Анализ динамики и разработка методов управления движением вращающихся электродинамических космических тросовых систем
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………………………………….. 5
1 АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ИЗВЕСТНЫХ РАБОТ И РЕШАЕМЫЕ
ЗАДАЧИ ………………………………………………………………………………………………….. 10
1.1 История и применения космических тросовых систем ……………….. 10
1.2 Проблемы и трудности ………………………………………………………………… 14
1.3 Обзор известных работ ………………………………………………………………… 16
1.3.1 Исследования, связанные с вращающимися космическими
тросовыми системами………………………………………………………………… 17
1.3.2 Анализ других работ из смежных областей исследования
движения космического тросового системы……………………………….. 19
1.3.3 Реальные космические эксперименты ………………………………… 23
1.3.4 Итоги аналитического обзора …………………………………………….. 26
1.4 Цель работы и описание решаемых задач …………………………………….. 27
2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОЙ
ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ ………………………………………………………………………….. 29
2.1 Схема электродинамической тросовой системы и действующие на
нее силы……………………………………………………………………………………………. 29
2.2 Системы координат……………………………………………………………………… 30
2.3 Математическая модель геомагнитного поля ……………………………….. 33
2.4 Математическая модель движения КТС со сосредоточенными
параметрами……………………………………………………………………………………… 35
2.4.1 Модель движения тросовой системы вокруг центра масс,
построенная с помощью уравнений Лагранжа. ………………………….. 36
2.4.2 Уравнения движения центра масс системы ………………………… 40
2.5 Многоточечная модель движения космического тросового системы с
распределенными параметрами …………………………………………………………. 41
Основные результаты и выводы второй главы …………………………………… 45
3 ПЕРЕВОД ВО ВРАЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОЙ
КОСМИЧЕСКОЙ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ ……………………………………………… 46
3.1 Номинальные программы перевода системы во вращение ……………. 47
3.1.1 «Прямой» метод управления ……………………………………………… 47
3.1.2 Определение критического значения тока для перевода
системы во вращение с помощью «прямого» метода ………………….. 49
3.1.3 Перевод системы во вращение с помощью метода «качаний»53
3.1.4 Сравнение рассматриваемых методов перевода системы во
вращение с точки зрения энергозатрат ……………………………………….. 55
3.2 Оценка влияния гибкости троса на возможность реализации
различных номинальных программ перевода системы во вращение…… 57
3.2.1 Результаты моделирования для «прямого» метода ……………… 58
3.2.2 Результаты моделирования для метода «качаний» ……………… 63
3.2.3 Сравнение двух методов управления……………………………… 66
3.3 Использование регулирования для гашения изгибных колебаний
троса…………………………………………………………………………………………………. 69
3.3.1 Построение оптимального регулятора с помощью принципа
динамического программирования Беллмана……………………………… 69
3.3.2 Численные результаты ………………………………………………………. 73
Основные результаты и выводы третьей главы ………………………………….. 76
4 ИЗМЕНЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОРБИТЫ С ПОМОЩЬЮ
ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ
………………………………………………………………………………………………………………… 78
4.1 Влияние постоянного тока в тросе на орбитальные параметры
космического тросового системы………………………………………………………. 79
4.2 Законы управления током для изменения параметров орбиты
системы ……………………………………………………………………………………………. 81
4.2.1 Закон управления током для изменения большой полуоси
орбиты ………………………………………………………………………………………. 81
4.2.2 Закон управления током при изменении эксцентриситета ….. 85
4.2.3 Закон управления током при одновременном изменении
большой полуоси и эксцентриситета ………………………………………….. 88
4.2.4 Влияние возмущений от нецентральности гравитационного
поля на изменение параметров орбиты вращающейся
электродинамической тросовой системы ……………………………………. 91
4.3 Параметрическая оптимизация при использовании законов
управления ……………………………………………………………………………………….. 93
4.3.1 Постановка задач оптимизации ………………………………………….. 93
4.3.2 Выбор численного метода оптимизации …………………………….. 97
4.3.3 Параметрическая оптимизация при изменении большой
полуоси……………………………………………………………………………………… 98
4.3.4 Параметрическая оптимизация для изменения эксцентриситета
………………………………………………………………………………………………… 102
4.3.5 Параметрическая оптимизация при одновременном изменении
большой полуоси и эксцентриситета ………………………………………… 106
Основные результаты и выводы четвертой главы…………………………….. 111
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………………………………………… 114
ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ…………….. 115
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………………………….. 118
Во введении обосновывается актуальность задач, связанных с динамикой
и с управлением движением вращающих КТС. Приводятся основные научные и
практические результаты, положения, выносимые на защиту. Описывается
тросовая система, состоящая из базового космического аппарата (БКА),
соединённого с помощью троса с малым субспутником (рис. 1). Описываются
характерные этапы движения электродинамической КТС: 1) этап перевода её во
вращение; 2) этап изменения орбитальных параметров центра масс системы.
Отмечается, что особенностью рассматриваемых задач и этапов является учёт
распределённой нагрузки от силы Ампера, действующей на трос по всей его
длине.
Рисунок 1 – Тросовая система
В первой главе проводится аналитический обзор известных работ,
связанных с задачами, решаемыми в диссертации. Рассматриваются работы, где
исследуются движения КТС при учете распределенной силы Ампера на
околоземной орбите и управление вращающимися тросовыми системами.
На основании проведённого анализа сформулированы основные задачи и
описываются основные этапы исследований (рисунок 2).
Рисунок 2 – Основные этапы исследования
Во второй главе осуществляется построение математических моделей
ВЭКТС, с различной точностью описывающих её движение.
На рисунке 3 показаны обобщенные координаты, которые используются
для описания движения системы относительно центра масс: L,θ ,ϕ . Здесь угол
θ определяет отклонение троса от вертикали в плоскости орбиты, а угол ϕ –
отклонение троса вне плоскости орбиты, L –длина троса.
Рисунок 3 – Обобщенные координаты
С помощью уравнений Лагранжа построена модель движения КТС
относительно центра масс в подвижной орбитальной системе координат,
учитывающая силы Ампера
()
L − L ϕ 2 + θ+u cos 2 ϕ + ν −1u 2 ( 3cos 2 θ cos 2ϕ −1) = ( −T + QL ) / me ,
(1)
()
θ + u + 2 θ + u ( L / L – ϕ tgϕ ) + 1.5n -1u 2 sin 2θ = Qθ / me L2 cos 2 ϕ ,(2)
ϕ + 2ϕ L / L + 0.5 (θ + u ) + 1.5ν -1u 2cos 2θ sin 2ϕ =
(3)Qϕ / me L2 ,
где me = m1m2 m , m = m1 + m2 , m1 , m2 – массы концевых точек, T – сила
натяжения троса, ω – угловая орбитальная скорость центра масс системы,
QL , Qθ и Qϕ – обобщённые силы Ампера.
Основные допущения модели (1–3): трос приближается прямой линией и
является невесомым, концевые тела – материальные точки, используется
ньютоновское гравитационное поле, центр масс системы движется по
невозмущенной эллиптической орбите. Уравнения движения (1–3)
предназначены для построения номинальной программы и для синтеза
уравнений регулятора с учётом обобщённых сил Ампера. Обобщённые
электромагнитные силы имеют вид
Qθ = cos ϕ ( Bz cos ϕ − Bx sin ϕ cosθ − By sin ϕ sin θ ) ∆ L ILk ,
(4)
Qϕ = − ( By cosθ − Bx sin θ ) ∆ L ILk , QL =
0,
где I – ток, Bx , By , Bz – проекции вектора магнитной индукции на оси
орбитальной системы координат CX 0Y0 Z 0=, ∆ 0.5 L ( m1 − m2 ) / ( m1 + m2 ) –
расстояние от точки приложения равнодействующей сил Ампера до центра
масс системы.
Для описания движения центра масс системы применяются уравнения
возмущенного движения центра масс ВЭКТС в оскулирующих элементах: A –
большая полуось, e – эксцентриситет, ωu – аргумент перицентра, ϑ – истинная
аномалия, i – наклонение орбиты, Ωu – долгота восходящего узла орбиты.
Компоненты возмущающего ускорения от силы Ампера по осям орбитальной
системы координат CX 0Y0 Z 0 имеют вид
=as ILk ( Bz cos ϕ sin θ − By sin ϕ ) / ms ,
=at ILk ( Bx sin ϕ − Bz cos ϕ cosθ ) / ms ,(5)
=aw ILk ( By cos ϕ cosθ − Bx cos ϕ sin θ ) / ms ,
где ms – масса всей системы.
Для моделирования движения КТС как системы с распределёнными
параметрами была построена более полная модель движения КТС, в которой
трос рассматривается как множество материальных точек, соединённых
упругими односторонними связями
d 2rk
mk 2 = G k + Fk′ + R′k + Tk′ + D′k , k = 1,2,…n , (6)
dt
где rk ( k = 1,2,…, n ) – радиус-векторы БКА, материальных точек троса и
субспутника (здесь mn – масса субспутника), n – количество точек, m1 – масса
БКА, =m j mt / (n − = 2) ( j 2,3,…, n − 1 ) – массы материальных точек троса, mt –
масса троса, Tk′ – векторная сумма сил натяжения, действующая на k-ю точку,
G k , Fk′ , R′k , D′k – сила гравитации, сила Ампера, аэродинамическая сила и сила
трения в тросе, действующие на k-ю точку.
В третьей главе рассматривается процесс перевода во вращение КТС с
помощью управления величиной тока в проводящем тросе.
Построены две номинальные программы перевода системы из
вертикального положения во вращение с желаемой конечной угловой скоростью
I, H e ≤ H end
=
I H 1max=
,H(θ ‘2 + 3sin 2 θ ), (7)
0,H e > H end
e
I, H ≤ H end и θ ‘ ≥ 0
I H = 2 max,(8)
0,иначе
где H e – функция Гамильтона, H end – значение функции Гамильтона по
окончании процесса перевода системы во вращение, θ ‘ – безразмерная угловая
скорость вращения. Программа (7) требует большой по величине ток
( I 1max > I 2 max ) для более быстрого перехода системы во вращение. Этот способ
можно условно назвать «прямым» методом. Программа (8) использует
существенно меньшую величину тока. Так как в этом случае переход системы
во вращение осуществляется после нескольких её колебаний относительно
вертикали, то такой способ можно назвать методом «качаний».
С использованием уравнений Лагранжа были получены две
аналитические оценки (верхняя и нижняя) минимальной величины тока,
необходимой для перевода системы во вращения «прямым» методом (7).
Первая оценка получена исходя из условия существования вертикального
положения равновесия системы. Вторая – исходя из анализа изменения энергии
системы как гравитационного маятника. Эти оценки имеют вид
I limit = ke me / mm m* ,(9)
m* ( m2 − m1 ) / 2m1m2 , µe и mm – гравитационный параметр и магнитная
где =
постоянная, ke – некоторый коэффициент ( ke = 1.5 – верхняя оценка, ke = 3 π –
нижняя). Исходя из анализа численных результатов можно положить ke ≈ 1.11 .
Тогда относительная погрешность использования оценки (9) не превышает 1%.
«Прямой» метод обеспечивает меньшее время перевода системы во
вращение, однако приводит к большим амплитудам изгибных колебаний и
силы натяжения троса. Метод «качаний» ведет к существенно меньшим
амплитудам изгибных колебаний троса, но требует существенно большого
времени.
При использовании «прямого» метода для уменьшения деформации троса
предлагается ввести регулирования тока согласно уравнению
I o ( y )= I n + ∆u ( y )= I n + PT y ,(10)
()
T
где ∆u ( y ) – уравнение регулятора, y = ∆r , ∆r, ∆θ , ∆θ– вектор отклонений для
длины троса и угла θ , P – вектор коэффициентов регулятора.
Оптимальные коэффициенты регулятора определяются с помощью
классического принципа динамического программирования Беллмана для
линеаризованной системы (1–3)
dy / dt = B (t ) y + M ( t ) ∆u ,(11)
где B(t ), M (t ) – известные матрица и вектор, зависящие от номинальной
программы.
Используется квадратичный критерий оптимальности и условие Беллмана
∫ (yχ y + ε∆u 2 ) dt ,
tk
=JT
(12)
T∂W ∂W dy
min y χ y + ε∆u +2
+=0,
u
∂t∂y dt
где χ – положительно определенная матрица, ε – весовой коэффициент, W –
функция Беллмана.
Были выбраны следующие элементы диагональной матрицы χ и
коэффициент ε= : χ11 0.1,
=χ 22 0.3, =χ 44 0.5,
χ 33 0.5,==ε 100 . Значения весовых
коэффициентов были выбраныисходя из следующего: 1) обеспечение
минимально необходимых управляющих воздействий (относительно большой
коэффициент ε ) при достижении рассматриваемых целей управления; 2)
обеспечение желаемого времени переходного процесса по переменным ∆r , ∆r .
Результаты моделирования при использовании управления (10),
полученные с помощью системы уравнений (6), учитывающей изгиб троса,
показаны на рисунках 4 – 5 (штриховая линия – с оптимальным регулятором).
3000
2900
r (м)
2800с регулированием
без регулирования
2700
00.30.60.91.21.51.8
время (ч)
ток (А)
00.30.60.91.21.51.8
время (ч)
Рисунок 4 – Расстояние между крайними точками троса r и ток при
использовании оптимального регулятора
40.02
с регулированием
dθ/dt (рад/с)
без регулирования
θ (рад)
00.01
-40
00.61.21.800.61.21.8
время (ч)-3время (ч)
0.11
dφ/dt (рад/с)
φ (рад)
-0.1-1
00.61.21.800.61.21.8
время (ч)время (ч)
Рисунок 5 – Характеристики процесса перевода системы во вращение при
использовании оптимального регулятора
Рисунки 4–5 соответствуют следующим исходным данным: m1 = 30кг,
m2 = 1600кг , L = 3км , начальное наклонение орбиты i0 = 0 , начальная высота
орбиты H 0 = 500км , начальный эксцентриситет и аргумент перицентра
=
e0 0,=ωu 0 , конечная угловая скорость θf = 0.01рад/с .
Из результатов моделирования (рисунки 4-5) следует, что при
использовании оптимального регулятора минимальное расстояние между
крайними точками троса увеличилось с 2730 м до 2830 м (около 94% от общей
длины троса), что соответствует уменьшению изгиба троса примерно на 100 м.
Достижение заданной угловой скорости осуществляется немного позже, чем
это предсказывает упрощенная модель для нерастяжимого троса. При
достижении заданной угловой скорости вращения системы при использовании
регулирования трос представляет собой практически прямую линию. Таким
образом, использование регулирования позволяет существенно уменьшить
амплитуду изгибных колебаний троса, что ведет к повышению безопасности
процесса перевода КТС во вращение при применении «прямого» метода
управления.
В четвертой главе разрабатывается методика изменения параметров
орбиты ВЭКТС с помощью изменения тока в тросе. Проводится
параметрическая оптимизация предлагаемых алгоритмов управления.
Решаются две задачи: изменение большой полуоси и эксцентриситета орбиты
центра масс ВЭКТС. Рассматриваются достаточно высокие орбиты (высоты 500
км до 1000 км) и с эксцентриситетом е < 0.01.
Для изменения большой полуоси орбиты предлагается следующий закон
управления током
I max , cosθ < cos λ ,
I= - I max , cosθ > cos λ ,(13)
0 ,по-другому,
где I max – допустимая величина тока, λ ∈ [ −π 2, π 2] – параметр закона.
Для изменения эксцентриситета орбиты закон управления имеет вид
I max , если cosθ < 0 cos(ϑ ) < cos(∆),
I= - I max , если cosθ > 0 cos(ϑ ) < cos(∆),(14)
0 , по-другому,
где угол ∆ ∈ [π 2,3π 2] – параметр закона, ϑ - истинная аномалия.
Углы λ , ∆ далее используются для параметрической оптимизации
предлагаемых законов управления, их определение показано на рисунках 6–7.
Угол λ определяет диапазон включения тока вблизи вертикальных положений
троса (θ = 0, π ) , а угол ∆ определяет диапазон включения тока в окрестности
апогея орбиты центра масс системы.
Рисунок 6 – Определение угла λ
Рисунок 7 – Определение угла ∆
В общем случае желательно, чтобы маневры по изменению большой
полуоси и эксцентриситета осуществлялись одновременно. В этом случае
соединение законов (13) и (14) приводит к следующему более общему
алгоритму
I max , если cosθ < 0 (фаза I или II),
I= - I max , если cosθ > 0 (фаза I или II),(15)
0 , по-другому,
где фазы I и II являются соответствующими фазам изменения эксцентриситета
(14) и большой полуоси (13).
В качестве примера на рисунке 8 показано, как изменяются
характеристики движения системы и величина тока, соответствующие закону
управления (15).
0.0110.117000
θ (рад/с)
φ (рад)
A (км)
0.0106970
.
0.009-0.116940
010020001002000100200
время (ч)время (ч)время (ч)
-3
0.20110
i (рад)
0.20057
e
0.24
0100200050100150200
время (ч)время (ч)
ток (A)
-500
-4-4
-100123225226227
050100150200
время(ч)
Рисунок 8 – Характеристики движения ВЭКТС и ток при изменении
эксцентриситета и большой полуоси
Рисунок 8 построен при
= ∆ 0.9 = π , λ π / 4 и соответствует исходным
данным: начальные и конечные значения большой полуоси и эксцентриситета
==
A0 6940км, Af 6990км
= и e0 0.01
=, e f 0.005 , m1 = 30кг , m2 = 500кг , L = 3км ,
начальное наклонение орбиты i0 = 11.5град . Из рисунка 8 следует, что фаза I
(изменение эксцентриситета) занимает 94% (221 час) от общего времени
маневра (234 часа).
Далее проводится параметрическая оптимизация предлагаемых законов
управления (13–15). Рассматриваются следующие целевые функции: время t f
(критерий быстродействия), суммарный импульс силы Ампера I sp (затраты на
управление) и их комбинация (свёртка). Для численной оптимизации
используется метод Нелдера – Мида (метод деформированного многогранника).
Оптимизируемые параметры: углы λ и ∆ . Так как диапазоны изменения углов
λ и ∆ симметричны относительно положений равновесия системы и апогея (и
в законах управления ниже определяются через косинусы), то далее в качестве
оптимизируемых параметров рассматриваются величины, которые определяют
половины исходных диапазонов и которые изменяются в пределах
λo ∈ [ 0, π 2] , ∆ o ∈ [π 2, π ] . Установлено, что частные целевые функции, такие
как время и суммарный импульс приводят к решениям, которые находятся на
границе допустимых диапазонов изменения рассматриваемых параметров и
вряд ли практически целесообразны. Поэтому более рациональным и гибким
решением с точки зрения практического использования является применение
целевых функций в виде свертки указанных выше целевых функций (времени и
импульса).
Оптимизация проводилась для центрального гравитационного поля.
Поэтому была проведена оценка влияния второй зональной гармоники в
разложении потенциала гравитационного поля Земли на результаты
оптимизации. Было установлено, что влияние рассматриваемого возмущения (в
сочетании с действием сил Ампера) приводит к колебаниям большой полуоси и
эксцентриситета в зависимости от изменения аргумента широты орбиты центра
масс системы. Кроме того, как известно, имеет место монотонное изменение
долготы восходящего узла орбиты (прецессия орбиты), которое сохраняется и
при действии силы Ампера. Методом усреднения получены приближенные
уравнения движения центра масс системы в оскулирующих элементах при
учете второй зональной гармоники, которые позволяют уточнить конечных
значений большой полуоси и эксцентриситета, которые получаются при
решении задач параметрической оптимизации программ управления (13-15).
Основные результаты работы и выводы
Основные результаты диссертации:
1.Разработаны модели движения КТС, учитывающие действие силы
Ампера на проводящий трос (модель магнитного поля – наклонный диполь) и
растяжимость троса.
2.Предложены и исследованы номинальные программы перевода КТС
во вращение с помощью электромагнитной силы. Проведено сравнение
способов перевода КТС во вращение и показано, что метода «качаний»
приводит к существенно меньшим амплитудам изгибных колебаний троса и
требуемым величинам тока по сравнению с «прямым» методом управления.
3.Проведен синтез оптимального регулятора для изменения тока в
тросе с использованием принципа динамического программирования Беллмана
для стабилизации движения КТС при «быстром» переводе её во вращение с
помощью «прямого» метода управления. Получены аналитические оценки для
критических величин тока, необходимых для перевода системы во вращение с
помощью «прямого» метода.
4.Разработаны и исследованы алгоритмы изменения орбитальных
параметров центра масс ВЭКТС с помощью изменения тока тросе, и показана
возможность их параметрической оптимизации. Установлено, что с точки
зрения практической реализации предложенных алгоритмов целесообразно
использовать в качестве целевой функции свёртку частных критериев
быстродействия и минимума суммарного импульса электромагнитной силы.
Проведена оценка влияния нецентральности гравитационного поля Земли
(вторая зональная гармоника) на конечные значения большой полуоси и
эксцентриситета при решении задач оптимизации. Установлено, что с учетом
влияния второй зональной гармоники рассматриваемые критерии при
оптимальных решениях изменяются не более чем на 4%.
В диссертации рассматриваются вопросы анализа динамики и
управления движением вращающихся электродинамических космических
тросовых систем (ВЭКТС).
Актуальность работы.
В настоящее время использование вращающихся космических
тросовых систем (КТС) представляется перспективным, так как устойчивость
их движения и натяжение тросов обеспечивается достаточно большой
угловой скоростью их вращения относительно центра масс. Кроме того,
использование вращающихся КТС, в составе которых имеются проводящие
ток тросы, взаимодействующие с магнитным полем Земли, открывает новые
возможности для управления движением таких систем, в частности, для
построения экономичных алгоритмов управления по сравнению с
традиционными средствами, основанными на использовании реактивных
двигателей. Вращающиеся КТС и, в частности, вращающиеся
электродинамические космические тросовые системы (ВЭКТС) могут
служить средством транспортировки грузов, удаления космических мусора,
изменения орбитальных параметров центра масс систем, измерения
параметров магнитосферы и ионосферы и т. д.
Выполнения многих космических миссий и многочисленные
публикации показали необходимость дальнейших исследований по динамике
и управлению движением КТС и ВЭКТС. Важные результаты в этом научном
направлении получены Белецким В.В., Левиным Е.М., Алпатовым А. П.,
Ивановым В.А., Аслановым В.С., Сидоренко В.В., Заболотновым Ю.М.,
Ишковым С.А., Кульковым В. М., Lorenzini E.C., Misra A. K, Williams P.,
Hoyt R., Zhu Z. H., Zhong R., Huang P. и другими. Анализ известных работ
показывает определенный дефицит исследований, связанных с ВЭКТС.
Особенно это относится к методам формирования таких систем и к
изменению орбитальных параметров их центров масс. Поэтому в
диссертационном исследовании основное внимание уделяется именно этим
аспектам движения ВЭКТС.
Вращающаяся КТС, состоящая из двух космических аппаратов (КА),
соединённых тросом, последовательно рассматривается как система со
сосредоточенными параметрами для удобства разработки законов
управления и как система с распределёнными параметрами для анализа
пространственного движения КТС для оценки влияния возмущений при
реализации предлагаемых программ управления. Учёт действия
распределительной силы Ампера, приводящей к изгибу троса, ведет к
необходимости разработки новых методов управления движением ВЭКТС.
Исследование выполнено при финансовой поддержке CSC (China
Scholarship Council), РФФИ и Государственного фонда естественных наук
Китая в рамках совместных научных проектов №21-51-53002 и №
62111530051.
Объект исследования: вращающаяся электродинамическая
космическая тросовая система.
Предмет исследования: динамика и методы управления движением
вращающейся электродинамической КТС.
Цель исследования: разработка методов управления движением
ВЭКТС на этапах её перевода во вращение и изменения орбитальных
параметров центра масс всей системы.
Для достижения цели работы необходимо решить следующие задачи:
1. Разработать математические модели движения ВЭКТС, с
различной полнотой описывающих влияние электромагнитной силы и
деформации троса.
2. Разработать номинальную программу управления и исследовать
процесс перевода электродинамических КТС во вращение с помощью
распределенной силы Ампера. Разработать оптимальный регулятор,
стабилизирующий процесс перевода КТС во вращение с помощью
электромагнитной силы.
3. Разработать и исследовать алгоритмы изменения орбитальных
параметров центра масс ВЭКТС с помощью электромагнитной силы.
Разработать методику параметрической оптимизации предлагаемых
алгоритмов управления.
Методы решения.
Для решения сформулированных задач используются классические
методы механики, управления, вычислительной и высшей математики.
Область исследования.
Область исследования соответствует п. 2 «Баллистическое
Основные результаты диссертации:
1. Разработаны модели движения КТС, учитывающие действие
силы Ампера на проводящий трос (модель магнитного поля – наклонный
диполь) и растяжимость троса.
2. Предложены и исследованы номинальные программы перевода
КТС во вращение с помощью электромагнитной силы. Проведено сравнение
способов перевода КТС во вращение и показано, что метода «качаний»
приводит к существенно меньшим амплитудам изгибных колебаний троса и
требуемым величинам тока по сравнению с «прямым» методом управления.
3. Проведен синтез оптимального регулятора для изменения тока в
тросе с использованием принципа динамического программирования
Беллмана для стабилизации движения КТС при «быстром» переводе её во
вращение с помощью «прямого» метода управления. Получены
аналитические оценки для критических величин тока, необходимых для
перевода системы во вращение с помощью «прямого» метода.
4. Разработаны и исследованы алгоритмы изменения орбитальных
параметров центра масс ВЭКТС с помощью изменения тока тросе, и показана
возможность их параметрической оптимизации. Установлено, что с точки
зрения практической реализации предложенных алгоритмов целесообразно
использовать в качестве целевой функции свёртку частных критериев
быстродействия и минимума суммарного импульса электромагнитной силы.
Проведена оценка влияния нецентральности гравитационного поля Земли
(вторая зональная гармоника) на конечные значения большой полуоси и
эксцентриситета при решении задач оптимизации. Установлено, что с учетом
влияния второй зональной гармоники рассматриваемые критерии при
оптимальных решениях изменяются не более чем на 4%.
ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
КТС – космическая тросовая система,
ВКТС– вращающаяся космическая тросовая система,
ВЭКТС – вращающаяся электродинамическая космическая тросовая система,
БКА – базовый космический аппарат,
КА – космический аппарат,
OX eqYeq Z eq – экваториальная геоцентрическая система координат,
OXYZ – геоцентрическая орбитальная система координат,
OX oYo Z o – геоцентрическая орбитальная подвижная система координат,
связанная с радиус-вектором центра масс КТС,
СX 0Y0 Z 0 – орбитальная подвижная система координат,
C – центр масс системы,
Cxt yt zt – тросовая система координат,
A – большая полуось,
at , as , aw – компоненты возмущающего ускорения от силы Ампера в
орбитальной подвижной системе координат CX 0Y0 Z 0 ,
∆at , ∆as , ∆aw – компоненты возмущающего ускорения от нецентральности
гравитационного поля Земли,
B – вектор магнитной индукции,
cL – жесткость троса,
dt – диаметр троса,
e – эксцентриситет,
e z , eR – единичные векторы оси диполя и радиус-вектора центра масс
системы,
F, T, G – векторы сил Ампера, натяжения и гравитации
H c – высота центра масс системы,
H e – функция Гамильтона,
i – наклонение орбиты,
I max , I limit – максимально допустимый ток и критический ток, необходимый
для перевода системы во вращение,
K D –коэффициент демпфирования,
k1 , k2 , a1 , a2 , c1 , c2 – коэффициенты закона управления для регулятора,
основанного на скользящем режиме управления,
L – длина троса,
q, k – компоненты вектора Лапласа,
qi , q&i , Qi ( i = 1, 2, 3 ) – обобщённые координаты, скорости и обобщенные
непотенциальные силы,
r – расстояние между крайними точками троса,
R – модуль радиус–вектора центра масс системы,
rk – радиус-вектор k–й точки троса,
St – площадь поперечного сечения троса,
t – время,
Tc , П – кинетическая и потенциальная энергии системы,
u – аргумент широты,
W ( y, t ) – функция Беллмана,
α k – угол атаки для k-ого отрезка троса,
α , γ – углы, описывающие положение наклонного диполя магнитного поля
Земли,
∆ L – расстояние от точки приложения равнодействующей силы Ампера до
центра масс системы (алгебраическая величина),
∆u – управление (поправки к номинальному току),
η – коэффициент потерь в материале троса,
θ , ϕ – углы, определяющие положение троса относительно местной
вертикали,
ϑ – истинная аномалия,
me , mm – гравитационная и магнитная постоянные Земли,
ρ a – плотность атмосферы,
χ , ε – матрица и весовой коэффициент в квадратичном критерии
оптимальности при использовании динамического программирования
Беллмана,
δ – постоянная, характеризующая возмущение от нецентральности
гравитационного поля Земли (вторая зональная гармоника),
ωπ – аргумент перигея,
ωk – частота продольных колебаний k–го участка троса,
Ωe – угловая скорость вращения Земли,
Ωu – долгота восходящего узла орбиты.
1. Hintz, G R. Orbital mechanics and astrodynamics [Текст] / G R. Hintz. –
Techniques and Tools for Space Missions, Springer, 2015. – 386 pp.
2. Cosmo, M.L. Tethers in Space Handbook. Third edition [Текст] / M.L.
Cosmo, E.C. Lorenzini. – Smithsonian Astrophysical Observatory, 1997. –
234 pp.
3. Horvath, T J. Advancing Supersonic Retro-Propulsion Technology
Readiness: Infrared Observations of the SpaceX Falcon 9 First Stage [Текст]
/ T. J. Horvath, V. V. Aubuchon, S. Rufer, C. Campbell, M. Ross // AIAA
SPACE and Astronautics Forum and Exposition: труды Международной
научно-технической конференции – Orlando: AIAA. – 2017. – C. 5294.
4. Циолковский, К. Э. Путь к звездам [Текст] / К. Э. Циолковский – М.:
Издательство АН СССР, 1960. – 153 с.
5. Aslanov, V.S. Dynamics of Tethered Satellite Systems [Текст] / V.S.
Aslanov, Ledkov A.S. – Beijing: National Defense Industry Press, 2015. –
179 pp.
6. Dong, Z. Modeling and analysis of deployment dynamics of a distributed
orbital tether system with an atmospheric sounder [Текст] / Z. Dong, Y.M.
Zabolotnov, C. Wang // Advances in the Astronautical Sciences. – 2017. –
Vol. 161. – PP. 1053-1063.
7. Zabolotnov, Yu., M. Introduction to the dynamics and control of the motion
of space tether systems [Текст] / Yu. M. Zabolotnov – Beijing: Science
Press, 2013. – 140 pp.
8. Van Pelt, M. Space tethers and space elevators [Текст] / M. Van Pelt –
Springer Science & Business Media, 2009. – 215 pp.
9. Lorenzini, E. C. Mission analysis of spinning systems for transfers from low
orbits to geostationary [Текст] / E. C. Lorenzini, M. L. Cosmo, M. Kaiser,
M. E. Bangham, D. J. Vonderwell, L. Johnson // Journal of Spacecraft and
Rockets. – 2000. – Vol. 37. – No. 2. – PP. 165-172.
10. Kessler, D. J. Collision frequency of artificial satellites: the creation of a
debris belt [Текст] / D. J. Kessler, B. G. Cour – Palais // Journal of
Geophysical Research. Space Physics. – 1978. – Vol. 83. – No. A6. – PP.
2637-2646.
знаком (*) отмечены работы автора
11. Shan, M., Guo, J., Gill, E. Review and comparison of active space debris
capturing and removal methods [Текст] / M. Shan, J. Guo, E. Gill // Progress
in Aerospace Sciences. – 2016. – Vol. 80. – PP. 18-32.
12. Clément, G. Artificial gravity [Текст] / G. Clément, A. Bukley. – Springer
Science & Business Media, 2007. – 364 pp.
13. Frett, T. Hypergravity facilities in the ESA ground-based facility program–
current research activities and future tasks [Текст]/ T. Frett, G. Petrat, J.W.
A. van Loon, R. Hemmersbach, R. Anken // Microgravity Science and
Technology. – 2016. – Vol. 28. – No. 3. – PP. 205-214.
14. Gou, X. Overload control of artificial gravity facility using spinning tether
system for high eccentricity transfer orbits [Текст]/ X. Gou, A. Li, H. Tian,
C. Wang, H. Lu // Acta Astronautica. –2018 – Vol. 147.– PP. 383-392.
15. *Lu, H.. Tether Deformation of Spinning Electrodynamic Tether System and
its Suppression with an Optimal Controller [Текст]/ H. Lu, A. Li, C. Wang,
Yu. M. Zabolotnov // Journal of Aerospace Engineering. –2021 – Vol. 34. –
No. 2.– PP. 04021003.
16. Белецкий, В.В. Динамика космических тросовых систем [Текст] / В.В.
Белецкий, Е.М. Левин. – М.: Наука, 1990. – 336 с.
17. Cartmell, M. P. A review of space tether research / M. P. Cartmell, D. J.
McKenzie //Progress in Aerospace Sciences. –2008 – Vol. 44. – No. 1.– PP.
1-21.
18. Huang, P. A review of space tether in new applications/ P. Huang, Z. Fan, L.
Chen, Z. Meng, Y. Zhang, Z. Liu, Y. Hu //Nonlinear Dynamics. –2018 –
Vol. 94. – No. 1.– PP. 1-19.
19. Levin, E.M. Dynamic Analysis of Space Tether Missions [Текст] / E.M.
Levin. – San Diego, CA: Univelt, 2007. – 453 pp.
20. Li, G. Precise analysis of deorbiting by electrodynamic tethers using coupled
multiphysics finite elements [Текст] / G. Li, Z. H. Zhu // Journal of
Guidance, Control, and Dynamics. –2017 – Vol. 40. – No. 12.– PP. 3348-
3357.
21. Lang, D. D. Operations with Tethered Space Vehicles [Текст] / D. D. Lang,
R. K. Nolting // Gemini Summary Conference: труды Международной
научно-технической конференции – Houston：NASA, – 1967. – C. 55-64.
22. Pearson, J. Orbital maneuvering with spinning electrodynamic tethers/ J.
Pearson, E. Levin, J. Oldson [Текст]//2nd International Energy Conversion
Engineering Conference: труды Международной научно-технической
конференции – Providence：AIAA, – 2004. – C. 1-7.
23. Williams, P. Optimal control of electrodynamic tether orbit transfers using
timescale separation [Текст] // Journal of Guidance, Control, and Dynamics.
–2010 – Vol. 33. – No. 1.– PP. 88-98.
24. Bangham, M. E. Tether transportation system study [Текст] / M. E.
Bangham, E. C. Lorenzini, L. Vestal // Huntsville: Marshall Space Flight
Center, 1998. – 97 pp.
25. Hoyt, R. Moon & Mars Orbiting Spinning Tether Transport (MMOSTT)
Final Report [Текст]// Final Report on NASA Institute for Advanced
Concepts, 2001.
26. Sedwick, R. J. Propellantless spin-up of tethered or electromagnetically
coupled sparse apertures [Текст]/ R. J. Sedwick, S. A. Schweighart //Highly
Innovative Space Telescope Concepts: труды Международной научно-
технической конференции –Waikoloa: International Society for Optics and
Photonics. – 2002. – C. 193-204.
27. Chen, Y. Hybrid fuzzy sliding mode control for motorised space tether spin-
up when coupled with axial and torsional oscillation [Текст]/ Y. Chen,, M.
Cartmell //Astrophysics and Space Science. –2010 – Vol. 326. – No. 1.– PP
105-118.
28. Zabolotnov Y M. Dynamics of the Formation of a Rotating Orbital Tether
System with the Help of Electro-thruster [Текст] // Procedia engineering. –
2017 – Vol. 185.– PP. 261-266.
29. Voevodin, P. S. On Stability of the Motion of Electrodynamic Tether System
in Orbit Near the Earth [Текст]/ P. S. Voevodin, Y. M. Zabolotnov //
Mechanics of Solids. – 2019 –Vol. 54 –No. 6.– PP. 890-902.
30. Moravec H. A Non-Synchronous Orbital Skyhook [Текст] // Journal of the
Astronautical Sciences. – 1977. –Vol. 25. – No. 3. – PP. 307-322.
31. Colombo G. The study of the use of tethers for payload orbital transfer
[Текст] / G. Colombo – Cambridge: Smithsonian Astrophysical
Observatory,1982. – 46 pp.
32. Bekey, I. Tether propulsion [Текст] / I. Bekey, P. A. Penzo // Aerospace
America – 1986. – Vol. 24. – PP. 40-43.
33. Arnold D A. The behavior of long tethers in space [Текст] // The Journal of
the Astronnautical Sciences. – 1987. – Vol. 35. – No. 1. – PP. 3-18.
34. Martinez-Sanchez, M. Orbital modifications using forced tether -length
variations [Текст] / M. Martinez-Sanchez, S. A. Gavit //Journal of Guidance,
Control, and Dynamics. – 1987. – Vol. 10. – No. 3. – PP. 233-241.
35. Kyroudis, G. A. Advantages of tether release of satellites from elliptic orbits
[Текст] / G. A. Kyroudis, B. A. Conway //Journal of Guidance, Control, and
Dynamics. – 1988. – Vol. 11. – No. 5. – PP. 441-448.
36. Ismail, N. A. Three dimensional dynamics of a flexible Motorised
Momentum Exchange Tether [Текст] / N. A. Ismail, M. P. Cartmell M P.
//Acta Astronautica. –2016. – Vol. 120. – PP. 87-102.
37. Алпатов, А. П. Динамика космических систем с тросовыми и
шарнирными соединениями [Текст] /А. П. Алпатов, В. В. Белецкий, В.
И. Драновский// Москва – Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2007. – 560 с.
38. Sorensen K. Momenrum Exchange Electrodynamic Reboost Tether [Текст] /
K. Sorensen – Technology Assessment Group Final Report, Space
Propulsion Technologies Program. Huntsville: Marshall Space Flight Center,
2003.
39. Liu, G. Nonlinear dynamics and station-keeping control of a rotating tethered
satellite system in halo orbits [Текст] / Liu G, Huang J, Ma G, C. Li //
Chinese Journal of Aeronautics –2013. –Vol. 26. – No. 5.–PP. 1227-1237.
40. Кульков, В. М. Исследование конфигурации и формирование
проектного облика развернутой электродинамической тросовой
системы в составе орбитальных космических аппаратов [Текст] / В. М.
Кульков, Ю. Г. Егоров, С. А. Тузиков. // Известия Российской академии
наук. Энергетика. – 2018. – Т. 3. – № 2016. – С. 119-130.
41. Кульков, В. М. Исследование интегральных энергетических
характеристик космической электродинамической тросовой системы
для орбитальных экспериментов. [Текст] / В. М. Кульков, Ю. Г. Егоров,
С. А. Тузиков. // Известия Российской академии наук. Энергетика. –
2017. – Т. 3. – № 2017. – С. 114-127.
42. Кульков, В. М. Анализ проектных параметров и исследование режимов
функционирования электродинамической тросовой системы [Текст] /В.
М. Кульков, Ю. Г. Егоров, С. А. Тузиков. // Известия Российской
академии наук. Энергетика. – 2016. –Т. 2. – № 2016. – С. 118-128.
43. Lu, H. Optimal Control of Payload Tossing Using Space Tethered System
[Текст]. / H. Lu, C. Wang, Y. Zabolotnov, A. Li // IFAC-PapersOnLine. –
2016. –Vol. 49. –No.17. –PP. 272-277.
44. Lu, H. Low Orbit Debris Mitigation Using Momentum Exchange Tether
System [Текст] / Lu H, C Wang, A. Li, Y. Ge// Journal of Beijing Institute of
Technology. – 2016. –Vol. 4. –No.2. – С. 106-120.
45. Li, A. Fixed-time terminal sliding mode control of spinning tether system for
artificial gravity environment in high eccentricity orbit [Текст] / A. Li, H.
Tian, C. Wang // Acta Astronautica. – 2020. – Vol. 177. –PP. 834-841.
46. Wang, C. Mission analysis and optimal control for cislunar mission with
spinning tether system in hyperbolic orbits [Текст] / T. Huan, A. Li, H. Lu //
Acta Astronautica. – 2020. – Vol. 177. –PP. 862-870.
47. Lanoix, E. L. M. Effect of electromagnetic forces on the orbital dynamics of
tethered satellites [Текст] / E. L. M. Lanoix, A. K. Misra, V. J. Modi, G. Tyc
// Journal of guidance, control, and dynamics. – 2005. –Vol. 28. –No. 6. –PP.
1309-1315.
48. Kawamoto, S. Precise numerical simulations of electrodynamic tethers for an
active debris removal system [Текст] / S. Kawamoto, T. Makida T, F. Sasaki
F, et al. // Acta Astronautica. – 2006. –Vol. 59. –No. 1-5. –PP. 139-148.
49. Pelaez, J. Libration control of electrodynamic tethers in inclined orbit
[Текст] / J. Pelaez, E. C. Lorenzini // Journal of Guidance, Control, and
Dynamics. – 2005. –Vol. 28. –No. 2. –PP. 269-279.
50. Williams P. Energy rate feedback for libration control of electrodynamic
tethers [Текст] // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. – 2006.–Vol.
29. –No. 1. –PP. 221-223.
51. Sanmartin, J. R. Electrodynamic tether at Jupiter—I: Capture operation and
constraints [Текст] / J. R.Sanmartin, M. Charro, E. C. Lorenzini, H. B.
Garrett, C. Bombardelli, C. Bramanti // IEEE Transactions on Plasma
Science. – 2008. –Vol. 36. –No. 5. –PP. 2450-2458.
52. Voevodin, P. S. Stabilizing the Motion of a Low-Orbit Electrodynamic
Tether System [Текст] / P. S. Voevodin, Y M. Zabolotnov // Journal of
Computer and Systems Sciences International. – 2019. –Vol. 58. –No. 2. –
PP. 270-285.
53. Воеводин,П.С.Моделированиеианализколебаний
электродинамической тросовой системы на орбите спутника Земли
[Текст] / П. С. Воеводин, Ю. М. Заболотнов // Математическое
моделирование. – 2017. – Т. 29. – № 6. – С. 21-34.
54. Воеводин, П. С. Анализ динамики и выбор параметров
электродинамической космической тросовой системы, работающей в
режиме генерации тяги [Текст]/ П. С. Воеводин, Ю. М. Заболотнов //
Космические исследования. – 2020. – Т. 58. – № 1. – С. 61-72.
55. Zhong, R. Dynamics of nanosatellite deorbit by bare electrodynamic tether in
low earth orbit [Текст] / R. Zhong, Z. H. Zhu // Journal of Spacecraft and
Rockets. – 2013. – Vol. 50. – No. 3. –PP. 691-700.
56. Alpatov, A. P. Study of the basic variables of a cable-tether system intended
as an electromechanical linkage between space vehicles [Текст]/ A. P.
Alpatov, V. S. Khoroshilov, A. V. Pirozhenko, O. L. Voloshenjuk // Space
science and technology. – 2013. – Vol. 6. – No. 4. –PP. 691-700.
57. Wang, C. Mass ratio of electrodynamic tether to spacecraft on deorbit
stability and efficiency [Текст] / C. Wang, G. Li, Z. H. Zhu, A. Li. // Journal
of Guidance, Control, and Dynamics. – 2016. Vol. 39. – No. 9. –PP. 2187-
2194.
58. Liu, M. Simulation of collision probability between space station and space
debris and structure failure probability [Текст] / M. Liu, Z. Zhu //
International Journal of Space Science and Engineering. –2017. Vol. 4. – No.
39. –PP. 253-269.
59. Hoang, L. T. Eliminating common biases in modelling the electrical
conductivity of carbon nanotube–polymer nanocomposites [Текст] / L. T.
Hoang, S. N. Leung, Z. H. Zhu // Physical Chemistry Chemical Physics. –
2018. Vol. 20. – No. 19. –PP. 13118-13121.
60. Ишков, С. А. Моделирование движения спускаемой капсулы в составе
орбитальной тросовой системы при ограничении на скорость выпуска
троса [Текст] / С.А.Ишков, С. Сюй, П. В. Фадеенков // Управление
движением и навигация летательных аппаратов. 2015. — Т. 1. — С. 78-
82.
61.Hoyt R P. WRANGLER: Capture and De-Spin of Asteroids and Space
Debris [Текст]/ R. P. Hoyt –Final Report on NASA Innovative Advanced
Concepts (NIAC), 2017. – 37 pp.
62.Aslanov, V. S. Dynamics of Reusable Tether System with Sliding Bead
Capsule for Deorbiting Small Payloads [Текст] / V. S. Aslanov, A S. Ledkov
// Journal of Spacecraft and Rockets. – 2018. –Vol. 55. –No. 6. –PP. 1519-
1527.
63.Осипов, В. Г. Космические тросовые системы: история и перспективы.
[Текст] /В. Г. Осипов, Н. Л. Шошунов // Земля и Вселенная. – 1998. – Т.
4. – С. 19.
64.Gilchrist, B. E. Electron collection enhancement arising from neutral gas jets
on a charged vehicle in the ionosphere [Текст] / B. E. Gilchrist，P. M.
Banks, T. Neubert, P. R. Williamson, N. B. Myers, W. J. Raitt, S. Sasaki //
Journal of Geophysical Research: Space Physics. – 1990. –Vol. 95. –No. A3.
–PP. 2469-2475.
65.Carroll, J. A. Tethers for Small Satellite Applications [Текст] / J. A. Carroll,
J. C. Oldson, // AIAA/USU Small Satellite Conference: труды
Международной научно-технической конференции – Utah: AIAA, –
1995. – C. 1-16.
66.Williams, S. D., Gilchrist B E, Agüero V M, et al. TSS-1R vertical electric
fields: Long baseline measurements using an electrodynamic tether as a
double probe [Текст] / S. D. Williams, B. E. Gilchrist, V. M. Agüero, R. S.
Indiresan, D. C, Thompson, W. J, Raitt // Geophysical research letters. –
1998. –Vol. 25. –No. 4. –PP. 445-448.
67.Grossi, M. D. Plasma Motor Generator (PMG) electrodynamic tether
experiment [Текст] / M. D. Grossi – Smithsonian Astrophysical Observatory,
1995. – 44 pp.
68.Gates, S. S. Advanced tether experiment deployment failure [Текст] / S. S.
Gates, S. M. Koss, M. F. Zedd // Journal of Spacecraft and Rockets. – 2001.
–Vol. 38. –No. 1. –PP. 60-68.
69. Kruijff, M. Data analysis of a tethered SpaceMail experiment [Текст] / M.
Kruijff, E. J. Van Der Heide, W. J. Ockels // Journal of Spacecraft and
Rockets – 2009. –Vol. 46. –No. 6. –PP. 1272-1287.
70. Hoyt R. Early The Multi-Application Survivable Tether (MAST)
Experiment [Текст] / R. Hoyt, J. Slostad. // 39th AIAA/ASME/SAE/ASEE
Joint Propulsion Conference and Exhibit: труды Международной научно-
технической конференции – Huntsville: AIAA. – 2012. – C. 1-7.
71. Nohmi M. Planned mission and operation result of nano-satellite STARS-II
[Текст] // Aerospace Technology Japan. – 2015. –Vol. 14. –PP. 53-58.
72. Chen, Y. History of the tether concept and tether missions: a review [Текст] /
Y. Chen, R. Huang, X. Ren X, L. He, Y. He // ISRN astronomy and
astrophysics. – 2013. –Vol. 55. –No. 6. –PP. 1-7.
73. Russell, C. T. Dawn at Vesta: Testing the protoplanetary paradigm [Текст] /
C. T. Russell, C. A. Raymond, A. Coradini A и др. // Science. – 2012. –Vol.
336 –No. 6082. –PP. 684-686.
74. Slavinskis, A. ESTCube-1 in-orbit experience and lessons learned [Текст] /
A. Slavinskis, M. Pajusalu, H. Kuuste и др. // IEEE Aerospace and
Electronic Systems Magazine – 2015. –Vol. 30. –No. 8. –PP. 12-22.
75. Ohkawa, Y. Review of KITE–Electrodynamic tether experiment on the H-II
Transfer Vehicle [Текст] / Y. Ohkawa, S. Kawamoto, T. Okumura T и др.//
Acta Astronautica – 2020. –Vol. 177. –PP. 750-758.
76. Yamagiwa, Y. Space experimental results of STARS-C CubeSat to verify
tether deployment in orbit [Текст] / Y. Yamagiwa, T. Fujii, K. Nakashima,
H. Oshimori, Y. Ishikawa // Acta Astronautica – 2020. –Vol. 177. –PP. 759-
770.
77. Pradeep, S. A. new tension control law for deployment of tethered
satellites[Текст] // Mechanics Research Communications. – 1997. –Vol. 24.
–No. 3. –PP. 247-254.
78. Ellis J R. Modeling, dynamics, and control of tethered satellite systems
[Текст] / J. R. Ellis – Blacksburg: Virginia Polytechnic Institute and State
University. – 211 pp.
79. *Lu H. Stability Analysis and Motion Control of Spinning Electrodynamic
Tether System during Transition into Spin [Текст] / H. Lu, A. Li, C. Wang,
Yu. M. Zabolotnov // Acta Astronautica. –2020 – Vol. 177. – PP. 871-881.
80. GB/T1179-2017 Round wire Concentric lay overload electrical stranded
conductors [Текст] –Beijing: Standards press of china, 2017. – 64 pp.
81. Bellman R. E. Applied dynamic programming [Текст] / R. E. Bellman, S. E.
Dreyfus – Princeton university press, 1962. – 390 pp.
82. Nelder, J. A. Simplex method for function minimization [Текст] / J. A
Nelder., M. A. Roger // The computer journal. –1965. – Vol. 4. – No. 7. – PP.
308-313.
83. *Лу, Х. Оптимизация процесса изменения параметров орбит
космических аппаратов с помощью вращающейся электродинамической
тросовой системы [Текст] / Х. Лу, Ч. Ван, Ю. М. Заболотнов //Вестник
Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и
машиностроение. – 2020. – Т. 19. – № 1 – С. 64-77.
84. *Lu H, Zabolotnov Y M, Li A. Application of spinning electrodynamic tether
system in changing system orbital parameters [Текст] / H. Lu, Yu. M.
Zabolotnov, A. Li, // Journal of Physics Conference Series. –2019 – Vol.
1368. – PP. 042002.
85. Boyd, S. Convex optimization [Текст] / S. Boyd, V. Lieven –Cambridge:
Cambridge university press, 2004. 716 c.
Помогаем с подготовкой сопроводительных документов
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.8 (9 отзывов)
4.7 (96 отзывов)
4.6 (71 отзыв)
5 (9 отзывов)
4.3 (248 отзывов)
4.4 (59 отзывов)
4.8 (373 отзыва)
4.9 (35 отзывов)
5 (20 отзывов)
