Синтез регулятора максимального быстродействия системы управления с интервальными параметрами

Задачи создания систем управления, свойства которых мало изменялись
бы при небольших отклонениях их параметров от расчетных возникали уже в
начале развития теории автоматического управления. В настоящее время
теория робастного управления является одной из интенсивно развивающихся
ветвей теории управления, возникшей из проблемы синтеза многорежимных
линейных систем управления, функционирующих в условиях различного рода
возмущений и изменений параметров.
Существует большое количество методов синтеза систем
автоматического управления, позволяющих осуществить обоснованный выбор
структуры и параметров системы, которая бы удовлетворяла условиям,
заданным заранее. Но большинство имеющихся методов синтеза
предназначены для стационарных систем с постоянными параметрами. Однако
реальных условиях работы системы, параметры объекта управления в процессе
эксплуатации изменяются в широких пределах. Для таких систем
автоматического управления (САУ) актуальна задача параметрического синтеза
линейных регуляторов, обеспечивающих работоспособность системы при
любых возможных изменениях интервально-неопределенных параметров
объектов управления. Вследствие этого сейчас имеют перспективу развития
методы синтеза систем, не являющихся адаптивными, но обеспечивающих
приемлемое качество работы при изменении статических характеристик
воздействий в широком диапазоне, а также при нестабильности параметров
объекта управления. Такие системы называют робастными. Синтез робастных
систем допускает использование различных методов и различных подходов, и
может проводиться на основе различных критериев, например: на основе
критерия максимальной степени устойчивости на основе критерия
минимизации или ограничения колебательности, также может быть просто
найдена область устойчивости системы или максимизирована эта область.
Среди подходов можно выделить метод D-разбиения, параметрический
синтез на основе методов оптимизации. В данной же работе рассматривается
попытка применить к синтезу робастных регуляторов методику,
использующую методы математического программирования предложенную,
для синтеза стационарных САУ в [1] и основанную на критерии максимизации
степени устойчивости. Проблема заключается в применении данного подхода
для САУ с интервально-неопределенными параметрами, которые на основе
гипотезы «формального замораживания коэффициентов» можно рассматривать
как многорежимные. За счет применения этой методики должна значительно
повыситься точность синтеза. Методика в своей основе использует связь между
степенью устойчивости и параметрами настройки динамического регулятора,
осуществляемую с помощью характеристического полинома.
1 Оценка степени устойчивости в САУ с интервально-
неопределенными параметрами
Практически все реальные системы автоматического управления
содержат интервально-неопределенные параметры. Их неопределенность
обусловлена неточным знанием параметров или их изменением в процессе
эксплуатации систем по заранее неизвестным законам. Если при этом известны
диапазоны возможных значений постоянных параметров или пределы
изменяющихся параметров, то в таких случаях говорят о параметрической
интервальной неопределенности [2-4]. Системы с подобными параметрами
получили название интервальных систем автоматического управления [5].
Первоначальной задачей исследования интервальных систем была
проверка их робастной устойчивости, отвечающей на вопрос: устойчива или
нет интервальная система при любых значениях интервально-неопределенных
параметров. Интервальные параметры могут входить в коэффициенты
интервального характеристического полинома (ИХП) различными способами,
определяющими тип неопределенности полинома.
Интервальная неопределенность коэффициентов является наиболее
хорошо изученной и для неё разработано большое количество методов синтеза
ИСУ. Данная неопределенность позволяет получить интервальные значения в
коэффициентах числителя и знаменателя передаточной функции при
составлении математической модели системы. Поэтому в дальнейшем в работе
предлагается рассматривать системы автоматического управления только с
интервальными неопределённостями их характеристических полиномов. При
этом в случаях, когда ИХП интервальной системы имеет полиномиальную или
полилинейную неопределенность, предлагается переходить от них к
интервальной неопределенности на основе правил интервальной арифметики,
как это делается в [5]. Заметим, что параметрический многогранников случае
интервальной неопределенности полинома образуется его интервальными
коэффициентами.
1.1 Постановка задачи синтеза САУ с интервально-неопределенными
параметрами
В ряде промышленных САУ некоторые параметры объекта управления в
процессе его работы могут изменяться в известных и достаточно широких
интервалах по априори неизвестным законам. В условиях такой интервальной
неопределенности параметров объекта представляет интерес задача
обеспечения максимального быстродействия САУ. Если рассматривать
подобные системы как многорежимные, то каждому возможному набору
значений интервальных параметров может быть поставлен в соответствие
определенный режим работы системы. В этом случае указанная выше задача
сводится к получению минимального времени переходных процессов в системе
при наихудшем с точки зрения быстродействия сочетании интервальных
параметров объекта. Известно, что время переходного процесса в системе
определяется таким ее корневым показателем, как степень устойчивости.
Поэтому, согласно [6, 7], для синтеза системы целесообразно применить
корневой подход на основе критерия максимальной степени устойчивости. В
[1] разработана методика определения параметров регулятора,
обеспечивающих максимальную степень устойчивости стационарной системы с
заданным характеристическим полиномом.
Заметим, что решаемая в [1] задача относится к задаче нелинейного
программирования. Представляет интерес ее решение применительно к
интервальным системам. У таких систем характеристические полиномы имеют
интервальные коэффициенты, пределы которых определяются входящими в
коэффициенты заданными интервальными параметрами объекта и
фиксированными настройками робастного регулятора. Подобные полиномы
получили название интервальных характеристических полиномов.
Очевидно, что при изменении коэффициентов ИХП изменяется и
степень устойчивости системы. При этом существует набор значений
коэффициентов, при которых система имеет минимальную (робастную) степень
устойчивости. Для ее определения воспользуемся следующими двумя
положениями. Во-первых, минимальная степень устойчивости системы с ИХП
имеет место в одной из вершин многогранника интервальных коэффициентов
[8]. Во-вторых, для нахождения этой вершины нет необходимости проверять
все 2m вершин (m – число интервальных коэффициентов), а достаточно
рассмотреть только некоторые проверочные вершины [9]. Таким образом,
поставленную выше задачу предлагается решать как максиминную:
определение на основе метода нелинейного программирования оптимальных
робастных настроек линейного регулятора, при которых достигается максимум
минимальной степени устойчивости системы в проверочных вершинах
многогранника коэффициентов ИХП.