- налов размерности 410 вида:
x x x x x x x x x x 1234a7654d
x x x x x x x x x x
2 3 4 5 b 6 5 4 3 c. (6)
x x x x x x x x x x 3456c5432b
x x x x x x x x x x 4567d4321a
Число искомых корней полинома f(z) в (3) составляет 6. Аналитиче- ских выражений для корней в этом случае не существует. Для уменьшения числа корней в 2 раза (с 6 до 3) использовался модифицированный корневой метод минимального многочлена на основе поиска корней усеченного поли- нома f1(z) (4) третьей степени. Это дало возможность использовать извест- ные аналитические выражения для искомых корней.
В разделе 3.2 кратко описаны статические и динамические сценарии с неподвижным и подвижным радиолокатором, соответственно, и приведены экспериментальные результаты по разрешению двух близкорасположенных источников сигналов, а также их сравнение с результатами, полученными другими известными методами. В качестве целей применялись уголковые
15

отражатели треугольной формы, а также автомобили. Отражатели и АР ра- диолокатора располагались на высоте 0.5 м над асфальтированной поверх- ностью земли.
Приведем некоторые из экспериментальных результатов для статиче- ских сценариев. Угловое расстояние между двумя уголковыми отражателями составляло =0.32 и =0.47 ширины луча АР. На рис. 5 представлены ре- зультаты, полученные сканированием лучом АР (слева), спектральным (в центре) и корневым (справа) методами минимального многочлена. Оценка относительного углового расстояния между источниками составила 0.24 (при =0.32) и 0.37 (при =0.47), то есть были получены меньшие величи- ны по сравнению с реальными, что характерно для сверхразрешающих мето- дов. СКО измерения координат источников сигналов, полученная с помо- щью корневого метода, составила соответственно 0.16 и 0.13 град., то есть не превышала 2% от ширины луча АР (7.7 град.).
Рис. 5. Сканирование лучом АР (слева), спектральный (в центре) и корневой (справа) ме- тоды минимального многочлена при =0.32 (сверху) и =0.47 (внизу)
Из полученных результатов следует, что корневой метод минимально- го многочлена обеспечил процент правильной оценки числа источников рав- ный 100 % при разном относительном угловом расстоянии  между источ- никами (8 сценариев,  изменялось в пределах от 0.37 до 0.65, по 2501000 независимых измерений для каждого сценария). Соответствующий процент правильной оценки числа источников для критерия MDL составил от 48 % до 100 %. Эффективность корневого метода минимального многочлена по точности оценки координат источников сигналов практически совпала с эф- фективностью корневого метода MUSIC при условии, что метод MUSIC «знал» истинное число источников сигналов.
В разделе 3.3 приводятся результаты экспериментов для динамических сценариев. Координаты уголков равнялись ±1.5 м относительно нормали к АР. Для визуального анализа были построены треки целей в декартовой си- стеме координат, которые показана на рис. 6. Приводятся сравнительные ре-
16

зультаты, полученные сканированием лучом АР (слева), спектральным (в центре) и корневым (справа) методами минимального многочлена. Синим цветом отмечены случаи, когда пеленговалось две цели, красным – одна.
Рис. 6. Треки целей. Сканирование лучом АР (слева), спектральный (в центре) и корневой (справа) методы минимального многочлена
Из представленных результатов следует, что оба метода минимального многочлена дали близкие результаты. Разрешение источников обеспечива- лось на всех дальностях до R=63 м (угловое расстояние = 0.35). Процент правильной оценки числа источников методами минимального многочлена составил 96%. Угловое расстояние между целями, равное ширине луча АР (7.7), соответствует расстоянию 22 м. Видно, что устойчивое разрешение целей методом сканирования лучом АР выполняется только при расстояниях R меньших этого значения.
В разделе 3.4 рассматриваются результаты экспериментов для сцена- риев на реальной дороге, когда два автомобиляцели были не разрешимы по дальности и скорости (находились на соседних полосах). На рис. 7 (слева) показана плоскость «ДальностьАзимут», полученная на основе сканирова- ния лучом АР, а справа  эта же плоскость, полученная с использованием корневого метода минимального многочлена. При ширине полосы движения равной  350 см угловое расстояние между центрами автомобилей составля- ет примерно 34 град. Корневой метод обеспечил разрешение целей, в то время как сканирование лучом АР эти цели не разрешило.
17

Рис. 7. Цели на плоскости «ДальностьАзимут» при сканировании лучом АР (слева) и при использовании корневого метода минимального многочлена (справа)
В разделе 3.5 сформулированы основные выводы, вытекающие из про- ведённого в третьей главе рассмотрения.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе, и сделаны исходя из них теоретические и практи- ческие выводы.
В приложении приведен список используемых сокращений. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ
1. Проведено обобщение метода минимального многочлена КМ в эле- ментах АР, используемого для оценки числа «сверхразрешаемых» некорре- лированных источников сигналов. Предложенный подход к выбору порога при аппроксимации минимального многочлена точной КМ обеспечивает вы- сокую эффективность по оценке числа источников в случае произвольной (в том числе и короткой) выборке входного процесса.
2. Предложен «сверхразрешающий» корневой метод минимального многочлена и показана его высокая эффективность при некоррелированных источниках сигналов и произвольной длине выборки входного процесса в АР. Оценка угловых координат источников основана на поиске корней соот- ветствующих полиномов в рамках единой (одноэтапной) вычислительной процедуры.
3. Выполнено обобщение спектрального и корневого методов мини- мального многочлена на случаи близкорасположенных и произвольным об- разом коррелированных источников сигналов. Предложено использовать процедуру пространственного сглаживания и получено модифицированное пороговое значение для аппроксимации минимального многочлена сглажен- ной точной КМ.
4. Экспериментальные результаты по сверхразрешению двух близко- расположенных источников сигналов, полученные на автомобильном радио- локаторе миллиметрового диапазона длин волн, подтвердили высокую эф- фективность разработанных методов. Метод минимального многочлена обеспечил более высокую вероятность правильной оценки числа источников
по сравнению с известными критериями MDL и AIC. Точность определения азимутальных угловых координат источников сигналов корневым методом минимального многочлена практически совпала с эффективностью корнево- го метода MUSIC при условии, что метод MUSIC «знал» истинное число ис- точников сигналов.