О локальных свойствах решений задач гидродинамики

Рассматривается система

−∆u + b · ∇u = 0
(1)
div b = 0
где функции u : Ω → R — неизвестная и b : Ω → Rn — данная по условию, Ω ⊂ Rn открытое и огра-
ниченное, n > 3. Пытаемся найти какие-нибудь ограничения на функцию b, а точнее, принадлежность
некоторому классу функций (например Lp ), чтобы решение системы u обязательно было «достаточно
хорошим» (например из L∞ ).
Написанная выше система — это понимание задачи в сильном смысле, когда ищем такие u ∈ C 2 , чтобы
уравнения выполнялись поточечно. Но часто разумно решать задачу и в слабом смысле тоже (и искать
слабое решение u ∈ W21 для b ∈ L2 ), а именно, чтобы ∀η, ν ∈ C0∞ (Ω) выполнялось
 Z




 ∇u · ∇η + bη dx = 0

Ω
Z (2)



 b · ∇ν dx = 0

Ω