Блочный метод синтеза сигмоидальных обратных связей для мехатронных систем при действии возмущений

Во введении обоснована актуальность темы, представлены: краткий
обзор современного состояния исследований; цель и задачи работы, ее научная
новизна и практическая значимость, структура и краткое содержание глав.
В первой главе выделен тип рассматриваемых в работе мехатронных
объектов управления и учитываемых неопределенностей. Приведен краткий
обзор современных методов управления мехатронными системами.
Обоснована необходимость в разработке реализуемых на практике методов
обеспечения инвариантности регулируемых переменных по отношению к
негладким возмущениям, несогласованным с истинными управлениями.
Во второй главе проведен анализ особенностей сигма-функции и
возможностей ее использования в качестве инвариантной обратной связи.
В разделе 2.1 вводится гладкая и ограниченная сигма-функция
 (kx) = 2 / (1 + exp(−kx) ) − 1, k = const  0, D( (kx)) = R, (1)
 (−kx) = − (kx) , σ(kx) ~ kx / 2 , σ(kx) ~ sign(x) . Множитель k в аргументе
x →0k →+
играет роль большого коэффициента усиления в малой окрестности нуля.
Идея использования сигмоидальной обратной связи и выбора ее
параметров пояснена на примере элементарной возмущенной системы
x = f (t ) + u,(2)
где x  R – измеряемое состояние,f ( t ) – внешнее детерминированное
возмущение. Для системы (2) с сигмоидальной обратной связью
x = f (t ) + u,(3)
с постоянной амплитудой m = сonst  0 доказаны следующие утверждения.
Лемма 2.1. Если в системе (2), (3) внешнее возмущение ограничено
известной константой | f (t ) | F = const  0 , t  0 , то тогда для любых сколь
угодно малых   0 , T  0 и любого начального значения x (0) найдутся
такие положительные действительные числа k и m , что при любых k  k ,
m  m выполнится неравенство x(t )  , t  T .
Лемма 2.2. Если в системе (2), (3) внешнее возмущение и его производная
ограниченыизвестнымиконстантами| f (t ) | F = const  0 ,
| f (t ) | F1 = const  0 , t  0 , то тогда для любых сколь угодно малых   0 ,
1  0 , T1  T  0 и любого начального значения x (0) найдутся такие
положительные действительные числа k и m , что при любых k  k , m  m
выполнятся
x(t )  , t  T , x(t ) =| f (t ) − m (kx(t )) | 1 , t  T1  T  0.
Следствие из леммы 2.2. Стабилизация производной с заданной
точностью позволяет получить оценку внешнего возмущения с помощью
управляющего сигнала u (t ) = − f (t )  1 , t  T1 . Данный результат использован
в главах 3, 4, 5 для оценивания с заданной точностью неизвестных сигналов
без использования их динамической модели при построении редуцированного
наблюдателя обобщенных скоростей с сигмоидальной коррекцией.
В разделе 2.2 в качестве объекта управления рассматривается нелинейная
одноканальная система, функционирующая при действии внешних
несогласованных возмущений, представимая в треугольной (по составу
аргументов функций ее подсистем) форме «вход–выход»:
xi = fi ( x1 , x2 , , xi , t ) + bi ( x1 , x2 , , xi , t ) xi +1 , i = 1, n − 1,
(4)
xn = f n ( x1 , x2 , , xn , t ) + bn ( x1 , x2 , , xn , t )u,
где x = col( x1 ,…, xn )  X  Rn – измеряемый вектор состояния с известными
начальными условиями xi (0) , i = 1, n , X – открытая ограниченная область
изменения переменных состояния, определяемая физикой процесса;
x1  X 1  R – регулируемая переменная (выход), u  R – управляющее
воздействие (вход); f i ( x1 ,…, xi , t ) – функции от переменных вектора состояния
и внешних возмущений, которые полагаются неизвестными функциями
времени, ограниченными по модулю известными константам:
fi ( x1 (t ),…, xi (t ), t )  Fi = const  0, t  0, i = 1, n . (5)
Система (4) является управляемой: bi ( x1 (t ),…, xi (t ), t )  0, t  0 , i = 1, n . Данные
функции также могут содержать неопределенности, но известными считаются
их знаки sign(bi ( x1 (t ),…, xi (t ), t )) = const, t  0 и диапазоны изменения
0  bi ,min  bi ( x1 (t ),…, xi (t ), t )  bi ,max , t  0 , i = 1, n .(6)
В общем случае требование гладкости к функциям fi (t ), bi (t ), i = 1, n
системы (4) не предъявляется, достаточно, чтобы они были кусочно-
непрерывными с конечным числом точек разрыва первого рода.
Для системы (4) ставится задача синтеза обратной связи, обеспечивающей
отслеживание выходной переменной x1 (t) заданного сигнала g (t ) ,
аналитическое описание которого отсутствует, известны только его текущие
значения и область изменения первой производной:
g (t )  G  X 1 , g (t )  G1 , t  0 .(7)
В сделанных предположениях и без ввода генераторов внешних
воздействий задача слежения, а именно, стабилизация ошибки слежения
e1 (t ) = x1 (t ) − g (t ) , может быть решена только с некоторой точностью. Пусть
заданы точность стабилизации 1  0 и время t1  0 ее достижения. Цель
управления – обеспечить в замкнутой системе
e1 (t )  1 , t  t1(8)
и ограниченность остальных переменных.
В разделе 2.3 в рамках блочного принципа управления для объекта (4)
формируются сигмоидальные локальные связи
xi = −sign(bi −1 )mi −1 (ki −1ei −1 ), ki −1 , mi −1 = const  0, i = 2, n, (9)
где e1 – ошибка слежения, ei −1 ( i = 3, n + 1 ) – невязки между переменными xi и
выбранными фиктивными управлениями (9):
e1 = x1 − g , ei = xi − xi = xi + sign(bi −1 )mi −1 (ki −1ei −1 ), i = 2, n. (10)
В замкнутой системе с помощью истинного управления
u = −sign(bn )mn (kn en ), kn , mn = const  0,(11)
требуется обеспечить стабилизацию невязок (10), в том числе, ошибки
слежения e1 , что отвечает цели управления (8).
Замкнутая система (4), (11) относительно невязок (10) принимает вид:
e1 = − b1 m1 (k1e1 ) + f1 − g + b1e2 ;
ei = − bi mi (ki ei ) + fi + i −1 + b i ei +1 , i = 2, n − 1;(12)
en = − bn mn (kn en ) + f n +  n −1 ,
гдеслагаемыеi = sign(bi )mi ki ( (1 −  2 (ki ei )) / 2 ) ei , i = 1, n − 1являются
производными соответствующих фиктивных управлений (9), которые
возникают при переходе к новому координатному базису (10). Доказана
Теорема 2.1. Если в системе (12) выполняются условия (5)–(7), то тогда
для любых начальных условий x(0)  X и любых, сколь угодно малых 1  0,
t1  0 найдутся такие действительные числа ki  0,i = 1, n,0  mi  mi ,
i = 1, n − 1, mn  0, что при любых ki  ki , mi : mi  mi  mi , mn  mn
неравенство (8) выполнится.
В ходе доказательства с использованием второго метода Ляпунова и
метода разделения движений получена иерархическая система неравенств для
выбора коэффициентов обратных связей, которые не требует перенастройки
при изменении неопределенных функций системы в допустимых пределах.
Таким образом, в замкнутой системе обеспечивается 1 -инвариантность
выходной переменной по отношению к несогласованным возмущениям с
помощью гладких и ограниченных нелинейных обратных связей, при этом
устраняется проблема всплесков в начале переходных процессов, характерных
для систем с линейными управлениями с большими коэффициентами.
В разделе 2.4 приведены результаты моделирования разработанного
алгоритма применительно к задаче синтеза системы управления перевернутым
маятником, функционирующим в условиях неопределенности. Данные
результаты подтвердили эффективность разработанного подхода.
В третьей главе в качестве объекта управления рассматривается
полноприводная электромеханическая система с n степенями свободы,
функционирующая в условиях неопределенности. В разделе 3.1 дано описание
математической модели объекта управления:
q1 = q2 , q2 = I −1 (q1 )[υ − C(q1 , q2 )q2 − G(q1 ) +  (t )],(13)
υ = − Aυ − Dq2 + Bu,(14)
где (13) – динамика лагранжевой механической подсистемы (манипулятора),
q1 = col(q11 , , q1n )  Q1  Rn ,q2 = col(q21 , , q2n )  Q2  Rn– векторы
обобщенных координат и скоростей; I n n (q1 )  0 – нелинейная положительно
определенная матрица инерции,det I −1 (q1 )  0 ; Cnn (q1 , q2 ) – матрица
центростремительных и кориолисовых сил; Gn1 ( q1 ) – вектор гравитационных
сил;  (t ) = col(1 , ,n )  Rn – вектор внешних возмущений. Уравнение (14) –
учитываемая динамика исполнительных устройств (ИУ) – двигателей
постоянного тока (ДПТ) с жестким типом сочленений, υ = col(υ1 , , υn )  Rn –
вектор обобщенных моментов, A, D , B – диагональные матрицы с
положительными постоянными коэффициентами передачи, в частности
B = diag(bi ), bi = const  0 i = 1, n ; u  Rn – вектор напряжений питания
якорной цепи ДПТ – разрывные ограниченные управления, ui  k3i , i = 1, n .
Многозвенная конструкция манипулятора заканчивается сменным
рабочим органом или схватом, удерживающим груз. Координаты вектора
пространственной ориентации схвата y1  Y1  Rm , где m = 1  6  n,
однозначно выражаются через обобщенные координаты, y1 = h(q1 (t )) –
известная вектор-функция, ее элементы и их производные ограничены:
| y1(ij ) (t ) | Yji = const  0, t  0, i = 1, m, j = 0,3.
Значения Yji считаются известными из предметной области – конструктивных
ограничений и соображений безопасности. Рассматриваются манипуляторы с
неизбыточным числом степеней свободы m = n , матрица частных
производных J (q1 ) nn = (h q1 ) имеет полный ранг: rankJ n n (q1 ) = n, q1  Q1.
Ставится задача отслеживания выходными переменными y1 = h(q1 )  R n
системы (13)–(14) допустимых траекторий g (t )  R n , заданных в системе
координат рабочего органа g  Y1 , в следующих предположениях:
1) аналитический вид задающих воздействий не известен, имеются только
их текущие значения, g = col( g1 ,…, g n ) – ограниченные функции времени с
ограниченными производными: gi( j ) (t )  Y ji , t  0 , i = 1, n , j = 0,3 ;
2) прямым измерениям доступны обобщенные координаты q1 (t ) и токи
якорей электроприводов, пересчитанные в электрические моменты υ(t ) ;
3) масса схвата с грузом – неизвестная, ограниченная кусочно-гладкая
функция времени с ограниченной производной, как следствие, матрицы I , C ,
G механической подсистемы (13) параметрически неопределенные;
4) внешние возмущения  (t ) – неизвестные, ограниченные, кусочно-
гладкиефункциивременисограниченными производными:
i (t )  H ji = const, t  0 , i = 1, n, j = 0,1 .
(j )

Цель управления – обеспечить стабилизацию ошибки слежения:
e1 = y1 − g  Rn , e1i (t )  1 , t  T , i = 1, n .(15)
В разделе 3.2 на основе блочного подхода представлено решение задачи
слежения в механической подсистеме, где фиктивными управлениями
полагаются обобщенные скорости и обобщенные моменты. Чтобы избежать
решения обратных задач кинематики и динамики, система (13)–(14) записана
относительно регулируемых переменных y1 = h(q1 (t )) и их производных:
y1 = J (q1 )q2 = y2 , y2 = J (q1 , q2 )q2 + J (q1 )q2 = A2 (q1 , q2 , t ) + B2 (q1 )υ, (16)
гдеJ nn = (h q1 ) = ( J ij ), J nn = ( J ij ), J ij = (J ij q1 )q2 ;B2 = J (q1 ) I −1 (q1 ) ,
det B2( nn) (q1 )  0 , q1  Q1 : A2 = J (q1 , q2 )q2 − B2 (q1 )[C (q1 , q2 )q2 + G (q1 ) −  (t )] и
элементы B2 содержат неизвестные, ограниченные составляющие.
В системе (16) фиктивными управлениями полагаются векторы скоростей
y2 и моментов υ . Желаемое значение фиктивного управления y2 выбирается
ввиделинейнойлокальнойсвязиy2 = g − K1e1 ,гдеK1 = diag(k1i ),
k1i = const  0 , i = 1,n , с целью обеспечения экспоненциальной сходимости
ошибки слежения e1 в окрестность (15), которая достигается за счет выбора
K1 . С учетом невязки e2 = y2 − y2 = y2 − g + K1e1 система (16) с линейной
локальной связью принимает вид
e1 = − K1e1 + e2 , e2 =  (t ) + B2 (q1 )υ,(17)
где элементы вектор-функции  (t ) = A2 (q1 , q2 , t ) − g2 (t ) − K12e1 (t ) + K1e2 (t ) и их
производные в силу априорных предположений ограничены:
i(j ) (t )  Fji = const , t  0 , i = 1, n, j = 0,1 .
Задача синтеза фиктивного управления υ  R n с целью стабилизации e2 в
(17) нетривиальна: входные каналы действия υ представлены матрицей
B2 = J (q1 ) I −1 (q1 ), которая зависит от неопределенных параметров и в отличие
от матрицы I −1 (q1 )  0 не является знакоопределенной.
В разделе 3.3 на основе метода иерархии управлений разработана
процедура синтеза сигмоидальных обобщенных моментов
υi = −m2i sign(bii ) (k2i e2i ), m2i , k2i = const  0, i = 1, n, (18)
где b11 = b11 = Δ1 , bii = Δi / Δ i −1  0 ,  (k2i e2i ) – сигма-функция от указанного
аргумента (1), Δ i – миноры матрицы B2 различных порядков, i = 2, n . Суть
процедуры заключается в организации определенной последовательности
сходимости компонент вектора e2 , например, следующей:
e21   21 , t  t21  0  e22   22 , t  t22  t21  e2 n   2 n , t  t2 n  t2, n −1 .
Эта организация осуществляется за счет выбора параметров локальных связей
m2i , k2i , i = 1, n в зависимости от знакопостоянства миноров матрицы B2 .
Разработанная иерархическая процедура синтеза фиктивных сигмоидальных
управлений в условиях неопределенности входных каналов позволяет
распространить результат теоремы 2.1 на многоканальные системы,
приводимые к блочному виду и сохраняющие структурные свойства
управляемости при допустимой вариации параметров и внешних возмущений.
В разделе 3.4 для оценивания смешанной переменной e2 (t ) = y2 − g + K1e1
на основе первой подсистемы (17) построен редуцированный наблюдатель
z = − K1 z + v,(19)
где z  R n – вектор состояния, v  R n – вектор корректирующих воздействий
наблюдателя. Задача наблюдения сводится к задаче стабилизации системы,
записанной относительно ошибки наблюдения  = e1 − z ,   Rn , которая в
силу (17), (19) имеет вид
 = − K1 + e2 − v.(20)
Показано,чтовыборомпараметровmi , ki = const  0, i = 1,n
сигмоидальных корректирующих воздействий
v = Mσ( K  ), M = diag(mi ),
(21)
K = diag(ki ), σ( K  ) = col(σ(k11 ),…, σ(kn n ))
в замкнутой системе (20), (21) за заданное время t  t0  0 обеспечивается
стабилизация ошибки наблюдения и ее производной с заданной точностью:
 i (t )  i ,  i  k1ii + i  e2i − vi  i   2i , i = 1, n. При этом оценками
неизмеряемых сигналовe2 (t )служат сигмоидальные корректирующие
воздействия v(t )  e2 (t ) , t  t0 . Для построения наблюдателя (19) не требуется
точное знание массо-инерционных характеристик механической подсистемы.
В разделе 3.5 решается задача стабилизации ошибки слежения
e3 = υ − υ  R n (18) в электрической подсистеме e3 = − Ae3 + f (t ) + Bu , где
элементывектор-функцииf (t ) = − Aυ (t ) − Dq2 (t ) − υ (t ) ограничены, с
помощью закона разрывного управления u = − K 3sign(e3 ), где K 3 = diag(k3i ),
k3i = const  0 , i = 1,n , sign(e3 ) = col(sign(e31 ),…,sign(e3n )) , который в системе с
наблюдателем (19) реализуется в виде u = − K3sign(υ(t ) − υ (v)) .
В разделе 3.6 представлены результаты моделирования разработанных
алгоритмов применительно к трехзвенному манипулятору типа UMS-2.
Особенность данного объекта: в его модели, представленной в блочной форме
вход – выход, состав базисных миноров матрицы B2 перед обобщенными
моментами зависит от сектора цилиндрического объема, в котором находится
конечная точка манипулятора.
В главе 4 в качестве объекта управления рассматривается двухроторная
электромеханическая система с перекрестными связями и сухим трением. В
разделе 4.1 представлена математическая модель механической подсистемы
x1 = x2 , x2 = [(1 − K gy x3 cos x1 )1 − f1 ] / I1 ,
x3 = x4 , x4 = [ 2 − f 2 ] / I 2 ,(22)
(T0T10 + T11 )1kTk
x5 = kc1 − x5 − c 0 1 u1 ,
TpT11TpTpT11
где x1 =  , x3 =  – углы тангажа и рысканья (выходные, регулируемые
переменные), − / 2  x1 (t )   / 2 , 0  x3 (t )  2 , x2 , x4 – угловые скорости,
I1 , I 2 – моменты инерции основного и хвостового винтов, K gy – параметр
гироскопическогомомента,0  K gy  1/ (2 )  1 − K gy x3 cos x1  0 ,
f1 = M FG + M B + 1 – сумма моментов, приложенных к основному винту,
M FG = M g sin x1 , M B = B1 x 2 + B2 signx 2 , M g – параметр гравитационного
момента,B1иB2–параметрымоментасилытрения,
f 2 = M B + M R + 2 = B1 x4 + B2 signx4 + x5 + 2–суммамоментов,
приложенных к хвостовому винту, M B = B1 x4 + B2 signx4 , B1 и B2 –
параметры момента силы трения,  i– часть обобщенных моментов,
трактуемых как неизвестные ограниченные возмущения, | i (t ) | H i , t  0 ,
 i = ai i2 + bi i – моменты, создаваемые приводами на основном и хвостовом
винтах соответственно, ai , bi – коэффициенты передачи, i = 1, 2 .
Учитываемая динамика электрических ИУ описывается уравнениями:
Ti 0k
 i + i ui , i = 1, 2,
i = −(23)
Ti1Ti1
где  i – моменты сил на валу основного и хвостового двигателей; Ti 0 , Ti1 , ki –
параметры исполнительных устройств, u i – разрывные управления
(напряжения питания якорной цепи электроприводов), i = 1, 2 . В уравнениях
(22)–(23) все конструктивные коэффициенты положительные.
Для объекта (22)–(23) ставится задача синтеза закона разрывного
управления в форме обратной связи, обеспечивающего отслеживание
выходными переменными x1 (t ) и x3 (t ) заданных сигналов g1 (t ) и g 2 (t )
| e1i (t ) | 1i , i = 1, 2, t  t1i  0,(24)
где e11 (t ) = x1 (t ) − g1 (t ) , e12 (t ) = x3 (t ) − g 2 (t ) – ошибки слежения, с учетом
проектных ограничений на угловые скорости, моменты, развиваемые
исполнительными устройствами, и управления
| x2 (t ) | X 21 , | x4 (t ) | X 22 , |  i (t ) | Ti  bi / (2ai ),
(25)
|  i (t ) | Ti  bi2 / (4ai ), | ui (t ) | U i , t  0, i = 1, 2,
выполнение которых надо обеспечить в замкнутой системе в предположениях:
1) измерениям доступны угловые положения x1 (t ), x3 (t ) , задающие
воздействияg1 (t ), g 2 (t )итокиякорейприводов,покоторым
восстанавливаются текущие значения моментов сил  1 (t ) ,  2 (t ) ;
2) генератор задающих воздействий отсутствует, их производные
трактуются как ограниченные возмущения | gi (t ) | G1i , t  0;
3) значения коэффициентов передачи ai , bi , i = 1, 2 известны, остальные
конструктивные коэффициенты точно не известны, имеются только диапазоны
их изменения 0  min  (t )  max , t  0 (под символом *(t ) понимаются
неопределенные параметры системы (22)–(23), которые могут изменяться в
процессе эксплуатации), в частности 0< min    max ,  = 1 − K gy x3 cos x1 ; 4) тот факт, что в замкнутой системе целенаправленно будет обеспечиваться выполнение ограничений (25), позволяет принять для целей анализа следующие оценки суммарных моментов | f1 ( x1 , x2 , t ) | F1 = M g ,max + B1 ,max X 21 + B2 ,max + H1 , | f 2 ( x4 , x5 , t ) | F2 = B1 ,max X 22 + B2 ,max + X 5 + H 2 и трактовать их как неизвестные ограниченные возмущения; 5) система (22)–(23) управляемая: d i / d i  0 , 2a i i (t ) + bi  0, t  0 . В разделе 4.2 в рамках блочного подхода с сигмоидальными локальными связями, невырожденная замена переменных e21 = x2 − x2* = x2 + m11 (k11e11 ), e22 = x4 − x4* = x4 + m12 (k12 e12 ), e31 = 1 − 1* = 1 + m21 (k21e21 ), e32 =  2 −  2* = =  2 + m22 (k22 e22 ) приводит к следующей замкнутой системе: e1i = e2i − gi − m1i (k1i e1i ), e2i = [ i (e3i − m2i (k2i e2i )) − f i ] / I i + 1i ,  Tk (26) e3i = (2ai i + bi )   − i 0  i + i ui  +  2i , i = 1, 2,  Ti1Ti1  где 1i = 0,5m1i k1i (1 −  (k1i e1i ))e1i , 2i = 0,5m2i k2i (1 −  2 (k2i e2i ))e2i ,  2 = 1 , 1 =  ( x1 , x3 ) . В системе (26) сформирован закон разрывного управления, характерный для электрических ИУ, работающих в ключевом режиме: ui = −m3i sign(e3i ), m3i  0, i = 1, 2.(27) Разработана процедура выбора параметров обратных связей, где нижние границы на выбор амплитуд получены из достаточных условий сходимости (24) с помощью второго метода Ляпунова, в то время как ограничения (25) приводят к верхним границам на выбор амплитуд. Получена предельная точность слежения, которая может быть достигнута при имеющихся ограничениях. Возможность выполнения проектных ограничений (25) на стадии синтеза в рамках данного подхода связана с тем, что за счет стабилизации невязок фиктивныеуправленияx2 (t ), x4 (t ),~1 (t ),~2 (t ) отслеживают всюду ограниченные сигмоидальные сигналы, амплитуды которых не превосходят верхних границ в проектных ограничениях. В разделе 4.3 на основе кинематических соотношений механической подсистемы (22) q1 = q2 , где q1 = col( x1 , x3 ) , q2 = col( x2 , x4 ) – векторы угловых положений и скоростей, для оценки угловых скоростей строится наблюдатель z = ,(28) где z = col( z1 , z2 )  R – вектор состояния наблюдателя,  = P ( L ) – вектор сигмоидальных корректирующих воздействий,  = q1 − z  R2 – вектор ошибок наблюдения, P = diag( pi ), L = diag(li ), pi = const  0, li = const  0 , i = 1, 2 ,  ( L ) = col( (l11 ),  (l2 2 )) . Задача наблюдения сводится к стабилизации ошибок наблюдения и их производных и решается на основе виртуальной системы  ( L )  = q2 − = q2 − P ( L ),  = q2 − P,  где  ( L )  = diag (  (li  i )  i ) , i = 1, 2 . Зададимся точностью стабилизации ошибки наблюдения 1i = const  0 вместе с ее производной  2i = const  0 :  i (t )  1i ,  i (t ) = q2i (t ) − vi (t )   2i  vi (t ) = q2i (t )   2i , (29) t  t0i , 0  t0i  t1i , i = 1, 2. Требования к процессу оценивания (29) достигаются выбором параметров коррекции pi , li , i = 1, 2. В замкнутой системе с наблюдателем (28) управление (27)реализуетсяввидеui = −m3i sign(eˆ3i ), i = 1, 2, где eˆ2i (t ) =  i (t ) + m1i (k1i e1i (t )), eˆ3i (t ) =  i (t ) + m2i (k2i eˆ2i (t )), i = 1, 2. Использование наблюдателя (28) с сигмоидальной коррекцией по сравнению с наблюдателем с разрывной коррекцией, где для получения искомых оценок необходимо отфильтровать высокочастотную составляющую полезного сигнала, позволяет снизить вычислительную сложность и обеспечить лучшее качество оцениваемых сигналов (гладкость). Но недостатком обоих наблюдателей является потеря работоспособности при наличии шумов в измерениях, которые требуют предварительной фильтрации. В разделе 4.4 представлены результаты численного моделирования разработанных алгоритмов. Показано, что по сравнению с системой с линейными фиктивными управлениями, при использовании сигмоидальных локальных связей величина перерегулирования меньше в 2,5 – 4 раза. Однако в рамках разработанной процедуры, в общем случае, не гарантируется тотальное выполнение ограничений по угловым скоростям в начале переходных процессов. Для их обеспечения потребуется уточнение процедуры настройки параметров регулятора с учетом области допустимых начальных условий и оценкой времени переходных процессов. В главе 5 в качестве объекта управления рассматривается ходовая тележка однобалочного мостового крана (ОМК), перемещающая грузы, закрепленные на стержне. Особенность объекта заключается в наличии одного управления при двух степенях свободы, неопределенных массо-инерционных характеристиках и воздействии внешнего неконтролируемого возмущения. В разделе 5.1 представлена математическая модель объекта q1 = q2 , q2 = f1 (q1 , q2 ) + f 2 (q1 , q2 )(u +  (t )), где q1 = col(q11 , q12 )  R2 , q2 = col(q21 , q 22 )  R2 – векторыобобщенных координат и скоростей, f1 = col( f11 , f12 ), f 2 = col( f 21 , f 22 ), f11 = −m sin q12 (lq22 + g cos q12 )   M + m sin 2 (q12 )  , f12 =  − sin q12 ((M + m) g + ml cos q12  q22 2 )  l ( M + m sin 2 (q12 ))  , f 21 = 1  M + m sin 2 (q12 )  , f 22 = cos q12 l ( M + m sin 2 (q12 ))  , g – ускорение свободного падения, M – масса тележки, к которой на стержне длиной l прикреплен груз с массой m ,  (t ) – неизвестное ограниченное возмущение, u – управляющая сила. Предположения: 1)  (t ) – кусочно-гладкая ограниченная функция с ограниченными производными,  (t )  H ,  (t )  H1 , t  0, H , H1 – известные константы; 2) параметры l , m, M точно не известны; 3) груз рассматривается как точечная масса, жесткость и масса стержня не учитываются; 4) измерению подлежит положение тележки q11 (t ), шумы в измерениях отсутствуют. Ставится задача синтеза закона управления u в форме обратной связи, обеспечивающего заданное положение тележки ОМК q11d = const и стабилизациюостальныхпеременныхсостояния.В условиях неопределенности данная задача решается с заданной точностью: e11 = q11 − q11d , e11 (t )  11 , q21 (t )   21 , t  T  0. В разделе 5.2 для решения поставленной задачи предложен комбинированный закон управления, который содержит линейное и сигмоидальное слагаемые: u = −k1e11 − M 2 (k2 q21 ),(30) где k2 , M 2 = const  0 . Линейная часть служит для стабилизации ошибки регулирования e11 , скорость сходимости зависит от выбора k1  0, а сигмоидальная – для обеспечения инвариантности по отношению к внешнему возмущению. Параметры управления (30) были приняты с учетом свойства пассивности системы. Для реализации базового закона (30) построен наблюдатель состояния, аналогичный (28), который в данном случае имел первый порядок и с заданной точностью предоставлял оценку скорости тележки ОМК q21 . В разделе 5.3 представлены результаты моделирования разработанных алгоритмов в системе Matlab-Simulink с использованием параметров промышленного однобалочного мостового крана CXTS10-TON. Масса грузов, переносимых данным краном, варьируется в пределах от 500 до 9071,84 [кг]. Моделирование проводилось при следующих числовых значениях: M = 612,35 [кг] – масса тележки, l = 6 [м] – длина стержня. Внешние возмущения описывались кусочно-гладкой периодической функцией  (t ) = 0, 2t с главным периодом T = 1 [c]. Требовалось решить типовую задачу для данного объекта управления – переместить тележку с подвешенным грузом из положения q1i (0) = 0, q2i (0) = 0, i = 1, 2 , которое соответствовало началу пролета, в положение q11d = 13,31 [м] – конец пролета с точностью 0,1 [м]. Для достижения цели управления и исходя из предельной допустимой массы груза m=9071,84 [кг] были приняты следующие параметры закона управления (30): k1 = 20, k2 = 10, M 2 = 200.(31) Было проведено 3 эксперимента с различными массами груза 500, 4785,92 и 9071,84 [кг], но с одинаковыми параметрами регулятора (31). Во всех экспериментах цель управления достигалась с обеспечением практически монотонных переходных процессов для ошибки регулирования, а максимальная амплитуда колебаний груза составила 0,0245 [рад]. Было также проведено моделирование с параметрами регулятора (31) и массой груза m = 5500 [кг], а для сравнения был построен классический закон управленияввидеПД-регулятораu = −k p1e11 − k p 2 q21 ,гдепараметры k p1 = 20, k p 2 = 330 были приняты из условий обеспечения заданной точности. Для оценки скорости тележки q21 и реализации законов управления строился наблюдатель состояния пониженного порядка с сигмоидальным корректирующим воздействием с амплитудой U = 5 и большим коэффициентом k = 250, выбранными исходя из точности оценивания 0,01 [м/с]. Для численного интегрирования замкнутой системы использовался метод Эйлера с постоянным шагом 10−3. На рис. 1, 2 для замкнутых систем представлены графики ошибок оценивания скорости q21 (t ) с помощью корректирующего воздействия наблюдателя  (t ) и ошибок регулирования заданного положения e11 (t ) = q11 (t ) − q11d соответственно. На рис. 3 приведены графики угла отклонения стержня от вертикальной оси q12 (t ) . На рис. 4 представлены графики управляющих воздействий u (t ). Рис. 1. График ошибки оцениванияРис. 2. График ошибки скорости q21 (t ) − (t )регулирования e11 (t ) Рис. 3. График угла отклоненияРис. 4. График управления u (t ) стержня от вертикальной оси q12 (t ) Результаты моделирования подтвердили эффективность разработанного подхода (рис. 1, 2). Достигнутая точность стабилизации заданного положения составила 0,0499 [м] для обоих законов управления. Из рис. 3, 4 следует, что благодаряиспользованиюограниченной сигмоидальнойфункции, комбинированный закон управления обеспечивает меньшую величину перерегулирования e11 (t ) , q12 (t ) с меньшей амплитудой управления u (t ) в переходном процессе (до 4-х раз) при воздействии внешнего возмущения. ВЫВОДЫ В диссертационной работе в рамках решения фундаментальной проблемы теории и практики автоматического управления – подавления воздействия на регулируемые переменные несогласованных возмущений – разработан метод блочного синтеза сигмоидальных обратных связей для систем общего вида и для конкретных мехатронных объектов управления с учетом их особенностей. Полученыробастныеиуниверсальныеалгоритмыуправления, обеспечивающие заданные характеристики процесса слежения при различных режимах работы и не требующие перенастройки при изменении условий эксплуатации и внешних факторов в допустимых пределах. Получены следующие основные результаты. 1. Формализован новый тип гладких ограниченных сигмоидальных обратных связей и выбор их параметров. Данные обратные связи подавляют действие аддитивных несогласованных возмущений и сочетают преимущества линейных управлений с большими коэффициентами и разрывных управлений, но, в отличие от них, реализуемы в практических приложениях. 2. Разработана декомпозиционная процедура синтеза сигмоидальных обратных связей, обеспечивающая в нелинейных одноканальных объектах заданную точность стабилизации ошибки слежения за заданное время при действии внешних несогласованных возмущений. 3. Разработан метод синтеза редуцированного наблюдателя с сигмоидальными корректирующими воздействиями для оценивания обобщенных скоростей по измерениям обобщенных координат неопределенно заданных мехатронных систем. 4. Разработана иерархическая процедура настройки амплитуд сигмоидальных управлений с неопределенной матрицей. Решена задача отслеживания траекторий, заданных в системе координат конечной точки робота-манипулятораснеопределеннымимассо-инерционными характеристиками. 5. Разработана процедура синтеза следящей системы с сигмоидальными обратными связями с учетом ограничений на переменные состояния и управления для двухроторной электромеханической системы с перекрестными связями, при наличии сухого трения и других несогласованных возмущений. Показано, что по сравнению с линейными фиктивными управлениями сигмоидальные локальные связи позволяют уменьшить величину перерегулирования переменных состояния. 6. Построен закон с линейной и сигмоидальной частью, решающий задачу стабилизации заданного положения ходовой тележки ОМК. Показано, что при действии внешних возмущений предложенный подход позволяет снизить амплитуду колебаний груза по сравнению с ПД-регулятором, что повышает надежность и безопасность процесса транспортировки.