Аналитическое и численное исследование структурообразующих объектов в фазовом пространстве простых гидродинамических потоков

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводи­
мых в рамках данной диссертационной работы, формулируется цель, ста­
вятся задачи, излагается научная новизна, практическая значимость и ос­
новные защищаемые положения, описывается структура диссертации.
В первой главе “Анализ свойств структурообразующих объектов
фазового пространства -потока” изучаются условия существования
стационарных точек при вариации управляющих параметров и условия воз­
никновения нелинейных резонансов в почти интегрируемом случае уравне­
ний адвекции. Представлена модель ультрахолодных атомов (модель Обри­
Андре), уравнения движения которой в квазиклассическом приближении
совпадают с уравнениями -потока в интегрируемом случае.
В параграфе 1.1 кратко обсуждается история изучения -потока.
В параграфе 1.2 для трёхмерного стационарного -потока запи­
сываются аналитические выражения для координат стационарных точек и
условия их существования. Аналитически доказывается, что стационарные
точки имеют вид седловых узлов при любых значениях управляющих пара­
метров. Приводятся аналитические выражения для собственных значений
матрицы устойчивости.
В параграфе 1.2.1 записываются автономная система дифференци­
альных уравнений для -потока как

= = sin( ) + cos( ),

= = sin( ) + cos( ),(5)

= = sin( ) + cos( ),

где , и — произвольные безразмерные параметры. Полагая / =
/ = / = 0, были получены следующие стационарные решения
[︂]︂
0 = (1 − ) + arcsin ( ) ,
[︂]︂
0 = (1 − ) + arcsin ( ) ,(6)
[︂]︂
0 = (1 − ) + arcsin ( ) ,
где√︂√︂√︂
2 − 2 + 1 2 + 2 − 1 2 − 2 + 1
=, =, =, (7)
2 22 22
и коэффициенты и ( = , , ) определяются как
{︃{︃
+1, ∈ [0, ),+1, ∈ [− /2, /2),
= =(8)
−1, ∈ [− , 0),−1, ∈ [− , − /2) ∪ [ /2, ).
Для существования решений полагается, что параметры , и ∈ [0,1],
из чего следует, что область существования решений в параметрическом
пространстве и будет ограничена кривыми
1 = ⩾ ⩾ ⩾ 0,
(9)
2 ⩾ 1 − 2.
В параграфе 1.2.2 для анализа устойчивости решений (6) записыва­
ется характеристическое уравнение
√︂
1 (︀1(︁
)︁
3 − 1 + 2 + 2 − √
)︀
( 2 + 2 − 1) 1 − ( 2 − 2 ) = 0, (10)
где знак коэффициента = = − зависит от выбора решения
системы уравнений (5). Показано, что характеристическое уравнение мат­
рицы устойчивости имеет три вещественных корня при любых значениях
управляющих параметров, т. о., стационарные точки соответствует типу
седло-узел. На бифуркационных линиях характеристическое уравнение ре­
дуцируется, один из корней принимает нулевое значение, вследствие чего
стационарные точки представляют собой плоские седла.
В параграфе 1.2.3 выводится аналитическое решение уравнения (10),
записываемое в виде
√︂
(1 + 2 + 2 )
(︂ )︂

1 = 2cos,
√︂
(1 + 2 + 2 )
(︂)︂
2
2 = 2cos+,(11)
√︂
(1 + 2 + 2 )
(︂)︂
4
3 = 2cos+,
√
⎧(︂√︂)︂
|216( 2 + 2 −1)(1−( 2 − 2 )2 )−8(1+ 2 + 2 )3 |
⎪
⎪
⎨ arctan221728( 2 + 2 −1)(1−( 2 − 2 )2 )
, = 1,
=(︂
√
√︂)︂
|216( 2 + 2 −1)(1−( 2 − 2 )2 )−8(1+ 2 + 2 )3 |
⎩ − arctan 2 2, = −1.
⎪
⎪
1728( 2 + 2 −1)(1−( 2 − 2 )2 )
(12)
В параграфе 1.3 в модели -потока в почти интегрируемом случае
( ≪ 1) изучаются условия возникновения/разрушения нелинейных резо­
нансов порядка : . Численно доказывается существование “крупных”
резонансов : 1 ( = 1, 2, 3) в почти интегрируемом случае. Приводят­
ся аналитические и численные доказательства существования двух ветвей
резонансов : 1 ( = 1, 2) в области регулярного движения.
В параграфе 1.3.1 записывается система 3-х мерных уравнений адвек­
ции -потока (5) в случае = 0:

˙ = −= sin( ), ˙ == − sin( ),(13)

где функция тока = ˙ = cos( ) + cos( ) = const играет роль гамиль­
тониана. Аналитически выводятся выражения для частоты движения в
финитной (регулярной), , и инфинитной (баллистической), , областях
фазового пространства, записываемые в виде
√√

( , ) =, ( , ) =,
2 ( ) ( )
(14)
214
( , ) = 2=2,
( , )(1 + ) − 2
где ( ) — полный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода, — мо­
дуль интеграла.
В параграфе 1.3.2 система (13) представляется в виде уравнений га­
мильтона с малым возмущением ( ≪ 1):

˙ = −+ cos( ), ˙ =+ sin( ),(15)

где в ( , )-плоскости функция тока ≈ const, в результате чего решение
уравнения движения по координате можно представить в виде элементар­
ной функции = . sin( ) и cos( ) играют роль внешнего периодиче­
ского возмущения в ( , )-плоскости с периодом 2 / . Для уравнений (15)
условие возникновения резонансов записывается как
( , ) = ,(16)
где — собственная частота движения вдоль траектории в исследуемой
области пространства (финитной, , и инфинитной, ), = — частота
периодического вертикального движения, играющего роль внешнего возму­
щения, и — пара произвольных безразмерных положительных целых
чисел (также называемых порядковыми числами резонанса : ).
Уравнение (16) может быть решено только с помощью численных
методов. Локализация : (1 : 1, 2 : 1 и 3 : 1) резонансов в финитной
и инфинитной областях движения представлены на рис. 1. Показано, что
возможно существование двух ветвей “крупных” резонансов 1 : 1 и 2 : 1
порядков в области финитного движения.
2.0

Hoint
tic p
1.5ellip

1.0

0.5sepa
ratr
ix

0.0
0.0B3:10.2B2:10.40.6 B1:10.8B 1.0

Рис. 1 — Зависимость энергии от управляющего параметра для
резонансов: 1 : 1 — линия в виде набора точек; 2 : 1 — штриховая линия;
3 : 1 — штрих-пунктирная линия. Значения между сепаратрисой и
эллиптической точкой соответствуют области финитного движения, а
значения ниже сепаратрисы — области инфинитного движения.
В параграфе 1.3.3 рассматриваются результаты численных экспери­
ментов и проведена оценка на соответствие полученных в параграфе 1.3.2
аналитических результатов с численными. Для численного исследования
уравнений (15) использовался метод сечения Пуанкаре. Показано, что в
случае → 0 численно вычисленное значение резонансов : порядка
стремится к теоретически рассчитанным значениям из (16). Для резонан­
сов 1 : 1 и 2 : 1 продемонстрирован процесс пересоединения сепаратрис при
вариации управляющего параметра вблизи критических значений 1:1
и 2:1 , при которых происходит возникновение/разрушение резонансных
островов 1 : 1 и 2 : 1 порядков.
В параграфе 1.4 исследуется явление делокализации атомов в модели
Обри-Андре. Рассматривается динамика невзаимодействующих ультрахо­
лодных атомов в бихроматических оптических решётках. Основное внима­
ние уделено квазиклассическому режиму модели Обри-Андре. Показано,
что делокализация атомов в классическом пределе связана с разрушением
центральной инвариантной кривой в фазовом пространстве. Это приводит
к специфической зависимости транспортных характеристик от частоты
движения: эффективная делокализация происходит только при резонансе
внешнего движения с колебаниями вблизи вырожденных торов.
В параграфе 1.4.1 кратко рассматривается история исследования мо­
дели ультрахолодных атомов Обри-Андре.
В параграфе 1.4.2 записывается уравнение для квазипериодической
оптической решётки, являющейся суперпозицией глубокой первичной ре­
шётки с шагом и мелкой вторичной решётки с расстоянием / , где
< 1 — соотношение периода двух решёток. Рассматривается случай, ко­ гда вторичная решётка подвергается периодической амплитудной модуля­ ции. В параграфе 1.4.3 рассматривается классическое движение в инте­ грируемом случае, когда гамильтониан является интегралом движения. Показано, что уравнения движения интегрируемой системы совпадают с уравнениями движения системы (13). Показано существование экстрему­ мов частоты, один из которых принадлежит области финитного движения и соответствует точке устойчивого равновесия. Два других экстремума со­ ответствуют инфинитному движению. Они лежат на так называемых вы­ рожденных торах в фазовом пространстве. В параграфе 1.4.4 рассматриваются транспортные свойства возму­ щённой модели Обри-Андре в классическом пределе. Для численного мо­ делирования используется ансамбль из 10 000 атомов. Начальное распре­ деление атомов в фазовом пространстве задаётся формулой ( , , = 0) = ( ) ( ),(17) где 2 (︂)︂ ( ) = √exp − 2 ,(18) 2 02 0 ⎨ 1 , ⎧ | | ≤ , ( ) = 2 (19) 0,| | > .
⎩
Вырожденные торы могут образовывать барьеры, препятствующие
дрейфу атомов в конфигурационном пространстве. Чтобы разрушить эти
барьеры, частота движения должна соответствовать некоторому резонан­
су в непосредственной близости от вырожденных торов. Показано, что в
случае слабого возмущения наблюдается резкий отчётливый пик, который
близок к частоте на центральной инвариантной кривой в невозмущенном
случае.
В параграфе 1.4.5 для изучения взаимосвязи между результатами
квантового и классического моделирования проведено численное модели­
рование квантовой эволюции для гауссовского начального состояния,
2
(︂)︂
2 −1/4
= (2 )exp −,(20)
4 0
где — целое число, принимающее значения от −1000 до 1000, 0 = 0.1/ .
Показано, что доминирует квазиклассический сценарий делокализации,
связанный с разрушением центральной инвариантной кривой. С другой
стороны, квазиклассический сценарий делокализации не актуален для экс­
периментов, в которых решётки имеют периоды одного порядка.
Во второй главе “Периодические орбиты в модели хаотической ад­
векции с точечным вихрем в периодическом потоке” изучаются происхож­
дение, свойства и бифуркации периодических орбит при вариации ампли­
туды возмущения.
В параграфе 2.1 кратко обсуждается мотивация изучения периодиче­
ских орбит в модельных потоках.
В параграфе 2.2 записывается функция тока модели с√︀точечным
вихрем и периодическим набегающим потоком, Ψ( , , ) = ln 2 + 2 +
( + sin ), с соответствующими уравнениями движения

˙ = − 22
, ˙ = 2+ + sin , (21)
+ + 2
где точка означает дифференцирование по времени , а и — амплитуды
постоянной и переменной составляющих потока. Фазовый портрет инте­
грируемой системы ( = 0) представляет собой набор замкнутых и неза­
мкнутых линий тока, разделённых петлей сепаратрисы, проходящей через
седловую точку с координатами (−1/ ; 0) (см. рис. 2a). Под воздействием
периодического возмущения в фазовом пространстве точечного вихря воз­
никает бесконечное множество нелинейных резонансов с эллиптическими и
гиперболическими периодическими орбитами. Стационарная седловая точ­
ка при этом становится седловой периодической орбитой. На рис. 2b пред­
ставлено сечение Пуанкаре для присепаратрисной области ( = 0.1).
Рис. 2 — a) Фазовый портрет невозмущённой ( = 0.5, = 0)
системы (21), на котором изображены области инфинитного движения,
вихревая зона и разделяющая их сепаратриса. b) Сечение Пуанкаре
системы (21) для присепаратрисной области ( = 0.1).

В параграфе 2.3 исследуются все периодические орбиты внутри при­
сепаратрисного стохастического слоя с периодами до ⩽ 0 , где 0 =
2 — период возмущения, = 1,2,3,4. Для локализации орбит была выбра­
на амплитуда возмущения = 0.1, используемая ранее в работах [31; 39].
Методика локализации орбит, описанная √︀ в работе [37], основана на вы­
числении Евклидового расстояния = [ ( 0 ) − (0)]2 + [ ( 0 ) − (0)]2
между начальным положением частицы в момент времени 0 = 0 и её конеч­
ным положением через время = 0 , где = 1,2,3,4. Нули этой функции
соответствуют периодическим орбитам периода .
Периодические орбиты также как и резонансы характеризуются па­
рой чисел : , где — определяет количество следов на сечении Пуан­
каре (период орбиты в единицах периода возмущения), а — количество
оборотов орбиты вокруг сингулярной точки (центра) вихря. Для каждой
локализованной орбиты были вычислены её средняя длина за периодов
возмущения = / (распределение орбит по средней длине отражает
генетическую связь внутри группы), √︀и показатель среднего растяжения
за период возмущения = sgn ( max ) | max |, где max — максимальное
по модулю значение собственного числа матрицы эволюции. По значению
можно определить, является данная орбита устойчивой или неустойчи­
вой, а также вычислить показатель Ляпунова для неустойчивой орбиты
Λ = log | |/2 . Построив бифуркационные диаграммы было установлено,
что гиперболические орбиты, локализованные при = 0.1, для которых
< 0, в своей истории претерпевают как минимум одну бифуркацию. В простейшем случае, когда для некоторых несократимых : имеются только две гиперболические орбиты, по знаку можно установить, какая из орбит была исходно (при → 0) эллиптической, а какая — гиперболи­ ческой. В параграфе 2.4 подробно исследуется природа происхождения всех локализованных периодических орбит при вариации амплитуды возмуще­ ния . В параграфе 2.4.1 вводится способ обозначения орбит с разной исто­ рией происхождения и бифуркаций. В параграфе 2.4.2 обсуждаются основные типы “простых” бифурка­ ций периодических орбит. В параграфе 2.4.3 исследуется возможность существования периоди­ ческих орбит, не замыкающихся вокруг центра точечного вихря, при нену­ левом возмущении ( ̸= 0). Для поиска таких орбит была рассмотрена задача хаотического рассеяния частиц, помещённых в набегающем потоке. На отрезке ∈ [−5.1 : −4.4], = −6 были выбраны 40 000 частиц, для кото­ рых рассчитывалось время достижения прямой = 6, после был построен график функции рассеяния ( ) (зависимость времени пребывания частиц в области хаотического перемешивания вблизи вихря от их начальных ко­ ординат). Показано, что при ̸= 0 существует только одна периодическая орбита, соответствующая седловой точке невозмущённой системы, не за­ мыкающаяся вокруг центра точечного вихря. В параграфе 2.4.4 показано, что эллиптические орбиты, независимо от предшествующих бифуркаций и природы их происхождения, в конечном итоге разрушаются универсальным каскадом бифуркаций удвоения пери­ ода, и на месте каждой полностью разрушенной эллиптической орбиты остаётся бесконечное счётное множество гиперболических орбит. На при­ мере рассмотренных 4-ёх последовательностей бифуркаций удвоения пери­ ода для различных эллиптических орбит показано, что “скорости” каскадов имеют близкие значения и согласуются со значением константы Фейгенба­ ума для двумерных консервативных отображений. В параграфе 2.4.5 продемонстрирован сложный тип бифуркации: сли­ яние гиперболических орбит вторичного резонанса (3 : 3 и 4 : 4) с эллипти­ ческой орбитой КАМ-резонанса 1 : 1, сопровождающееся пересоединением сепаратрис вторичного резонанса, при вариации . В параграфе 2.4.6 на примере эллиптических орбит КАМ-резонансов 4 : 2 и 4 : 6 и вторичного резонанса 4 : 4 была выявлена общая последо­ вательность бифуркаций, состоящая из бифуркации типа гиперболическая “вилка” с удвоением периода и со следующей за ней эллиптической “вил­ кой” без удвоения периода. Предполагается, что, поскольку такой сценарий свойственен не одной орбите, а трём, и наблюдался в работе [40], возможно, полученные результаты свидетельствуют об его универсальности. В параграфе 2.4.7 показано, что в рассматриваемой модели существу­ ют орбиты, у которых нет прямой связи с КАМ-резонансами. На основе бифуркационных диаграмм установлено, что эти орбиты возникают в ре­ зультате бифуркации типа рождение пары при некотором значении . За­ тем эллиптические орбиты возникших пар теряют свою устойчивость, пре­ терпевая каскад бифуркаций удвоения периода. Третья глава “Фрактальная структура хаотического рассеяния на точечном вихре в поле (квази)периодического возмущения” посвящена опи­ санию механизмов перестройки структуры фрактала и функции рассеяния при вариации параметров (квази)периодического, модулированного сум­ мой двух синусов с разными амплитудами и частотами, потока. В параграфе 3.1 кратко рассматривается история изучения хаотиче­ ского рассеяния, вводятся базовые определения и понятия. В параграфе 3.2 обсуждается вид функции и структуры фрактала хаотического рассеяния для модели с точечным вихрем и периодическим (одночастотным) возмущением (см. рис. 3). Показано, что сегменты эпи­ строфы на первом уровне фрактала рассеяния убывают по закону геомет­ рической прогрессии, = 1 −1 , где — длина сегмента, а = 1,2,3 . . . — порядковый номер сегмента в выбранной последовательности. Рис. 3 — a) Фрактал рассеяния ( 0 ) и b) функция рассеяния ( 0 ) для модельного вихря в случае периодического (одночастотного) возмущения при = 0.5, = 0.1 и = 1. Символами 1 , 2 и 3 обозначены несколько первых сегментов эпистрофы первого уровня ( ( 0 ) = 1). В параграфе 3.3 для кинематической модели с точечным вихрем и (квази)периодическим возмущением, представленным в виде суммы двух синусов с разными частотами и амплитудами, вводится функция тока √︀ Ψ( , , ) = ln 2 + 2 + ( + 1 sin 1 + 2 sin 2 ) , с соответствующими уравнениями адвекции Ψ Ψ ˙ = −=− 2, ˙= = 2+ + 1 sin 1 + 2 sin 2 . + 2 + 2 (22) Фиксируя 1 = 1 и введя амплитудный параметр возмущения ∈ [0,1], связывающий амплитуды ( = 1,2) двух синусов, численно рассчитана зависимость длин сегментов эпистрофы первого уровня от порядково­ го номера -го сегмента при различных значениях и 2 . Для численных расчётов длин в набегающем потоке равномерно засевался отрезок на­ бором из 100 000 начальных условий, для каждого из которых методом Рунге-Кутта четвёртого порядка решались уравнения адвекции и произво­ дился расчёт траекторий пассивных маркеров. Показано, что независимо от значений частоты возмущения 2 убывание длин сегментов эпистрофы на первом уровне во фрактале рассеяния происходит по закону геометриче­ ской прогрессии, изменяется только значение её показателя при вариации амплитудного параметра возмущения . В параграфе 3.4 вводится понятие эффективной частоты возмуще­ ния, связанной с показателем Ляпунова седловой орбиты и показателем геометрической прогрессии в законе убывания длин сегментов эпистроф. Изучаются метаморфозы функции и фрактала хаотического рассеяния при вариации параметров. На примере эволюции пятен трассеров, покидающих область хаотического перемешивания, исследуются механизмы трансфор­ мации сегментов эпистрофы при вариации амплитуд возмущения. В параграфе 3.4.1 для оценки связи динамических, транспортных и топологических свойств хаотического рассеяния в системе вводится соот­ ношение2 eff = −,(23) ln( ) где eff — эффективная частота возмущения, — показатель Ляпунова седловой орбиты, — показатель геометрической прогрессии в законе убы­ вания длин сегментов эпистроф. Параметр eff имеет смысл cредней ча­ стоты выноса пятен трассеров (в форме “лепестков”) из области переме­ шивания. Численно рассчитав eff для различных значений частот (ква­ зи)периодического возмущения ( 1 и 2 ) при вариации ∈ [0,1], установ­ лено, что поведение графика функции eff имеет зависимость от значения соотношения 1 / 2 . Построив графики функции и структуры фрактала рассеяния для соотношения 1 / 2 = / при вариации , где , = 1, 2, 3, . . ., показано, что для = 1 и = 1,2 наблюдаются два основных механизма, ответ­ ственных за перестройку структуры фрактала рассеяния при вариации для различных значений и . Для произвольных значений соотношения 1 / 2 = / при > и 1 < 2 показано, что перестройка структуры фрактала рассеяния при вариации от 0 к 1 происходит не постепенно от сегмента к сегменту или от пустоты к пустоте эпистрофы на первом уровне (как в случаях для 1 / 2 = 1/ ), а может затрагивать одновремен­ но несколько соседних сегментов и пустот, образующих своего рода группы. Новые сегменты в каждой из таких групп образуются двумя механизмами: 1) возникновением новых сегментов в одной или поочерёдно в нескольких близких пустотах между исходными сегментами или 2) расщеплением ис­ ходных сегментов. Суммарное количество новых сегментов, образующихся в каждой группе, рассчитывается по формуле ↓ + ↑ = − , где ↓ — ко­ личество сегментов, возникающих в каждой из пустот, а ↑ — количество сегментов, возникающих в результате расщепления исходных сегментов в группе. В параграфе 3.4.2 продемонстрирована эволюция пятен трассеров, соответствующих сегментам эпистрофы первого уровня, попадающих из набегающего потока в область хаотического перемешивания и покидаю­ щих её за конечное время. Рассмотрены две ситуации для соотношений частот 1 / 2 = 1/2 и 1 / 2 = 1/3 при вариации , каждая из которых со­ ответствует проявлению определённого механизма перестройки структуры фрактала хаотического рассеяния. Показано, что новые отрезки эпистро­ фы первого уровня возникают за счёт образования складок на соответству­ ющих “лепестках”. Если складка исходно возникает внутри сепаратрисной петли, то образуется новый отрезок в пустом промежутке между сегмента­ ми эпистрофы, если же складка возникает за пределами петли, происходит расщепление исходного сегмента эпистрофы. В параграфе 3.5 для случая (квази)периодического возмущения с равными амплитудами исследуется зависимость эффективной частоты от частот возмущения. Чтобы выявлять какая из частот в большей степени определяет структуру фрактала рассеяния, вводится коэффициент доми­ нированияmax( 1 , 2 ) − eff 0≤Γ=≤ 1,(24) | 2 − 1 | где max( 1 , 2 ) — наибольшее значение из пары { 1 , 2 }, eff — эффектив­ ная частота возмущения, рассчитанная по формуле (23). Полагается, что 1 = 1. Вторая частота, 2 , для всех ниже представленных случаев прини­ мает значения в интервале [0.1,10]. В параграфе 3.5.1 рассматриваются рациональные значения 2 = / , где и — взаимно простые целые числа от 1 до 32. Показано, что при вариации 2 существует выделенная полоса частот вблизи 1 = 1, ко­ торые для большинства значений 2 определяют структуру фрактала рас­ сеяния. Также выявлена аномальная группа частот 2 = (2 − 1)/(2 + 1) и 2 = (2 + 1)/(2 − 1), где = 1,2,3, . . ., при которых структура фрактала рассеяния определяется преимущественно частотой 2 . В параграфе 3.5.2 в качестве иррациональных чисел выбираются “noble” числа, как наиболее отстоящие от рациональных чисел, которые можно представить в виде бесконечной цепной дроби√ ( + ) + 15−1 2 = [ , ,(1)] =, =(25) + 2 и + 2 = 1/[ , ,(1)] = [0, , ,(1)] =.(26) ( + ) + 1 Значения и меняются от 1 до 10. Показано, что Γ для иррациональных чисел является более гладкой функцией, чем Γ для рациональных чисел. Для рациональных чисел малое изменение частоты 2 часто приводит к существенному скачку коэффициента доминирования Γ, в то время как для иррациональных чисел такие скачки заметно меньше. Показано отсутствие аномальных частот. В заключении приведены основные результаты работы, которые за­ ключаются в следующем: 1. Для -потока получены стационарные решения и условия их существования. Аналитически показано, что стационарные точки имеют вид седловых узлов при любых значениях управляющих па­ раметров в области их существования. Приведены аналитические выражения для собственных значений матрицы устойчивости, что позволяет для любой стационарной точки при любых значениях управляющих параметров получить качественное представление о поведении линий тока в её окрестности. В почти интегрируемом случае численными методами показано существование крупных ре­ зонансов порядка : 1 ( = 1, 2, 3), и приведены аналитические и численные доказательства слияние и исчезновение двух ветвей ре­ зонансов 1 : 1 и 2 : 1 при вариации управляющего параметра . 2. Изучено явление делокализации в модели ультрахолодных атомов (модель Обри-Андре). Показано, что делокализация атомов в клас­ сическом пределе связана с разрушением центральной инвариант­ ной кривой в фазовом пространстве. Это приводит к специфиче­ ской зависимости транспортных характеристик от частоты движе­ ния: эффективная делокализация происходит только при резонан­ се внешнего движения с колебаниями вблизи вырожденных торов. 3. В модели с точечным вихрем и периодическим возмущением най­ дены все периодические орбиты с периодами до = 4 0 , где 0 = 2 — период возмущения. Показано существование нелиней­ ных резонансов КАМ-овской и не КАМ-овской природы и установ­ лена генетическая связь между различными орбитами. Аналити­ чески и численно показано существование двух типов гиперболи­ ческих орбит, отличающихся поведением траекторий в их окрест­ ности, тип которых определяется знаком показателя среднего рас­ тяжения за период возмущения . Исследованы сложные типы би­ фуркаций, в которых происходит взаимодействие между орбитами с отличающимися периодами. 4. В модели с точечным вихрем и периодическим возмущением пока­ зано, что все эллиптические орбиты при увеличении возмущения разрушаются универсальным каскадом бифуркаций удвоения пе­ риода. Установлено, что “скорости” каскадов имеют близкие значе­ ния и согласуются со значением константы Фейгенбаума для дву­ мерных консервативных отображений. Продемонстрировано слож­ ное взаимодействие гиперболических орбит вторичных резонан­ сов с эллиптической орбитой “материнского” резонанса. Продемон­ стрировано слияние и пересоединение (reconnection) сепаратрис вторичных резонансов при вариации параметров периодического возмущения. Показано, что помимо каскада удвоения периода, воз­ можны и другие универсальные бифуркационные сценарии, общие для различных по природе происхождения орбит. При этом мно­ гообразие периодических орбит не сводится к орбитам, происхо­ дящим от КАМ-резонансов. Существуют также орбиты, история которых начинается с некоторого конечного значения параметра возмущения, когда происходит рождение пары эллиптической и гиперболической орбит. 5.В модели с точечным вихрем показано, что в случае (ква­ зи)периодического возмущения экспоненциальный закон убы­ вания длин сегментов эпистрофы на первом уровне сохраняется. Установлено, что поведение функции эффективной частоты eff ( ) в районе перехода от 1 к 2 зависит от соотношения между часто­ тами двух компонент возмущения 1 / 2 : возможен либо резкий скачок, либо ступенчатый переход в некотором интервале значе­ ний ∆ . 6.В модели с точечным вихрем и (квази)периодическим возмущени­ ем показано, что для произвольного соотношения частот 1 / 2 = / , при > и 1 < 2 , перестройка функции рассеяния и струк­ туры фрактала рассеяния при росте значения амплитудного па­ раметра возмущения от 0 к 1 происходит путём постепенного превращения групп из соседних сегментов в группы из сегмен­ тов. Новые сегменты в каждой из таких групп образуются двумя механизмами: возникновением новых в одной или поочерёдно в нескольких близких пустотах между исходными сегментами или расщеплением исходных сегментов. Показано, что количество сег­ ментов, образующихся в пустотах, и количество сегментов, обра­ зующихся в результате отделения от исходных сегментов, зависят от и и приведены формулы для их расчёта. 7.В модели с точечным вихрем и (квази)периодическим возмущени­ ем на примере эволюции пятен трассеров продемонстрированы два механизма трансформации сегментов эпистрофы на первом уровне во фрактале рассеяния. Показано, что при (квази)периодическом возмущении вынос частиц происходит порционно в виде “лепест­ ков”. Форма “лепестков” и механизмы их возникновения зависят от соотношения 1 / 2 и амплитудного параметра возмущения . С ростом происходит либо возникновение новых “лепестков”, либо деформация исходных с образованием нескольких складок, кото­ рые постепенно удлиняются и, в конечном итоге, отщепляются от родительского “лепестка”. 8.В модели с точечным вихрем и (квази)периодическим возмуще­ нием при одинаковых значениях амплитуд и вариации значений частоты внешнего возмущения показано, что существует выделен­ ный интервал значений частот, к которым стремится эффектив­ ная частота eff . При этом показано, что существует ряд аномаль­ ных рациональных частот со значениями 2 = (2 − 1)/(2 + 1) и 2 = (2 + 1)/(2 − 1), где = 1, 2, 3, . . ., при выборе которых пе­ рестройка фрактала рассеяния происходит по правилу ( ↓ = 0, ↑ = 2) и доминирует минимальное значение из пары частот воз­ мущения. Показано, что для иррациональных отношений частот аномалий меньше и зависимость коэффициента доминирования от частоты более гладкая.