Термокапиллярное движение тонкой пленки бинарного гомогенного раствора

Во введении приведено обоснование актуальности
выбранной темы исследования, сформулированы цели и задачи,
показана научная новизна, изложены основные результаты,
выносимые на защиту. Значительный вклад в развитие данного
направления внесли отечественные и зарубежные ученые: Oron A.,
Nepomnyashchy A.A., SimanovskiiI.B., Шкадов В.Я., Андреев В.К.,
Бекежанова В.Б., Гончарова О.Н., Ласковец Е.В., Федорец А.А.,
Шефер И.А., Овчарова А.С.
В первых двух главах анализируется поведение тонкой
пленки жидкости, содержащей летучую компоненту, при ее нагреве.
Тонкий слой однородного раствора расположен на плоской
горизонтальной поверхности = 0. Газ над пленкой содержит пары
летучей компоненты, находящиеся в термодинамическом
равновесии с жидкостью. В некоторый момент времени подложка
мгновенно нагревается, что приводит к деформации пленки.

Рис. 1. Схематическое представление задачи

Система уравнений движения и граничные условия имеют
вид
∇
+ ( ∙ ∇) = −+ ∇2 + ,

+ ∙ ∇ = ∇2 ,

+ ∙ ∇ = ∇2 ,

∇ ∙ = 0 .
(1)
= 0:
= 0 , = , ⁄ = 0 ;
= ℎ:
−( − ) + 2 ∙ ∙ + 2 = 0 ,
2 ∙ ∙ = ∇ ∙ ,
− ∙ ∇ = ,
∙ ∇ = − (1 − ) ;
Здесь , , , – скорость, давление, плотность и температура
жидкости соответственно; – массовая концентрация летучей
компоненты в растворе; , и – коэффициенты диффузии,
теплопроводности и температуропроводности; , = ⁄ –
динамическая и кинематическая вязкости; – коэффициент
поверхностного натяжения, – скрытая теплота парообразования,
– внешнее атмосферное давление, – кривизна свободной
поверхности, – тензор скоростей деформаций; , – нормальный
и тангенциальный единичные векторы к свободной поверхности; –
ускорение свободного падения, – интенсивность массообмена.
Кинематическое условие на свободной поверхности имеет вид
ℎ⁄ + ∙ ∇(− + ℎ) = − ⁄ .(2)
Начальные условия соответствуют однородной жидкости в
состоянии покоя = 0:
ℎ = ℎ0 ,
0 < < ℎ: = 0 , = 0 , = 0 .(3) Температура подложки задана в виде стационарной функции = ( , ) . Интенсивность массообмена зависит от параметров свободной поверхности жидкой пленки, а также от давления паров над ней. Вследствие неоднородного нагрева, подвижности нижней границы, а также испарения в газовом слое помимо диффузионного происходит и конвективный перенос летучей компоненты. Считая скорости и градиенты плотности паров малыми, учитываем только процесс диффузии = ∇2 .(4) Начальные и краевые условия имеют вид = 0, > 0: = 0 .
= 0: ⁄ = − ,(5)
где – плотность паров летучей компоненты, – коэффициент
диффузии в газе.
Замыкающие соотношения
Плотность и вязкость раствора соответствуют
первоначальному составу = 0 и температуре = 0 и полагаются
постоянными. Коэффициент поверхностного натяжения взят в
линеаризованном виде
= ( − 0 ) + ( − 0 ) .(6)
Аналогично представлена интенсивность массообмена.
Имеем
= � ⁄(2 ) [ ( , ) − ] .
Давление насыщенных паров раствора спирта

( , ) = ( ) 0 [( ⁄ )(1⁄ 0 − 1⁄ )] ,
мольная доля растворенной компоненты
( ) = ⁄( + (1 − ) ) ,
давление насыщенного пара чистой компоненты при температуре
= 0 считаем известным. Парциальное давление паров над
свободной поверхностью подчинено уравнению состояния
= ( ⁄ ) .
Таким образом, есть функция температуры , концентрации и
плотности паров на границе раздела сред. Первоначально пар над
свободной поверхностью считаем насыщенным.

0 = 0 ⁄( 0 ) = ( 0 ) 0 ⁄( 0 ) = ( 0 ) 0 .
Разложение по степеням в окрестности 0 , 0 , 0 в первом()
приближении дает
= ( − 0 ) + ( − 0 ) + ( − 0 );(7)
= � ⁄(2 0 ) ( 0 ) 0 ⁄( 0 ) (1 − 0 ⁄ ) ,
= � ⁄(2 0 ) ( ( 0 )⁄ 0 )2 ( ⁄ ) 0 ,
= − � ⁄(2 0 ) 0 ⁄ .
Исследование выполнено для жидкой пленки водного раствора
изопропанола (IPA). Начальная температура 0 = 293К, критическая
– = 647К, начальная массовая концентрация IPA 0 = 0.35,
молярная масса летучей компоненты = = 60 г⁄моль, воды
– = 18 г⁄моль, плотности жидкостей = 786 кг⁄м3 , =
998 кг⁄м3 ; коэффициент вязкости = 3мПа ∙ с, теплопроводности –
= 0.6 Вт⁄(м ∙ К), температуропроводности – = 0.14 ∙ 10−6 м2 ⁄с,
диффузии– = 10−9 м2 ⁄с, = 2 ∙ 10−5 м2 ⁄с,теплота
парообразования = 756 кДж⁄кг, давление насыщенных паров
( ) = 4.1кПа, коэффициент коммодации = 1.
Уравнения тонкого слоя
Анализ уравнений движения проведен путем введения
малого параметра в виде отношения поперечной и продольной
характерных длин

= ⊥ + , ∇= ∇⊥ + ; ∇⊥ = + .

Пусть – продольная, – поперечная характерные длины, причем
≫ , так что = ⁄ представляет собой малый параметр системы.
Характерные продольная и поперечная скорости 0 и 0 связаны
между собой соотношением 0 = 0 . Характерное давление 0 =
( 0 )⁄ 2 , перепад температуры , время процесса . В уравнениях
(1)-(7) перейдем к безразмерным переменным

∇∗⊥ = ∇⊥ , ∗ = , ∗ = , ∗ = , ∗ = ,

∗
⊥ − 0ℎ
⊥ =, ∗ =, ∗ =, ∗ =, ℎ∗ = , ∗ = .
0 0 0 0
Характерные времена
В рассматриваемой нестационарной задаче деформации
пленки можно выделить четыре масштаба времени, связанных с
развитием полей скорости, температуры и концентрации, с
изменением высоты слоя; а также характерное время диффузии
летучей компоненты в газообразном состоянии
2 2 2 2
=, = , =, ℎ =, =;(8)
0
при этом

= ,=,= 2 ;
ℎ
0
=, = , = .

Отмечены два предельных случая соотношений характерных
времен: деформация пленки опережает развитие поля концентрации
растворенной компоненты
ℎ3
~ ⟺ ~ �= ;

развитие поля концентрации опережает процесс деформации пленки

~ ⟺ ~= .
ℎ
Соотношения характерных времен будет соответственно
~ < ℎ < , ~ < < ℎ . При ≳ жидкую пленку условно назовем «термической», а при ≲ – «диффузионной»; временной интервал, предшествующий видимой деформации – «малыми временами». Для термической пленки малые времена ~ , для диффузионной – ~ . Характерные скорости Из анализа уравнений движения определены характерные скорости для термической и диффузионной пленок ( = , – характерный размер зоны теплового воздействия) | | =, = | |. Здесь , характеризуют зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры и массовой концентрации летучей компоненты в растворе в непосредственной близости от межфазной поверхности = ( − 0 ) + ( − 0 ) ; интенсивность массообмена также принята в линеаризованом виде = ( − 0 ) + ( − 0 ) . Термическая и диффузионная пленки Установлено, что пленка раствора проявляет термический эффект, если ее первоначальная толщина 4 3 ≳ �, | | и концентрационный при ≲ �. | |( ⁄ ) В нашем случае ≳ = 10−4 м и ≲ = 10−6 м соответственно. Формированиеполейскорости,температурыи концентрации Выбрав в качестве характерное время прогрева пленки , имеем следующую постановку задачи 1 ∗⊥ 2 ∗⊥ ∗ = −∇∗⊥ ∗ +2 ,+= 0, ∗ ∗ ∗ 2 ∗ 2 ∗ ∗ = 2 ,=2 , ∇∗⊥ ∙ ∗⊥ +=0. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Граничные условия ∗ = 0: ∗⊥ = 0 , ∗ = 0 , ∗ = ∗ ; ∗ = ℎ∗ : ∗ = ∗ , ∗⊥ ∗ = �∇∗⊥ ∗ +∇ � , ∗ ⊥ ∗ =−� ∗ + ( − 0 ) + � ∗ − ( 0 )�� , ∗ (1 − ) =−� ∗ + ( − 0 ) + � ∗ − ( 0 )�� , ∗ ℎ∗ 0 1 = 0 �⇐= = 2 ≪ 1� . ∗ 4 Начальные условия ∗ = 0: ℎ∗ = 1 , 0 < ∗ < ℎ∗ : ∗⊥ = 0 , ∗ = 0 , ∗ = 0 , = 0 . (9) В выбранном интервале времени толщину пленки можно считать постоянной. Задача о температуре и концентрации отделяется из (9), но ее особенностью является значительное различие коэффициентов в уравнениях. Растягивая пространственный масштаб, выравниваем коэффициенты и приходим к задаче для температуры на отрезке, а для летучей компоненты – на лучах. Убеждаемся, что отклонения летучей компоненты в фазах от первоначальных значений изменяются пропорционально, тогда прогрев и диффузия летучей компоненты определятся уравнениями ( ∗ − ∗ ) 2 ( ∗ − ∗ ) =, 0 < ∗ < 1 ∗ ∗2 ( − 0 ) 2 ( − 0 ) =, − ∞ < ∗ < 1 ∗ ∗2 ∗ = 0: ∗ − ∗ = − ∗ , 0 < ∗ < 1 ; − 0 = 0 , − ∞ < ∗ < 1 ; ∗ = 0: ∗ − ∗ = 0 ; ∗ = ∗ = 1: ( ∗ − ∗ ) ∗ 1 =−� + ( ∗ − ∗ ) + � − �� ( − 0 )�, ∗ 0 1 − 0 ( − 0 ) = ∗ (1 − 0 ) ∗ 1 = −√ � + ( ∗ − ∗ ) + � − �� ( − 0 )�. 0 1 − 0 (10) Для анализа скорости прогрева пленки в (10) рассмотрены две вспомогательные задачи, в первой интенсивность массообмена уменьшена, а во второй – увеличена. В итоге получены ограничивающие функции, определяющие динамику прогрева поверхности пленки, и аналогичные – для концентрации 1 ∗ ( = 0) < ∗ < ∗ ( = 0) , 1 + 1 2 2 − ∗ ( = 0) < − 0 < − ∗ ( = 0) ; 1 1 + 1 +∞ (−1) − 2 1 ∗ ( = 0) = �1 − 2 � ∗ � ∗ , = � + � ; 2 =0 1√ (1 − 0 ) 0 1 = � − �� , 2 2 =, =, =. 1 − 0 0 Рис. 2. Температура (слева) и концентрация (справа) на поверхности пленки от времени, кривые 1 – аналитические решения, 2 – численный расчет; = 10−4 м, 0 = 0.35, = 5 Развитие поля скоростей определится уравнениями ∗⊥ 2 ∗⊥ ∗ = 2 , ∇∗⊥ ∙ ∗⊥ +=0. ∗ ∗ ∗ ∗ = 0: 0 < ∗ < 1: ∗⊥ = 0 , ∗ = 0 . ∗ = 0: ∗⊥ = 0 , ∗ = 0 ; ∗⊥ ∗ ∗ = 1: = �∇∗⊥ ∗ +∇ � . ∗ ⊥ Решение имеет вид ⊥ ∗⊥ ( ∗ , ∗ , ∗ , ∗ ) == ( ∗ − ∗ ) × +∞ +∞22 � − ∗ − − ∗ � + �−4 � �(−1)sin( ∗ ) + 2 ( 2 − 2 ) =0 =0 +∞ (−1) − 2 + �2 � ∗ − 1� ∗ � ∇∗⊥ ∗ ; =0 1 2 ∗ =, ∗ =. 1 + 1 1 + 1 Иллюстрациисоответствуютосесимметричному температурному полю подложки вида ∗ = exp{− ∗2 } ; ∗2 = ∗2 + ∗2 . За период характерного времени устанавливается близкий к линейному профиль скорости, как при стационарном течении Куэтта. Величина ∗ ответственна за концентрационный эффект, который является противоположно направленным к термическому; ∗ > 0 и ∗ > 0.

Рис. 3 Профили ∗ ( ∗ = 1) по высоте,Рис. 4. Зависимость ∗ от начального
в последовательные моменты временимассового содержания 0

Для «чистых» жидкостей 0 = 0 и 0 = 1 концентрационный эффект
отсутствует, максимум ∗ достигается при 0 ≈ 0.1.
Дальнейшее развитие поля скорости для диффузионной
пленки связанно с испарением летучей компоненты. Полагая в
уравнениях (1)-(7) характерное время = из (8), будем иметь
2 ∗⊥ ∗
−∇∗⊥ ∗ +2
=0,+=0,
∗ ∗
2 2 ∗ ∗
= 2 ,2
= 0 , ∇∗⊥ ∙ ∗⊥ +=0.
∗ ∗ ∗ ∗
Граничные условия

∗ = 0: ∗⊥ = 0 , ∗ = 0 ,= 0 , ∗ = ∗ ;
∗
∗ = ℎ∗ : ∗ = ∗ ,
∗⊥ ∗
= �∇∗⊥ ∗ +∇ �,
∗ ⊥

= −� + ( − 0 )� ,
(1 − 0 ) ∗ ∗
∗ ℎ∗
−= ∗ + ( − 0 ) ,=0.
∗ ∗
Начальные условия
∗ = 0: ℎ∗ = 1 , 0 < ∗ < ℎ∗ : = 0 . (11) Решение задачи (11) имеет вид +∞ 2 = 0 −�1 − 2 � 22 − ∗ � ∗ ; + + =1 ∗ − ( − 0 ) ∗ =; ( + ) ∗ ∗⊥ ( ∗ , ∗ , ∗ , ∗ ) = − �∇∗⊥ ∗ +∇ � ; ⊥ ∗ (1 − 0 ) ctg = , =. + Рис. 5 иллюстрирует данное решение. Концентрация убывает со временем и стремится к новому равновесному значению. При этом температура поверхности пленки несколько понижена вследствие затрат тепла на испарение летучей компоненты. Горизонтальная составляющая скорости ∗⊥ меняет свое направление на противоположное. Рис. 5. Концентрация ∗ = ⁄ 0 и температура ∗ при ∗ = 0 в зависимости от времени – кривые 1 и 2; радиальная компонента скорости ∗ ( ∗ = 1) по высоте – кривые 3–5 соответствуют моментам времени ∗ = 0.001 , 0.3 , 3 Деформация пленки Динамику жидкой пленки рассматриваем в масштабе времени ℎ (8). Ввиду малости числа , уравнение для переноса концентрации целесообразно использовать в полном виде, пренебрегая лишь диффузией вдоль продольной координаты 2 ∗⊥ ∗ − ⊥∗ ∗ +2 =0,+=0, ∗ ∗ 2 ∗∗ 2 �+ ⊥ ∙ ∇⊥ + ∗�= 2 , ∗ ∗ ∗ ∗ = 0 , ∇∗⊥ ∙ ∗⊥ +=0; ∗ ∗ ∗ = 0: ∗⊥ = 0 , ∗ = 0 , ∗ = ∗ ,=0; ∗ ∗ = ℎ∗ : ∗ = ∗ , ∗⊥ ∗ = �∇∗⊥ ∗ +∇ � , ∗ ⊥ ∗ 0 =− ∗ , ∗ 0 (1 − ) =− ∗ , ∗ ℎ∗ + ∗⊥ ∙ ∇∗⊥ ℎ∗ − ∗ = − ∗ ; ∗ ∗ = 0: ℎ∗ = 1 , 0 < ∗ < ℎ∗ : = 0 . (12) Уравнение эволюции пленки, следующее из (12), будет ℎ∗ + ∇∗⊥ ∙ (ℎ∗ ∗ ) = − ∗ , ∗ 2 ∗ ∗ ∗ = −ℎ∗ ∇⊥ ℎ∗ +ℎ∗ �∇∗⊥ ∗ +∇ � . 3 2 ⊥ Конвективный перенос летучей компоненты в растворе происходит в пленке переменной толщины. С помощью замены ∗ ∗′ = ℎ∗ ( ∗ , ∗ , ∗ ) область изменения вертикальной координаты отображается на отрезок. Постановка задачи о деформации пленки, состоящей из уравненийэволюции,уравненияпереносаконцентрации растворенной компоненты примет вид ℎ∗ + ⊥∗ ∙ (ℎ∗ ∗ ) = − ∗ , ∗ ∗′ ℎ∗ ∗ ∗ 2 + ∗⊥ ∙ ∇∗⊥ − � �+ ∗⊥ ∙ ∇∗⊥ ℎ∗ � − � ′ = 2 ′2 , ∗ℎ∗ ∗ℎ∗ ∗ ℎ∗ ∗ (′ )2 ℎ ∗ ∗ ∗⊥ = ∗ ∇∗⊥ ℎ∗ − ∗′ ℎ∗ � ∗ ∇∗⊥ ∗ + ∗ ∇∗⊥ + ∗ ℎ∗ ∇∗⊥ ℎ∗ � , ( ∗′ ℎ∗ )3 ∗ ∗2( ∗′ ℎ∗ )2 ∗ ∗2 ∗ ∗ = − ∇⊥ ℎ∗ +� ∇⊥ + ∗ ∇∗2∗ ∗∗ ⊥ + ∇⊥ ∙ (ℎ∗ ∇⊥ ℎ∗ )�. ∗ 2 ∗ ∗ ∗ ∗ = −ℎ∗ ∇⊥ ℎ∗ −ℎ∗ ∇∗⊥ ∗ −ℎ ∇∗ , 322 ∗ ⊥ ∗ ∗ =� ∗ + ( − 0 ) + � − ( 0 )�� , 1 + ℎ∗ ℎ∗ ∗ = ∗ −� ∗ + ( − 0 ) + � ∗ − ( 0 )�� , 1 + ℎ∗ ∗ = 0: ℎ∗ = 1 , = 0 . 1 ∗ (1 − ) ∗′ = 0 :′ = 0 ; ∗′ = 1:′ =−. ∗ℎ∗ ∗ ∗ В газовой фазе движение летучей компоненты подчиняется уравнению диффузии ∗∗∗2 ∗ 2 ∗ = � ⊥ +�. ∗ ∗2 ∗ ∗ = 0: 0 < ∗ : ∗ = ( 0 ) ; ∗ = 0: ∗= − ∗ ; ∗ = 2 . ∗ 0 (13) Здесь 3 | | ∗ ==, =; ∗ ==−, =; 0 0 1 ∗ 3 3 ∗ ==−, = | |; ==, =; 0 0 0 =, =, =, =. 0 Из приведенных выше оценок следует, что для термической пленки концентрация на свободной поверхности изменяется незначительно ∗ ∗ ≳ : → 0 −,≪1 1 1 − � − � 0 1 − 0 0 1 − 0 ∗∗ следовательно, ≈ , ≈ 0 . Будем иметь следующее приближенное уравнение эволюции ℎ∗ ∗ 1 ℎ∗2 =� ∗� + 2 ∗ ( ∗2 − 1) − ∗ ; ∗3 ∗ ∗ ∗ ℎ∗ ( ∗ , 0) = 1, ℎ∗ (+∞, ∗ ) = 1 . Решая задачу с помощью преобразования Ханкеля нулевого порядка, устанавливаем динамику изменения толщины пленки 3 ∗ 33 ∗2 ℎ∗ ( ∗ , ∗ ) = 1 − ∗ � {− ∗2 } −exp�−�� . 2 3 + 4 ∗ ∗3 + 4 ∗ ∗ Для диффузионной пленки, с учетом соотношения характерных времен, ∗∗ ≲ : − ( 0 ) = 0 , ∗ + ( − 0 ) + � − ( 0 )� = 0 , ∗ = ∗ ; получаем ℎ∗ ∗ 1 ℎ∗2 =� ∗� + 2( ∗ − ∗ )( ∗2 − 1) − ∗ . ∗3 ∗ ∗ ∗ ℎ∗ ( ∗ , 0) = 1, ℎ∗ (+∞, ∗ ) = 1 ; и, соответственно, 3( ∗ − ∗ )2} 33 ∗2 ℎ∗ ( ∗ , ∗ ) = 1 −� {− ∗−exp �−�� . 2 ∗3 + 4 ∗ ∗3 + 4 ∗ ∗ На рис.6 представлено численное решение задачи в полной постановке (13), но в линеаризованном виде, а также найденное приближенное аналитическое решение, приведенное выше. При начальной толщине в 100 микрон пленка проявляет характерный термический эффект. Некоторое отставание в динамике прогиба при численном решении от аналитического связано с учетом продольного потока летучей компоненты, поддерживающей интенсивность массообмена на некотором уровне, и как следствие, снижением температуры поверхности пленки. Также этому способствует незначительный концентрационный эффект, который имеет противоположную направленность. Рис. 6 Толщина слоя от радиальной координаты в моменты ∗ = 0.1 , 0.3 , 0.5; = 10−4 м. (слева); в моменты ∗ = 0.1 , 0.2 , 0.3; = 10−7 м (справа). Сплошная линия – численное решение линеаризованных уравнений, пунктирная – приближенное аналитическое В третьей главе проведено численное исследование деформации пленки раствора, содержащего летучую компоненту, при ее нагреве. Учтены лапласовский скачок давления и влияние кривизны свободной поверхности на парциальное давление насыщенных паров над ней. Изучено влияние определяющих параметров на характер поведения раствора. Показано, что в зависимости от первоначальной толщины жидкого слоя, концентрации летучей компоненты и степени нагрева наблюдаются различные картины течения. Полная постановка задачи имеет вид 0 < ∗ < ∗ , ∗ > 0 ∶
ℎ∗
+ ∇∗⊥ ∙ ∗ = − ∗ ,
∗

ℎ∗+ ∗ ∙ ∇∗⊥ = − ∗ (1 − ) ,
∗
∗ ∗ 2 ∗ ∗ ∗ 2 ∗ ∗
∗ = − ℎ∗3 ∇∗⊥ ℎ∗ −ℎ∗ ∇⊥ −ℎ∗ ∇⊥ + ℎ∗3 ∇∗⊥ (∇∗2⊥ ℎ∗ ) ,
3223
∗
∗ =� ∗ + ( − 0 ) + � − ( 0 )� + ℎ ∇∗2⊥ ℎ∗ � ,
1 + ℎ∗
ℎ∗
∗ = ∗ −∗
� ∗ + ( − 0 ) + � − ( 0 )� + ℎ ∇∗2
⊥ ℎ∗ � ,
1 + ℎ∗
ℎ∗
∗ = 0: ℎ∗ = 1 , = 0 ; ∗ = 0, ∗ : ∗ ===0.
∗ ∗
0 < ∗ < ∗ , 0 < ∗ < ∗ , ∗ > 0 :
∗ 2 ∗
= ∗ �∇∗2
⊥
∗
+�.
∗ ∗2
∗ = 0: ∗ = ( 0 ) .
∗ ∗ ∗
∗ = 0: ∗= − ∗ ; ∗ = ∗ := 0; ∗ = 0, ∗ :=0.
∗ 0 ∗ ∗
∗
∗ = ∗ ( ∗ , ∗ , ∗ ), = ∗ ( ∗ = 0), ∗ = ⁄ .
(… )1 (… )
∇∗⊥ (… ) = , ∇∗2
⊥ (… ) =� ∗�.
∗ ∗ ∗ ∗
(14)
Температурное поле контакта жидкости с твердым дном
− 0
= ∗ ( ∗ ) = exp{− ∗2 } .

Базовые значения параметров: = 1 см, = 6 мм, = 1 мм; =
10−1 мм, 0 = 0.35, = 5 .
Анализ результатов
На рис. 7 представлена эволюция пленки с базовыми
параметрами. Изображены зависимости толщины слоя жидкости
ℎ∗ = ℎ⁄ от радиальной координаты ∗ = ⁄ . Кривые
соответствуют последовательным моментам времени =
0.05 , 0.25 , 0.5 ( ) ( ∗ = 0.1 , 0.5 , 1). Жидкая пленка проявляет
характерный термический эффект. Происходит быстрый прогрев
свободной поверхности, сопровождающийся ее прогибом вниз.
Изменение концентрации на этом временном интервале невелико
благодаря быстрому насыщению парами нижней части воздушной
прослойки,контактирующейсповерхностью жидкости.
Действительно, характерное время прогрева пленки является
малой величиной относительно характерного времени диффузии
паров ( ~ ℎ ). Отходящий гребень оставляет за собой пленку
порядка нескольких микрон. Этот тонкий слой ведет себя уже как
диффузионный. После значительного прогиба вниз верхней
поверхности пленки происходит быстрое снижение концентрации
летучей компоненты, вследствие чего увеличивается коэффициент
поверхностного натяжения и начинается приток жидкости к центру
нагрева. Уход летучей компоненты из раствора вновь обязан
диффузионному потоку паров над жидкой пленкой от центра в
сторону менее нагретой поверхности и в вертикальном направлении.
Ведь для оставшегося в центральной части жидкого слоя
уменьшенной толщины характерное время диффузии паров
является уже малой величиной относительно характерного времени
эволюции ℎ . На рис. 8 представлена дальнейшая деформация
пленки. Все параметры такие же как на рис. 7. Изображены
зависимости толщины слоя жидкости ℎ∗ от радиальной координаты
∗ . Кривые соответствуют моментам времени = 2.5 , 5 , 7.5 ( ) ( ∗ =
5 , 10 , 15). Наблюдается рост бугорка жидкости в вертикальном и
горизонтальном направлениях.

Рис. 7. Профили жидкого слоя в моментыРис. 8. Профили жидкого слоя в моменты
времени = 0.05 , 0.25 , 0.5 ( )времени = 2.5 , 5 , 7.5 ( )

К моменту времени ≈ 15 наблюдается значительное
изменение формы профиля свободной поверхности – образуется
«жидкая капля». Капля «сидит» на пленке практически постоянной
толщины порядка одного микрон (рис. 9). Гребень волны основной
массы жидкости уходит далеко от центра нагрева. Этот эффект
связан не только с термическим течением, но и концентрационным.
На гребне происходит конденсация паров летучей компоненты,
дополнительно уменьшающая коэффициент поверхностного
натяжения. Наблюдается кратковременная остановка роста капли в
диаметре. Через некоторое время капля вновь начинает расти. Этому
способствует приближение гребня к капле, обусловленное
уменьшением притока летучей компоненты (рис. 10).

Рис. 9. Профили жидкого слоя вРис. 10. Профили слоя в моменты
моменты времени = 15 , 30 , 45 ( )времени = 100 , 150 , 200 ( )
Анализ найденных функций
Ниже представлено сопоставление профилей поверхности
пленки с интенсивностью ухода летучей компоненты из раствора. На
момент времени = 15 наблюдается движение гребня волны
вправо сопровождающееся подгоняющей его конденсацией паров. К
моменту = 30 волна возвращается обратно, конденсация паров на
гребне уменьшилась и даже на переднем фронте сменилась на
испарение (рис. 11).

Рис. 11. Профили пленки (слева) и интенсивность испарения (справа)
в моменты времени = 15 , 30 ( )

Несмотря на противоположную направленность термо- и
концентрационно-капиллярных эффектов, последний способствует
отходу гребня на большее расстояние, чем при «чистом»
термокапиллярном прогибе (рис.12).
Из рис. 11 видно, что объем
капли в указанные моменты
временипрактическине
изменился. За отход гребня
остаетсяответственной
преимущественно конденсация
паров летучей компоненты
Рис. 12. Профиль поверхности при =
раствора.
30 ( ), массообмен заморожен
Насыщение парами газа, контактирующего с пленкой,
происходит быстро. В последствии, ввиду ухода летучей
компоненты из раствора, плотность паров выравнивается (рис. 13).
Рис. 13. Плотность паров над свободной поверхностью пленки в моменты времени
105 = 5 , 25, 50( ) (слева) и моменты = 15 , 30, 45 ( ) (справа)

Профили общего поступательного потока жидкости ∗ =
ℎ∗ ∗ вдоль радиальной координаты ∗ соответствуют изменению
толщины пленки ℎ∗ ⁄ ∗ , но в тоже время имеет некоторую
особенность. На переднем фронте отходящей от центра волны
наблюдается возвратное течение (рис. 14).

Рис. 14. Общий поступательный поток (слева) и профили
пленки (справа) в моменты времени = 0.05 , 0.25 ( )

Действительно, передний фронт волны мог бы представлять собой
некоторое возвышение уровня, примыкающее к невозмущенному
слою через поверхность выпуклую вниз. Но тогда давление под ней
уменьшается на лапласовский скачок в сравнении с горизонтальным
участком, что приводит к встречному потоку жидкости. Таким
образом, передний фронт разбегающейся волны имеет сложную
волнообразную структуру и не является монотонной функцией
продольной координаты. Если исключить из рассмотрения
лапласовское давление ( = 0), то данный эффект пропадает.

Поле скорости в жидкой пленке
По найденному численному решению определяется поле
скорости в жидкости согласно формулам (13) (рис. 15).
Рис. 15. Поле скорости в жидкости при развитии термокапиллярного течения
(слева) и при проявлении концентрационно-капиллярного течения (справа)

Варьирование параметров
Увеличение радиуса жидкого пятна (чашки Петри) в данной
постановке несущественно. Сокращение же продольного размера
заметно меняет картину движения, наблюдается только рост бугорка.
Если при этом увеличить температуру нагрева, то появляется
«капля», которая растет непрерывно до момента разрушения.
Зависимость диаметра капли от времени в указанном интервале
близка к линейной.
В базовых параметрах увеличим ширину зоны нагрева в два
раза, = 2 мм. Характер процесса меняется – капля растет в
диаметре без остановки. Установлено, что при линейных размерах
пятна ≲ 5 всегда проявляется подобная картина течения.
Дальнейшее расширение зоны нагрева ≳ 2.5 мм для пленок с
начальной толщиной от ста до двухсот микрон ~(1 ÷ 2)мкм
понижает роль капиллярного скачка давления. В таком случае
наблюдается непрерывный рост «жидкой капли» на пятне любого
размера . Значение = 2.5 мм приблизительно равно капиллярной
постояннойжидкогораствора = �(2 )⁄( ). Однако
принципиальным здесь является малая роль лапласовских сил в
сравнении с термокапиллярными (концентрационными).
В случае локального охлаждения жидкая пленка вначале
проявляет характерный термический эффект, совершая прогиб
свободной поверхности вверх. Изменение концентрации на этом
временном интервале невелико. Пленка остается выпуклой
достаточно долго. В это время происходит конденсация паров
летучей компоненты, ее доля в растворе возрастает.
Концентрационный эффект становится преобладающим и
начинается уменьшение толщины пленки в центре (рис. 16).
Рис. 16. Профили жидкого слоя при его охлаждении в моменты времени
= 187 , 375, 562 ( ) – кривые 1, 2, 3; = 625 , 875, 1125 ( ) – кривые 4, 5, 6

При движении свободной поверхности вниз в центре образуется
бугорок, который в последствии рассасывается. Происхождение этой
нетипичной формы связано с особенностью конденсации паров.
Вблизи центра поверхностный градиент концентрации мал.
Подобный характер проявляет пленка и с базовыми параметрами,
хоть и с менее выраженным возвышением. В результате получаем
сверхтонкую (диффузионную) пленку в виде широкого пятна.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1. Показано, что в рассматриваемой нестационарной задаче
деформации пленки можно выделить четыре масштаба времени,
связанных с развитием полей скорости, температуры и
концентрации, с изменением высоты слоя; а также характерное
время диффузии летучей компоненты в газообразном состоянии.
2. В зависимости от первоначальной толщины, деформация пленки
может как опережать развитие поля концентрации, так и отставать от
него. Для указанных предельных случаев формализованы
характерные скорости и размеры ( ≳ 10−4 м, ≲ 10−6 м).
3. Найдены ограничивающие функции, определяющие динамику
прогрева и изменения концентрации раствора. Изменение
концентраций летучей компоненты в жидком и газообразном
состояниях обратно пропорционально отношению соответствующих
коэффициентов диффузии в степени 1⁄2. Температура поверхности
пленки раствора монотонно нелинейно понижается с ростом
начального массового содержания летучей компоненты. Величина
этогоотклоненияпропорциональнаквадратутеплоты
парообразования, а также коэффициенту теплопроводности и
теплоемкости в степенях (−1⁄2), но не превосходит 1.5%.
4. Для достаточно тонкой пленки наблюдается переход от
термокапиллярного к концентрационно-капиллярному течению с
перестроением профиля скорости до начала видимой деформации,
что связано с продолжающимся перераспределением летучей
компоненты в фазах: отношение характерных времен диффузии
паров и эволюции пленки является малой величиной. В обратном
предельном случае изменение концентрации на поверхности пленки
существенно ограничено в связи с быстрым насыщением: отношение
характерных времен прогрева пленки и диффузии паров является
малой величиной.
5. При достаточных повышении температуры подложки и
первоначальной толщине пленки ( ≳ 10−4 м, ≳ 5 ) формируется
специфическая форма поверхности – «жидкая капля», отделенная
тонким протяженным слоем от основной массы жидкости, связанная
с последовательным возникновением термо- и концентрационно-
капиллярным разнонаправленными течениями.
6. Линейный размер лунки, в которой формируется капля, вначале
возрастает до некоторого значения, затем уменьшается и
стабилизируется. При этом концентрационно-капиллярный эффект
усиливает термокапиллярный прогиб свободной поверхности
благодаря конденсации паров летучей компоненты на отходящем
гребне волны.
7. Показано существенное влияние лапласовского скачка давления
на характер всего процесса. Рост образовавшейся жидкой капли
происходит с некоторой задержкой по времени. Непрерывное
увеличение капли в диаметре наблюдалось только при существенном
ограничении размера жидкого пятна до порядка линейных размеров
зоны нагрева ( ≲ 5 ) или при превышении линейных размеров зоны
нагрева над капиллярной постоянной ( ≳ ). Видимый передний
фронт распространения возмущений по плоской свободной
поверхности всегда представляет собой волну разрежения
(понижение уровня).
8. Охлаждение пленки раствора, содержащей летучую компоненту,
также приводит к последовательному термо- и концентрационно-
капиллярному разнонаправленным течениям, но в обратных
направлениях. При растекании жидкости в центре наблюдается
кратковременное нетипичное возвышение уровня. В дальнейшем
пленка растягивается, образуя ровный жидкий слой толщиной на
несколько порядков меньше первоначальной.
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ
ДИССЕРТАЦИИ
1. Tatosova K. A. Droplet formation caused by laser-induced surface-
tension-driven flows in binary liquid mixtures / K. A. Tatosova, A. Yu.
Malyuk, N. A. Ivanova // Colloids and Surfaces A: Physicochem. Eng.
Aspects. 2017. Vol. 521. Pp. 22-29. DOI: 10.1016/j.colsurfa.2016.07.004
(Web of Science)
2. Иванова Н. А. Термокапиллярное движение тонкой пленки
бинарного спиртосодержащего раствора / Н. А. Иванова, К. А.
Бородина // Известия Саратовского университета. Новая серия.
Серия: Математика. Механика. Информатика. 2020. Том 20. № 1. С.
64-78. DOI: 10.18500/1816-9791-2020-20-1-64-78
(ВАК)
Ivanova N. A., Borodina K. A. Thin Film Thermocapillary Motion of
Binary Alcohol-Containing Solution. Izvestiya of Saratov University.
New Series. Series: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2020, vol. 20,
iss. 1, pp. 64–78 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-
2020-20-1-64-78
(Web of Science)
3. Бородина К. А. Динамика термокапиллярного течения бинарной
гомогенной пленки раствора с учетом диффузии паров летучих
компонентов/ К. А. Бородина // Вестник Башкирского Университета.
2020. Том 25. № 3. С. 472-477. DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2020.3.3
(ВАК)
Дополнительные публикации
4. Бородина К. А. Модель эволюции пленки бинарного гомогенного
раствора при тепловом воздействии / К. А. Бородина // Вестник
Тюменского государственного университета. Физико-математическое
моделирование. Нефть, газ, энергетика. 2020. Том 6. № 4 (24). С. 48-68.
DOI: 10.21684/2411-7978-2020-6-4-48-68
(ВАК)
5. Бородина К. А. Анализ поведения пленки бинарного гомогенного
раствора при тепловом воздействии / К. А. Бородина // Вестник
Тюменского государственного университета. Физико-математическое
моделирование. Нефть, газ, энергетика. 2021. Том 7. № 2 (26). С. 43-59.
DOI: 10.21684/2411-7978-2021-7-2-43-59
(ВАК)
6. Татосов А. В., Бородина К. А. Термокапиллярное течение пленки
спиртосодержащего раствора // В сборнике: XII Всероссийский съезд по
фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики.
Сборник трудов в 4-х томах. 2019. С. 248-250.
(РИНЦ)
7. Бородина К. А., Татосов А. В. Неравномерный нагрев пленки раствора
на горизонтальной поверхности // В книге: Проблемы механики: теория,
эксперимент и новые технологии. Тезисы докладов XIV Всероссийской
школы-конференции молодых ученых. Институт теоретической и
прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН; Центральный
аэрогидродинамический институт им. Проф. Н.Е. Жуковского;
Новосибирский национальный исследовательский государственный
университет. Новосибирск, 2020. С. 31-32.
(РИНЦ)
8. Татосов А. В., Бородина К. А. Термокапиллярное течение пленки
бинарного гомогенного раствора // В книге: Задачи со свободными
границами: теория, эксперимент и приложения. Сборник тезисов
докладов VII Всероссийской конференции с участием зарубежных
ученых. Институт вычислительного моделирования СО РАН, Институт
гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Институт теплофизики
им. С.С. Кутателадзе СО РАН, Сибирский федеральный университет.
2020. С. 246-247.
(РИНЦ)
9. Бородина К. А. Отображение физического объема жидкой пленки в
фиксированную область пространства // В сборнике: Прикладная
математика и информатика: Современные исследования в области
естественных и технических наук. Материалы VI Международной
научно-практической конференции (школы-семинара) молодых ученых.
2020. С. 189-194.
(РИНЦ)
10. Бородина К.А. Анализ поведения неравномерно нагретой пленки
бинарного гомогенного раствора // В книге: Актуальные вопросы
теплофизики, энергетики и гидрогазодинамики в условиях Арктики.
Тезисы Всероссийской научно-практической конференции с
международным участием, посвященной 85-летию со дня рождения
заслуженного деятеля науки РФ и ЯАССР, д.т.н., профессора Э.А.
Бондарева. 2021. С. 22-23.
(РИНЦ)
11. Borodina, K.A., Tatosov, A.V. Thermal effect on the film of a solution
with a volatile component // Journal of Physics: Conference Series. XVI All-
Russian School-Conference of Young Scientists with International
Participation. Actual Problems of Thermal Physics and Physical
Hydrodynamics. 2021, 1867(1), 012004. (Scopus)