Теоретические исследования солнечных корональных петель: нелинейная радиальная мода

Во Введении отражены актуальность исследования, цель работы, научная но- визна, теоретическая и практическая значимость, степень достоверности и апро- бация результатов, список конференций, личный вклад автора и краткое содер-
жание научной работы.
Глава 1 посвящена разбору классической работы Эдвина и Робертса [8] по
МГД-волнам (захваченные магнитозвуковые моды) в цилиндрической геомет- рии и выводится дисперсионное уравнение для магнитозвуковых волн в рамках идеальной МГД. Также в этой главе даётся представление о радиальной и изги- бной модах и обсуждаются некоторые их характеристики.
Г лава 2 посвящена получению нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) с кубической нелинейностью для радиальной моды корональных петель ( ≈ 0) с помощью метода различных масштабов [37]. НУШ является универ- сальным нелинейным уравнением, которое моделирует нелинейное поведение волны в приближении огибающей. Такое уравнение с кубической нелинейно- стью описывает четырехволновое рассеяние, при котором первичная линейная несущая волна и три нелинейно генерируемые волновые моды взаимодействуют между собой, и, таким образом, НУШ описывает квазимонохроматическую волну в приближении огибающей.
Глава 2 организована следующим образом: в разделе 2.2 выведены основные ис- ходные уравнения и граничные условия в цилиндрических координатах. В раз- деле 2.3 упоминается линейная теория радиальной моды магнитной трубки при корональных условиях, т.е. при ≈ 0. В разделе 2.4 с помощью метода различ- ных масштабов получено нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) с кубиче- ской нелинейностью для радиальной моды.
В разделе 2.2 рассматривается однородная бесконечная длинная магнитная трубка с радиусом . Равновесным магнитным полем является = 0 , где 0 – постоянная, а – единичный вектор, параллельный оси Z трубки. Плотность при равновесии 0 постоянна внутри и снаружи трубки. Следовательно, в цилин- дрических координатах ( , , ) с осью Z совпадающей с осью трубки, плотность и магнитное поле представляются выражениями:
0 ={ 0 , < и 0 ={ 0 , < (2.1) 0 , > 0 , > .
Здесь и далее индексы и означают параметры внутри и вне трубки соответ- ственно. Далее, учитывая, что ≡ 0 для радиальной моды, с помощью идеаль- ных магнитогидродинамических (МГД) уравнений и метода последовательных самосогласованных приближений выводится нелинейное уравнение с кубиче- ской нелинейностью для радиального компонента , нормированного по альве- новской скорости следующем образом:
где

1 2 − = ( )+ ( )+ ( 4),
(2.2) (2.3)
2 2
2 2 3
( )=− ( ( ))− ( ), 2 2 2
( )= 2 [ 2( ( )) ( ( )) + ( ( ))] 3 2 2
+ 4 {[ ( ( )) ] − [ ( ( )) ]} 2 2 2
− 4( ) 2 ( ) + 2 ( ) 2 2 2
+ [ 2 + 2 ( ( ))]. 2
(2.4)
Здесь =∫ :(интегралповремени), = 0 и = 2−1 ,где является √( 0 0) 2 2
дифференциальным оператором набла в цилиндрических координатах, а ( ) 2
и ( ) содержат квадратичные и кубические члены. В выражениях (2.3) и 3
(2.4) ≪ 1 является безразмерным параметром, степень которого выражает по- рядок нелинейности.
В разделе 2.2 вводится функция ( , ) для граничных возмущений, которая определяется через выражение для возмущённого радиуса магнитной трубки = (1 + ( , )). С помощью функции ( , ) далее получаются следующие кине- матические и динамические граничные условия:
(2.5) (2.6)
= 1 + при = (1 + )

= при = (1+ )
где – скорость возмущения вдоль оси Z, а и пропорциональны магнит-
ному давлению с учётом возмущения внутри и вне трубки. Далее в разделе 2.3 упоминается линейная теория радиальной моды.
В разделе 2.4 находится решение для нелинейного уравнения (2.2) в следую- щем виде:
где
Λ ≡ Λ( ) =
= 1 + 2 2 + 3 3 + . .,
= ( , , , )Λ( ) ( − ), 1 1122
(2.7) (2.8)
(2.9) (2.10)
( | |), при < и 2= 2− 2 1 ( | |) 2 1 ( ), при > и 2= 2−
( )1 { 1
2
2
= , = , = 2 , = 2 1122
Здесь и являютсяобычнойимодифицированнойфункциямиБесселяидля 11
дальнейшего применения метода различных масштабов вводятся новые масшта- бирующие параметры , , , , а амплитуда ( , , , ) является мед-
1122 1122
ленно меняющейся функцией. Такая амплитуда описывает огибающую для че- тырёхволнового взаимодействия, а и зависят от , , , , , и .
=
∫∞ 2 0 4 3 0
+
[ | | ( | |) − ( | |) ]) (2.13) 2 0 1
=
∫ ∗( − ) +
,
(2.12)
( + )+ 2 + | |2 =0 2
(2.11)
∞2 2 ∫ 0
∞ 4( − ) (∫ 2 3

2 3 1 1 2 2
и являются внутренней и внешней альвеновскими скоростями, а на самом 1
деле является решением при линейном приближении, т.е. когда правой частью нелинейного уравнения (2.2) пренебрегают.
Далее получено аналитическое выражение для 2 и в конце показано, что нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) выводится как следствие условия разрешимости для дифференциального уравнения, описывающего 3 . Получен- ное нелинейное уравнение Шредингера имеет следующую форму:
где – групповая скорость. Коэффициенты и характеризуют природу нели-
нейной волны и их общее выражение получается следующим образом:
2 ∞ 2 ( − )
Где
2 = ( ( )−2 ( ))+ ( 2 −2 ),

( ) 2 2
+ 2
(2.14)
(2.15)
(2.16)

( ) 3 =

2
+
2
2 2 2
2 2 2 3
2 2
+ ( )2 + 2 2 2 − 2
,
1 2 2 2 2 2 =⟦ 3(− − +()+ 2 )⟧,
2 2 2 2 2 2 2
= 1 ⟦ 3{ 2 + 1 ( ) ( )+ ( ( )− )
2 2 2 − + − ( )− 2 ( 2 )
2 2 2
2 ( ) 2 2
+ − ( )+ ( 2 2 )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( )
−2 2( )+2 − +2 [ ( )] 2 ( ) 1 ( ) ( )
(2.17)
Здесь =1 −1− 2и =1 −1−(2 )2,аввыраженияхдля 2 2 2
и квадратными скобками обозначен скачок аргумента на границе магнитной трубки. ∗ и являются решениями следующих дифференциальных уравнений:
+ 2( )+2 ( )−2 ( )}⟧
2 ∗ 1 ∗ 2 1
2 + +( 2− 2− 2) ∗=

2 1 4 2 1
2 + +( 2 −4 2− 2) = 2 ( )+ ( )

(2.18) (2.19)
Глава 3 посвящена изучению коэффициентов , , и графическому
представлению их зависимости от различных физических параметров. В разделе 3.2 определяются константы интегрирования в выражении для функции . Затем с помощью этого проводится вычисление коэффициента нелинейного взаимо- действия . Графические зависимости , показаны на рисунках 3.1, 3.2 соот- ветственно. Рисунок 3.2 показывает, что зависимость довольно сложна.
( )

Заметим, что < 0 для всех трех случаев отношений при = с ( с – кри- тическое волновое число радиальной моды в линейном приближении). С ростом увеличивается , достигая положительного значения и локального максимума. При дальнейшем увеличении значения становится отрицательным до дости- жения сингулярности. Область, где абсолютное значение аномально увеличи- вается в окрестностях сингулярности, мы называем супернелинейной зоной. На рис. 3.2 эти зоны отмечены как A, B и C для трех различных случаев . Подобные сингулярности в нелинейном коэффициенте встречаются и в гидродинамике для нелинейных капиллярно-гравитационных волн в воде с при- сутствием поверхностного натяжения [10, 15]. Глава 4 посвящена изучению таких нелинейных явлений, как модуляци- онная неустойчивость, возникновение солитонов и солитоноподобных образова- ний. Модуляционная неустойчивость моделируется в случае решения для НУШ в виде плоской волны, перенормированной по частоте, а затем моделируются квазипериодические осцилляции радиальной моды, которые могут вызвать ква- зипериодические пульсации во время солнечных вспышек. Затем обсуждаются классические солитоны и так называемый солитон Перегрина и моделируется формирование этих солитонов. При численном решении и моделировании НУШ раскладывается на си- стему одновременных нелинейных дифференциальных уравнений в терминах действительных функций и далее применяется алгоритм pdsolve в математиче- ской программе Maple-2019.2 для того, чтобы решать систему полученных нели- нейных уравнений. В разделе 4.2 диссертации выводится дисперсионное соотношение для флуктуаций или возмущений в решении в виде плоской волны и демонстриру- ется модуляционная неустойчивость для случаев большой и малой амплитуд с положительными и отрицательными значениями и . Моделирование показы- вает, что вначале вся магнитная трубка находится в состоянии когерентной ра- диальной скорости, но из-за модуляционной неустойчивости небольшие возму- щения, которые в противном случае являются гармоническими вокруг когерент- ного состояния, экспоненциально возрастают и разбивают когерентное состоя- ние на множество волновых пакетов. Далее показано, что для больших амплитуд модуляционная неустойчивость может привести к возникновению солитонопо- добных образований, которые, будучи относительно стабильными, могут пере- мещаться на большие расстояния от своего начального положения. Продемонстрировав модуляционную неустойчивость, показано, как такое явление вызывает квазипериодические осцилляции радиальной моды в короне. Несмотря на то, что решение НУШ в виде плоской волны представляет интерес, такое когерентное состояние в корональных петлях спокойных областей Солнца должно быть редким, поскольку решение описывает состояние, в котором ра- диус вдоль петли увеличивается наружу с определенной амплитудой радиальной скорости, вызывая глобальный цилиндрический режим. Однако можно предста- вить себе формирование глобальной когерентной моды в активных областях следующим образом: активные области, по существу, непотенциальны, и через корональные петли протекают токи, которые обеспечивают равновесие петли в магнитном поле. Если по какой-то причине ток в петле прерывается, избыточное давление, вызванное магнитным полем, толкает стенки петли наружу. Это состо- яние действительно может быть описано решением НУШ в виде перенормиро- ванной плоской волны. Поскольку это состояние модуляционно неустойчиво, должны наблюдаться квазипериодические осцилляции в радиальной моде в раз- личных точках корональной петли. Так как скорость и смещение действуют в одном направлении, радиус петли колеблется вместе с радиальной скоростью, вызывая соответствующие возмущения плотности плазмы вдоль петли. Это поз- воляет предложить один из возможных механизмов для появления квазиперио- дических пульсаций. Квазипериодические пульсации часто наблюдаются во время вспышечной активности, т.е. в активных областях. Возмущения плотности плазмы, вызванные квазипериодическими осцилляциям радиальной моды, могут модулировать электромагнитные волны всего спектра, что может приводить к возникновению некоторых наблюдаемых квазипериодических пульсаций. В разделе 4.3 обсуждаются известные решения НУШ виде классического солитона и солитона Перегрина и далее в разделе 4.3 вводится модельная функ- ция в следующей форме: ( , ) = ( , ) где ( , ) = −| |( + ) ( ( , )√ ⋅( − )) Такая модельная функция описывает состояние импульсного типа для большой начальной амплитуды . Однако такая функция не является точным ре- шением НУШ. Поэтому модельная функция используется для получения соот- ветствующих начальных условий, а затем устанавливаем (∞, ) = 0, т.е. функ- ция должна сводится к нулю на бесконечности, так как такое условие очевидно с физической точки зрения, и, таким образом, весь набор граничных условий в комплексных переменных для численного решения НУШ выглядят следующим образом: − ( (0, )√ ⋅ ) ( ( ,0)√ ⋅ ) (0, ) = (0, ) ; ( ,0) = ( ,0) (4.2) где (0, ) = −| | , ( , 0) = −| | и (∞, ) = 0 (4.3) Далее решение было получено численно с помощью команды pdsolve в ма- тематической программе (Maple 2019.2) и графически проанализировано для различных нелинейных параметров, групповых скоростей и амплитуд. Такой анализ показал, что образование солитонов может наблюдаться в широком диа- пазоне нелинейных параметров при достаточно большой амплитуде, и в разделе 4.3 приводятся два таких случая на рисунках 4.10 и 4.11, демонстрирующих об- разование классических солитонов и солитонов Перегрина. (4.1 ) (4.1b) Интересно отметить, что солитоны Перегрина возникают в основном при относительно больших значениях и ближе к начальной границе, то есть ближе к точкам подножия хромосферы. Поскольку они в основном появляются вблизи хромосферы, то должны играть важную роль в импульсном нагреве нижней ко- роны. Рис 3.1. Зависимость безразмерного нелинейного коэффициента от безраз- мерного волнового числа . (Результат был получен автором совместно с Михаляевым Б.Б.) Рис 3.2. Зависимость безразмерного нелинейного коэффициента от безраз- мерного волнового числа . Супернелинейные зоны обозначены для трёх слу- чаев литинскими буквами A, B и C.