Выпускная квалификационная работа (магистерская диссертация) студента 2 курса магистратуры (кафедра теории систем управления электрофизической аппаратурой ф-та ПМ-ПУ СПбГУ) Абрамяна Эдуарда Робертовича «Численное интегрирование уравнений динамики степенными рядами». Рассматривается интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка в вещественной области. Обсуждаются некоторые проблемы уравнений Пенлеве. Рассматривается общая задача Коши для полиномиальных систем.

При написании настоящего раздела мы использовали вводную статью из раздела 32 источника NIST (National Institute) [72] и статью Питера Кларксона [33].
Актуальность темы исследования. Согласно Ивасаки и др. [46], уравнения Пенлеве являются «важнейшими нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями», и, по мнению многих специалистов, «в течении XXI века функции Пенлеве станут новыми членами сообщества специальных функций», войдя в ядро современной теории специальных функций. Это предсказание подтвердилось на практике: уравнения Пенлеве стали разделом в цифровой библиотеке математических функций NIST [72]. Функции Пенлеве значительно расширили роль классических специальных функций, таких как Эйри, Бесселя, Эрмита, Лежандра и т.д., которые были введены в рассмотрение в 19 веке. Все чаще обнаруживалось, что решения многих важных научных проблем (теория рассеяния нейтронов, специальные решения уравнений в частных производных, нелинейные волновые уравнения, волоконная оптика, транспортные задачи, комбинаторика, случайные матрицы, квантовая гравитация и теория чисел), так или иначе, оказывались связанными с шестью уравнениями Пенлеве, представленными им в 1898 году [58].
В 2019 году автор статьи NIST [72] по уравнениям Пенлеве Питер Кларксон [33] отметил, что одной из важнейших проблем он считает разработку современных высокоточных численных методов решения и проведение соответствующих численных экспериментов – как в комплексной, так и в вещественной области и, особенно, в окрестности особых точек (полюсов). Одним из наиболее высокоточных методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений как в комплексной, так и в вещественной области, являются методы рядов Тейлора высоких порядков (в работе Л.К. Бабаджанянца и Большакова в программе TSMR и TSMC предусмотрено использование порядков до шестидесятого, а в реальных примерах оптимальными оказались 36-37 порядки, в том время как в большинстве работ по методам Тейлора использовались порядки ≈ 8-10).
Таким образом, поставленная выше проблема в нашей ВКР является актуальной и представляет значительный прикладной интерес.
Объектом исследования в данной работе являются уравнения Пенлеве.
Предметом исследования выступают численные эксперименты с уравнениями Пенлеве в полиномиальной форме в вещественной области, и в частности, в окрестности особых точек.

В главе 1 был рассмотрен подход к построению полиномиальной системы [67, 68, 69] и 3 примера сведения системы к полиномиальной форме. В главе 2 были рассмотрены шесть уравнений динамики и сведены к полиномиальной форме, результаты представлены в пункте 2.1. В главе 3 был рассмотрен алгоритм метода рядов Тейлора [67]. Были составлены оболочки и схемы, необходимые для нахождения коэффициентов Тейлора для случая шести уравнений динамики. В главе 4 рассмотрена теорема об оценке погрешности метода рядов Тейлора [68] и получены оценки для шести уравнений динамики. В главе 5 кратко описана реализация метода рядов Тейлора, предложенная в статье [69]. В главе 6 предложены численные эксперименты для третьего уравнения динамики. Таким образом, автором в настоящей работе получены следующие новые результаты:
Каждое из шести уравнений динамики сведено к полиномиальной системе обыкновенных дифференциальных уравнений (параграф 2.2, стр. 10 – 13).
Построены оболочки и схемы для каждой из этих систем, позволяющие применить рекуррентные соотношения для коэффициентов Тейлора ([32], параграф 3.1, стр. 13 – 14), см. параграф 3.2, стр. 15 – 17.
Для каждой из этих систем при помощи теоремы об оценке погрешности ([32], см. параграф 4.1 – 4.2, стр. 18 – 20) получены априорные гарантированные оценки абсолютной и относительной погрешности решения задачи Коши, см. параграф 4.3, стр. 20 – 24.
При помощи программы TSMR [69] и на основе полученных схем и формул для коэффициентов Тейлора проведены численные эксперименты решения задачи Коши для простейшего квадратичного уравнения (см. Таблица 1, стр. 29) и системы полиномиальных уравнений для третьего уравнения Пенлеве (см. Таблица 2, стр. 30). Полученные эксперименты показали преимущества примененного метода решения полиномиальной задачи Коши в окрестности особых точек.

Ablowitz M.J., Clarkson P.A., Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering, London Mathematical Society Lecture Note Series, Vol. 149, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
Ablowitz M.J., Ramani A., Segur H., A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type. I, J. Math. Phys. 21 (1980), 715–721.
Ablowitz M.J., Ramani A., Segur H., Nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of Painlev´e type, Lett. Nuovo Cimento 23 (1978), 333–338.
Abramov A. A., Yukhno L. F. A method for calculating the Painlev´e transcendents // Computational mathematics and mathematical physics. 2015. №. 93. P. 262–269.
Abramov A. A., Yukhno L. F. A method for the numerical solution of the Painlev´e equations // Computational mathematics and mathematical physics. 2013. № 53. P. 540–563.
Abramov A. A., Yukhno L. F. Numerical solution of the Cauchy problem for Painlev´e III // Computational mathematics and mathematical physics. 2012. № 48. P. 909–918.
Abramov A. A., Yukhno L. F. Numerical solution of the Cauchy problem for the Painlev´e I and II equations. Computational mathematics and mathematical physics. 2012. № 52. P. 321–329.
Abramov A. A., Yukhno L. F. Numerical solution of the Painlev´e IV equation // Computational mathematics and mathematical physics. 2012. № 52. P. 1565–1573.
Abramov A. A., Yukhno L. F. Numerical solution of the Painlev´e V equation // Computational mathematics and mathematical physics. 2013. № 53. P. 44–56.
Abramov A. A., Yukhno L. F. Numerical solution of the Painlev´e VI equation // Computational mathematics and mathematical physics. 2013. № 53. P. 180–193.
Bagderina Yu.Yu., Equivalence of second-order ODEs to equations of first Painlev´e equation type, Ufa Math. J. 7 (2015), 19–30.
Bagderina Yu.Yu., Equivalence of second-order ordinary differential equations to Painlev´e equations, Theoret. and Math. Phys. 182 (2015), 211–230.
Bagderina Yu.Yu., Equivalence of third-order ordinary differential equations to Chazy equations I–XIII, Stud. Appl. Math. 120 (2008), 293–332.
Bagderina Yu.Yu., Invariants of a family of scalar second-order ordinary differential equations, J. Phys. A: Math. Theor. 46 (2013), 295201, 36 pages.
Bagderina Yu.Yu., Invariants of a family of scalar second-order ordinary differential equations for Lie symmetries and first integrals, J. Phys. A: Math. Theor. 49 (2016), 155202, 32 pages.
Bagderina Yu.Yu., Tarkhanov N.N., Solution of the equivalence problem for the third Painlev´e equation, J. Math. Phys. 56 (2015), 013507, 15 pages.
Barashenkov I.V., Pelinovsky D.E., Exact vortex solutions of the complex sine-Gordon theory on the plane, Phys. Lett. B 436 (1998), 117–124.
Bassom A.P., Clarkson P.A., Law C.K., McLeod J.B., Application of uniform asymptotics to the second Painlev´e transcendent, Arch. Rational Mech. Anal. 143 (1998), 241–271, arXiv:solv-int/9609005.
Berth M., Czichowski G., Using invariants to solve the equivalence problem for ordinary differential equations, Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 11 (2001), 359–376.
Bertola M., Bothner T., Zeros of large degree Vorob’ev–Yablonski polynomials via a Hankel determinant identity, Int. Math. Res. Not. 2015 (2015), 9330–9399, arXiv:1401.1408.
Bertola M., On the location of poles for the Ablowitz–Segur family of solutions to the second Painlev´e equation, Nonlinearity 25 (2012), 1179–1185, arXiv:1203.2988.
Bogatskiy A., Claeys T., Its A., Hankel determinant and orthogonal polynomials for a Gaussian weight with a discontinuity at the edge, Comm. Math. Phys. 347 (2016), 127–162, arXiv:1507.01710.
Bornemann F., On the numerical evaluation of distributions in random matrix theory: a review, Markov Process. Related Fields 16 (2010), 803–866, arXiv:0904.1581.
Bornemann F., On the numerical evaluation of Fredholm determinants, Math. Comp. 79 (2010), 871–915, arXiv:0804.2543. [28] Bothner T., Transition asymptotics for the Painlev´e II transcendent, Duke Math. J. 166 (2017), 205–324, arXiv:1502.03402.
Bothner T., Its A., The nonlinear steepest descent approach to the singular asymptotics of the second Painlev´e transcendent, Phys. D 241 (2012), 2204–2225.
Boutroux P., Recherches sur les transcendantes de M. Painlev´e et l’´etude asymptotique des ´equations diff´erentielles du second ordre, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3) ´ 30 (1913), 265–375.
Boutroux P., Recherches sur les transcendantes de M. Painlev´e et l’´etude asymptotique des ´equations diff´erentielles du second ordre (suite), Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3) ´ 31 (1914), 99–159. [32] Buckingham R.J., Miller P.D., Large-degree asymptotics of rational Painlev´e-II functions: noncritical behaviour, Nonlinearity 27 (2014), 2489–2578, arXiv:1310.2276.
Buckingham R.J., Miller P.D., Large-degree asymptotics of rational Painlev´e-II functions: critical behaviour, Nonlinearity 28 (2015), 1539–1596, arXiv:1406.0826.
Casini H., Fosco C.D., Huerta M., Entanglement and alpha entropies for a massive Dirac field in two dimensions, J. Stat. Mech. Theory Exp. 2005 (2005), P07007, 16 pages, arXiv:cond-mat/0505563.
Casini H., Huerta M., Analytic results on the geometric entropy for free fields, J. Stat. Mech. Theory Exp. 2008 (2008), P01012, 9 pages, arXiv:0707.1300.
Casini H., Huerta M., Entanglement and alpha entropies for a massive scalar field in two dimensions, J. Stat. Mech. Theory Exp. 2005 (2005), P12012, 17 pages, arXiv:cond-mat/0511014.
Claeys T., Kuijlaars A.B.J., Vanlessen M., Multi-critical unitary random matrix ensembles and the general Painlev´e II equation, Ann. of Math. 168 (2008), 601–641, arXiv:math-ph/0508062.
Clarkson P. Open problems for Painlev´e Equations // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2019. № 15. P. 1-20.
Clerc M.G., D´avila J.D., Kowalczyk M., Smyrnelis P., Vidal-Henriquez E., Theory of light-matter interaction in nematic liquid crystals and the second Painlev´e equation, Calc. Var. Partial Differential Equations 56 (2017), Art. 93, 22 pages, arXiv:1610.03044.
Conte R., Musette M., The Painlev´e handbook, Springer, Dordrecht, 2008
Dai D., Hu W., Connection formulas for the Ablowitz–Segur solutions of the inhomogeneous Painlev´e II equation, Nonlinearity 30 (2017), 2982–3009, arXiv:1611.05285.
Dai D., Hu W., On the quasi-Ablowitz–Segur and quasi-Hastings–McLeod solutions of the inhomogeneous Painlev´e II equation, Random Matrices Theory Appl. 7 (2018), 1840004, 13 pages, arXiv:1708.09357.
Fornberg B., Weideman J. A numerical methodology for the Painleve equations // Oxford Centre for Collaborative Applied Mathematics. Oxford Mathematical Institute. England, 2011. 23 p.
Fornberg B., Weideman J.A.C., A computational exploration of the second Painlev´e equation, Found. Comput. Math. 14 (2014), 985–1016.
Fornberg B., Weideman J.A.C., A computational overview of the solution space of the imaginary Painlev´e II equation, Phys. D 309 (2015), 108–118.
Gariel J., Marcilhacy G., Santos N.O., Parametrization of solutions of the Lewis metric by a Painlev´e transcendent III, J. Math. Phys. 47 (2006), 062502, 5 pages, arXiv:gr-qc/0012004.
Garnier R., Sur des ´equations diff´erentielles du troisi`eme ordre dont l’int´egrale g´en´erale est uniforme et sur une classe d’´equations nouvelles d’ordre sup´erieur dont l’int´egrale g´en´erale a ses points critiques fixes, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3) ´ 29 (1912), 1–126.
Gromak V.I., Laine I., Shimomura S., Painlev´e differential equations in the complex plane, De Gruyter Studies in Mathematics, Vol. 28, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2002.
Hisakado M., Unitary matrix models and Painlev´e III, Modern Phys. Lett. A 11 (1996), 3001–3010, arXiv:hep-th/9609214.
Ince E.L., Ordinary differential equations, Dover Publications, New York, 1944.
Iwasaki K., Kimura H., Shimomura S., Yoshida M. From Gauss to Painleve.A modern theory of special functions. Braunschweig, 1991. 347 p.
Kitaev A.V., Vartanian A.H., Connection formulae for asymptotics of solutions of the degenerate third Painlev´e equation. I, Inverse Problems 20 (2004), 1165–1206, arXiv:math.CA/0312075.
Kitaev A.V., Vartanian A.H., Connection formulae for asymptotics of solutions of the degenerate third Painlev´e equation: II, Inverse Problems 26 (2010), 105010, 58 pages, arXiv:1005.2677.
Kruskal M.D., Clarkson P.A., The Painlev´e–Kowalevski and poly-Painlev´e tests for integrability, Stud. Appl. Math. 86 (1992), 87–165.
Kruskal M.D., Joshi N., Halburd R., Analytic and asymptotic methods for nonlinear singularity analysis: a review and extensions of tests for the Painlev´e property, in Integrability of Nonlinear Systems (Pondicherry, 1996), Editors Y. Kosmann-Schwarzbach, B. Grammaticos, K.M. Tamizhman, Lecture Notes in Phys., Vol. 495, Springer, Berlin, 1997, 171–205, arXiv:solv-int/9710023.
Lund F., Example of a relativistic, completely integrable, Hamiltonian system, Phys. Rev. Lett. 38 (1977), 1175–1178.
Lund F., Regge T., Unified approach to strings and vortices with soliton solutions, Phys. Rev. D 14 (1976), 1524–1535.
Mugan U., Jrad F., Non-polynomial third order equations which pass the Painlev´e test, Z. Naturforsch. A 59 (2004), 163–180.
Ohyama Y., Kawamuko H., Sakai H., Okamoto K., Studies on the Painlev´e equations. V. Third Painlev´e equations of special type PIII(D7) and PIII(D8), J. Math. Sci. Univ. Tokyo 13 (2006), 145–204.
Ohyama Y., Okumura S., A coalescent diagram of the Painlev´e equations from the viewpoint of isomonodromic deformations, J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006), 12129–12151, arXiv:math.CA/0601614.
Olver F. W. J., Lozier D. W., Boisvert R. F., Clark C. W. NIST handbook of mathematical functions. Cambridge, 2010. https://dlmf.nist.gov/ available at 07. 06. 2019.
Olver F.W.J., Lozier D.W., Boisvert R.F., Clark C.W. (Editors), NIST handbook of mathematical functions, Cambridge University Press, Cambridge, 2010, Release 1.0.21 of 2018-12-15 available at .
Painlev´e P. Sur les ´equations diff´erentielles du second ordre `a points critiques fix´es // Comptes rendus de l’Académie des Sciences. 1898. № 127, p. 945–948.
Painlev´e P., Sur les ´equations diff´erentielles du second ordre `a points critiques fix´es, C. R. Acad. Sci. Paris 127 (1898), 945–948.
Pohlmeyer K., Integrable Hamiltonian systems and interactions through quadratic constraints, Comm. Math. Phys. 46 (1976), 207–221.
ru.wikipedia.org/wiki/Проблемы_Гильберта, доступ от 07. 06. 2019.
Sakai H. Rational surfaces associated with affine root systems and geometry of the Painlev´e equations // Computational mathematics and mathematical physics. 2001. № 220. P. 165–229.
Sakai H., Rational surfaces associated with affine root systems and geometry of the Painlev´e equations, Comm. Math. Phys. 220 (2001), 165–229.
Tracy C.A., Widom H., Random unitary matrices, permutations and Painlev´e, Comm. Math. Phys. 207 (1999), 665–685, arXiv:math.CO/9811154.
Troy W.C., The role of Painleve II in predicting new liquid crystal self-assembly mechanisms, Arch. Ration. Mech. Anal. 227 (2018), 367–385.
Van Assche W., Orthogonal polynomials and Painlev´e equations, Australian Mathematical Society Lecture Series, Vol. 27, Cambridge University Press, Cambridge, 2018.
Бабаджанянц Л. К. // Вестник СПбГУ. Серия 10. 2010. № 1. С. 3-11.
Бабаджанянц Л. К.  // Вестник СПбГУ. Серия 10. 2010. № 3. С. 13 – 29.
Бабаджанянц Л. К., Большаков А. И.  // Вычислительные методы и программирование. Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ им. М.В. Ломоносова. 2012. Т. 13. С. 497-510.
Бабаджанянц Л. К., Брэгман К. М.  // Вестник СПбГУ. Серия 10. 2012. № 2. C. 3-12.
Кудряшов Н. А. Свойство Пенлеве в теории дифференциальных уравнений // Соросовский образовательный журнал. 1999. №9. С. 118-122.
Ссылка на NIST: https://dlmf.nist.gov/32.2 доступ от: 07. 06. 2019.
Цегельник В. В. Некоторые аналитические свойства решений уравненийПенлеве-типа и некоторые их приложения // Доклады БГУИР. 2007. № 2. С. 17.
Цегельник В. В. О полиномиальных гамильтонианах, ассоциированных с первым уравнением Пенлеве // Доклады БГУИР. 2004. № 1. С. 64-72.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?

Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

Последние выполненные заказы

Хочешь уникальную работу?

Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных с... Читать все

Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных статей в области экономики.

#Кандидатские #Магистерские

56 Выполненных работ

Выполняю работы по экономическим дисциплинам. Маркетинг, менеджмент, управление персоналом. управление проектами. Есть опыт написания магистерских и кандидатских диссе... Читать все

#Кандидатские #Магистерские

31 Выполненная работа

Имеется большой опыт написания творческих работ на различных порталах от эссе до кандидатских диссертаций, решения задач и выполнения лабораторных работ по любым напра... Читать все

Имеется большой опыт написания творческих работ на различных порталах от эссе до кандидатских диссертаций, решения задач и выполнения лабораторных работ по любым направлениям физики, математики, химии и других естественных наук.

#Кандидатские #Магистерские

5 Выполненных работ

Специальность "Государственное и муниципальное управление" Кандидатскую диссертацию защитил в 2006 г. Дополнительное образование: Оценка стоимости (бизнеса) и госфин... Читать все

Специальность "Государственное и муниципальное управление" Кандидатскую диссертацию защитил в 2006 г. Дополнительное образование: Оценка стоимости (бизнеса) и госфинансы (Казначейство). Работаю в финансовой сфере более 10 лет. Банки,риски

#Кандидатские #Магистерские

123 Выполненных работы

Работаю только по книгам, учебникам, статьям и диссертациям. Никогда не использую технические способы поднятия оригинальности. Только авторские работы. Стараюсь учитыв... Читать все

Работаю только по книгам, учебникам, статьям и диссертациям. Никогда не использую технические способы поднятия оригинальности. Только авторские работы. Стараюсь учитывать все требования и пожелания.

#Кандидатские #Магистерские

213 Выполненных работ

Высшее юридическое образование, красный диплом. Более 5 лет стажа работы в суде общей юрисдикции, большой стаж в написании студенческих работ. Специализируюсь на напис... Читать все

Высшее юридическое образование, красный диплом. Более 5 лет стажа работы в суде общей юрисдикции, большой стаж в написании студенческих работ. Специализируюсь на написании курсовых и дипломных работ, а также диссертационных исследований.

#Кандидатские #Магистерские

158 Выполненных работ

руководитель успешно защищенных диссертаций, автор около 150 работ, в активе - оппонирование, рецензирование, написание и подготовка диссертационных работ; интересы - ... Читать все

руководитель успешно защищенных диссертаций, автор около 150 работ, в активе - оппонирование, рецензирование, написание и подготовка диссертационных работ; интересы - медицина, биология, антропология, биогидродинамика

#Кандидатские #Магистерские

12 Выполненных работ

Журналист. Младший научный сотрудник в институте РАН. Репетитор по английскому языку (стаж 6 лет). Также знаю французский. Сейчас занимаюсь написанием диссертации по и... Читать все

Журналист. Младший научный сотрудник в институте РАН. Репетитор по английскому языку (стаж 6 лет). Также знаю французский. Сейчас занимаюсь написанием диссертации по истории. Увлекаюсь литературой и темой космоса.

#Кандидатские #Магистерские

11 Выполненных работ

Привет! Меня зовут Даша, я окончила журфак МГУ с красным дипломом, защитила магистерскую диссертацию на филфаке. Работала журналистом, PR-менеджером в международных ко... Читать все

Привет! Меня зовут Даша, я окончила журфак МГУ с красным дипломом, защитила магистерскую диссертацию на филфаке. Работала журналистом, PR-менеджером в международных компаниях, сейчас работаю редактором. Готова помогать вам с учёбой!

#Кандидатские #Магистерские

50 Выполненных работ