Задача о форме свободной поверхности потока идеальной жидкости над сингулярным стоком

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводи-
мых в диссертационной работе, приводится обзор научной литературы, близ-
кой к теме данной работы, формулируются цели и задачи работы, положе-
ния, выносимые на защиту, описываются методы исследования, научная и
практическая значимость, представляются структура и краткое содержание
работы.
В диссертационной работе изучается задача о форме свободной
границы течения идеальной несжимаемой жидкости. Течение вызвано
расположенным на дне в точке точечным стоком интенсивности > 0.
Рассматриваются три случая задачи, отличающиеся друг от друга только
формой дна. Для удобства в первой главе выписана общая формулировка
этих случаев.
y

gΓ
n

hCDh

lΓ0
BA
Ox

Рис. 1 — Картина течения в физической плоскости.

Параграф 1.1 посвящён математической формулировке задачи в фи-
зической плоскости. Пусть ⊂ R2 — область течения жидкости, ограничен-
ная сверху свободной границей и дном 0 снизу. Предполагается, что те-
чение симметрично относительно оси . Дно 0 имеет следующий вид: на
промежутках ( , − ) и ( + , ) дно горизонтальное, где и — бесконеч-
но удалённые точки; отрезки [ − , ] и [ , + ] имеют симметричный наклон,
− = (−ℓ cos 2 , ℓ sin 2 ) и + = (ℓ cos 2 , ℓ sin 2 ), ∈ (−1, 1) — параметр
угла наклона, ℓ — длина отрезков [ − , ] и [ , + ]. В зависимости от па-
раметра ∈ (−1, 1) рассматриваются три случая задачи: при = 0 дно
является горизонтальной прямой, при > 0 на дне образуется треугольная
впадина, в нижней точке которой находится сток, а при < 0 сток располо- жен в вершине треугольного выступа. а)б)в) Рис. 2 — Картина течений. а) при = 0; б) при > 0; в) при < 0. Задача со свободной границей течения идеальной несжимаемой жидкости при наличии точечного стока на дне имеет следующий вид: ∇ + = −+ ,(1) + = 0,(2) (︁ )︁ ( , ) +→ 0 при | | → 0, = ( , ),(3) 2 | |2 · = 0 на 0 ∖ { },(4) · = 0 на ,(5) = 0 на ,(6) ( , ) → (∓ , 0) при → ±∞,(7) (1 − ) 2 ℎ = .(8) Поле скорости = ( , ) в удовлетворяет стационарным уравнениям Эй- лера (1)–(2) для идеальной несжимаемой жидкости. На жидкость действует сила тяжести , где = — плотность жидкости, = (0, − ), — величина ускорения свободного падения, — давление. Наличие в точке точечного стока соответствует следующей асимптотике поля скорости при приближении к этой точке (3). На дне 0 за исключением точки выполня- ется условие непротекания (4). На свободной границе ставится два условия. Условие (5) заключается в том, что поле скорости является касательным к , где — вектор нормали. Условие (6) на состоит в том, что давление на постоянно и совпадает с атмосферным. Поскольку в уравнения Эйле- ра входит только градиент давления, давление определяется с точностью до произвольной постоянной. Соотношение (7) это условие на бесконечности. Предполагается, что в бесконечно удалённых точках и течение жидкости стремится к равномерному потоку глубины ℎ и постоянной скорости > 0.
Значение постоянной не может быть произвольным. В силу несжимаемости
жидкости, эта постоянная должна быть связана с интенсивностью стока соот-
ношением (8). В правой части стоит коэффициент (1− )/2, поскольку только
часть стока отводит жидкость из области . Кроме того, предполагается, что
поле скорости потенциально. То есть поле скорости жидкости находится из
условия, что его потенциал = ( , ) и функция тока = ( , ) являются
сопряженными гармоническими функциями.
В параграфе 1.2 проводится обезразмеривание и вводится число
√
Фруда Fr = / ℎ. Для краткости используется параметр = Fr2 /2.
Заметим, что условие (6) можно переписать в другой форме, не включающей
давление. Поскольку свободная граница является линией тока, на ней
справедливо уравнение Бернулли 21 | |2 + / + = , которое в силу
того, что = 0, принимает после обезразмеривания следующий вид:
ℓ )︀
| ( , )|2 + = + 1 + sin
(︀
при ( , ) ∈ .(9)
ℎ2
Далее, в этом параграфе, задача переписывается в комплексной фор-
ме. С помощью конформного отображения область течения переводится
в верхний единичный полукруг * с центром в нуле плоскости комплексного
переменного (см. рис. 3). Поскольку область является неизвестной, мы
на данном этапе не можем определить и отображение . Однако для каждой
области указанного вида такое отображение существует и определено един-
ственным образом. Отображение определяется однозначно по трём точкам
на границе, поэтому будем задавать его таким образом, чтобы точка пере-
ходила в точку * ( = 0), точка — в точку * ( = ), бесконечно удалённые
точки и — в точки * ( = 1) и * ( = −1) соответственно. В данном
случае задаются четыре точки, а не три, поскольку задача симметрична от-
носительно оси . Обозначим через обратное к отображение.
Нижняя граница 0 при отображении переходит в горизонталь-
ный диаметр 0* = [ * , * ], а свободная граница — в полуокружность
* = ∈ C | = , ∈ [0, ] . Образами точек ±* являются точки
{︀(︀ )︀}︀

± 0 , где 0 ∈ (0, 1). Значение 0 , вообще говоря, не известно и должно быть
определено в процессе решения задачи. Течение в полукруге полностью
определено и комплексный потенциал течения в * выглядит следующим
образом:
*2 (︁ 2 − 1 )︁2 (︀)︀
( ) = ln− =ln( + 1) + ln( − 1) − ln 2 − /2 .
2
Заметим, что
( )1 *
= (︀)︀( ).
( )
(︀)︀
Таким образом, если мы сможем определить функцию ( ) , то из этого
уравнения найдём и отображение .
Функция ( ) является аналитической в области и имеет полюс пер-
вого порядка в точке ( = 0). Функция ведёт себя как 1− в окрестности
точки = 0, так как область имеет в точке ( = 0) излом. Поэтому
функция ( ) является аналитической в области * и имеет особенность
(︀)︀

порядка 1 − в точке * ( = 0). При стремлении к точкам * ( = 1) и
* ( = −1) функция ( ) остаётся ограниченной и стремится к −1 и 1
(︀)︀

соответственно.
t

O
Рис. 3 — Схема течения в единичном полукруге * .

Следуя методу Леви-Чивита, определим функции
( ) ˆ + ˆ
̂︀ = ( ) ( ),

( ) = ( ) = −( + 0 )− /2 ( − 0 )− /2 −(1− ) − ( ) .
(︀)︀̂︀

Функция ̂︀ является аналитической в * , поскольку мы выделили особенно-
сти функции ( ) перед экспонентой. Отметим, что функция ˆ определена с
точностью до постоянной 2 , где — целое число. Зафиксируем одну ветвь
ˆ = 0. Кроме
этой функции, выбрав её значение в точке = 1, а именно, (1)
того,
ˆ = Im ( ( ))
( )̂︀= 0 при ∈ 0* .(10)
Поскольку * есть часть единичной окружности, точки на ней
представимы в виде = , где ∈ [0, ]. Подставив это представление в
тождество Бернулли (9) и продифференцировав по , получим:
⃒ (︀)︀
⃒ ( ) |2 ( )
+ Im= 0 при ∈ (0, ).(11)

Следы функций ˆ и ˆ на границе полукруга обозначим следующим образом:
ˆ ),
( ) = ˆ( ), ( ) = ( ∈ [0, ].
После подстановки полученных выражений в (11) и небольших преобразова-
ний, получим следующую форму уравнения Бернулли при ∈ (0, ):
−3 ( ) 3 ( )3(︀)︀
−sin (1 − ) + ( ) + ( ) ctg = 0,(12)

где
)︀2
( + 0 )( − 0 ) = ( ) ( ) = 2 ( ) 2 ( ) ,
(︀

)︀1/2
2 ( ) = | + 0 | | − 0 | = 1 + 40 − 2 20 cos 2
(︀
, > 0,(13)
1 (︀
arg( + 0 ) + arg( − 0 ) .
)︀
( ) =(14)
Функции и обладают следующими свойствами симметрии:
( − ) = ( ), ( − ) = − ( ), ∈ [0, ].(15)
Кроме того, для дальнейшего преобразования уравнения (12) нам потребу-
ется знать значения функций и в некоторых точках:
(0) = ( ) = ln(1 − 20 ) /2 , (0) = ( /2) = 0.(16)
Продолжим преобразование уравнения Бернулли. Проинтегрировав
уравнение (12) от 0 до произвольного , мы получим:
∫︁
−3 3 ( )−3 3 (0)3(︀)︀
( ) − (0) =sin (1 − ) + ( ) + ( ) ctg .
0
Заметим, что
−3 ( ) 3 ( )−3 3 ( )
(︁
′ ln ( ) )︁
= ( ) 3 ( ) − 3 ,

где ′ ( ) = ( )/ . Подставив это выражение в (12), мы придём к
уравнению типа уравнения Некрасова:
(︀)︀
ln ( )sin(1 − ) + ( ) + ( )ctg
′ ( ) = +∫︀ (︀)︀. (17)
+ 3 0 sin (1 − ) + ( ) + ( ) ctg
Уравнение Некрасова включает две неизвестные функции и , поэтому
необходимо найти ещё какое-либо соотношение, которое их связывает.
Учитывая (10) и следуя принципу симметрии Шварца, функцию ̂︀ можно
аналитически продолжить на единичный круг ∘* (| | < 1). Мы оставим за продолженными функциями прежние обозначения, а функции и будем считать заданными на отрезке [− , ]. Из принципа симметрии Шварца также следует, что (− ) = ( ), (− ) = − ( ), ∈ [− , ].(18) ̂︀ является аналитической функцией в круге ∘* , для её предель- Поскольку ных значений на окружности справедливы формулы обращения Гильберта. Мы будем использовать одну из формул обращения Гильберта, которую в силу свойств симметрии (15) и (18) можно преобразовать к виду с интегра- лом по четверти окружности: 1 /2 ∫︁ (︀)︀ ( ) = ( ) ctg( − ) − ctg( + ) .(19) 0 Заметим также, что функции и зависят от параметра 0 ∈ (0, 1), значение которого можно найти, решив следующее уравнение: 2 0 ( 20 − 2 ) /2 1 + 2 −^ ( ) ∫︁ ℓ = .(20) ℎ 0 1 − 2 Функцию ˆ можно определить в круге ∘* с помощью формулы Пуассона: (1 − | |2 ) /2 ∫︁(︂)︂ ˆ( ) = ( )+ . (21) 0| − |2 | + |2 В параграфе 1.3 приведена полная математическая формулировка задачи в терминах функций и в виде системы (13)−(21). В силу симмет- ричности течения относительно мнимой оси, задачу (1)−(8) можно сформу- лировать в терминах функций и при ∈ (0, /2). Установлено, что функция ( ) = (1 − ) + ( ) + ( ) есть угол наклона свободной границы , изображенный на рис. 4. На этом (︀)︀ рисунке также изображён касательный вектор = ̃︀ / . Из (16) / , ̃︀ вытекает, что (0) = 0 и ( /2) = /2. Из последнего, в частности, следует, что в точке над стоком образуется касп, то есть касательная к свободной границе становится вертикальной. q(σ)Г η(σ)q(σ) η(σ) Рис. 4 — Угол ( ) между осью и касательной к . Заметим, что если ( ) > /2 при ∈ (0, /2), то происходит опроки-
дывание свободной границы (см. рис. 5). Более того, опрокидывание при
близких к /2 означает, что отображения и не являются взаимно одно-
значными (см. рис. 6). Это означает, что решение системы (13)−(21), если оно
существует, не будет давать решения исходной задачи. Поэтому нам необхо-
димо показать, что такая ситуация невозможна, а именно, угол наклона ( )
свободной границы меньше /2 при ∈ (0, /2). Этот факт установлен, если
приведённое число Фруда не слишком мало (см. теорему 2.5).

Рис. 5 — Возможная формаРис. 6 — Отсутствие инъек-
свободной границы с ( 0 ) > /2тивности отображений и в
для некоторых 0 ∈ (0, /2).случае опрокидывания при
близких к /2.
Кроме того, в этом параграфе показано, как определяется поле
скорости после нахождения функций и . Для этого необходимо провести
дополнительные построения. Используя значения функций и на всём
ˆ
отрезке [0, 2 ], найдём гармонические в единичном круге ∘* функции ˆ и ,
которые на границе круга равны и соответственно. В круге ∘* определим
функции ( ),
̂︀ ( ), * ( ), * ( ) и, используя соотношения
( ) * ( )̂︀ ( + 0 )
2 ( ) /2
( − 0 ) /2 2 + 1
==− и (0) = 0,
( ) 2 − 1
найдём отображение = ( ). Далее, определим отображение ( ), решив
следующую задачу:
( ) (︁ ′ )︁−1 ⃒⃒
= ( )и (0) = 0.

⃒
= ( )
После этого находим комплексный потенциал и поле комплексной скорости
в плоскости переменной :
( )
( ) = * ( ) и ( ) =
(︀)︀
.

В параграфе 1.4 получена эквивалентная формулировка систе-
мы (13)−(21) в виде операторного уравнения в гильбертовом пространстве.
Введём функцию:

( ) = 3 ′ ( ) −ln 3 ( ).(22)

Тогда функция (22) удовлетворяет уравнению
= ( ),(23)

где — нелинейный оператор, определённый следующим образом
3 sin + ( ) + 31 ( )( ) ctg
(︀)︀
( )( ) =∫︀ ,(24)
exp 0
1 /2
∫︁⃒ sin( + ) ⃒
( )( ) = ( , ) ( ) , ( , ) = ln ⃒⃒, (25)
⃒⃒
0sin( − )
(︁ )︁
( ) = 2( ( ) − ) = 2 ln ( ), ∈ (0, /2].(26)

Будем искать решения уравнения (23) в банаховом пространстве 2 (0, /2)
с нормой
(︁ ∫︁ /2)︁1/2
‖ ‖ =| ( )| .
Далее, из соображений краткости, будем обозначать 2 (0, /2) через 2 .
В этом параграфе выведены свойства функции . Функция ( ) > 0
при ∈ (0, /2), (0) = ( /2) = 0 и tg ( /4) = 20 . Функция является во-
гнутой на интервале (0, /2) и зависит от параметра 0 . Кроме того, доказаны
некоторые вспомогательные утверждения и получены оценки оператора .
Во второй главе проводится исследование разрешимости задачи со
свободной границей и точечным стоком на плоском горизонтальном дне, то
есть при = 0 (см. рис. 2а). В этом случае операторное уравнение (23) для
системы (13)−(21) примет следующий вид:
= ( ),(27)
3 sin + 13 ( )( ) ctg
(︀)︀
( )( ) =∫︀ , ∈ (0, /2].(28)
exp 0
В параграфе 2.1 с помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке
доказано существование решения уравнения (27) для чисел Фруда, превыша-
ющих некоторое конкретное значение.
(︁)︁
Теорема 2.1. Для любого ≥ 1 + 3√ ≈ 0,76 существует неотрица-
тельная функция ∈ 2 , удовлетворяющая уравнению (27). Эта функция
удовлетворяет оценкам:
√
19
0 ≤ + ( )( ) 6 почти для всех ∈ (0, /2), ‖ ‖ 6.
Затем с помощью принципа сжимающих отображений доказывается
единственность решения операторного уравнения (27) для несколько бóльших
чисел Фруда.
Теорема 2.2. Для любого > 8/ ≈ 2,55 существует единственная неот-
рицательная функция ∈ 2 , удовлетворяющая уравнению (27).
В параграфе 2.2 проведено исследование гладкости решения,
формы свободной границы и её асимптотики вблизи точки над стоком. Как
было сказано ранее, решение исходной задачи может быть построено, если
мы знаем функции и . Предположим, что * ∈ 2 является неотрицатель-
ным решением операторного уравнения (27), существование которого было
доказано в предыдущем параграфе. Определим функции и следующим
образом:
( ) = ( * )( ), ′ ( ) = * ( ), ∈ (0, /2).(29)
Эти формулы полностью соответствуют обозначениям, введённым ранее. За-
метим, что у нас есть дифференциальное уравнение для функции , по этой
причине нам нужно граничное условие (0) = 0, которое берётся из (16).
Функции и , определённые выше, удовлетворяют уравнениям (17) и (19).
Теорема 2.3. Пусть и — функции, определённые в (29). Тогда
√
1. ( ′ sin )′ ∈ 2 , ‖( ′ sin )′ ‖ 6 7/( ), ∈ 1,1/2 [ , /2] для всех ∈
(0, /2) и ′ ( /2) = 0;
√
2. ( ′ sin )′ ∈ 2 , ‖( ′ sin )′ ‖ 6 7/( ) и ∈ 1,1/2 [ , /2] для всех ∈
(0, /2).
Эта теорема устанавливает гладкость функций и на [ , /2] для
любого ∈ (0, /2). Однако условия симметрии (15) и (18) позволяют нам
определить эти функции также на [0, ]. Таким образом, , ∈ 1,1/2 [ , − ]
для любого ∈ (0, /2). Гладкость функций и может быть дополнительно
улучшена. C помощью теоремы Х. Леви об аналитическом продолжении до-
казано, что свободная граница является аналитической всюду, кроме точки
над стоком, где она имеет касп.
Теорема 2.4. Функции и являются аналитическими на (0, ).
Чтобы показать, что конформное отображение является взаимно одно-
значным и существует решение исходной задачи, было установлено при каких
значениях числа Фруда не происходит опрокидывания свободной границы.
√
Теорема 2.5. Если > 5/ 8 ≈ 1,768, то ( ) < /2 для всех ∈ (0, /2). Кроме того, в этом параграфе исследованы асимптотики угла наклона и формы свободной границы при приближении к точке над стоком. √ Теорема 2.6. Если > 0 = 5/ 8, то есть удовлетворяет тому же
неравенству, что и в теореме 2.5, то

( ) = /2 − ( /2 − ) + ( /2 − ) при → /2− ,
где ∈ [1 − 0 / , 1] является константой.
√
Теорема 2.7. Пусть выполняется условие теоремы 2.6, то есть > 5/ 8.
Если свободная граница описывается уравнением = ( ) для ≥ 0 с
некоторой функцией , тогда

( ) = 0 + 2/3 + ( 2/3 ) при → 0,(30)
где 0 = ( /2)
̃︀является -координатой точки, в которой находится касп,
√
= 32/3 0 /(2 2/3 ), 0 = − ( /2) , и определяется в теореме 2.6.
В третьей главе задача со свободной границей рассматривается в
случае, когда сток находится в треугольной впадине на дне, то есть при
> 0 (см. рис. 2б). Формулировка операторного уравнения в этом случае
полностью совпадает с формулировкой уравнения (23). Мы хотим доказать,
что существует положительное решение операторного уравнения (23). Но
поскольку в операторе из (23) значение функции синус может быть
отрицательным, мы рассмотрим вспомогательную задачу:
( ) = ,(31)
3 sin ( + ( ) + 31 ( )) ctg
(︀)︀
( )( ) =∫︀ , ∈ (0, /2),(32)
exp 0 ( )
⎧
⎪
⎪
⎪0, 6 0,
⎨
( ) = /2, > /2,(33)
⎪
⎪
⎩ ,
⎪
иначе.
Для доказательства разрешимости сначала в параграфе 3.1 устанавлива-
ется разрешимость вспомогательной задачи со срезкой.
Теорема 3.1. Для произвольных 0 ∈ (0, 1), ∈ (0, 1) и > 8/ ≈ 2,55
существует единственная неотрицательная функция * ∈ 2 , удовлетво-
ряющая уравнению (31), и справедлива оценка:
(︂√ )︂
12 2
‖ * ‖ <1 + 2 +. 21 − 20 В параграфе 3.2 показано, что при определённых условиях от срез- ки можно отказаться и не происходит опрокидывания свободной границы, поскольку функция ( ) < /2 для всех ∈ (0, /2). Теорема 3.2. Для любого > max{ 1 , 2 }, где
√
1 + 20
(︂√)︂
+ 1/6 + 1/3 4
1 =√+ √+,
2 2 3 1 − 20 1 + 20 − 2 20
√
2 1 + 2 + 2 2 /(1 − 20 )
2 = +,
3/2 /2 − 2 1/2 ( /4)
функция ( ) < /2 для всех ∈ (0, /2). В параграфе 3.3 доказано, что решение * ∈ 2 операторного уравнения (23) зависит непрерывно в 2 от параметров ( 0 , , ) ∈ Ω+ , где {︀(︀)︀}︀ Ω+ = ( 0 , , ) | 0 , ∈ (0, 1), ∈ 8/ , +∞ . Чтобы решить исходную задачу (13)−(21), нужно определить параметр 0 , являющийся решением уравнения (20) при фиксированных и . Для краткости, перепишем уравнение (20) в следующем виде: ℓ = + ( 0 , , ),(34) ℎ где 2 0 ( 20 − 2 ) /2 1 + 2 −^ ( ) ∫︁ + ( 0 , , ) = . 0 1 − 2 Установлено, что функция + : Ω+ → R непрерывна, и доказана теорема: Теорема 3.3. Существует такая положительная ограниченная функция + : [0, 1] × (0, 1) → R, что при выполнении условий > 8/ , ∈ (0, 1)
и 0 < ℓ/ℎ < max 0 ∈(0,1) + ( , 0 ), найдётся параметр *0 ∈ (0, 1), который удовлетворяет уравнению (34). Таким образом, мы можем перейти от задачи (31) к операторному уравнению (23), которое эквивалентно исходной задаче (13)−(21) при > 0.
Тогда из теорем 3.1−3.3 следует, что существует решение задачи с точечным
стоком во впадине на дне канала.
В четвёртой главе задача со свободной границей рассматривается
в случае, когда точечный сток находится в вершине треугольного выступа
на дне, то есть случай, когда < 0 (см. рис. 2в). Для удобства введём новый параметр * > 0, такой что * = − и * ∈ (0, 1). Тогда формулировка
операторного уравнения (23) в этом случае примет следующий вид:
= ( ),(35)
3 sin − * ( ) + 13 ( )( ) ctg
(︀)︀
( )( ) =∫︀ , ∈ (0, /2].(36)
exp 0
В параграфе 4.1 для доказательства разрешимости операторного
уравнения (35) используется условие * ( ) 6 для ∈ [0, /2]. Это усло-
вие связано не с механическими, а с математическими трудностями, возни-
кающими при решении задачи.
Теорема 4.1. Пусть * ( ) 6 для ∈ [0, /2]. Для любого > 8/ ≈ 2,55
существует единственная неотрицательная функция * ∈ 2 , удовлетво-
ряющая уравнению (35), и для неё справедливы оценки:
1 (︀
0 6 − * ( ) + * ( ) 6 при ∈ [0, /2],
)︀
(37)
3 √
9 6 *
‖ * ‖ 6+ √ ( /4).(38)
2
В параграфе 4.2 показано, что решение операторного уравнения
непрерывно зависит от параметра, характеризующего треугольный выступ, и
доказано, что при определённых значениях исходных параметров существует
решение исходной задачи. Введём множество
)︀ * 1 − 20
{︂⃒}︂
* ⃒*
(︀
Ω− = ( 0 , , ) ⃒ 0 , ∈ (0, 1), ∈ 8/ , +∞ , 6.
2 20
Неравенство на * , фигурирующее в определении множества Ω− , есть усло-
вие, эквивалентное условию * ( ) 6 для ∈ [0, /2] из теоремы 4.1. Уста-
новлено, что решение * ∈ 2 операторного уравнения (35) зависит непрерыв-
но в 2 от параметров ( 0 , , * ) ∈ Ω− .
Для того чтобы решить исходную задачу, нам необходимо определить
параметр 0 , являющийся решением уравнения (20) при фиксированных и
< 0. Обозначим это решение через *0 . Уравнение (20) при = − * , где * ∈ (0, 1), перепишется в следующем виде: ℓ = − ( 0 , , * ),(39) ℎ где* 0 1 + 2 −^ ( ) ∫︁ − ( 0 , , * ) = . 0( 20 − 2 ) * /2 1 − 2 Установлено, что функция − : Ω− → R непрерывна, и доказана теорема: Теорема 4.2. Существует такая положительная строго убывающая функция − : (0, 1] → R, что: 1. − ( * ) → +∞ при * → 0 и − (1) ≈ 0,135; 2. если > 8/ , * ∈ (0, 1) и 0 < ℓ/ℎ < − ( * ), то найдётся параметр *0 , такой что ( *0 , , * ) ∈ Ω− и удовлетворяющий уравнению (39). В параграфе 4.3 проведено исследование формы свободной грани- цы. Установлено, что не происходит опрокидывания свободной границы при заданных числах Фруда. Теорема 4.3. Для любого > (2/ + 4 −3/2 ) ≈ 1,355 функция ( ) < /2 для всех ∈ (0, /2). Таким образом, из теорем 4.1−4.3 следует, что решение задачи с то- чечным стоком в вершине треугольного выступа существует и не происходит опрокидывания свободной границы. Благодарности Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Старовойтову Виктору Николаевичу за постоянное внимание к работе, под- держку и ценные советы.