Анизотропийная фильтрация для линейных дискретных нестационарных систем с мультипликативными шумами

Для исследования свойств объектов или процессов в реальной жизни требу- ется проведение большого количества измерений их показателей на протяжении некоторого интервала времени. Зная значения этих показателей в определен- ный момент времени, можно описать положение или состояние объекта в этот момент времени, или хотя бы оценить их. Эти данные могут быть необходимы для управления динамикой исследуемого процесса или движением объекта. По- добный реальный объект (устройство, аппарат и т.д.) или процесс (физический, химический, биологический и т.д.) будем называть объектом исследования. Но измерение показателей объекта исследования редко проходит без трудностей. Технические объекты чаще всего имеют достаточно сложную структуру. Поэто- му для описания динамики состояния объектов используются математические модели в рамках определенных допущений. Абсолютно точно измерить все па- раметры объекта чаще всего не представляется возможным. Кроме того, те измерения параметров, которые можно провести с помощью различных спосо- бов и технических приспособлений, могут содержать в себе случайные ошибки. Вдобавок, на состояние объекта могут влиять различные внешние возмущения. Наличие шумов в измерениях может оказывать негативное влияние на качество управления объектом или оценивания его состояния в будущие моменты време- ни на основе зашумленных данных. Поэтому возникает необходимость в полу- чении оценки состояния объекта или величины, связанной с объектом, значение которых нельзя измерить напрямую. В каждом из существующих подходов к оцениванию в рамках статистических методов предполагается, что внешние воз- мущения и шумы измерений объекта можно описать случайными величинами с некоторыми статистическими характеристиками. Следовательно, переменные состояния объекта и измерения в такой постановке также являются случайны- ми величинами. Оптимальная оценка определяется величиной некоторого кри- терия (функционала) качества, выбор которого зависит от условий, в рамках
которых ставится соответствующая задача.
Поиск оптимальных оценок составляет целый класс задач, в которые входят
задачи интерполяции (оценивание предыдущих состояний или ”сглаживание”), фильтрации (получение количественной информации о текущем состоянии на основе предыстории) и прогнозирования (оценивание будущих состояний на ос- нове имеющихся данных). Методы оценивания используются во многих обла- стях науки и техники, таких как обработка сигналов, теории связи и телеком- муникации, управление проектами, медицина и многих других. Для получения оценки состояния объекта или некоторой величины, зависящей от состояния, вводят специальную систему, выходом которой является искомая оценка. Та- кая система в общем случае называется оценивателем, а в случае оценивания текущего состояния объекта – фильтром. Критерий эффективности искомого оценивателя может быть представлен в виде некоторого функционала, напри- мер, квадратичного функционала от ошибки оценивания. Если необходимо най- ти оцениватель, при котором введенный критерий достигает минимального или максимального значения, то в таком случае говорят об оптимальном оценива- нии. Также целью может быть поиск параметров оценивателя, который обеспе- чивает ограниченность значения критерия заданным числом. Такая постановка соответствует субоптимальному оцениванию.
Первые результаты в таких областях, как линейные фильтрация и прогно- зирование при наличии случайных шумов, появились еще в конце 30-х годов XX века. Одной из первых работ в этой области является работа Н. Винера [1], где показано, что методы решения этих задач заключаются в поиске реше- ния так называемого интегрального уравнения Винера-Хопфа. Также в работе представлен метод спектральной факторизации для решения такого типа инте- гральных уравнений в одном из частных случаев. Работа Винера стала основой для дальнейших исследований и научных результатов в теории оценивания. Но стоит отметить, что примерно в тот же период А.Н.Колмогоровым были представлены публикации по схожей проблематике. В статье Винера есть ком- ментарий по данному вопросу. По этой причине теорию фильтрации и прогно- зирования иногда называют теорией Винера-Колмогорова (см., к примеру, [2]). Основной целью дальнейших исследований в теории оценивания стало на- хождение параметров линейной модели, называемой фильтром Винера, с помо- щью которой осуществляется прогноз ,а также отслеживание случайного сиг- нала и выделение из него полезного сигнала. Одним из примеров является ра- бота Боде и Шеннона [3], в которой представлен упрощенный метод решения задачи фильтрации. В этой статье используется предположение, что произволь- ный случайный сигнал можно с точностью до вторых статистических моментов описать выходом некоторой линейной динамической системы, на вход которой подается последовательность независимых случайных сигналов – белых шумов. Это предположение является фундаментальным в теории оценивания и исполь- зуется во многих последующих работах. Также был разработан метод собствен- ных функций уравнения Винера-Хопфа [4], который может быть использован
и для нестационарных моделей.
Однако у разработанных методов теории оценивания было немало недостат-
ков. К примеру, высокая трудоемкость численной реализации и ограниченный круг применения на практике. Если к постановке задачи добавить новые усло- вия, например, нестационарность искомого фильтра, то применение описанных ранее методов становилось очень сложным для человека, который не являл- ся специалистом в определенных областях математики. На основе результатов по решению задачи Винера в 1960 году венгерским ученым Р. Калманом бы- ла написана фундаментальная статья [5] по теории оценивания. В ней Калман предложил метод синтеза оптимального фильтра, который был применим без каких-либо модификаций в стационарной и нестационарной статистике, а также при синтезе фильтров с растущей и бесконечной памятью. Качественным отли- чием предложенных в статье методов является представление в пространстве состояний. Стоит отметить, что в калмановской фильтрации предполагается, что математическая модель рассматриваемого объекта и статистические харак- теристики входных возмущений известны точно. Методика построения фильтра Калмана является классическим результатом в теории линейной фильтрации. Уточним, что в случае линейной фильтрации моделью фильтра является неко- торая линейная система, а критерием оптимальности полученной оценки высту- пает квадратичная функция (в том случае, который был рассмотрен Калманом, критерием оптимальности оценки являлась среднеквадратичная ошибка оцени- вания).
Впоследствии Калманом и его коллегами было опубликовано еще несколько важных работ, которые внесли огромный вклад в развитие теорий управления и фильтрации. К примеру, в [6] был представлен вывод нелинейных дифференци- альных уравнений Риккати для ковариационной функции оптимального филь- тра. Вдобавок, в статье описан принцип двойственности, суть которого состоит в связи между задачами оптимального оценивания и оптимального управления. В [7] математически описана связь двух разных способов описания объекта: че- рез систему уравнений в пространстве состояний и через вход-выходные соотно- шения. Представлена методика определения минимального числа переменных состояния, необходимых для описания модели объекта с заданной матричной передаточной функцией. Данный подход основан на понятиях управляемости и наблюдаемости, которые были подробно рассмотрены в [8]. Фильтр Калма- на имеет огромное количество примеров практического применения, таких как прогнозирование динамики химических процессов, обработка изображений и радиосигналов. Он также находит применение в аэрокосмической индустрии и т.д.
Методика построения фильтра Калмана использовалась не только в про- блематике фильтрации, но и для синтеза регулятора при наличии гауссовских внешних возмущений, а также белого шума в измерениях. Такие задачи назы- ваются линейно-квадратичными гауссовскими (LQG) и являются обобщением задач синтеза линейно-квадратичного регуляторов (LQR). Критерий оптималь- ности искомого LQG-регулятора имеет более сложную форму, чем в случае Кал- мановской фильтрации. В технических объектах величина управляющего сиг- нала, подавляющего внешние возмущения, является ограниченной вследствие особенностей конструкции и исполняющего устройства. Также состояние объ- екта в конце рассматриваемого интервала времени может иметь определяющее значение. В итоге, функционал качества регулятора представляет собой квад- ратичную форму по состоянию объекта и управлению. Сам LQG-регулятор яв- ляется линейной динамической системой, построенной на основе фильтра Кал- мана с выходом в виде отрицательной обратной связи по оценке состояния, генерируемой фильтром. Матрицы фильтра и регулятора вычисляются незави- симо друг от друга в результате решения соответствующих уравнений Риккати в прямом (фильтрация) и обратном (управление) времени. По сути решают- ся две задачи – линейно-квадратичного оценивания (LQE) и синтеза LQR. По тематике синтеза LQG-регуляторов можно найти множество научных работ, в особенности во второй половине XX века. Существенный вклад в развитие теории LQG-регуляторов внесен в работах [9], [10], [11], [12] и многих других. Стоит отметить, что у LQG-регуляторов существует значительная проблема, которая заключается в том, что эти регуляторы не являются робастными, т.е. устойчивыми к изменчивости параметров объекта во времени или статистиче- ской неопределенности внешних возмущений. Немалое количество публикаций 70-80-х годов посвящено анализу и подходам к решению данной проблемы.
Если в LQG-задаче преобразовать квадратичный функционал качества пу- тем ввода регулируемого выхода модели специального вида, то можно полу- чить критерий оптимальности в виде 2-нормы этого выхода. Как известно, 2- норма выходного сигнала при подаче на вход гауссовского белого шума про- порциональна H2-норме этой системы, где H2 — нормированное пространство Харди комлекснозначных ограниченных аналитичных в правой полуплоско- сти функций. Таким образом, LQG-задача может быть сведена к минимиза- ции H2-нормы оператора вход-выход рассматриваемой системы. Теории H2- оптимального управления и H2-фильтрации являются одними из ключевых в своих областях. Основные положения и результаты применения методов дан- ной теории можно найти во многих научных публикациях, к примеру, в рабо- тах [13–15]. Отметим, что H2-оптимальный фильтр может использоваться при условии подачи на вход системы белого гауссовского шума или при известных первом и втором статистических моментах возмущения, поскольку в данном случае возмущение можно аппроксимировать с точностью до первых двух мо- ментом гауссовским возмущением. Также предполагается, что точно известны параметры модели исследуемого объекта, т.е. матрицы линейной модели объ- екта являются детерминированными. Методы H2-оптимальной фильтрации ис- пользуются для моделей с постоянными и переменными во времени матрицами, с непрерывным и дискретным временем, а также для разных частных случаев входных возмущений. Примеры решения задач H2-фильтрации можно найти в [16–18] и многих других.
Статистические или иные свойства шумов достаточно сложно определить в большинстве практических задач, фильтр Калмана может оказаться неопти- мальным выбором в тех случаях, когда предположения о свойствах входного возмущения являются ошибочными. При достаточно большой ошибке оценки свойств шумов эффективность найденного фильтра в оценивании состояния объекта может оказаться довольно низкой. В H2-теории входное случайное воз- мущение объекта можно с точностью до вторых статистических моментов оце- нить с помощью соответствующего гауссовского шума. Можно доказать, что входное возмущение объекта является наихудшим случайным шумом из опреде- ленного класса случайных процессов. Это означает, что данный шум оказывает максимальное влияние на значение интересующего исследователя выхода моде- ли. Если регулятор эффективно подавляет наихудший шум, то он точно будет эффективен и в остальных случаях, когда шум не является наихудшим. Норма передаточной функции при подаче на вход наихудшего возмущения называ- ется H∞-нормой системы. При построении H∞-фильтра математически кон- струируется наихудшее внешнее возмущение и решается стандартная задача фильтрации при данном возмущении. В [19] подобная задача рассматривается с позиции теории игр как игра с нулевой суммой, в которой игроками являются исследователь и сама природа. Исследователь стремится получить оптималь- ную оценку выхода модели объекта на основе имеющихся измерений при нали- чии внешних возмущений, а природа стремится подать на систему возмущение, оказывающее максимальный эффект на значение выхода и таким образом, пре- пятствуя достижению исследователем своей цели. В реальных ситуациях H∞- оптимальный фильтр может оказаться излишне консервативным, а в некоторых случаях практической реализации – неоправданно энергозатратным. К приме- ру, если входное возмущение является слабоокрашенным гауссовским шумом. Однако подобный фильтр, так же как и H2-фильтр, широко используется в оптимальной и субоптимальной фильтрации для различных линейных систем. Примеры применения методов H∞-теории при синтезе оптимальных регулято- ров и фильтров можно найти в [20–26] и множестве других работ.
Стоит отметить, что решение задач оптимального оценивания чаще все- го разбивается на два этапа: анализ системы и синтез оценивателя. Один из типов задачи анализа заключается в определении выражений для H2 и H∞- норм. Эта задача может быть двух видов в зависимости от типа выражений: в частотной области или пространстве состояний. Другим примером являет- ся проверка условий ограниченности соответствующей нормы сверху заданной величиной. Задачи синтеза состоят в поиске фильтра (оптимальная или субоп- тимальная фильтрация), которые обеспечивают минимум или ограниченность сверху нормы системы, замкнутой регулятором, или системы в ошибках филь- трации. Процесс решения чаще всего заключается в поиске решений диффе- ренциальных, алгебраических или разностных уравнений Риккати, в которые входят матрицы модели рассматриваемого объекта и искомого регулятора или фильтра. Основы теории H∞-оптимального управления были заложены в рабо- те Зеймса [27]. В ней постановка задачи оптимального управления приводится во вход-выходном представлении. Впоследствии были опубликованы другие на- учные труды, в которых были описаны разнообразные подходы к синтезу H∞- оптимальных регуляторов и фильтров. Примерами этих работ является ста- тья [28], в которой представлены результаты решения задач анализа и синтеза H2 и H∞-оптимальных регуляторов для линейных непрерывных стационарных систем, а также [29,30].
В научных работах по H2-фильтрации было показано, что стандартные H2- оптимальные фильтры наиболее эффективны при выполнении описанных выше условий и обладают низкой робастностью. А H∞-фильтры демонстрируют вы- сокую эффективность и робастность во многих примерах, однако и у них есть существенные недостатки, такие как консервативность (из-за расчета на наи- худший случай) и большие затраты энергии при их реализации. Существует множество научных работ по синтезу фильтров, которые дают лучшие оценки при наличии возмущений с неизвестными точно статистическими характери- стиками и менее консервативными. К примеру, есть пример решения задачи синтеза априорного фильтра [31], обеспечивающего оценку состояния системы с ковариационной матрицей ошибки оценивания, ограниченной сверху заданной матричной величиной. Неопределенность рассматриваемой системы заключает- ся в матрице динамики состояния системы и матрице соответствия состояния и выхода системы . В работе приведен сравнительный анализ эффективности предложенного метода синтеза, а также известных ранее классического филь- тра Калмана и его робастной модификации, описанной в [32]. Из результатов анализа видно, что предложенный метод решения задачи фильтрации при на- личии в матрицах системы ограниченных по модулю неопределенностей обеспе- чивает большую эффективность по сравнению с фильтром Калмана. Также при решении задач фильтрации для линейных дискретных систем с неопределенно- стями использовались робастные H∞-фильтры с конечной импульсной харак- теристикой [33], которые часто применяются при обработке данных. Существу- ет немало известных модификаций фильтров с конечной (FIR) и бесконечной (IIR) импульсными характеристиками и примеров их применения [34–36] при решении задач фильтрации для линейных систем непрерывного и дискретного времени на конечном и бесконечном интервалах времени. Основными их пре- имуществами является высокая скорость расчета и более высокая робастность по сравнению с фильтром Калмана. Однако, в случае входного возмущения с неопределенными статистическими характеристиками данные подходы могут оказаться недостаточно эффективными. Помимо модификаций уже известного фильтра Калмана, можно рассматривать задачу оптимальной фильтрации с от- личным от использованных ранее критерием качества оценки. К примеру, в [37] критерием качества является математическое ожидание экспоненты от квадра- та ошибки оценивания, умноженной на параметр чувствительности к рискам. Задачи анализа и синтеза с таким критерием известны как LEQG-задачи. В зависимости от значения параметра чувствительности можно получить зада- чу синтеза оптимального фильтра, значительно более робастного чем фильтр Калмана и имеющего определенное сходство с H∞-фильтром.
Немало внимания было уделено решению задач оптимального управления и фильтрации при наличии неопределенного входного возмущения или случай- ных неопределенностей с неизвестными параметрами внутри системы (их еще называют внутренними возмущениями). К примеру, в [38] неопределенность случайного возмущения характеризуется с помощью условной относительной энтропии, а устойчивость системы к таким возмущениям характеризуется ин- дексом робастности. Неопределенности также могут быть описаны с помощью политопов [39], [40]. В 90-е годы была предложена анизотропийная теория сто- хастического робастного управления [41]. Данная теория была построена на ос- нове нового подхода к описанию внешних возмущений и соответствующей кор- рекции критерия качества управления и фильтрации. Методы H2- и H∞-теорий представляются частными случаями данной теории. Стоит также отметить, что введение понятия анизотропии связано с определением энтропийного функцио- нала, описывающее среднее количество взаимной информации стационарных и стационарно связанных гауссовских процессов. Подобный функционал исполь- зуется в неопределенных проблемах продолжения, к которым сводятся многие задачи робастного управления, поэтому было введено понятие анизотропии для описания энтропийного функционала в терминах теории управления, что позво- ляет специалистам по теории управления использовать данный математический аппарат при решения задач робастного управления и фильтрации. В работе [42] представлена формулировка задачи стохастической H∞-оптимизации, подразу- мевающей введение критерия качества в виде стохастического коэффициента усиления системы. Помимо этого, в данной работе описана связь введенного коэффициента усиления с H2- и H∞-нормами. В 1996 году на международной конференции ИФАК (International Federation of Automatic Control) была пред- ставлена работа [43], в которой введено определение анизотропийной нормы системы и методы вычисления данной нормы для линейной дискретной стаци- онарной системы в частотной области и пространстве состояний. Вдобавок, на той же конференции представлена работа [44], в которой описано решение вы- шеупомянутой задачи стохастической H∞-оптимизации в пространстве состо- яний с применением анизотропийной теории. Позднее, в 1999 году, в издании Автоматика и Телемеханика была опубликована статья [45], в которой рассмот- рены особенности сходимости анизотропийной нормы к H2 и H∞-нормам при изменении верхней границы средней анизотропии гауссовских входных шумов. В 2001 году было опубликовано две работы, посвященных анизотропийному анализу для линейных дискретных стационарных систем [46] и их нестацио- нарных аналогов [47]. Также стоит упомянуть работу [48], в которой описан анизотропийный анализ робастного качества для линейной системы на конеч- ном временном интервале. В этой работе представлены формулы для анизотро- пийной нормы в пространстве состояний.
На основе вышеперечисленных и многих других работ по анизотропийной теории было написано большинство последующих публикаций, посвященных анизотропийному анализу, синтезу анизотропийного управления и анизотро- пийного фильтра. Как и в случае H2 и H∞-оптимизации, в анизотропийной теории синтез заключается в поиске решения алгебраического или разностного уравнения Риккати относительно матриц искомого регулятора или фильтра. Важные результаты в области анизотропийного анализа представлены в рабо- те [49]. В ней сформулирована обратная задача анизотропийного анализа, кото- рая заключается в поиске значения максимальной средней анизотропии 0, при котором анизотропийная норма системы не превосходит заданной величи- ны . Стоит заметить, что в задаче оптимальной фильтрации поиск решения уравнения Риккати приводит к единственному решению, которое является наи- более эффективным для заданной конфигурации системы. Если же свойства системы изменятся, оптимальный фильтр уже не будет обеспечивать минимум заданного критерия качества. Логично не решать заново оптимальную зада- чу, а перейти к субоптимальной задаче, результатом которой является фильтр, обеспечивающий в любом случае ограниченность значения критерия сверху за- данным числом. В таких случаях используется переход от уравнений Риккати к соответствующим неравенствам Риккати. Затем используется известная лемма Шура для преобразования неравенств Риккати к линейным матричным нера- венствам (ЛМН). Примеры его применения можно найти в работе [50], в ко- торой представлены условия ограниченности анизотропийной нормы линейной дискретной стационарной системы в виде ЛМН. А в последующей работе [51] эти условия ограниченности использовались при поиске субоптимального филь- тра для таких систем. В качестве примера использования описанного подхода в синтезе субоптимального управления можно привести работу [52], в которой была решена задача синтеза статического анизотропийного регулятора по выхо- ду, обеспечивающего ограниченность анизотропийной нормы сверху заданным числом. Описанный выше метод используется и в данной диссертационной ра- боте.
От анизотропийного анализа и синтеза для линейных дискретных стаци- онарных систем перейдем к аналогичным задачам для нестационарных. Для них вместо алгебраического уравнения Риккати необходимо решать разностное уравнение с дополнительным условием специального вида. В результате перехо- да от уравнения к неравенствам получаются линейные матричные неравенства для каждого шага на конечном временном интервале. В работе [53] приведе- на соответствующая формулировка леммы об ограниченности анизотропийной нормы системы. Эта лемма является основой для многих работ по субопти- мальной анизотропийной фильтрации для упомянутых выше систем. Задача субоптимальной анизотропийной фильтрации для линейных нестационарных систем была решена в [54]. Стоит отметить, что в данной работе рассмотрены и предельные случаи уровней анизотропии = 0 и → ∞. А в [55] представле- ны методы синтеза оптимального анизотропийного фильтра и рассуждения о применении этих результатов для поиска оптимальной оценки состояния нели- нейных систем.
Во всех описанных выше публикациях методы анизотропийной теории ис- пользовались для математических моделей с детерминированными матрицами. Однако, большой интерес представляют и системы со случайными матрица- ми, поскольку многие процессы в технических и физических объектах происхо- дят случайным образом. Многие задачи теорий управления и фильтрации для стохастических систем в общем виде остаются нерешенными. Поэтому ученым чаще всего приходить вводить определенные предположения о статистических свойствах таких моделей. Существует предположение, что случайные процес- сы внутри объекта можно считать независимыми друг от друга аддитивными шумами. При построении линейной модели динамики данного объекта эти шу- мы должны учитываться для адекватного описания поведения объекта. Поэто- му аддитивные шумы входят в состав соответствующих матриц, описывающих свойства системы. Поскольку эти внутренние шумы в уравнениях системы пере- множаются с внешними случайными возмущениями, их называют мультипли- кативными. Поэтому системы с мультипликативными шумами часто называют билинейными стохастическими. Данное допущение позволяет решать задачи анализа и синтеза для подобных моделей на основе имеющегося математиче- ского аппарата и результатов теории фильтрации. При этом системы с муль- типликативными шумами являются достаточно эффективной аппроксимацией стохастических систем. С середины двадцатого столетия появилось немало на- учных работ по проблематике синтеза регуляторов и оценивателей для таких моделей. Системы с мультипликативными шумами часто используются для ма- тематического описания разнообразных физических и финансовых процессов, технических объектов и т.д.,как показано в [56–58]. Вследствие большого науч- ного интереса к ним уже существует множество статей на темы управления и оценивания состояния системы, например [59], синтез линейно-квадратичного регулятора в [60], синтез робастного регулятора и фильтра, обеспечивающих ограниченность H∞-нормы системы в [61]. Также по данной тематике стоит ознакомиться с работами [62, 63]. В данной диссертационной работе основным объектом изучения являются линейные дискретные нестационарные системы на конечном интервале времени со случайными изменениями в матрице в виде мультипликативных шумов. Для них рассматриваются задачи анизотропийно- го анализа и субоптимальной анизотропийной фильтрации. В процессе реше- ния этих задач были сформулированы и доказаны лемма о вычислении анизо- тропийной нормы системы, лемма о ограниченности нормы сверху заданным числом и достаточные условия существования линейного фильтра, обеспечи- вающего ограниченность анизотропийной нормы системы в ошибках оценива- ния. Помимо общей постановки фильтрации, были изучены несколько частных случаев данной задачи при наличии дополнительных ограничений на свойства модели и фильтра.
Структура диссертационной работы построена следующим образом. Во вве- дении приведен обзор литературы по теории фильтрации, анизотропийной тео- рии и их применения для различных классов систем, в том числе систем с мультипликативными шумами. Также в этом разделе сформулированы цели исследования, основные положения, выносимые на защиту, и данные о струк- туре и объеме диссертации. В первой главе диссертации изложены основные положения анизотропий- ной теории: понятия анизотропии случайного вектора и соответствующей ани- зотропийной нормы линейных дискретных нестационарных систем с детерми- нированными матрицами. Также в данной главе представлены решения задач анизотропийного анализа и синтеза субоптимального анизотропийного фильтра для подобного типа математических моделей. Эти решения представлены в виде соответствующих теорем о вычислении анизотропийной нормы, о ее ограничен- ности и о существовании анизотропийного субоптимального фильтра. Большая часть этих результатов были опубликованы не автором диссертации, поэтому приводятся с ссылками на первоисточники.
Во второй главе диссертации представлены результаты решения задач ани- зотропийного анализа для объекта изучения данной работы. Приведены фор- мулировки и доказательства теорем о вычислении анизотропийной нормы в пространстве состояний и о ограниченности анизотропийной нормы сверху за- данным числом.
В третьей главе, на основе результатов по анизотропийному анализу из предыдущей главы, описан подход к решению соответствующей задачи субопти- мальной анизотропийной фильтрации для систем с мультипликативными шума- ми. Рассмотрены общий случай задачи фильтрации и частные случаи при опре- деленных ограничениях, накладываемых на систему искомого фильтра. Одним из частных случаев является задача фильтрации для системы со случайными сбоями в датчиках. Подобный случай является широко распространенным на практике и потому синтез эффективного субоптимального фильтра для него является актуальной проблемой. В конце главы приведен численный пример реализации разработанного метода синтеза субоптимального фильтра с резуль- татами в виде графиков и таблиц и сравнительным анализом с известными H2- и H∞-фильтрами.

В процессе работы над диссертацией были получены следующие результаты:

1. Разработан метод вычисления в пространстве состояний анизотропийной

нормы для линейных дискретных нестационарных систем с мультиплика-

тивными шумами на конечном интервале времени. Проведен сравнитель-

ный анализ методов для детерминированного и стохастического случаев.

2. Сформулированы необходимые и достаточные условия ограниченности

анизотропийной нормы системы с мультипликативными шумами в терми-

нах разностных уравнений Риккати, а также достаточные условия огра-

ниченности анизотропийной нормы системы в терминах неравенства Рик-

кати.

3. Предложен метод синтеза субоптимального анизотропийного фильтра для

линейных дискретных нестационарных систем с мультипликативными шу-

мами на конечном интервале времени. Получены решения задачи субоп-

тимальной анизотропийной фильтрации в зависимости от конфигурации

искомого фильтра.

4. Разработан метод синтеза субоптимального анизотропийного фильтра для

систем со случайными сбоями в датчиках. Представленный метод заклю-

чается в решении системы линейных матричных неравенств в терминах

матриц искомого фильтра.

5. Реализовано численное решение задачи субоптимальной анизотропийной

фильтрации с использованием полученного метода для линеаризованной

модели продольного движения самолета в режиме посадки. Проведен срав-

нительный анализ синтезированного анизотропийного фильтра с субопти-

мальными ℋ2 -фильтром и ℋ∞ -фильтром.

[1] N. Winer. The Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time