Трассеры работы динамо в магнитных полях небесных тел.

Актуальность темы
Наличие магнитных полей в звездах и планетах является одним из важ- ных факторов, определяющих многие физические процессы — как на самих небесных телах, так и в окружающем их космическом пространстве. Наибо- лее доступными объектами для наблюдений при изучении магнитных полей небесных тел выступают Солнце и Земля. Структура поля является достаточ- но сложной, о чем свидетельствует многообразие активных процессов, свя- занных с проявлением магнитной активности, и их нестационарный характер. Изучение этой структуры возможно качественными методами, на основе со- временных и исторических данные об изменениях магнитного поля нашей планеты и эволюции солнечной активности. Другой возможный подход — теоретические модели эволюции магнитного поля (теория магнитного дина- мо, или в конкретном случае — земного и солнечного динамо). Оба подхода имеют свои достоинства и при использовании требуют согласования. Из этой задачи вытекает необходимость выделения некоторых количественных пока- зателей для сравнения.
При работе с наблюдательными данными сложность получения количе- ственных значений обычно связана с разного рода ограниченностью данных, например, по времени или по длине ряда, а также со степенью развития ме- тодов численной обработки. Тем не менее, некоторые недостатки рядов дан- ных удается компенсировать при алгоритмической обработке (в частности, восстановление пробелов по имеющимся данным или с привлечением допол- нительной информации).
Еще одна особенность, появляющаяся при работе с наблюдательными дан- ными — невозможность прямых измерений. Например, в случае измерения магнитного поля Земли часто приходится восстанавливать сведения о по- ле по остаточной намагниченности пород (когда нет записей об измерении поля в интересующий период времени); при определении намагниченности пород на дне морей и океанов — опираться на данные измерений на отдель- ных участках, доступных для измерений. При исследовании Солнца величи- на магнитного поля рассчитывается по результатам измерения на некотором расстоянии от светила (в том числе и на расстоянии 1 а.е. — на уровне орбиты Земли). Во всех случаях оказывается необходимой модель для восстановле- ния напряженности поля по “удаленным” измерениям.
Проблема измерения магнитного поля Солнца привела к появлению но- вых понятий — солнечной атмосферы и солнечного ветра. Первые попытки оценить величину поля Солнца (В. Кельвин-Томсон) были неудачными во многом из-за представления космического пространства между планетами как абсолютно пустого. Достаточно обоснованное предположение о наличии непрерывного газового потока, вытекающего из Солнца, впервые было выска- зано в 1950-х годах Л. Бирманом. Математический анализ задачи был сделан в 1958 г. Е. Паркером (были и другие работы по оценке скорости и величины потока излучения, но расчеты Паркера имели большую точность). Е. Паркер показал, что причина возникновения солнечного ветра — в отсутствии гидро- статического равновесия между горячей короной и холодной межпланетной средой.
Основные уравнения модели солнечного ветра совпадают с уравнениями аккреции вещества на звезду (с учетом смены знака и наличия сверхзвуковых значений для скорости расширения солнечной короны).
Косвенный метод измерений — радиопросвечивание короны и окружаю- щей среды. Этот метод стал одним из основных для исследования областей вне плоскости эклиптики, позволил получить крупномасштабную структуру солнечного ветра и е ̈е изменения в цикле солнечной активности.
Исследования структуры магнитного поля определяют характерные чер- ты описательных моделей. Один из часто используемых приемов — выделе- ние поверхности источника. Это гипотетическая граница между областью, где энергия магнитного поля превосходит кинетическую энергию плазмы, и областью с преобладанием солнечного ветра. Хорошее согласие с наблюде- ниями межпланетного магнитного поля на расстоянии 1 а.е. от Солнца по- лучается при представлении поверхности источника в виде сферы радиусом 2.5R⊙ − 3.25R⊙. На этой поверхности силовые линии предполагаются ради- альными, потенциал равен нулю. В сферическом слое между фотосферой и поверхностью источника поле потенциально; в области переноса солнечным ветром закон падения поля ∼ 1/r2. Поле во всей гелиосфере оказывается деформированным и смещенным по времени отображением поля на поверх- ности источника. Например, крупномасштабная структура магнитного поля вблизи Солнца отражается в магнитном поле вблизи Земли с запозданием около 4.5 суток.
Проверка моделей по измерениям магнитного поля на фотосфере с помо- щью магнитографов показала хорошее согласие знаков радиальной компо- ненты магнитного поля вблизи Земли и поля на поверхности источника. Од- нако закон падения ∼ 1/r2 оказывается не совсем точным для количествен- ных оценок напряженности поля (измеренное значение поля вблизи Земли оказывается больше, чем при теоретических оценках).
Метод расчета поля в гелиосфере с предположениями о радиальности по- ля и с выделением поверхности источника имеет ограничения. Основной недо- статок — предположение об отсутствии токов в атмосфере Солнца над фото- сферой. Однако другие модели требуют гораздо более громоздких расчетов. Например, при использовании в качестве начальных условий потенциально- го приближения и предположении асимптотической устойчивости решения можно получить более надежный результат [132, 133]. Но, например, для стационарной короны отличия от расчетов более простым способом невели- ки. Кроме того, классический метод позволяет получить соотношение разных гармоник в магнитном поле Солнца. Поэтому разработка метода, сочетаю- щего точность результатов и небольшую вычислительную ̈емкость, остается актуальной задачей.
Еще одно ограничение классической модели заключается в том, что гра- ничные условия задаются на двух поверхностях: фотосфере (которую мы наблюдаем) и на поверхности источника (где предполагается нулевой потен- циал). Последнее предположение требует скачкообразного изменения скоро- сти солнечного ветра (при переходе через эту воображаемую поверхность кинетическая энергия солнечного ветра должна резко стать больше энер- гии магнитного поля), что нефизично. Область изменения скорости ветра в действительности должна иметь некоторую протяженность, и, скорее всего, более сложную геометрическую форму, чем сфера.
Тем не менее общая расчетная структура поля достаточно хорошо со- гласуется с наблюдениями [28]. Причиной этого может быть доминирующая роль крупномасштабного поля в формировании структуры. Значит, первые гармоники, от которых зависит глобальное поле, определяются достаточно точно. Поэтому можно предположить, что магнитное поле на поверхности источника тоже определяется достоверно, и общая структура поля в короне Солнца и околосолнечном пространстве должны определятся достаточно хо- рошо. Дополнительная проверка модели осуществляется при накоплении на- блюдательных данных. Новая информация появляется при изучении вариа- ций крупномасштабной активности, корональных выбросов масс, структуры и поляризации короны, распределением корональных дыр и геомагнитных возмущений.
Увеличение точности измерений может затруднять составление адекват- ной модели. Чем более детальное описание процесса имеется, тем более слож- ная модель требуется для описания. Но поскольку сложные модели составля- ются на основе простых, то всегда остается актуальным выделение основных закономерностей процесса. По мере накопления и уточнения данных о лю- бом физическом явлении требуется их анализ и сравнение с существующими моделями.
Основные методы выделения трендов относятся к области математиче- ской статистики. При работе с периодическими процессами (или чаще с ква- зипериодическими) активно используется гармонический анализ — не толь- ко классическое преобразование Фурье, но развитые на его основе методы: оконное преобразование, вейвлет-преобразование. Однако значение статисти- ческого исследования не исчерпывается расчетом характеристик фиксиро- ванного ряда данных.
В изучении моделей физических систем сложности возникают при при- менении математического описания к случайным компонентам (турбулент- ность, случайное воздействие на систему извне и т.п.). Трудно указать про- цесс, в котором нет никаких случайных переменных. Для описания подобных процессов применим, в первую очередь, вероятностный и статистический под- ход (пример такого подхода — работы А.Н. Колмогорова [17]–[19]). Но при этом далеко не очевидным представлялся, что случайные флуктуации в си- стеме могут оказывать ненулевое результирующее действие. Такие результа- ты привели к развитию исследований в направлении интеграции статистиче- ского и динамического подходов. Одним из результатов стало возникновение новых разделов науки — магнитная гидродинамика, статистическая гидро- механика и другие.
Новые математические задачи при обработке возникают не только при появлении случайных компонент в системе, но и при возникновении нелиней- ностей. Причиной могут быть как сложность самих исследуемых процессов, так и нелинейность, вносимая измерительным прибором. Например, нелиней- ность сигнала магнитографа приводит к усложнению интерпретации наблю- даемых спектральных линий. Методы решения нелинейных задач могут быть различными. В зависимости от конкретной проблемы это может быть лине- аризация (МНК, нелинейные шкалы, логарифмические и степенные замены переменных), разложение на компоненты (гармонический анализ), внесение поправок, определяемых функцией прибора, в ряды измеряемых данных. А сравнение с теоретическими моделями при этом требует введения нелиней- ных параметров в сами модели.
Объект и методы исследования
Задача сопоставления теорий и данных наблюдений требует формализа- ции последних. Для решения этой проблемы разработано достаточно много математических и статистических методов (например, вычисление моментов для ряда наблюдаемых величин, сглаживание и усреднение, Фурье-анализ, вейвлет-преобразование, аппроксимация, корреляционный анализ и т.п.) Вы- бор определенного подхода зависит от характера наблюдаемых (длина ряда, степень достоверности) и характеристики, которую требуется изучить. В работе можно выделить пять разделов, в каждом из которых использо- ван свой ряд данных: 1) величина потока магнитного поля, интегрированная по фрагменту поверхности Солнца, 2) величина магнитного поля для диполь- ной компоненты магнитного поля Солнца и положение полюсов диполя на гелиосфере, 3) число солнечных пятен и их суммарная площадь, 4) величина магнитного поля для квадрупольной компоненты магнитного поля Солнца и положение полюсов квадруполя, 5) шкала инверсий геомагнитного поля.
Четыре раздела связаны с изучением магнитного поля Солнца. Данные о потоке магнитного поля, интегрированного по некоторому участку излу- чающей поверхности, представляют собой некоторый результат усреднения. Чем меньше разрешающая способность телескопа, тем больше “усреднение” поля, получаемого на магнитограмме. Таким образом, сам характер наблю- дений подсказывает усреднение как метод исследования. Для дальнейшего определения характера зависимостей между величинами строятся графики. Логарифмический масштаб позволяет свести степенные зависимости к линей- ным (наиболее точные методы расчетов развиты для линейных зависимостей, например, метод наименьших квадратов).
При исследовании солнечной активности по данным о солнечных пятнах были применены классические статистические методы: сглаживание данных, вычисление среднего и отклонений, определение коэффициента корреляции. Эффективность такого подхода для сопоставления двух рядов данных прове- рена множеством задач статистики из самых разных сфер. При этом относи- тельная простота вычислений дает преимущество при численной обработке (увеличивается скорость обработки, проще контролировать результат, умень- шается накопление ошибок машинного счета).
Описание некоторого физического явления в целом (в том числе структу- ры и эволюции магнитного поля) является очень сложной задачей, поэтому в числе стандартных подходов — разделение на более простые задачи. Для магнитного поля это разложение на отдельные гармоники. В работе иссле- дуются две первые компоненты гармонического разложения — дипольная и квадрупольная. Описание гармоник достаточно удобно строить на графи- ческом представлении данных (например, графики изменения некоторой из характеристик во времени или траектория полюса диполя или квадруполя на поверхности Солнца). Поскольку наиболее наглядное и простое для анализа представление — двумерное, а движение полюсов диполя не всегда возможно отобразить в пределах одной полусферы, то при исследовании диполя при- ходится выделять две проекции — аксиальный и экваториальный диполь. В случае с квадруполем оказывается проще применить тензорный формализм, так как в этом случае вместо четырех полюсов мы получаем три оси тензора квадрупольного момента, содержащие информацию не только об изменени- ях величины магнитного поля в полюсах квадруполя и их положении, но и соотношении полей в положительных и отрицательных полюсах.
Задача, поставленная при исследовании шкалы геомагнитной полярности, — поиск периодичностей. Выбранный метод — вейвлет-преобразование ряда данных. По сравнению с ним классический метод Фурье оказывается не очень эффективным из-за отсутствия строго периодического процесса (в спектре появляются ложные частоты). Использование, например, гистограммы дли- тельностей интервалов между сменами полярности, затруднено возможными пропусками инверсий в восстановленной шкале (такие пропуски влияют на всю гистограмму). Интегральные преобразования менее чувствительны к та- ким погрешностям.
Цели и задачи диссертационного исследования
Целью работы является определение проявления периодических или ква- зипериодических процессов в магнитных полях Земли и Солнца, оценка ха- рактерных времен этих процессов. Вычисления опираются на данные наблю- дений и предполагают сравнение с теоретическими моделями динамо для определения возможного обоснования полученных результатов.
В соответствии с целью диссертации ставятся следующие задачи:
1. Установить возможность возникновения квазипериодических процессов в инверсиях магнитного поля на основании сравнения с простой моде- лью динамо; 2. Сопоставить циклы активности в северном и южном полушариях Солн- ца на основании данных о солнечных пятнах;
3. Определить зависимость оценок величины магнитного поля Солнца от разрешения магнитограмм, найти параметр, количественно характери- зующий эту зависимость;
4. Установить связь найденного параметра солнечным циклом;
5. Описать эволюцию дипольной и квадрупольной компонент магнитного поля Солнца во времени;
6. Определить наличие периодичностей и характерных времен в измене- нии амплитуд магнитного поля и в положении полюсов магнитного ди- поля и квадруполя;
7. Определить характерные времена в магнитостратиграфической шкале.
Решение поставленных задач предполагает применение новых и адаптацию известных методов обработки данных наблюдений, интерпретацию результа- тов анализа рядов данных с учетом современных представлений об иссле- дуемых физических процессах, сопоставление с различными теоретическими моделями этих процессов.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Среднее значение напряженности поля зависит от разрешения магни- тограммы, изменения параметров этой зависимости в ходе солнечного цикла отражает наличие двух механизмов динамо: глобального регу- лярного и турбулентного;
2. Изменения напряженности дипольной и квадрупольной компонент по- ля Солнца не совпадают по фазе; смещение полюсов диполя опережает вращение кэррингтоновской системы координат, а квадруполя — отста- ет; 3. Знак фазового сдвиг активности между северным и южным полуша- риями Солнца связан в долгопериодическими процессами в солнечной активности, при этом величина фазового смещения практически не про- являет модуляции;
4. Приведено тензорное представление квадрупольной компоненты маг- нитного поля Солнца; основные особенности изменения напряженности квадрупольной компоненты магнитного поля Солнца могут быть вос- произведены в модели асимметричного динамо с супердиффузией;
5. Долгопериодические вариации магнитной активности могут быть ассо- циированы со случайными параметрами динамо.
Научная новизна
В работе впервые получена зависимость фрактальной размерности струк- тур магнитного поля Солнца от фазы цикла активности. Ранее проводились количественные оценки хаусдорфовой размерности, однако в работах, отно- сящихся к разному времени, появлялось значительное расхождение результа- тов. Помимо этого, рассмотрен еще один возможный фрактальный параметр (мера), зависимость которого от фазы цикла существенно слабее. Найденное различие может оказаться подтверждением существования нескольких типов формирования мелкомасштабных магнитных полей на Солнце.
Благодаря раздельному изучению временн ́ой эволюции гармоник магнит- ного поля Солнца получено подтверждение гипотезы формирования компо- нент поля с недипольной симметрией как следствие нарушения симметрии гидродинамических процессов в солнечном веществе. Для оценки степени асимметрии север-юг вычислены статистические характеристики рядов дан- ных о числе и суммарной площади солнечных пятен.
Для анализа изменений квадрупольного магнитного момента Солнца с течением времени впервые применено представление в виде тензора. Хоро- шее согласие с результатами классического гармонического анализа позволя- ет предложить дальнейшее развитие идеи исследования компонент звездного магнитного поля методами линейной алгебры и тензорного анализа. Впервые проведен анализ магнитостратиграфической шкалы за 250 млн. лет. Прежние исследования осуществлялись на более коротких интервалах времени из-за недостатка палеомагнитных данных. Помимо выявления об- щего характера процесса — отсутствия заметных следов периодического или квазипериодического процесса в смене магнитных полюсов Земли — произве- дено сравнение результатов для нескольких вариантов восстановления шкалы инверсий.
Параллельное исследование проявлений работы динамо для Земли и Солн- ца открывает возможность сопоставления особенностей эволюции процессов генерации магнитного поля для звезд и планет. Выявление сходства и разли- чия требует большего числа звезд и планет в качестве объектов наблюдения. Однако даже пример двух наиболее исследованных объектов позволяет вы- делить возможные направления для поиска особенностей, присущих только звездному или только планетному динамо.
Теоретическая и практическая значимость
Ценность результатов работы складывается из нескольких факторов.
Использование максимально длинных рядов данных, доступных на на- стоящий момент, позволяет уточнять результаты поисков периодичностей и характерных времен в вариациях солнечного и земного магнитных полей. По- скольку накопление и уточнение данных продолжается, результат диссерта- ции становится одним из шагов в описании циклических компонент генерации магнитных полей.
Впервые получено объяснение различий предыдущих оценок фракталь- ных характеристик структур магнитного поля Солнца. Сравнение получен- ного результата с параметрами турбулентной среды позволяет сделать вывод о неслучайном характером изменений магнитного поля. Для магнитного поля Земли, напротив, исследование показало отсутствие регулярности в магнит- ных процессах. Этот результат закладывает задачу для теории магнитного динамо: определение роли случайных компонент в процессах генерации маг- нитного поля в звездах и в планетах.
Разбиение задачи описания магнитного поля на ряд мелких подзадач ока- зывается эффективным для упрощения анализа данных. Например, выделе- ние двух проекций дипольного момента магнитного поля Солнца и их раз- дельное описание дает более ясную картину, чем анализ диполя в целом. Такой подход позволяет сочетать методики исследования — от простейше- го статистического анализа до работы с фрактальными и геометрическими объектами — вместо построения одной модели, возможно, весьма сложной.
Опыт применения тензорного анализа для решения задач о магнитном поле Солнца раскрывает возможности для дальнейшего расширения обла- сти применения тензорного метода к различным задачам физики. Совмест- ное использование нескольких математических методов позволяет разделить свойства исследуемого ряда данных от особенностей, привносимых при ма- тематическом преобразовании.
Результаты работы в описании двух основных гармоник магнитного по- ля Солнца ориентируют на проведение новых исследований эволюции бо- лее высоких гармоник. Основная структура гелиосферного магнитного поля определяется вкладом низких гармоник, однако более тонкая структура тре- бует учета остальных компонент. Методы, использованные в работе, могут стать основой для их исследования (в частности, дополнение классического гармонического анализа геометрическими объектами соответствующей раз- мерности: квадруполь, октуполь и т.п.).
Область применения полученных результатов
С учетом широты рассмотренного круга задач, полученные результаты могут найти применение как в теоретическом аспекте в рамках теории сол- нечного динамо и теории случайных процессов, так и в прикладном аспекте в вопросах алгоритмической обработки больших массивов наблюдательных данных.
Достоверность полученных результатов и апробация работы
В работе математический аппарат теоретической физики и фундамен- тальные физические законы использованы корректно. Всем принятым допу- щениям дано обоснование. При разработке алгоритмов численной обработки использовалось современное программное обеспечение. Все программы про- тестированы на базовых вычислительных задачах. Численное моделирование опирается на ряд известных теоретических моделей, предложенных другими авторами. Результаты, полученные численно-аналитическими способами, со- гласуются с наблюдательными данными.
Предложенные методы и полученные результаты прошли апробацию и об- суждение на международных и всероссийских конференциях 15 Symposium of Study of the Earth’s Deep Interior (2016), 11th International Conference and School Problems of Geocosmos (2017), Всероссийская школа-семинар по про- блемам палеомагнетизма и магнетизма горных пород, посвященная 100-летию со дня рождения Г. Н. Петровой (2015), Физика плазмы в Солнечной системе (2020, 2021, 2022), Всероссийская конференция “Солнечная и солнечно-земная физика” (2019, 2020), Всероссийская конференция по магнитной гидродина- мике (2018), Международная научная конференция “Ломоносовские чтения” (2019); на научных семинарах, проводимых в МГУ, ИЗМИРАН, НИВЦ МГУ.
Публикации и личный вклад автора
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 9 статьях в международных и российских научных журналах, из которых 3 входят в перечень ВАК, 5 индексируются базой данных Web of Science и 4 Scopus (в том числе 4 статьи в журналах Q1 и Q2).
Все исследования, результаты которых представлены в диссертационной работе, проведены лично автором в процессе научной деятельности. Из сов- местных публикаций в диссертационную работу включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит автору.
Структура диссертации
Диссертация состоит из 5 глав, введения и заключения. В первой главе рассмотрен вопрос о строении магнитного поля Солнца и связи его компо- нент на разных масштабах. Вторая глава посвящена исследованию крупно- масштабного поля, в частности, двум гармоникам, дающим основной вклад в его формирование — диполю и квадруполю. Проанализировано изменение величины моментов во времени и повороты магнитных структур в простран- стве. В третьей главе более подробно рассмотрено проявление только ди- польной компоненты поля Солнца — количественно оценивается асимметрия северного и южного полушария Солнца, которую можно наблюдать по сол- нечным пятнам. Четвертая глава посвящена анализу отдельно квадруполь- ного магнитного момента. Вместе с классическим гармоническим анализом предлагается использование метода тензорного анализа. В последней главе рассмотрена задача об исследовании характера процесса смены полярности магнитного диполя Земли и определения возможных периодов в этой смене. Объем диссертации составляет 128 страниц, работа содержит 35 рисунков, 2 таблицы и список литературы из 145 публикаций.