Прямой метод Ляпунова для анализа характеристик переходного процесса управляемых систем линейных дифференциально-разностных уравнений
В данной работе описана проблема оценки ключевых параметров систем дифференциальных уравнений с запаздыванием: запаса устойчивости и величины перерегулирования, а также сформулированы алгоритмы ее решения. Приведены необходимые теоретические сведения и обоснования полученных методов. Составлена программа на языке Python, результаты которой проиллюстрированы на числовом примере.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 1. Вспомогательные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Функционалы полного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 2. Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Итеративный метод нахождения запаса устойчивости σ . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Графический метод нахождения σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Вычисление величины γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Программная реализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Системы дифференциально -разностных уравнений моделируют динамику ши-
рокого класса реальных явлений и процессов. Например, задача о распространении
эпидемии с учетом вакцинации приводит к системе дифференциальных уравнений с
запаздыванием, равным времени действия вакцины. Одними из основных параметров
подобных задач является запас устойчивости заданной системы и величина перерегули-
рования. В зависимости от конкретной области приложения, они могут иметь различ-
ную физическую интерпретацию: так, в уже упомянутой задаче распространения эпи-
демии запас устойчивости определяет скорость затухания заболевания. В механических
системах величина перерегулирования зачастую связана с максимальным отклонени-
ем от положения равновесия, а комбинация двух характеристик позволяет определить
колебательность системы. Кроме того, наличие подобных количественных параметров
дает возможность сравнивать различные решения между собой, составляя тем самым
основу задач вариационного исчисления, рассматриваемых, например, в [3]. Ранее в ста-
тьях [1, 2] предложены алгоритмы оценки указанных параметров, однако их практиче-
ское применение затруднено необходимостью решения оптимизационных задач высокой
размерности. Цель данной работы — разработка методов, лишенных этого недостатка.
Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений аналогичная задача
была поставлена и решена Ляпуновым в монографии [4] в 1892 году. Для более сложных
классов уравнений, в том числе и для уравнений с запаздывающим аргументом, задача
ставится в работах [5, 6, 9, 10]. Для ее решения применяются методы, обзор которых
приведен далее.
В следующем разделе сформулирована математическая постановка задачи, вве-
дены обозначения и определения, используемые в дальнейшем, а также приведен крат-
кий обзор существующей литературы на исследуемую тему. Основная часть работы
состоит из двух глав, в которых приведены необходимые вспомогательные теоретиче-
ские сведения, представлены полученные результаты и описана программная реализа-
ция алгоритма с помощью языка программирования Python, решающего поставленную
задачу. Работа программы проиллюстрирована на численном примере.
Постановка задачи
Рассмотрим систему линейных стационарных дифференциально-
разностных уравнений
ẋ(t) = Ax(t) + Bx(t − h), (1)
В работе поставлена и решена задача нахождения запаса устойчивости системы линей-
ных стационарных дифференциально-разностных уравнений. На основе прямого мето-
да Ляпунова предложен алгоритм нахождения указанной величины для устойчивых
систем и его программная реализация в среде Python.
В качестве направления для дальнейших исследований следует отметить воз-
можное обощение результатов на системы уравнений с несколькими запаздываниями
разной величины, а также рассмотрение уравнений нейтрального типа.
[1] Цимфер С. А. Оценка параметров переходного процесса линейной системы на ос-
нове прямого метода Ляпунова // Процессы управления и устойчивость. 2016. Т.
3. № 1. С. 138–143.
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
5 (428 отзывов)
4.8 (40 отзывов)
4.7 (18 отзывов)
4.7 (82 отзыва)
4.5 (80 отзывов)
4.2 (5 отзывов)
0 (13 отзывов)
4.9 (826 отзывов)
5 (9 отзывов)
