Неньютоновские модели одномерной гемодинамики
В работе представлены одномерные математические модели течения крови, учитывающие её неньютоновские свойства. Разработан комплекс программ для проведения моделирования кровотока в сосудистых системах. Сравнение моделей производится при решении задач о течении крови в различных сосудистых системах.
Введение 2
1 Обзор литературы 3
1.1 Состав крови и физические свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Общая математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Одномерная модель течения жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Математические модели 8
2.1 Неньютоновские одномерные модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Разностные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Начальные и граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Начальные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 Условия на входе в систему . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.3 Условия на выходе из системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.4 Условия в узлах сочленения и бифуркации . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Вычислительный эксперимент 13
3.1 Программа для расчётов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Выбор разностной схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Задача о течении в одиночном сосуде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.1 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Задача о течении в сосуде с бифуркацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.1 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5 Задача о течении в системе из 37 сосудов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5.1 Влияние порядка разностных производных на точность решения . 27
3.5.2 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Результаты и выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Заключение 41
Математическое моделирование в медицине является в настоящее время акту-
альным, поскольку модели позволяют делать прогнозы без вмешательства в организм.
Так, исследование поведения пульсовых волн в сердечно-сосудистой системе, а также
исследование влияния болезней на это поведение может предоставить ценную информа-
цию для диагностики и лечения (например см. [1]). Анализ результатов моделирования
при различных осложнениях может помочь не только в выявлении изменений в систе-
ме (а значит и причины наблюдаемого недуга), но и в выявлении взаимосвязей между
различными параметрами сердечно-сосудистой системы, которые могут помочь в уста-
новке оптимальных методов лечения.
При моделировании течения в сосудистых системах, как правило, используются
одномерные модели, которые получаются посредством осреднения трёхмерных уравне-
ний гидродинамики [14]. В таких моделях актуальным является учёт такого важного
свойства крови, как неньютоновость. Кровь является неньютоновской жидкостью из-за
наличия внутренней структуры, что ведёт к зависимости вязкости от скорости сдви-
га. В данной работе исследуется влияние учета неньютоновости крови на получаемое
решение в рамках одномерных моделей.
Таким образом цель данной работы состоит в построении и апробации одномер-
ных математических моделей, учитывающих неньютоновские свойства крови. Для её
достижения необходимо решить следующие задачи:
Построение одномерных математических моделей течения крови как неньютонов-
ской жидкости.
Программная реализация алгоритмов численных методов.
Анализ полученных результатов и сравнение моделей между собой.
В Главе 1 произведён обзор литературы: описана кровь и её свойства, рассмотре-
ны трёхмерная и одномерная математические модели для описания движения кровото-
ка, а также установлено влияние неньютоновости. В Главе 2 приведен математический
аппарат, который необходим для получения решения на основе полученной математи-
ческой модели: указываются используемые граничные и начальные условия, рассмат-
риваются различные разностные схемы. В Главе 3 продемонстрированы результаты
вычислительного эксперимента. В заключении представлены основные результаты и
выводы по работе.
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.9 (20 отзывов)
4.2 (5 отзывов)
4.6 (30 отзывов)
4.7 (82 отзыва)
4.9 (343 отзыва)
4.2 (6 отзывов)
4.9 (298 отзывов)
4.8 (30 отзывов)
4.8 (37 отзывов)
