Задача Коши для полиномиальных разностных операторов и производящие функции решений с носителями в рациональных конусах

Исчисление конечных разностей — раздел математики, в котором изучают-
ся функции при дискретном изменении аргумента. Его начала содержатся
в трудах П. Ферма, И. Барроу, Г. Лейбница, и развивалось оно парал-
лельно с основными разделами математического анализа. В 18 веке теория
конечных разностей приобрела характер самостоятельной математической
дисциплины, изложение начал которой принадлежит Б. Тейлору (1717 г.),
но подлинным основателем следует все же считать Д. Стирлинга (1730 г.).
Первое систематическое исследование по теории конечных разностей было
написано Л. Эйлером в 1755 году, в нем впервые использовалось обозначе-
ние ∆ для разностного оператора.
К основным задачам теории конечных разностей относятся задачи ин-
терполирования и суммирования функций. С последней задачей тесно свя-
зана задача решения уравнений в конечных разностях. Для линейных
конечно-разностных уравнений построена теория, вполне аналогичная тео-
рии обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (см., напри-
мер, [36], [2]). Разностные уравнения в сочетании с методом производящих
функций представляют собой мощный аппарат исследования задач пере-
числительного комбинаторного анализа и в одномерном случае позволили
решить широкий круг задач (Дж. Риордан [21], Р. Стенли [23], Г. Дж. Рай-
зер [20]). Многомерный случай менее развит, отметим, например, работы
[26], [11], [12], [5], [6], [4], [9].
А. Муавр [41] рассмотрел под названием возвратных рядов степенные
ряды F (z) = a0 + a1 z + · · · + ak z k + … с коэффициентами a1 , a2 , . . . , ak , . . . ,
образующими возвратные последовательности, т. е. удовлетворяющими со-
отношению вида c0 am+p + c1 am+p−1 + · · · + cm ap = 0, p = 0, 1, 2, . . . , где
cj — некоторые постоянные. Оказалось, что такие ряды всегда изобража-
ют рациональные функции. В многомерном случае ситуация значительно
сложнее, например, уже вопрос о «запасе» решений уравнения становит-
ся нетривиальным, а производящий ряд решения разностного уравнения,
вообще говоря, расходящийся.
Сформулируем общую постановку задачи. На комплекснозначных функ-
циях f (x) = f (x1 , . . . , xn ) целочисленных переменных x1 , . . . , xn определим
операторы δj сдвига по переменным xj :