Дисперсионные ударные волны в нелинейной оптике, бозе-эйнштейновских конденсатах и других системах

Изучение нелинейных волн является одной из увлекательных тем в со­
временной науке и привлекает всё большее внимание во многих различных
областях исследований. Одним из важнейших объектов классической нелиней­
ной физики являются ударные волны [1–3]. Математическая теория таких волн,
созданная в 19–20 веках, нашла многочисленные применения и стала важной
главой прикладной математики. Проблема описания таких волн первоначально
возникла в виде парадокса, который обнаружил Д. Г. Стокс [4]. Этот парадокс
связан с возникновением многозначных решений уравнений газовой динамики,
описывающих эволюцию изначально гладкого импульса. Классический под­
ход к решению этой проблемы физически основан на учете диссипативных
эффектов, приводящих к образованию ударных волн вместо нефизических мно­
гозначных решений, что с формальной математической точки зрения означает
необходимость пользоваться уравнениями Навье-Стокса, учитывающими вяз­
кость газа, вместо уравнений Эйлера идеальной газовой динамики. Можно
сказать, что возникновение ударных волн является следствием взаимного дей­
ствия двух эффектов — нелинейности, ведущей к укручению фронта волны,
и вязкости, размывающей этот фронт и останавливающей «опрокидывание»
волны.
Такое явление можно наблюдать при преодолении самолётом звукового
барьера, когда образуется ударная волна, характеризуемая скачком плотности
воздуха и его давления. Ещё более интенсивные ударные волны, обладающие
огромной разрушительной силой, образуются при ядерных взрывах. Однако
данная картина существенно опирается на одно достаточно уникальное свой­
ство воздуха, а именно, то, что в воздухе в широком диапазоне длин волн
скорость звука не зависит от его длины волны. На языке физики и приклад­
ной математики это свойство выражают словами, что в воздухе отсутствует
дисперсия, то есть зависимость скорости волнового распространения от дли­
ны волны. Развитие современной нелинейной физики показало ограниченность
такого подхода, так как выяснилось, что в огромном количестве других сред,
как, например, в плазме, в нелинейных оптических средах или в бозе-эйнштей­
новских конденсатах имеет место сильная дисперсия и классическая теория
ударных волн оказывается неприменимой. Первоначальные исследования по­
казали, что в этом случае резкий скачок обычной ударной волны при учёте
достаточно сильной дисперсии преобразуется в протяжённую осциллирующую
волновую структуру, получившую название дисперсионной ударной волны.
Впервые интерес к таким волновым структурам, как дисперсионные удар­
ные волны, возник в теории так называемых «ундулярных бор», наблюдавшихся
во время морских приливов, когда такая бора соединяла два уровня воды в
реке или заливе — начальный уровень и повышенный, возникший в резуль­
тате прилива морской воды в русло реки навстречу её течению или же в
залив [5]. Физическая общность этого явления была осознана Р. З. Сагдеевым [6]
на начальном этапе развития современной нелинейной физики в 50–60-е годы
20-го века при исследовании нелинейных волн в плазме и нелинейной оптике.
В настоящее время дисперсионные ударные волны признаны универсальным
физическим явлением, встречающимся в различных областях науки (см., на­
пример, [7; 8]). Они наблюдались в волнах на воде [9–11], внутренних волнах
и волнах над неровным дном [12–14], атмосферных слоях [15; 16], лаборатор­
ной [17;18] и космической плазме [19], бозе-эйнштейновских конденсатах [20;21],
интенсивных электронных пучках [22], ферми газах [23] и нелинейной опти­
ке [24; 25].
Теоретически дисперсионные ударные волны представляются в виде
промодулированных нелинейных периодических волн, а затем процесс их
формирования и эволюции описывается теорией модуляции Уизема. В своей
основополагающей работе [26] Д. Б. Уизем ввел в теорию нелинейных волн
несколько фундаментальных идей, которые легли в основу разработки обшир­
ной теории, называемой сейчас теорией Уизема. Во-первых, он обобщил идею
медленной эволюции огибающих линейных гармонических волновых пакетов на
описание эволюции нелинейных промодулированных волн, динамика которых
определяется нелинейными волновыми уравнениями. В этой идее подразуме­
вается, что в рассматриваемой задаче существуют два различных масштаба
пространства и времени. С одной стороны переменная поля нелинейной волны
(плотность, интенсивность или высота поверхности воды) колеблется в мас­
штабах длины волны и периода волны, тогда как такие параметры, как,
например, сама длина волны , амплитуда , фазовая скорость , медленно
изменяются в пространственном масштабе ≫ и в масштабе времени ≫ .
Это приводит ко второй идее усреднения законов сохранения эволюционного
уравнения по быстрым локальным колебаниям аналогично методу усреднения
Крылова-Боголюбова, развитому в теории нелинейных колебаний. Однако, в
отличие от динамических зависящих от времени систем, переменные поля те­
перь зависят от времени и одной (или более) пространственных координат, и в
результате усреднения законов сохранения Уизем получил систему уравнений
в частных производных первого порядка, которая теперь называется уравне­
ниями Уизема. Наконец, в качестве третьей идеи Уизем предположил, что его
уравнения модуляции можно привести по аналогии с динамикой сжимаемой
жидкости к диагональной форме Римана, то есть форме, в которой в каждое
уравнение системы входят производные лишь от одной переменной, а связь
между самими уравнениями осуществляется через зависимость коэффициентов
от этих переменных. Он реализовал эту идею для случая промодулированных
нелинейных «кноидальных» волн, эволюция которых определяется уравнением
Кортевега-де Фриза [27]. Такое название ввели Кортевег и де Фриз, которые
назвали своё решение «кноидальной волной» по аналогии с косинусоидальной
волной линейной теории, так как решение для такой волны выражается через
основные эллиптические функции Якоби, которыми мы будем пользоваться в
этой работе. В своей первой статье [26] Уизем предположил, что полученные им
уравнения модуляции являются гиперболическими. Как было вскоре отмечено
(см. [28]) на основе подхода Уизема, переформулированного в терминах мето­
да Лагранжа [29], уравнения модуляции Уизема могут быть эллиптическими,
что указывает на неустойчивость соответствующей периодической волны. Это
наблюдение было сделано в связи с экспериментальным открытием неустойчи­
вости глубоководных волн [30;31], которое было теоретически изучено Уиземом
[32] с использованием его подхода.
Первый важный вклад в теорию дисперсионных ударных волн, основан­
ный на модуляционных уравнениях Уизема, был сделан А. В. Гуревичем и
Л. П. Питаевским [33], которые показали, что бесстолкновительные ударные
волны, описывающиеся уравнением Кортевега-де Фриза, могут быть представ­
лены в виде расширяющейся колеблющейся структуры, которая может быть
аппроксимирована промодулированной кноидальной волной, эволюция которой
подчиняется уравнениям Уизема. На одном из краев дисперсионная ударная
волна приближается к последовательности солитонов, а на противоположном
— к гармонической волне с малой амплитудой. Гуревич и Питаевский изучали
автомодельные решения уравнений Уизема для типичных примеров эволюций
начального распределения в виде разрыва.
Разработанная для уравнения Кортевега-де Фриза теория нашла приме­
нение во многих областях физики. Однако обобщение этой теории на другие
нелинейные волновые уравнение стало достаточно трудной задачей. Оказа­
лось, что Уизему удалось найти специальные функции, носящие название
«римановых инвариантов» и являющиеся постоянными вдоль характеристик
уравнений в частных производных, для случая уравнения Кортевега-де Фриза
и преобразовать уравнения модуляции к диагональной форме Римана. Гуре­
вич и Питаевский в своей работе использовали именно эту форму уравнений
модуляции. Позже стало ясно [34], что диагонализация Уизема уравнений мо­
дуляции возможна благодаря особому свойству, обнаруженному в [35], полной
интегрируемости уравнения Кортевега-де Фриза. Решение таких «полностью
интегрируемых уравнений» можно найти с помощью метода обратной зада­
чи рассеяния, открытого независимо от теории Уизема [35–37]. Выяснилось,
что этот метод, обобщенный на квазипериодические ситуации [38; 39], дает
квазипериодические решения уравнения Кортевега-де Фриза, которые пара­
метризуются непосредственно римановыми инвариантами, имеющими в этом
случае очень простой математический смысл: они являются краевыми точками
промежутков в спектре линейного уравнения (Шрёдингера), связанного с урав­
нением Кортевега-де Фриза в методе обратной задачи рассеяния. В результате
И. М. Кричевером в [40] был разработан общий метод вывода уравнений Уизема
для широкого класса интегрируемых уравнений, что привело к серии приложе­
ний теории интегрируемых уравнений к задачам, связанным с дисперсионными
ударными волнами, и более глубокому пониманию качественных свойств этого
явления.
До настоящего времени акцент был сделан на полностью интегрируе­
мых уравнениях, однако с физической точки зрения понятно, что образование
дисперсионных ударных волн тесно связано с эффектами нелинейности и дис­
персии, которые присущи и уравнениям, которые не являются полностью
интегрируемыми. В частности, численное моделирование задачи о распаде
начального разрыва для системы, описывающей динамику двухтемператур­
ной бесстолкновительной плазмы, показало, что качественные характеристики
дисперсионных ударных волн, описываемых уравнением Кортевега-де Фриза,
справедливы и для ионно-акустических дисперсионных ударных волн конечной
амплитуды, в то время как количественно существуют значительные разли­
чия. Фактически в отличие от метода обратной задачи, который применим
только к интегрируемым системам, теория Уизема в [26] сформулирована в
достаточно общем виде, хотя и была неявно связана с полной интегрируемо­
стью уравнения Кортевега-де Фриза, но только при применении этой теории к
кноидальным волнам этого уравнения. Поэтому для нахождения характерных
параметров дисперсионной ударной волны в общей ситуации следует прибег­
нуть к анализу уравнений Уизема в недиагональной форме, когда они не имеют
римановых инвариантов и не могут быть интегрированы с помощью метода
обобщенного годографа Царева [41], являющегося способом решения уравнений
гидродинамического типа с числом зависимых переменных больше двух. Такой
анализ был проведен Г. А. Элем в работе [42; 43] в важном частном случае,
когда начальное условие имеет вид «ступеньки». Этот метод позволил найти
основные параметры дисперсионной ударной волны, возникающей в процессе
эволюции начального разрыва во многих неинтегрируемых ситуациях (см., на­
пример, [44–48]).
Недавно было показано в [49], что метод Эля может быть существенно
обобщен на произвольные начальные условия в виде простой волны, то есть
волны, для которой один из инвариантов Римана постоянен. Когда такая про­
стая волна опрокидывается, то, согласно Элю, мы знаем предельные выражения
для характеристических скоростей системы Уизема на краях дисперсионной
ударной волны: из простых физических соображений можно заключить, что
они равны либо групповой скорости волны на малоамплитудном краю, либо
скорости солитона на солитонном краю. Этой информации вместе с извест­
ным гладким решением бездисперсионного предела достаточно для нахождения
законов движения соответствующих краев ударной волны для произвольного
начального профиля типа простой волны. На сегодняшний день этот подход
требует обобщения и применения к различным физическим системам.
Другим примером, когда задачу нельзя разрешить стандартными метода­
ми, является случай, когда уравнение эволюции мало отличается от полностью
интегрируемого. Такая разница может возникнуть из-за учёта малых эффектов
диссипации или слабой неоднородности среды. Как уже указывалось Уизе­
мом [26], эти эффекты приводят к модуляции нелинейных периодических волн
и могут рассматриваться в рамках усредненных уравнений модуляции. В та­
ком случае уравнения модуляции Уизема могут быть изменены за счёт этих
дополнительных малых эффектов. Один из наиболее частых случаев возника­
ет при учёте малой вязкости, когда такое возмущение за достаточно большое
время становятся сопоставимыми с небольшой модуляцией волны, что может
привести к стабилизации дисперсионной ударной волны, приобретающей таким
образом стационарный профиль в согласии с представлениями Сагдеева.
Актуальность. В настоящее время эта область науки активно разви­
вается, о чем свидетельствует большое количество публикаций, посвященных
методу Уизема в области нелинейной оптики, динамики бозе-эйнштейновских
конденсатов, теории волн на воде и так далее (см., например, обзоры [8; 50]).
Особое внимание также уделяется экспериментальному наблюдению дисперси­
онных ударных волн в различных средах (см., например, [51–53]). Поэтому
развитие математических методов, позволяющих существенно расширить об­
ласть применимости теории Уизема, представляется чрезвычайно важным. На
практике весьма часто приходится иметь дело с не полностью интегрируемы­
ми уравнениями. Поэтому существует насущная потребность развития более
общего подхода к решению таких уравнений. Реализация этих подходов в
конкретных ситуациях позволит решить большое число актуальных задач со­
временной нелинейной физики.
Целью данной работы является развитие теории дисперсионных удар­
ных волн, описываемых интегрируемыми и неинтегрируемыми уравнениями, в
различных физических системах: разработка теории модуляций Уизема для си­
стем, описываемых возмущёнными интегрируемыми уравнениями, применение
общей теории эволюции дисперсионных ударных волн при их образовании после
опрокидывания простых волн, распространяющихся в покоящуюся среду, для
систем, эволюция которых описывается неинтегрируемыми уравнениями, а так­
же разработка и применение общего метода, позволяющего находить волновые
структуры в системах, подчиняющихся «невыпуклой» дисперсионной гидро­
динамике. Под «невыпуклостью» здесь понимается, что в бездисперсионном
пределе в уравнениях динамики, записанных в виде законов сохранения, пото­
ки не являются выпуклыми функциями переменных. Полученные результаты
будут приложены к конкретным задачам теории дисперсионных ударных волн.
Для реализации данной цели поставлены следующие задачи:
1. Развить теорию разлёта бозе-эйнштейновского конденсата после его
высвобождения из гармонической и прямоугольной ловушки. Найти
условия, при которых разлёт может сопровождаться генерацией диспер­
сионных ударных волн, теория которых описывается методом Уизема.
Рассмотреть случай, когда такая дисперсионная ударная волна образу­
ется вследствие воздействия одной компоненты сжатого конденсата на
другую.
2. Разработать общий метод, позволяющий находить структуру дис­
персионных ударных волн в системах, подчиняющихся невыпуклой
дисперсионной гидродинамике. Отличительной чертой таких систем яв­
ляется то, что каждому решению уравнений Уизема отвечает несколько
волновых структур. Такая неоднозначность связи между инварианта­
ми Римана для уравнений Уизема и параметрами волны реализуется
автоматически в варианте метода конечнозонного интегрирования.
Применить метод к различным физическим ситуациям, представляю­
щим практический интерес.
3. Исследовать эволюцию интенсивных световых импульсов в нелинейных
одномодовых волокнах. Динамика света в таких волокнах описывается
нелинейным уравнением Шредингера с рамановским членом, возника­
ющим из-за вынужденного рамановского саморассеяния. Показать, что
при учете рамановского эффекта дисперсионные ударные волны могут
асимптотически приобретать стационарный профиль.
4. Рассмотреть эволюцию волновых импульсов с образованием диспер­
сионных ударных волн в рамках полностью нелинейных уравнений
мелкой воды. Применить к этой задаче общую теорию, не опирающую­
ся на полную интегрируемость уравнений, для нахождения движения
краев дисперсных ударных волн. Найти основные характеристики дис­
персионной ударной волны. Кроме того, использовать данную теорию
для исследования формирования дисперсионных ударных волн в интен­
сивном световом импульсе, распространяющемся через насыщающуюся
нелинейную среду. Определить значение измеряемых в эксперименте
величин, таких как время опрокидывания волны или положение краев
ударной волны.
Научная новизна. В работе представлены ранее не исследованные
общие методы описания дисперсионных ударных волн, описываемых не пол­
ностью интегрируемыми и не истинно нелинейными уравнениями, то есть
уравнениями, нелинейные члены в которых обращаются в нуль при некотором
конечном значении амплитуды волны. Постановка задач является новой, так
как вплоть до настоящего времени не было видно подходов к их решению. Бла­
годаря развитию теории Уизема появились новые возможности, на реализацию
которых нацелена работа.
Теоретическая и практическая значимость. Одной из основных
задач, относящихся к исследованию конденсата Бозе-Эйнштейна, является изу­
чение динамики его разлёта после выключения ловушки, удерживающего этот
конденсат, поскольку во многих экспериментах результаты фиксируются после
разлёта конденсата до состояния, когда размеры облака достаточно велики для
проведения измерений. Поэтому развитая в первой главе данной работы теория
разлёта двухкомпонентного конденсата является практически значимой.
Во второй главе данной работы решена задача об эволюции начально­
го разрыва, когда в начальный момент времени имеется разрыв у одной или
нескольких переменных в одной из точек пространства. Такая задача интерес­
на не только сама по себе: исторически она послужила тем элементом, на основе
которого были созданы высокоэффективные методы численного расчета произ­
вольных одномерных движений газа, и развиты качественные математические
методы доказательства теорем существования и единственности более широких
классов обобщенных решений. Большое число реальных физических задач мо­
жет быть сведено к обсуждению эволюции начального разрыва. Стоит также
отметить, что найденные во второй главе результаты можно наблюдать экс­
периментально в системах, подобных тем, которые использовались, например,
в эксперименте [54].
На практике весьма часто приходится иметь дело с не полностью ин­
тегрируемыми уравнениями. Поэтому в третьей главе развит общий метод
описания эволюции интенсивных импульсов различной физической природы
с образованием дисперсионных ударных волн, описываемых неинтегрируемы­
ми уравнениями. Теория дает достаточно простые аналитические формулы
для асимптотической стадии эволюции изначально локализованных импуль­
сов. Этот подход позволяет решить большое число актуальных современных
задач. В частности, дает возможность предсказать характерные параметры дис­
персионных ударных волн в таких экспериментах, как, например, [25]. Таким
образом, полученные теоретические результаты полезны как для эксперимен­
та, так и для нелинейной физики в целом.
Методология и методы исследования. Суть явления бозе-эйнштей­
новской конденсации заключается в том, что бозоны при температуре ниже
некоторой критической конденсируются в наинизшем квантовом состоянии. Ес­
ли газ таких частиц достаточно разрежен, то взаимодействие частиц можно
считать слабым и описывать конденсат единой волновой функцией с учетом
того, что теперь атомы движутся в неком среднем силовом поле, создавае­
мым их взаимодействием друг с другом. В этом приближении среднего поля
динамика конденсата подчиняется уравнению Гросса-Питаевского, в которое
могут быть включены члены, учитывающие взаимодействие с внешним потен­
циалом ловушки. Расширение конденсата Бозе-Эйнштейна после выключения
ловушки, удерживающей этот конденсат — одна из основных проблем дина­
мики конденсата. Существуют достаточно простые подходы описания такого
движения в гидродинамическом приближении для случая гармонических лову­
шек, когда начальное состояние бозе-эйнштейновского конденсата достаточно
точно описывается параболическим распределением Томаса-Ферми, а динами­
ка конденсата после выключения ловушки будет автомодельной. Однако задача
существенно усложняется, когда конденсат состоит из нескольких компонент,
например, из нескольких видов атомов. Тогда в такой ловушке компоненты мо­
гут формировать различные виды профилей плотности в зависимости от силы
взаимодействия частиц внутри одной компоненты и частиц разных компонент.
Такое различие состояний может привести к кардинально разной динамике си­
стемы после выключения ловушки, тем не менее приближение Томаса-Ферми
остается справедливым, хотя оно и становится более сложным. Более того,
если ловушка негармоническая, то расширение уже не является автомодель­
ным, и некоторые характерные особенности начального распределения могут
сохраняться в течение достаточно длительного периода эволюции, чтобы стать
заметными экспериментально. В таком случае распределение плотности может
приобрести довольно сложный вид, отличный от параболических автомодель­
ных распределений. Чтобы решить эту проблему аналитически, мы используем
мощный метод Римана, разработанный в динамике сжимаемой жидкости с до­
вольно общим уравнением состояния. Этот метод основан на том, что можно
искать решение волнового уравнения, сразу учитывая начальные условия за­
дачи, вместо того, чтобы сначала найти общее решение, выраженное через
произвольные функции, а затем конкретизировать эти функции с помощью
начальных условий. Такой подход также справедлив для динамики профиля
интенсивности света, проходящего через нелинейную среду с насыщением, в
том числе, когда эволюция гладкого распределения происходит на однородном
фоне интенсивности. В таком случае эволюция амплитуды огибающей света
подчиняется обобщённому нелинейному уравнению Шрёдингера, где у нели­
нейности появляется насыщение при больших интенсивностях света. В пределе
малых интенсивностей это уравнение сводится к форме, совпадающей с урав­
нением Гросса-Питаевского для «двумерного» конденсата и с играющей роль
времени осью, вдоль которой распространяется пучок. В оптической тематике
оно обычно называется нелинейным уравнением Шрёдингера, поскольку пер­
вые два линейных члена аналогичны уравнению Шрёдингера для свободной
частицы.
Бездисперсионная эволюция импульсов зачастую приводит к укручению
фронта волны, опрокидыванию профиля волны и последующему образова­
нию дисперсионной ударной волны. Подход Гуревича и Питаевского даже в
случае одного из самых простых видов начального состояния в виде скачка
требует серьезных обобщений. Например, в случае уравнений, подчиняющихся
невыпуклой дисперсионной гидродинамике, используется общий метод, позво­
ляющий находить структуру дисперсионных ударных волн. Отличительной
чертой таких систем является то, что каждому решению уравнений Уизема
отвечает несколько волновых структур. Такая неоднозначность связи между
инвариантами Римана для уравнений Уизема и параметрами волны реализует­
ся автоматически в варианте метода конечнозонного интегрирования. Эта схема
дополняется анализом структуры области гиперболичности уравнений бездис­
персионного предела с её разбиением на участки истинной нелинейности.
Хотя довольно большое число уравнений нелинейной физики относится
к типу интегрируемых уравнений, тем не менее ещё большее их число не яв­
ляется полностью интегрируемыми, что требует развития более общей теории.
Предлагаемый подход в таком случае основан на анализе свойств вырождения
системы модуляционных уравнений Уизема на краях дисперсионной ударной
волны, когда её характеристические скорости превращаются в этом преде­
ле в известные выражения для групповых скоростей и скоростей солитонов,
выраженных как функции амплитуды граничащего с дисперсионной волной
гладкого бездисперсионного решения. Поскольку бездисперсионное решение
для простых волн без труда выражается через начальный профиль, то в ре­
зультате можно найти закон движения соответствующего края границы. Кроме
того, метод даёт либо характерное волновое число, либо амплитуду солитона на
этой границе, что предоставляет важную информацию об основных свойствах
дисперсионной ударной волны. Таким образом, в этом методе обходятся слож­
ности решения полной системы уравнений Уизема и используется либо лишь
универсально применимое в рамках теории Уизема уравнение «сохранения чис­
ла волн», либо его солитонный аналог, который хотя и имеет ограниченную
область применимости, тем не менее справедлив для широкого класса простых
волн, распространяющихся в область покоящейся среды. В результате чрезвы­
чайно сложная для аналитической теории задача решения системы уравнений
Уизема сводится к анализу существенно более простого бездисперсионного пре­
дела и исследованию законов дисперсии линейных волн.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Представлен общий метод описания эволюции нелинейного импуль­
са, применимый для любого типа нелинейности, в случае достаточно
гладкого профиля волны, когда дисперсионным эффектами можно пре­
небречь. Данный подход важен для описания стадий бездисперсионной
эволюции импульса, предшествующих опрокидыванию волны, и после­
дующему образованию дисперсионной ударной волны.
2. Разработан общий метод, позволяющий находить структуру дисперси­
онных ударных волн в системах, подчиняющихся невыпуклой диспер­
сионной гидродинамике. Показано, что отличительной чертой таких
систем является то, что каждому решению уравнений Уизема отвеча­
ет несколько волновых структур. В качестве конкретного приложения
теории решены задачи об образовании дисперсионных ударных волн
в нелинейной оптике и динамике двухкомпонентного конденсата. В
приложении к задаче о распространении импульсов развитая теория
позволила предсказать новые эффекты в виде так называемых ком­
бинированных волн, состоящих из примыкающих друг к другу волн
разрежения и дисперсионных ударных волн.
3. Изучение систем, отличающихся от стандартных случаев Кортевега-де
Фриза и нелинейного уравнения Шрёдингера, привело к формулиров­
ке теории Уизема для неинтегрируемых уравнений, которая выходит за
рамки теории возмущений. Развитый метод позволяет найти скорости
краёв дисперсионной ударной волны, образующейся после опрокидыва­
ния простой волны с произвольным начальным профилем. Эта теория
является существенным обобщением известной теории Г. А. Эля, при­
менимой лишь для начальных профилей в виде «ступеньки».
Степень достоверности результатов. Все аналитические методы
проверялись путём их применения к задачам с известными решениями, пред­
варительных теоретических оценок и численных расчётов. Последние в свою
очередь тестировались на задачах с точными аналитическими решениями и
с помощью альтернативных численных схем. Все статьи автора по теме дис­
сертации опубликованы в рецензируемых научных журналах. Изложенные в
диссертации результаты неоднократно докладывались и обсуждались на рос­
сийских и международных конференциях.
Апробация результатов. Результаты представлялись в виде докладов
на научных конференциях в России и за рубежом, опубликованы в российских
и иностранных журналах. Список статей автора приведен в конце авторефе­
рата диссертации.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх
глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 277 страниц, вклю­
чая 90 рисунков. Список литературы содержит 200 наименований.
В данной работе первая глава посвящена одномерной эволюции различ­
ных систем в случае, когда имеются достаточно гладкие профили переменных.
Это означает, что отвечающие за дисперсию члены уравнений могут быть опу­
щены, что позволяет изучить динамику разлёта двухкомпонентного конденсата
после выключения ловушки, удерживающей данный конденсат, описать про­
филь общего решения однокомпонентного конденсата при столкновении двух
волн разрежения с помощью метода Римана, а также применить этот метод
для описания начальной стадии эволюции импульса света на однородном фоне
в среде с насыщением. Будет показано, что данные решения предшествуют
опрокидыванию волны и последующему образованию дисперсионных ударных
волн, рассмотрению которых посвящены вторая и третья главы данной работы.
Сначала во второй главе будет уделено внимание системам, подчиняющимся
невыпуклой дисперсионной гидродинамике и описывающимся возмущёнными
интегрируемыми уравнениями. Затем в третьей главе мы перейдем к средам,
эволюция волн в которых описывается неинтегрируемыми уравнениями. В част­
ности, будет проанализирована динамика краев дисперсионных ударных волн
после опрокидывания простой волны для фоторефрактивной среды и для волн
на мелкой воде, описываемых уравнениями Серра.
Глава 1. Бездисперсионная эволюция

В заключение приведем основные результаты и выводы работы.
Развита теория разлёта бозе-эйнштейновского конденсата после его высво­
бождения из ловушки. Показано, что в зависимости от типа ловушки разлёт
может сопровождаться либо образованием области общего решения при столк­
новении волн разрежения, либо в двухкомпонентном конденсате генерацией
дисперсионных ударных волн, теория которых описывается методом Гуре­
вича-Питаевского. Данный подход может быть полезен для описания стадий
бездисперсионной эволюции импульса, предшествующих опрокидыванию вол­
ны, и последующему образованию дисперсионной ударной волны. Полученные
результаты позволяют предсказать основные характеристики динамики раз­
лета и дать оценки основных параметров возникающих волновых структур.
Рассмотрен случай, когда дисперсионная ударная волна образуется вследствие
воздействия одной компоненты сжатого конденсата на другую. Результаты да­
ют возможность получить параметры такие, как, например, скорости краёв
дисперсионной ударной волны, амплитуду ведущего солитона ударной волны
и так далее.
Разработан общий метод, позволяющий находить структуру дисперсион­
ных ударных волн в системах, подчиняющихся «невыпуклой» дисперсионной
гидродинамике. Под «невыпуклостью» здесь понимается, что в бездисперсион­
ном пределе в уравнениях динамики, записанных в виде законов сохранения,
потоки не являются выпуклыми функциями переменных. Отличительной чер­
той таких систем является то, что каждому решению уравнений Уизема
отвечает несколько волновых структур. Такая неоднозначность связи между
инвариантами Римана для уравнений Уизема и параметрами волны реали­
зуется автоматически в варианте метода конечнозонного интегрирования. В
приложении к задаче о распространении импульсов развитая теория позволила
предсказать новые эффекты в виде так называемых комбинированных волн,
состоящих из примыкающих друг к другу волн разрежения и дисперсионных
ударных волн. Стоит также отметить, что найденные результаты можно на­
блюдать экспериментально в системах, подобных тем, которые использовались,
например, в [54].
Показано, что для распространения интенсивного света в волноводе при
учёте рамановского эффекта, система Уизема остаётся диагональной, но в ней
появляются правые части. Для этого случая было продемонстрировано, что под
действием малого рамановского члена, имеющего диссипативный характер, дис­
персионная ударная волна для большого времени может стать стационарной,
а её скорость и амплитуда ведущего солитона выражается через параметры
на скачке.
Изучение систем, отличающихся от стандартных случаев Кортевега-де
Фриза и нелинейного уравнения Шрёдингера, привело к формулировке теории
Уизема для неинтегрируемых уравнений, которая выходит за рамки теории
возмущений. Теория основана на свойствах вырождения системы уравнений
Уизема на краях дисперсионной ударной волны, когда её характеристические
скорости превращаются в групповую скорость линейных волн на малоамплитуд­
ном крае и в скорость ведущего солитона на солитонном крае. Обе эти скорости
выражаются через линейный закон дисперсии волн на примыкающем бездиспер­
сионном решении, а волновое число или обратная полуширина солитона могут
быть найдены решением уравнения сохранения числа волн или его солитонного
аналога. Условие совместности уравнения Уизема с бездисперсионным решени­
ем позволяет найти закон движения соответствующей границы. Развитый метод
позволяет найти скорости краёв дисперсионной ударной волны, образующейся
после опрокидывания простой волны с произвольным начальным профилем.
Эта теория является существенным обобщением известной теории Г. А. Эля,
применимой лишь для начальных профилей в виде «ступеньки». Метод приме­
нен к системам, представляющим экспериментальный интерес.
В результате достигнута цель диссертационной работы: развита тео­
рия позволяющая описывать характеристики дисперсионных ударных волн
в случаях, когда такие волны подчиняющихся невыпуклой дисперсионной
гидродинамике, когда они описываются неинтегрируемыми уравнениями, а
также в ситуациях, когда система подчиняется возмущённым интегрируемым
уравнениям. Полученные результаты приложены к важным задачам теории
дисперсионных ударных волн. Таким образом, полученные теоретические ре­
зультаты полезны как в конкретных экспериментальных условиях, так и для
нелинейной физики в целом.
В завершение хотелось бы отметить, что существуют задачи, которые мо­
гут быть решены изложенными в данной работе общими методами. Примером
такой задачи может послужить двухтемпературная плазма, в которой лёгкие
электроны имеют температуру много больше температуры тяжёлых ионов, так
что можно считать электроны всё время находящимися в тепловом равновесии
при постоянной температуре. Как было показано в данной работе, проявление
эффектов самоукручения и рамановского эффекта весьма различны, поэтому
их можно изучать по отдельности. Тем не менее задача, в которой рассматрива­
ется одновременное влияния этих двух эффектов на свет, проходящий через
нелинейною среду, пока не решена. Однако она также может представлять
значительный интерес с практической точки зрения. Наконец, представляется
важным разработать подход описания характеристик дисперсионных ударных
волн, описываемых не полностью интегрируемыми уравнениями, не относящи­
мися к классу истинно нелинейных. В таком случае, помимо кноидальных
дисперсионных ударных волн, возможно образование контактных волн, для
которых солитонный аналог закона сохранения числа волн неприменим напря­
мую. Таким образом, развитие данной тематики является перспективным и
многообещающим.

В заключение хотелось бы выразить особую благодарность и большую
признательность научному руководителю Анатолию Михайловичу Камчатнову
за поддержку, помощь, обсуждение результатов и научное руководство.
Автор выражает благодарность Ярославу Вячеславовичу Карташову за
всестороннюю помощь и поддержку.
Хотелось бы выразить благодарность коллегам, Николя Павлоффу
(Nicolas Pavloff), Тибо Конжи (Thibault Congy), Матье Изоарду (Mathieu
Isoard) и Жюль-Элимиру Сушорскому (Jules-Elémir Suchorski), за помощь в
анализе и обсуждение результатов.
Я признателен Камилю Равкатовичу Каримуллину за помощь в оформ­
лении диссертации и подготовке к защите.
Автор благодарит своих родителей, Константина Сергеевича Иванова и
Жанну Юрьевну Иванову. Они создали все условия для того, чтобы я мог
посвятить время такому интересному делу, как наука.
Также выражаю искреннюю благодарность своей жене, Анастасии Алек­
сеевне Ивановой, поддержка и понимание которой позволили плодотворно
работать во время учебы.