Разработка методов параметрического моделирования колебательной компоненты экономической динамики

ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ
1.Усовершенствована и дополнена методика определения параметров
простейшей гармонической функции как основы моделирования сложной
колебательной динамики.
Периодическую колебательную компоненту можно в простейшем случае
представить с помощью гармонической функции синуса или косинуса от независимой
переменной времени:
S=ψ ) A1 sin ωt + A2 cos ωt ,
(t ) A sin (ωt +=(1)
где A1 = A cosψ , A2 = A sinψ – соотношения, позволяющие определить амплитуду
A2
=AA12 + A22 и фазу ψ = arctg.
A1
Метод определения параметров гармонической функции, линейной по
параметру А, но нелинейной по параметрам фазы и циклической частоты, должен без
упрощений и преобразований исходных данных получать оценки параметров модели.
Вдискретныхнаблюденияхтребуетсянахождение оценок A1, A2 , ω
детерминированной компоненты модели (1)
=Dk A sin (ω k=D + ψ ) A1 sin ω k D + A2 cos ω k D .(2)
Идентификацию параметров модели (2) предлагается провести методом, с
использованием ARMA-моделей и двухэтапной процедуры параметризации.
На первом этапе, применяя преобразование Лорана (Z-преобразование),
получим Z-отображение модели (2):

Z [D k ] =
A1 λ 0 z −1
+
(
A2 1 − λ 0 z −1)
1 − λ z −1 + z − 2 1 − λ z −1 + z − 2 ,
где λ 0 = cos ω∆ , λ1 = 2 cos ω∆ .
Преобразуем последнее выражение к виду:
()()
Z [Dk ] 1 − λ1 z −1 + z −2 = A1λ 0 z −1 + A2 1 − λ0 z −1 .(3)
Возвращаясь в пространство оригиналов, воспользуемся свойством смещения
Z-преобразования ( z − n D( z ) → D k − n ) и, учитывая, что правая часть выражения (3)
равна нулю для k > 2, получим, что D k − λ1 D k −1 + D k − 2 = 0 .
Можно записать последнее выражение в виде разностного уравнения для
уровней детерминированной компоненты модели вида (2)
Dk = λ1 Dk −1 + D k − 2.(4)
Для того, чтобы получить возможность идентификации параметров модели
через наблюдаемые уровни Sk (напомним, что Dk и ξk являются не наблюдаемыми, а
предполагаемыми уровнями декомпозиции ряда) с предположением аддитивного
взаимодействия детерминированной и стохастической компонент S k = D k + ξ k , будем
иметь D k = S k − ξ k , D k −1 = S k −1 − ξ k −1 , D k − 2 = S k − 2 − ξ k − 2 , подставляя которые в (4),
получим уравнение обобщённой параметрической модели авторегрессии-скользящего
среднего для уровней ряда динамики:
S k = λ1 S k −1 − S k − 2 + µ k ,(5)
где µ k = ξ k − λ1ξ k −1 + ξ k − 2 – значения «новой» стохастической компоненты
полученной модели авторегрессии-скользящего среднего.
На первом этапе идентификации из выражения (5) найдём оценки параметра λ10
с помощью МНК. Уравнение МНК первого этапа идентификации относительно
параметра λ1 имеет для нахождения оценки λ10 параметра λ1 вид:
N
λ10 = arg min ∑ {S k − λ1 S k −1 + S k − 2 }2(6)
λ1k =3
Таким образом, нахождение МНК-оценки λ10 реализуется посредством
реализации необходимого условия минимума – взятием частной производной от
усреднённойквадратичнойневязки∑k =3 {S k− λ1 S k −1 + S k − 2 }2в(6)и
N

приравниванием полученного выражения нулю:
N
∂  ∑ {S k − λ1 S k −1 + S k − 2 }2 
 k =3
= 0.
∂λ1
Получим:

∑ {2(Sk − λ1Sk −1 + Sk − 2 )(− Sk −1 )} = 0 ; ∑ {λ1 S k2−1 − S k −1 S k − 2 − S k −1 S k }= 0 .
NN

k =3k =3
Помехозащищённая оценканаходится по совокупности имеющихся
λ10
наблюдений по следующей формуле:
Μ{S k −1 S k − 2 + S k −1 S k }
λ10 =
{ }
.
Μ S k2−1
Из введённого обозначения λ1 = 2 cos ω∆ очевидно определение оценки
1λ0
ω0 =arccos 1 .
∆2
На втором этапе идентификации для оставшихся параметров A1, A2 сформируем
«нормальную» систему алгебраических линейных уравнений (СЛАУ) относительно
МНК-оценок параметров Ai для i = 1, 2, используя необходимые условия минимума
квадратичной невязки:
N
Ai0 = arg min ∑ (S k − ( A1 sin ω 0 k∆ + A2 cos ω 0 k∆ ))2(7)
Aik =3
Из полученной СЛАУ несложно получить оценки A10 и A20 , что в свою очередь
даёт возможность полностью определить параметры (1)
0202A20
A = A1 + A2 ,ψ = ± arctg 0 .
(8)
A1
Отметим, что описанный способ позволяет в аналитическом виде получить
параметры модели периодической динамики с фазой ψ .
Описанная методика определения параметров простейшей гармонической
функции синуса является основой комплекса приемов и методов для моделирования
сложной колебательной динамики.
2.Обоснована достаточность использования для описания различных
форм колебательной компоненты с удовлетворительной для экономических
приложений точностью относительно несложной параметрической модели с
минимальным числом определяемых параметров, состоящей из аддитивной
комбинации 3-х простейших гармонических функций.
Реальная сезонная или циклическая динамика зачастую имеет более сложную
форму, чем синусоида, представленная моделью (1), и может быть описана
аддитивной комбинацией нескольких гармонических функций. Известен ряд
типичных видов стационарной периодической динамики (таблица 1), аналитические
модели которых могут быть представлены разложением в ряд Фурье с определённым
соотношением частот и амплитуд.
Таблица 1 – Классические виды периодической динамики 2
«Пилообразная»
A
(t ) Asin(ωt + ϕ ) − sin(2ωt + ϕ ) +
S=
A
+ sin(3ωt + ϕ ) − …
«Треугольная»
A
(t ) Asin(ωt + ϕ ) −
S=sin(3ωt + ϕ ) +
A
+sin(5ωt + ϕ ) − …
5 2
«Прямоугольная»
A
(t ) Asin(ωt + ϕ ) +
S=sin(3ωt + ϕ ) +
A
+sin(5ωt + ϕ ) + …
«Куполообразная» (1 тип)
A2
( t ) Asin(ωt + ϕ ) −
S=cos(2ωt + ϕ ) −
1⋅ 3
AA
− 2 cos(4ωt + ϕ ) − 2 cos(6ωt + ϕ ) − …
3⋅55⋅7

«Куполообразная» (2 и 3 тип)
cos2ωt cos4ωt cos6ωt
S (t ) = −−−− …
122232
cos2ωt cos3ωt
S ( t ) =cosωt −+− …
2232

Добавление в модель колебательной компоненты каждого нового члена ряда
Фурье, с одной стороны, улучшает её качество (повышает точность сглаживания
исходного временного ряда), а с другой, при параметрическом моделировании,
приводит к более сложным математическим вычислениям, требует решения систем
На изображениях по оси ординат – моделируемый показатель, по оси абсцисс – время
линейных и нелинейных уравнений высоких порядков, что снижает устойчивость
получаемых оценок параметров моделей.
В ходе ряда проведённых компьютерных экспериментов с основными типами
периодической динамики («треугольной», «прямоугольной» и «куполообразной»
любого типа) установлено, что каждый новый член ряда Фурье даёт всё меньший
прирост точности аппроксимации (таблица 2), не имеющий принципиального
значения для многих экономических задач. Прогнозы в экономике с точностью выше
90% считаются высокоточными, а из таблицы 2 очевидно, что уже при трёх членах
разложения в ряд Фурье этот показатель может быть достигнут.
Таблица 2 – Значения коэффициента детерминации 2 при вариации числа членов
ряда Фурье для разных типов периодической динамики
2 при числе членов
НазваниеАналитическое выражениеразложения
1234
Тре-sin ωt −
S (t ) =
sin 3ωt +
sin 5ωt −
sin 7ωt + …0,9840,9970,9990,999
угольная222
Прямо-111
sin ωt +
S (t ) =sin 3ωt +sin 5ωt +sin 7ωt + …0,8290,9170,9470,964
угольная357
Куполо-12 cos 2ωt cos 4ωt cos 6ωt
S (t ) =sin ωt −(+++ …) 0,838
образная2π 1* 33*55*60,9910,9970,999
1 тип
Куполо-cos 2ωt cos 4ωt cos 6ωt
образная−
S (t ) =−−− …0,9170,9790,9920,996
2 тип222
Куполо-cos 2ωtcos 3ωtcos 4ωt
образнаяS (t ) =cos ωt −+−+ …0,9210,9800,9920,996
3 тип222
Таким образом, можно утверждать, что для достижения достаточной точности
моделирования периодической экономической динамики параметрическими
моделями, состоящими из аддитивной комбинации нескольких гармоник ряда Фурье,
вполне достаточно всего лишь трёх членов разложения
S (t ) A1sin (ω1t + ϕ1 ) + A2sin (ω2t + ϕ2 ) + A3sin (ω3t + ϕ3 ) .
=(9)
3.Для получения модели колебательной компоненты периодической
динамики с возможностью интерпретации её экономического смысла
предложено основной циклической частоте полигармонической функции после
получения первичных её оценок принудительно присваивать значения,
отражающие естественный, задаваемый внешней средой (природный,
календарный, электоральный и др.) или признанный экономистами (циклы
Китчина, Жюгляра, Кузнеца, Кондратьева и др.) период колебаний экономических
показателей, а на вспомогательные циклические частоты ввести условие их
кратности основной.
При реализации алгоритма определения параметров при описании
колебательной компоненты полигармонической моделью вида (9) не решена одна
существенная проблема.
Для стационарной колебательной динамики должны быть справедливы для
любого момента времени t следующие условия:
1)суммарное изменение моделируемого показателя за период должно быть
t +T
равно нулю, т.е.∫S (t )dt = 0 ;(10)
t
2)изменение моделируемого показателя на интервале наблюдения должно
быть периодическим, т.е. S (= t ) S (t + T ) .(11)
Для соблюдения условий (10) и (11) необходимо, чтобы при
полигармоническом представлении стационарной колебательной динамики вида (9)
соблюдалось условие кратности частот разных гармоник, т.е.
=ω1, ω2 r2= ω1, ω3 r3ω1=,…, ωn rnω1 , при ω1 < rωi ,(12) где r = 1,2,..., n - целые числа, а i = 2,3 . 2π Гармонику с наименьшей частотой ω1 =(т.е. гармонику с наибольшим T1 периодом) в (9) будем называть «основной», как определяющую в целом период колебаниймоделируемогоэкономическогопоказателя,аостальные– 2π2π «вспомогательными» ( ω1 < ω2 =< ω3 =, что означает, что T1 > T2 > T3 ), т.к.
T2T3
именно значения их параметров (частоты, амплитуды и фазы) формируют форму
стационарной колебательной компоненты (таблица 1).
Действительно, при некратных частотах в одном периоде основной гармоники
T1 может содержаться неполное число периодов вспомогательных гармоник Ti , что
приведёт к нарушению условий (10) и (11).
Определение оценки основной циклической частоты ω1 колебательной
компоненты по алгоритму, описанному в п.1 «Основных положений и результатов
исследования, выносимые на защиту» настоящего автореферата, позволяет получить
предварительную информацию о периоде основных колебаний.
Для большинства экономических процессов период «основной» гармоники
априори известен или может предполагается исследователем: продолжительности
циклов Китчина (2-4 года), Жюгляра (7-11 лет), Кузнеца (15-20 лет), Кондратьева (45-
60 лет), известна продолжительность периода между выборами (электоральные циклы
от 4 до 7 лет в зависимости от страны), для сезонных (длящихся менее года) –
традиционны периоды длительностью год, квартал, месяц, неделя или день.
Для исключения получения абсурдных с точки зрения экономики
аналитических моделей колебательной компоненты, которые могут получиться при
техническом подходе к моделированию, при применении алгоритма получения
оценки основной циклической частотыω10 , требуется сравнить полученную оценку с
2π
предполагаемым или известным периодом колебаний (таблица 3) T 0 =.
ω10
В случае их несовпадения (особенно это актуально для сезонных колебаний)
предлагается скорректировать значение основной циклической частоты ω1 путём
введения её значения из близких к стандартным табличным значений в модель
принудительно («вручную»), и повторно провести (используя выражения (7) и (8))
идентификацию параметров гармоники (1) и уточнить оценки параметров A1 и A2 .
Таблица 3 – Стандартные значения оценок основной частоты гармонической функции
для распространенных периодов сезонности и цикличности
ПредполагаемыйЧислоЗначение
Дискретность
периоднаблюдений заосновной частоты
имеющихся
колебательнойпериод основной
наблюдений
компонентыгармоники N
ω1 = 2π N
Цикл Кондратьева
от 45 до 60от 0,1396 до 0,1047
от 45 до 60 лет
Цикл Кузнеца
Ежегодныеот 15 до 20от 0,4189 до 0,3146
от 15 до 20 лет
Цикл Жюгляра
от 7 до 11от 0,8976 до 0,5712
от 7 до 11 лет
Цикл Кондратьева
от 540 до 720от 0,0116 до 0,0087
от 45 до 60 лет
Цикл Кузнеца
от 180 до 240от 0,0349 до 0,0262
от 15 до 20 лет
Цикл Жюгляра
от 84 до 132от 0,0748 до 0,0476
от 7 до 11 лет
Помесячные
Цикл Китчина
от 24 до 48от 0,2618 до 0,1309
от 2 до 4 лет
Электоральный
президентский цикл72≈0,0873…
в РФ (6 лет)
Год12≈0,5238…
Год54≈0,1164…
Еженедельные
Квартал13≈0,4835…
Год≈365≈0,0172…
Квартал≈90≈0,0698…
Ежедневные
Месяц≈30≈0,2095…
Неделя7≈0,8979…
ЕжечасныеДень24≈0,2619…
День1440≈0,0043…
Ежеминутные
Час60≈0,1047…
Этот приём позволит придать получаемой параметрической модели
экономический смысл, позволяющий использовать её для анализа, мониторинга и
управления экономическими системами и процессами.
4.Методпоследовательногоопределенияпараметров
полигармонической модели колебательной компоненты (метод «поэтапной
частотной декомпозиции»).
В общем виде любую стационарную (т.е. параметры которой неизменны во
времени) колебательную компоненту можно представить в виде разложения в ряд
Фурье, причем, как доказано в п.2 «Основных положений и результатов исследования,
выносимые на защиту» настоящего автореферата, для моделирования периодической
экономической динамики разнообразных форм параметрическими моделями, вполне
достаточно аддитивной комбинации всего лишь 3-х гармоник.
При предположении независимости значений случайной компоненты µ (t ) от
уровня наблюдений колебательная компонента может быть в общем виде
представлена моделью из трёх гармоник с аддитивным взаимодействием со
стохастической (случайной) компонентой:
=2 , ω3 ,ϕ3 , t ) + µ (t )
S (t ) F (ω1,ϕ1, ω2 ,ϕ=
µ (t )
= f1 (ω1,ϕ1, t ) + f 2 (ω2 ,ϕ2 , t ) + f3 (ω3 ,ϕ3 , t ) + =(13)

= A1sin (ω1t + ϕ1 ) +A2sin (ω2t + ϕ2 ) + A3sin (ω3t + ϕ3 ) + µ (t ).
Выражение (13) наглядно представляет сложную периодическую динамику в
виде более простых составляющих, что подталкивает к реализации идеи проведения
её декомпозиции: представить колебательную компоненту в виде отдельных гармоник
разной частоты и отдельно определить параметры каждой из них.
Процедура включает в себя реализацию следующих этапов (в обозначениях для
дискретных наблюдений).
Первый этап. Предполагая, что имеющаяся периодическая динамика может
быть описана простейшей гармонической функцией вида =Sk A1sin (ω1k ∆ + ϕ1 ) с
помощью метода, описанного в п.1 «Основных положений и результатов
исследования, выносимых на защиту» настоящего автореферата, получим оценки
основной циклической частоты ω1 , оценки фазы ϕ10 и амплитуды A10 .
Второй этап. Предполагая, что периодическая динамика может быть описана
гармоническойфункциейиздвухгармониквида
()
S (t ) A10sin ω10t + ϕ10 + A2sin (ω2t + ϕ 2 ) , параметры первой из которых определены
=
на предыдущем этапе, определяются оценки второй циклической частоты ω2 , оценки
фазы ϕ 20 и амплитуды A20 .
Для этого из значений исходного временного ряда S k вычитаются модельные
значения первой гармоники S k=
*
()
S k − A10sin ω10 k ∆ + ϕ 10= A2sin (ω2 k ∆ + ϕ 2 ) для
получения временного ряда остатков. Дальнейшая процедура определения параметров
второй гармоники ω2 , ϕ 20 и A20 идентична первому этапу. Единственной
особенностью является уже отмеченная ранее необходимость соблюсти кратность
частот ω10 и ω20 из-за требования соответствия оценки вспомогательной частоты
основному периоду колебательной компоненты.
Третий этап. Предполагая, что периодическая динамика может быть описана
гармоническойфункциейизтрехгармониквида
()()
S (t ) A10sin ω10t + ϕ10 + A20sin ω20t + ϕ20 + A3sin (ω3t + ϕ3 ) , параметры первых двух
=
гармоник уже определены на предыдущих двух этапах. Необходимо определить
оценки только третьей гармоники: циклической частоты ω3 , фазы ϕ30 и амплитуды
A30 .
Для этого из значений исходного временного ряда S k вычитаются модельные
значенияпервойивторойгармоник
()()
S k**= S k − A10sin ω10 k ∆ + ϕ10 − A20sin ω20 k ∆ + ϕ20= A3sin (ω3k ∆ + ϕ3 ) , получая новый
временной ряд остатков. Дальнейшая процедура определения параметров третьей
гармоники ω3 , ϕ30 и амплитуды A30 идентична первому этапу. Как и ранее, требуется
соблюсти кратность частоты ω10 и ω30 для соответствия оценки вспомогательной
частоты основному периоду колебательной компоненты.
Несомненно, на финальном этапе необходима сборка полученных
аналитических моделей для отдельных частей модели периодической динамики в
общую модель для оценки ее адекватности исходному временному ряду наблюдений
моделируемого экономического показателя. В процессе сборки потребность в новых
корректировках не возникает, т.к. критерий минимума случайных отклонений
является единственным объективным критерием для имеющейся единственной
гармонической функции, в то время как для известной тренд-сезонной декомпозиции
обычно применяют метод итераций – последовательного приближения, при котором
возможна замена вида предполагаемых моделей тренда или сезонности, и процедура
повторяется до достижения требуемых параметров качества моделирования.
В случае возможной зависимости значений случайной компоненты ξ (t ) от
уровня наблюдений, что может быть на практике характерно для колебаний большой
амплитуды, модель периодической динамики может быть представлена колебательной
компонентой с тремя гармониками с мультипликативным взаимодействием со
стохастической (случайной) компонентой вида
=2 , ω3 ,ϕ3 , t )(1 + ξ (t ))
S (t ) F (ω1,ϕ1, ω2 ,ϕ=
ξ (t ))
= f1 (ω1,ϕ1, t )(1 + ξ (t )) + f 2 (ω2 ,ϕ2 , t )(1 + ξ (t )) + f3 (ω3 ,ϕ3 , t )(1 +=(14)
= A1sin (ω1t + ϕ1 ) (1 + ξ (t ))+A2sin (ω2t + ϕ2 ) (1 + ξ (t )) +
+ A3sin (ω3t + ϕ3 ) (1 + ξ (t )).
Видразностногополучаемого
уравнения,сиспользованием
Z-преобразованиядлядетерминированнойчасти
Sk Dk (1 + ξ=
=k) A1sin (ω1k D + ϕ1 ) (1 + ξ k ) , не изменится
= Dk λ1Dk −1 − Dk −2 ,(15)
=где λ1 2cos ω1∆ .
SkSk −1
S k Dk (1 + ξ k ) , получим Dk =
Однако, выражая из =, Dk −1 =,
1 + ξk1 + ξ k −1
Sk −1
Dk −1 =и, подставляя в (15), получим уравнение обобщенной параметрической
1 + ξ k −1
модели авторегрессии-скользящего среднего для уровней ряда динамики:
SkSS
=λ1 k −1 − k −2 .(16)
1 + ξk1 + ξ k −1 1 + ξ k −2
Преобразуя (16), получим
(1 + ξ k −1 )(1 + ξ k −2 )(1 + ξ k )(1 + ξ k −2 )(1 + ξ k )(1 + ξ k −1 )
=
Skλ1Sk −1− S k −2, (17)
1 + ξk1 + ξ k −11 + ξ k −2
(1 + ξ k ) 2(1 + ξ k ) 2
=Sk λ1Sk −1− S k −2.
(1 + ξ k −1 )2(1 + ξ k −2 )2
С учетом того, что случайная компонента ξ (t ) в записи (14) представляет
собой динамический ряд существенно малых по сравнению с модельными
отклонениями (т.е. ξi ≅ 0 ), математическое ожидание значений ряда которых равно
(1 + ξ k ) 2(1 + ξ k ) 2
M {ξi } = 0 , можно считатьив выражении (17) равными 1, т.е.
(1 + ξ k −1 )2(1 + ξ k −2 )2
вид разностного уравнения и сама процедура частотной декомпозиции (с первого по
третий этап), применяемого в предположении аддитивности стохастической
компоненты, идентична и для мультипликативной.
Следует отметить, что при необходимости (из-за ограничений, связанных с
дискретностью имеющихся наблюдений или при необходимости более точной
аппроксимации моделью исходных наблюдаемых значений), описанный метод можно
использовать как с меньшим, так и большим числом гармоник, чем это предложено в
(13).
Этот метод, по аналогии с известными методами декомпозиции,
предполагающих решение сложной задачи решением серии более простых, и
применения процедуры последовательного определения параметров гармоник можно
назвать методом «поэтапной частотной декомпозиции».
5.Для моделирования колебательной компоненты с эволюционирующей
(изменяемой во времени) амплитудой предложен ряд аналитических моделей, в
которых параметр амплитуды представлен в виде функций (линейной,
экспоненциальной, аддитивной комбинации двух экспонент, обобщённой
экспоненциальной,логистическихфункций,алгебраическихполиномов,
гиперболических полиномов, дробно-рациональных и показательной функций), а
также предложены методы идентификации их параметров.
Априорное предположение о стационарности колебательной компоненты
экономической динамики может не соответствовать реалиям. Достаточно часто в
экономической практике встречаются циклические и сезонные процессы с
изменяемой (эволюционирующей) во времени формой волны, но при этом период
изменения экономического показателя остаётся постоянным.
Рассмотрим практически важные и допускающие относительно простую
идентификацию на коротких выборках модели периодической динамики с эволюцией
амплитуд (таблица 4).
Таблица 4 – Возможные модели эволюции амплитуд 3
Общее
Графическое изображение
№ названиеАналитическая модель периодической
эволюционирующей периодической
п/п тенденциидинамики с эволюцией амплитуды
динамики
Линейная

1( A0 + A1t )sin (ωt + ψ )
S (t ) =
t
На изображениях в таблице по оси ординат – моделируемый показатель, по оси абсцисс – время
Продолжение – Таблица 4 – Возможные модели эволюции амплитуд
Общее
Графическое изображение
№ название Аналитическая модель периодической динамики
эволюционирующей периодической
п/п тенден-с эволюцией амплитуды
динамики
ции
Экспоненциальная

2(t ) Ae −α t  A1sin (ω1t + ϕ1 ) + …
S=t
Экспоненциальная
аддитивная

3( A1e −α1t + A2 eα 2t ) sin (ωt + ϕ )
S (t ) =
экспоненциальная
Обобщённая

4()
A0 + A1e −α t sin (ωt + ϕ )
S (t ) =
t

Логиста Верхулста
Логистическая
=S (t )sin (ωt + ψ )
5A0 + A1e −α t
Логиста Рамсея
S (t )= C (1 − (1 + α t )e −α t )sin (ωt + ψ )
Квадратичная парабола
полиномиальная

S (t ) = ( A0 + A1t + A2t 2 ) sin (ωt + ψ )
Алгебраически
Кубическая парабола
S (t ) = ( A0 + A1t + A2t 2 + A3t 3 )sin (ωt + ψ )

Равносторонняя
 11 
полиномиальная
Гиперболически

S (t ) =
+ sin (ωt + ψ )
 A0 A1t 
Квадратичная
 111 
S (t ) =  sin (ωt + ψ )
++2 
 A0 A1t A2t 
рациональная
Дробно-

1 + … + Pm t
P0 + Ptm
=
8 S (t )sin (ωt + ψ )
1 + Q1t + … + Qn t n
Продолжение – Таблица 4 – Возможные модели эволюции амплитуд
ОбщееГрафическое изображение
№Аналитическая модель периодической
названиеэволюционирующей периодической
п/пдинамики с эволюцией амплитуды
тенденции
Периодическая Показательнаядинамики

9=S (t ) A−α t sin (ωt + ψ )

10[ A0 + A1 sin(ω1t + ψ 1 )] sin(ω2t + ϕ2 )
S (t ) =

Каждая из предложенных в таблице 4 моделей отражает специфическую
динамику изменения амплитуды гармоники, которая может соответствовать
отдельным задачам экономической практики. В диссертационной работе приведены
решения задачи параметризации для четырёх из указанных в таблице 4 моделей в
сочетании с одной гармоникой.
Для периодической динамики более сложной формы, описываемой аддитивной
комбинацией нескольких гармоник, с эволюцией амплитуды по достаточно
разнообразным законам её изменения, для классических или приближенных к ним
видов колебаний (таблица 1), следует применять предложенный метод «поэтапной
частотной декомпозиции» без необходимости усложнения приведенных в работе
моделей авторегрессий и без решения систем нелинейных алгебраических уравнений
высоких порядков.
Отметим, что впервые предложен метод, позволяющий проводить
параметризацию моделей колебательных компонент в виде трёх (а при
необходимости, и более) гармоник с фазами, с эволюцией амплитуды по актуальным
для экономической практики законам.

III. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Представленная работа содержит новую постановку задачи моделирования
тренд-сезонных и тренд-циклических динамических рядов экономических
показателей: проводить моделирование периодической динамики в параметрическом
виде после элиминации тренда любым доступным методом.
Это позволяет за счет исключения основной тенденции получить более
адекватные параметрические модели колебательной компоненты периодической
(сезонной и циклической) динамики самых разнообразных форм, развить методы и
приёмы её эконометрического моделирования, расширить семейство возможных
моделей на ряд моделей, до настоящего времени не поддававшийся параметрическому
моделированию из-за их сложности или невозможности их параметризации.
В ходе исполнения цели диссертационного исследования и решения
поставленных задач получены следующие основные результаты.
1.Проведен анализ причин периодических колебаний, рассмотрено
многообразие их форм и предложен атлас аналитических моделей для описания
периодической динамики разнообразных видов, в том числе с эволюцией амплитуды.
2.На основании проведенных численных экспериментов и графических
иллюстраций обоснована достаточность трёх членов разложения в ряд Фурье для
моделирования периодической компоненты в экономических задачах.
3.Определены ограничения на возможность моделирования периодической
динамики и количество используемых гармоник в колебательной компоненте модели
исходя из фактически сложившейся дискретности имеющихся наблюдений
экономических показателей.
4.В диссертации получил развитие метод определения параметров
нелинейных простейшей гармонической и сложных полигармонических функций на
основе общего подхода с использованием параметрических моделей авторегрессии-
скользящего среднего, применительно к решаемой задаче моделирования
периодической динамики.
5.Предложен новый вариант приёма декомпозиции – метод
последовательногоопределенияпараметровполигармоническоймодели
периодической динамики (названный «поэтапной частотной декомпозицией»),
используемый для определения параметров колебательных компонент сложных форм,
описываемых несколькими гармоническими функциями, без ограничения на
количество используемых гармоник. Этот метод является принципиально новым,
позволяет избежать решения сложных систем нелинейных уравнений при получении
оценок параметров полигармонических моделей.
6.В качестве приёма, обеспечивающего экономический смысл получаемой
модели, в методе последовательного определения параметров полигармонической
модели стационарной периодической динамики предложено после получения оценки
циклической частотыω10 принудительно скорректировать значение основной
циклической частоты, используя близкие к оценке табличные значения для известной
и/или предполагаемой длительности сезонной волны или длительности известных
циклов.
7.В качестве приёма, обеспечивающего стационарность периодической
компоненты,вметодепоследовательногоопределенияпараметров
полигармонической модели стационарной периодической динамики предложено
после получения оценки циклической частоты ω10 корректировать значения
вспомогательных частот из условия их кратности основной, т.е. ω2 = r2ω10 , ω3 = r3ω10 и
т.д.
8.Для моделирования периодической экономической динамики с
эволюционирующей (изменяемой во времени) амплитудой предложен комплекс из
десяти аналитических моделей, в которых параметр амплитуды представлен в виде
функций от независимой переменной времени, а также детально описан общий подход
к идентификации их параметров.
Для некоторых из предложенных моделей (с эволюцией амплитуды
периодической динамики по линейному, экспоненциальному, обобщенному
экспоненциальному и периодическому законам) приведено детальное решение в виде
описания подробных процедур определения параметров с использованием ARMA-
моделирования (получения авторегрессий-скользящего среднего, получением СЛАУ и
т.д.) и поэтапного применения метода последовательного определения параметров
полигармонической модели колебательной компоненты, описываемой аддитивной
комбинацией трёх (а при необходимости, и более) гармоник с фазами.
В качестве иллюстрации работоспособности предложенных в работе методов и
приёмов проведена их апробация как на тестовых, так и на реальных статистических
выборках:
1)проведено моделирование К-циклов экономической конъюнктуры Н.Д.
Кондратьева, полученные аналитические модели подтвердили периоды К-циклов и
гипотезу о наличии тенденции к снижению их длительности;
2)на данных криминогенной статистики РФ получены параметрические
модели сезонности 11 типов различных преступлений, в т.ч. экономических (рисунок
1), формирующихся под действием социально-экономических факторов;

Рисунок 1 – Результаты моделирования сезонности зарегистрированных преступлений
экономической направленности, шт.

3)на данных официальной статистики Министерства курортов и туризма
Республики Крым получена параметрическая полигармоническая модель
= 548 sin(0,5238 − 2,27) + 256 sin(1,0476 + 0,44) + 143 sin(1,5714 + 2,14).
туристического потока в 2015-2019 гг. с ярко выраженной сезонностью (где t- месяц,
начиная с января 2015 г.) (рисунок 2) и коэффициентом детерминации 2 = 0,911.
Рисунок 2 – Результаты моделирования сезонности турпотока в Республику Крым, тыс. чел.

Предложенный в работе инструментарий в виде совокупности моделей, методов
и приёмов идентификации их параметров обладает свойством универсальности и
может применяться к экономическим системам макро-, мезо- и микроуровня, в
развитии которых под действием факторов внешней среды происходят периодические
колебания (сезонные или циклические) показателей их состояния, причём достаточно
разнообразного вида.
Таким образом, можно констатировать, что решена актуальная научная задача в
области методов и инструментов параметрического моделирования периодической
динамики экономических систем, а именно развит инструментарий (предложен
комплекс моделей, методы и приёмы определения их параметров), расширяющий
границы области применения экономико-математических методов для обоснованного
принятия управленческих решений.