Анализ корневого робастного качества систем автоматического управления с аффинной неопределенностью параметров

Использование механического и электрического оборудования для
автоматизации современных технологических процессов требует наибольшего
учета функций контролируемого объекта. В процессе работы системы
автоматического управления параметры объекта могут изменяться, в том числе
контролируемые и переменные параметры. Речь идет о технических объектах,
таких как манипуляторы, промышленные роботы, станки с ЧПУ, вес груза
крана или длина кабеля, бумагоделательные машины и т. д .; или некоторые
параметры, которые невозможно или нецелесообразно измерить и
контролировать (например, окружающая среда, температура воздуха,
активность катализатора, хладагент, концентрация вещества в среде и т. д.).
Каждый из них может изменяться в определенном диапазоне. Измерять эти
параметры невозможно или непрактично, но диапазон изменения известен.
Этот тип объекта состоит в том, что параметр интервала изменяется в
определенном диапазоне по ранее неизвестным законам [1,2].
Разработчикам САУ с такими объектами необходимо решить задачу
анализа устойчивости системы при изменении параметров объекта в известном
диапазоне. Если САУ остается устойчивой при любых значениях параметров из
заданного диапазона, то можно сказать, что она имеет робастную устойчивость.
В этом случае основными показателями робастной устойчивости являются:
степень робастной устойчивости и степень робастной колебательности. Первый
показатель соответствует минимальной устойчивости САУ при изменении
параметров, а второй – максимальной ее колебательности. Система с такими
параметрами называется интервальной системой автоматического
регулирования (ИС).
В настоящее время для решения проблем неопределенности обычно
используются три метода: теория случайных чисел, теория нечетких множеств
и интервальный анализ [3]. При использовании теории случайных чисел или
теории нечетких множеств для решения проблемы необходимо знать функцию
плотности вероятности или функцию принадлежности параметра
неопределенности. На практике эти функции часто трудно определить и часто
выбираются искусственно. Поэтому для решения этой задачи предлагается
использовать корневой метод определения робастных показателей качества. В
случае возникновения проблем можно уменьшить влияние человеческого
фактора и повысить надежность результатов анализа. Суть расчета
интервальной системы автоматического регулирования заключается в решении
линейного уравнения.
Предположим, что линейная ИС состоит из следующей передаточной
функции:
1 ( , )
( ) =
2 ( , )
где ∈ [ , ], ∈ , ,
Передаточная функция состоит из двух многочленов, числителя
1 ( , ) и знаменателя 2 ( , ) в зависимости от вектора формирования
параметра интервала интервальный коэффициент может образовывать
прямоугольный гиперпараллелепипед с 2 вершинами.
Интервал параметра приводит к типу неопределенности его
характерных множественных паттернов: его коэффициент может
использоваться как интервал как функция интервала:
 интервальная неопределенность;
 аффинная неопределенность;
 полилинейная неопределенность;
 полиномиальная неопределенность.
Ниже приведены четыре типа неопределенности для многочленов.
Используйте систему второго порядка для классификации и предоставления
примеров характеристических многочленов по типам неопределенности. [1,12]
Интервальная неопределенность – коэффициенты полинома являются
интервальными параметрами：
2 s 2 + 1 + 0 , ∈ [ , ]
Аффинная неопределенность – коэффициенты полинома образованы
суммой или разностью интервальных параметров:
( 2 + 1 + 0 )s 2 + (4 3 + 4 2 + 1 ) + 5 2 − 2 1 , ∈ [ , ]
Полилинейная неопределенность – коэффициенты полинома линейно
зависят от каждого параметра, если остальные параметры фиксированы:
( 2 0 + 1 )s 2 + (4 2 1 + 2 0 ) + 5 2 0 − 2 1 , ∈ [ , ]
Полиномиальная неопределенность – коэффициенты полинома зависят
полиномиально хотя бы от одного параметра:
(10 22 )s 2 + (4 2 1 + 2 0 2 ) + 5 2 + 2 1 + 0 , ∈ [ , ]
В работе рассматривается система автоматического управления
аффинной неопределенностью с характеристическим полиномиальным
интервалом, вводится интервальный алгоритм, отображение интервального
характеристического полинома и его корневого множества в комплексной
плоскости. Проанализирован метод определения корневых показателей
качества САУ.
Реберная теорема используется для анализа корневого индекса качества
системы с аффинной неопределенностью. На основе программы python процесс
оптимизации нахождения робастных корневых показателей качества САУ
реализуется через методику половинного деления (дихотомию). Это
значительно ускоряет процесс расчета, повышает точность расчета и сокращает
время расчета.
1 Теория робастного управления
Метод параметров, основанный на теории интервалов, является важной
областью исследований робастного управления. В случае известных границ
изменения параметров, теория интервальной корреляции может быть
использована для описания математической модели объектов с
неопределенными параметрами. Такие системы обычно называют
интервальными системами. Исследования интервальных систем в основном
сосредоточены на теории полиномиальной и матричной устойчивости
[4].Кроме того, некоторые ученые предложили алгоритмы, основанные на
интервальном анализе, для анализа и синтеза более сложных систем, связанных
с интервальными параметрами.