О локальных свойствах решений задач гидродинамики
Про уравнение Δu + bu = 0 для известного бездивергентного векторного b и неизвестного скалярного u известно многое, но на некоторые вопросы до сих пор ответа нет. Один из таких вопросов, об ограниченности u в зависимости от класса L_p, которому принадлежит b, и рассматривается в этой работе.
Ранее было известно об обязательной ограниченности в случае p > n/2, а также были известны примеры неограниченных решений для p < (n-1)/2. В данной работе рассматривается частный случай такого уравнения, что позволяет построить пример для p = (n-1)/2, а также доказывается невозможность улучшить этот пример в рамках выбранного случая.
Рассматривается система
−∆u + b · ∇u = 0
(1)
div b = 0
где функции u : Ω → R — неизвестная и b : Ω → Rn — данная по условию, Ω ⊂ Rn открытое и огра-
ниченное, n > 3. Пытаемся найти какие-нибудь ограничения на функцию b, а точнее, принадлежность
некоторому классу функций (например Lp ), чтобы решение системы u обязательно было «достаточно
хорошим» (например из L∞ ).
Написанная выше система — это понимание задачи в сильном смысле, когда ищем такие u ∈ C 2 , чтобы
уравнения выполнялись поточечно. Но часто разумно решать задачу и в слабом смысле тоже (и искать
слабое решение u ∈ W21 для b ∈ L2 ), а именно, чтобы ∀η, ν ∈ C0∞ (Ω) выполнялось
Z
∇u · ∇η + bη dx = 0
Ω
Z (2)
b · ∇ν dx = 0
Ω
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.8 (17 отзывов)
4.2 (6 отзывов)
4.9 (522 отзыва)
4.8 (373 отзыва)
0 (13 отзывов)
4.2 (13 отзывов)
4.4 (59 отзывов)
4.8 (9 отзывов)
4.6 (92 отзыва)
