Численное моделирование упругопластического деформирования пористых тел и устойчивости густо перфорированных пластин и оболочек

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы,
сформулированы цели и задачи работы, отмечена научная новизна.
В первой главе дается обзор методов и результатов экспериментальных и
теоретическихисследованийнапряженно-деформированногосостояниягусто
перфорированных пластин, оболочек и пористых материалов.
Исследования напряженно-деформированного состояния в пластинах и оболочках,
ослабленных различными вырезами и отверстиями, описаны в работах Тимошенко С.П.,
Лебедева Н.Н., Савина Г.Н., Афендика Л.Г., Лурье А.И. Определены особенности
деформирования пластин и оболочек, ослабленных одним или небольшим количеством
вырезов или отверстий. В работе Григолюка Э.И. и Фильштинского Л.А. осуществлено
обобщение аналитических исследований. В работе приведены оценки снижения
механических свойств и локального распределения напряжений в перемычках. Такой
подход позволяет неплохо оценить величину упругой деформации и соответствующего им
напряжения. В случае упругопластического деформирования необходимо учитывать
пластические деформации, которые возникают около отверстий уже на ранних стадиях
нагружения.
Анализ литературных источников, посвященных исследованиям устойчивости
перфорированных тонкостенных конструкций, показал, что наиболее полно разработана
теория тонких упругих пластин и оболочек с небольшим количеством малых вырезов. В
случае густо перфорированных пластин и оболочек имеет место локальная потеря
устойчивости в перегородках, для моделирования которых необходимо учитывать
неоднородность напряженно-деформированного состояния, вызванную наличием
отверстий. В литературе эта проблема освещена мало и при исследованиях авторы
ограничиваются лишь двумя близлежащими отверстиями.
Во многих научных работах авторы определяют механические свойства пористой
структуры, рассматривая её, как эквивалентный сплошной материал. Такой подход не
учитывает неоднородность напряженно-деформированного состояния в перегородках
между полостями. Моделирование процессов деформирования с полным учетом всех
геометрических неоднородностей возможно, но требует огромного количества
вычислительных и временных ресурсов. В этой связи необходимо рассмотреть другой
подход, который учитывал бы неоднородность поля напряжений и деформаций и позволял
производить расчеты в условиях ограниченности вычислительных ресурсов.
Во второй главе приводится определяющая система уравнений, используемая при
численном моделировании упругопластического деформирования и устойчивости густо
перфорированных пластин, оболочек и пористых тел. Представлена конечно-элементная
методика её решения. Приведено описание принципа подобия напряженно-
деформированного состояния в структурном элементе, который применялся при решении
задач деформирования густо перфорированных пластин, оболочек и пористых тел.
В работе густо перфорированные пластины, оболочки и пористые тела представляют
собой набор одинаковых структурных элементов. В этом случае оценить неоднородность
напряженно-деформированного состояния в упругопластическом материале при наличии
вырезов или полостей можно с использованием принципа подобия, который можно
сформулировать следующим образом: при деформировании в подобных условиях
нагружения геометрически подобных тел из одинакового материала напряжения и
деформации, возникающие в конструкции, идентичны. Этот принцип позволяет заменить
набор одинаковых представительных объемов на один геометрически подобный им
структурный элемент (см. рисунок 1), в котором при моделировании реализуется среднее
по этому набору напряженно-деформированное состояние. Такой подход учитывает
неоднородность напряженно-деформированного состояния в структурном элементе при
сохранении величины пористости и характерных размеров деформируемого тела.
Дополнительно появляется возможность управлять объемом вычислительных ресурсов
посредством варьирования количеством структурных элементов.

а) двумерный случайб) трехмерный случай
Рисунок 1 – Принцип трехмерного подобия
В третьей главе приведены исследования различных видов деформирования
упругопластических густо перфорированных пластин и оболочек с использованием
ортотропной модели материала и принципа двумерного
подобия.
Моделирование упругого деформирования густо
перфорированных пластин и оболочек можно свести к
рассмотрению сплошной тонкостенной конструкции с
эквивалентнымижесткостнымихарактеристиками.
Определить снижение жесткости за счет конструктивных
особенностей можно на примере одного структурного
элемента. Для простоты представления результатов
перфорация вдоль осей Ox и Oy предполагалась
одинаковой. На рисунке 2 представлен структурный
Рисунок 2 –элемент. В ходе исследований снижения жесткостных
структурный элементхарактеристик отношение толщины структурного
элемента к диаметру отверстия оставалось постоянным и равнялось h/d = 1. Обозначим за
пористость густо перфорированной пластины или оболочки отношение площади отверстия
к общей площади лицевой плоскости структурного элемента.
Наряду со структурными элементами рассматривались сплошные элементы
идентичных размеров. Сравнивая результаты численного моделирования статического
упругого растяжения и сдвига сплошной конструкции и структурного элемента с
отверстием, получили коэффициенты снижения жесткости перфорированной пластины.
Все численные расчеты проведены с использованием расчетного комплекса Abaqus
(лицензия № 200000000050225). Задачи рассмотрены в постановке сплошной среды и с
применением теории пластин и оболочек, основанной на соотношениях типа Тимошенко.
Результаты исследования приведены на рисунке 3 в виде зависимостей
коэффициентов снижения жесткости от пористости структурного элемента. Результаты
численного исследования для двух постановок приведены в сравнении с аналитическими
оценками, полученными Э.И. Григолюком и Л.А. Фильштинским. Коэффициенты
снижения жесткости определялись по формулам:
С∗
= 1 = 2, = 12 , = 12 , С = ,
С
где E – модуль Юнга материала основы;
Е1 – усредненный модуль Юнга для структурного элемента с отверстием;
v – коэффициент Пуассона материала основы;
v12 – усредненный коэффициент Пуассона для структурного элемента с отверстием;
G – модуль сдвига материала основы;
G12 – усредненный модуль сдвига для структурного элемента с отверстием;
С – жесткость при изгибе для материала основы;
С* – усредненная жесткость при изгибе структурного элемента с отверстием

Рисунок 3- Коэффициенты снижения жесткости
Для оценки неоднородности напряженно-деформированного состояния густо
перфорированной пластины получены зависимости коэффициента концентрации
напряжения в зоне отверстия при изгибе и растяжении (рисунок 4).
Верификация полученных параметров ортотропии была осуществлена на примере
двух задач: моделирование изгиба пластины длины L, перфорированной одним рядом
отверстий и расчет изгиба ¼ части цилиндрической полосы, также перфорированной
одним рядом отверстий. Задачи решены в трехмерной постановке сплошной среды и с
использованием теории пластин и оболочек, основанной на соотношениях Тимошенко.

растяжениеизгиб
Рисунок 4 – Коэффициенты концентрации напряжений
В задачи упругого изгиба пластины, перфорированной одним рядом отверстий, для
всех рассмотренных значений пористости разница между двумя подходами к решению
задачи не превышала 3%. В случае изгиба упругой цилиндрической оболочки с одним
рядом отверстий погрешность вычислений не превышала 5 % для значения пористости
0,77. Для обеих задач стоит отметить, что размерность сетки при использовании
соотношений Тимошенко по сравнению с трехмерной постановкой уменьшается до 15 раз.
Таким образом, использование конечных элементов конструктивно ортотропной оболочки
с параметрами, определенными из решения трехмерной задачи растяжения и сдвига
структурного элемента, правомерно в задачах изгиба пластины и цилиндрической
оболочки, в которых длина волны прогиба значительно превышает размер структурного
элемента.
Исследована устойчивость густо перфорированной упругой цилиндрической
оболочки под действием внешнего давления. Задача решена в постановке теории оболочек
типа Тимошенко в совокупности с ортотропной моделью материала, параметры которой
определены по результатам исследования на растяжение и сдвиг структурного элемента в
трехмерной постановке. Устойчивость цилиндрической оболочки исследована для двух
граничных условий. В первом варианте один из торцов оболочки был жестко заделан, а
другой – свободен. Во втором варианте один из торцов оболочки был также жестко
заделан, а на другом задавались нулевые значения радиального перемещения, угла
поворота и осевой силы.

жесткая заделкажесткая заделка с опорным кольцом
Рисунок 5 – Графики изменения критического давления
По результатам исследования получены зависимости безразмерного критического
кр 2
давления = ( )от безразмерной длины цилиндрической оболочки L/R при
ℎ
значениях пористости γ = 0 ÷ 0,77 (рисунок 5). На графике дополнительно цифрами n = 2÷8
отображены номера форм потери устойчивости в окружном направлении при различных
значениях длины и пористости оболочки.
Определены пределы применимости теории пластин типа Тимошенко для густо
перфорированных конструкций на примере циклически повторяющегося структурного
элемента под действием изгибающего момента. Для простоты представления результатов
шаг перфорации в обоих направлениях пластины предполагался одинаковым. В этом
случае структурный элемент представляет собой квадратную призму толщиной h с длиной
стороны равной a и круглым отверстием диаметром d0 (рисунок 2). При моделировании
использовался материал АМГ6 с модулем Юнга E = 70 ГПа, коэффициентом Пуассона
v=0,3 и пределом текучести σT = 170 МПа. При расчете в упругопластической постановке
использовалась истинная диаграмма деформирования. В качестве результата исследования
рассматривалось значение угла поворота грани, на которой задано значение изгибающего
момента. Исследованы две постановки задачи. В первом случае при моделировании
использовались соотношения теории пластин и оболочек типа Тимошенко. Во втором
варианте задача решена методами сплошной среды. Рассмотрены структурные элементы с
различным значением пористости и толщины. В итоге получены зависимости угла
поворота от пористости и толщины пластины в упругой и упругопластической
постановках. Результаты, полученные при полном трехмерном моделировании,
использовались в качестве эталонного решения. Отличием результатов, полученных по
теории пластин и оболочек типа Тимошенко, более чем на 5 % от эталонного решения
определялись пределы применимости.
На рисунке 6 представлены итоговые кривые, описывающие границы применимости
теории пластин и оболочек типа Тимошенко в задачах упругопластического изгиба
структурного элемента густо перфорированных пластин.
Параметры, расположенные ниже
каждого из графиков, относятся к области
применимости теории пластин типа
Тимошенко в задачах изгиба густо
перфорированных пластин. Очевидно, что
область применимости для упругой
постановки значительно шире, чем для
упругопластической.Результаты
исследованийпоказали,чтопри
уменьшениипористостиобласть
применимости теории пластин и оболочек
Рисунок 6 – Границы применимоститипа Тимошенко расширяется.
теории пластин и оболочек типаПроведены исследования применимости
Тимошенкопринципа двумерного подобия для задачи
упругопластического изгиба густо перфорированной пластины. Для этого была
рассмотрена пластина длиной L = 1 м и толщиной h = 10 мм, перфорированная одним
рядом отверстий. Пластина представлена, как ряд структурных элементов в виде
параллелепипедов с квадратным основанием и круглым отверстием в центре. Диаметр
отверстия и величина площади основания структурного элемента определяли пористость
конструкции. Для исследования пределов применимости принципа двумерного подобия
были рассмотрены пластины неизменной пористости, но с различным количеством
структурных элементов. Исследованы пластины с пористостью 0,1 и 0,65.
Отдельно друг от друга рассмотрены задачи упругопластического изгиба густо
перфорированной жестко защемленной пластины под действием момента, силы и
распределённой по поверхности пластины нагрузке. Величины внешних нагрузок
подобраны таким образом, чтобы момент в заделке был одинаков для всех видов
нагружения. Максимальные пластические деформации, возникающие в конструкции,
составляли 0,024, что соответствовало максимальным напряжениям 1,6σТ. Основываясь на
принципе подобия напряженно-деформированного состояния в структурном элементе,
были рассмотрены пластины с 5, 10, 20 и 50 отверстиями. При варьировании количеством
отверстий изменялась ширина пластины, но оставалась постоянной пористость, длина и
толщина. В качестве результатов моделирования принимались прогиб и угол поворота
свободного от закрепления конца пластины и максимальное напряжение, возникающее в
конструкции. Решение, полученное для пластины, перфорированной 50 отверстиями, было
принято, как эталонное. В результате получено изменение погрешности вычислений в
зависимости от количества используемых структурных элементов.
Результаты исследования показывают, что при нагружении густо перфорированной
пластины изгибающим моментом, результат не зависит от количества структурных
элементов и погрешности вычислений составляют менее 3%. Для варианта с изгибающей
силой погрешности чуть выше, но не превышают 5%. В случае пластины с распределенной
нагрузкой наблюдаются погрешности более 5% при уменьшении количества структурных
элементов в 10 раз. Рост погрешности в зависимости от типа нагружения связан с тем, что
внутренний изгибающий момент имеет переменное значение вдоль пластины. При
действии распределенной нагрузки зависимость квадратичная, при воздействии силы –
линейная, а при нагружении моментом – константная. Таким образом, принцип
двумерного подобия позволяет сократить количество структурных элементов в густо
перфорированной пластине при моделировании изгиба от 5 до 10 раз в зависимости от
типа нагружения.
Проведены исследования устойчивости упругопластической цилиндрической густо
перфорированной оболочки при осевом сжатии. Моделирование выполнено в
нестационарной упругопластической постановке теории сплошной среды. Рассмотрена
густо перфорированная цилиндрическая оболочка, один торец которой неподвижен, а на
другом задавались осевая скорость перемещений и нулевые значения радиального и
окружного перемещений. Для исследования статической устойчивости густо
перфорированной цилиндрической оболочки величина скорости равнялась 1 мм/с, что
позволило пренебречь силами инерции. Из всей цилиндрической оболочки был выделен
сектор, содержащий один ряд структурных элементов. Такая постановка при малых
размерах отверстий позволила получать формы потери устойчивости близкие к
осесимметричным. Количество структурных элементов вдоль оси варьировалось. При этом
значение пористости, толщина и длина оболочки оставались неизменными. Угол сектора
изменялся пропорционально увеличению размеров структурного элемента. Рассмотрены
геометрические модели с 2, 10, 25 и 50 отверстиями вдоль оси цилиндрической оболочки.
Были исследованы оболочки с коэффициентом пористости 0,1;0,4 и 0,65 и отношениями
R/h 636,5; 127,3 и 63,65.
В итоге были получены изменения сжимающей силы от относительного перемещения
свободного торца оболочки в зависимости от толщины и коэффициента пористости
оболочки. Исследования показали, что результаты для моделей с 25 и 50 отверстиями
близки друг к другу для всех рассмотренных значений коэффициента пористости и
соотношении R/h менее 127,3. Для тонких оболочек с отношением R/h = 636,5 и
пористости более 0,4 наблюдается сильная зависимость от количества структурных
элементов вдоль длины.
На рисунке 7 для каждой пористости представлены графики зависимости
погрешности вычислений критической нагрузки в зависимости от количества структурных
элементов вдоль длины густо перфорированной оболочки. В качестве критической
нагрузки принималась максимальное значение сжимающей силы.

γ = 0,1γ = 0,4γ = 0,65
Рисунок 7 – Изменение критической нагрузки
При пористости менее 0,1 принцип двумерного подобия позволяет уменьшить
количество структурных элементов до 5 раз. При этом различия между результатами
расчетов не будут превышать 5%. Для коэффициентов пористости более 0,4 принцип
подобия позволяет вдвое сократить количество структурных элементов в густо
перфорированной оболочке. Представленные графики показывают, что по мере
увеличения толщины оболочки погрешности вычислений снижаются. Связано это с тем,
что в зависимости от толщины оболочки меняется форма потери устойчивости. Для тонких
оболочек с малым количеством отверстий характерна локальная потеря устойчивости,
которая реализуется в окружных перегородках между отверстиями. По мере увеличения
количества отверстий и толщины оболочки форма потери устойчивости представляет
собой полуволну, которая реализуется на нескольких структурных элементах. Анализ
форм потери устойчивости показал, что сократить количество структурных элементов без
потери точности (менее 5%) вычислений возможно в том случае, если полуволна изгиба
реализуется на протяжении нескольких структурных элементах. При потере устойчивости
в пределах одного структурного элемента принцип двумерного подобия приводит к
существенным ошибкам.
В четвертой главе приведено описание математической модели деформирования
пористого материала на базе принципа трехмерного подобия напряженно-
деформированного состояния в структурном элементе.
Для осуществления численного моделирования нелинейного поведения пористой
структуры требуется знание истинной диаграммы деформирования упругопластического
материала основы. В ходе формирования пористой структуры материал основы
подвергается различным тепловым и химическим воздействиям (отжиг, спекание),
которые могут повлиять на механические свойства. Определение прочностных
характеристик материала основы из экспериментальных исследований на сжатие пористых
образцов сопряжено с проблемами, вызванными в основном существенной
неоднородностьюинеодоосностьюнапряженно-деформированногосостояния.
Построение истинной диаграммы деформирования материала основы на базе результатов
эксперимента на растяжение или сжатие пористого образца можно осуществить при
помощи расчетно-экспериментального метода, используя метод конечного элемента.
Идентификация диаграммы деформирования материала основы осуществлена на базе
экспериментальных данных о статическом сжатии пористого образца в жесткой обойме.
Максимальные значения условной деформаций образца при сжатии достигали 45%. При
этом контактного взаимодействия берегов пор не наблюдалось. Построение истинной
диаграммы деформирования материала основы производилось итерационным путем. В
каждой итерации осуществлялась коррекция зависимости интенсивности истинных
напряжений σi от интенсивности логарифмических деформаций εi таким образом, чтобы
удовлетворить с заданной точностью экспериментальной зависимости сжимающей силы
от перемещения захватного приспособления испытательной машины. С этой целью
( )
строится корректировочная функция ( ) = э ( ), где э ( ) – экспериментальная
чм
зависимость сжимающей силы от относительного изменения длины образца; чм ( ) –
полученная при численном моделировании зависимость сжимающей силы от

относительного изменения длины образца; = – относительное изменение длины

образца; u – перемещение верхнего торца образца; L – начальная длина образца. В
результате численного моделирования определяется зависимость максимального значения
интенсивности деформаций ( ) от относительного изменения длины образца.
Корректировка истинной диаграммы деформирования осуществляется по формуле:
( ) = ( ).
Итерационный процесс корректировки продолжается до тех пор, пока зависимости
э и чм ( ) не совпадут с точностью 5%. В данном исследовании в качестве начальной
( )
была принята диаграмма деформирования для пористого образца, полученная из
экспериментальных данных в предположении, что образец состоит из сплошного
материала.
В расчетах пористый материал представлялся, как набор структурированных
элементов, в качестве которого выбран куб с шаровидной порой внутри. На рисунке 8
представленагеометрическаямодель
структурногоэлемента.Такаяформа
структурногоэлементапозволяетучесть
локальную потерю устойчивости в перегородках.
При моделировании статического сжатия
пористогообразцавжесткойобойме
предполагалось, что все структурные элементы
деформируютсяодинаково.Поэтомудля
проведения вычислений использовался только
один столбец из пяти представительных объёмов.
Количество структурных элементов в столбце
Рисунок 8 –
выбрано таким образом, чтобы исключить
структурный элемент
влияние константных граничных условий на
жесткость конструкции.
Моделирование сжатия пористой структуры
осуществлено методом конечных элементов с
использование программного комплекса Abaqus
(лицензия № 200000000050225). На нижнем торце
рассмотренногостолбцаизструктурных
элементовзадавалосьнулевоезначение
вертикальных перемещений, на верхнем торце –
постоянная скорость вертикальных перемещений.
Величина скорости сжатия равнялась 1 мм/с, что
позволялопренебречьнестационарными
эффектами. В расчёте на боковых поверхностях
Рисунок 9 – Изменение сжимающей задавались нулевые значения нормальных
силыперемещений и касательных напряжений.
от относительного перемещенияДля сходимости процесса построения
верхнего торца образца
истинной диаграммы деформирования материала основы хватило 4 итерации. Для
проверки достаточной точности построенной диаграммы деформирования с
использованием 5 структурных элементов было проведено численное моделирование
сжатия столбцов из 10 и 20 представительных объемов. Размеры структурных элементов
выбирались таким образом, чтобы высота столбца оставалась неизменной независимо от
количества структурных элементов. Связь между истинными напряжениями и
деформациями в материале основы описывалась восстановленной истинной диаграммой
деформирования. На рисунке 9 представлен график изменения сжимающей силы,
приведенной к площади поперечного сечения экспериментального образца, от
относительного перемещения верхнего торца и количества структурных элементов вдоль
оси сжатия.
Результаты расчетов с 5, 10 и 20 структурными элементами различаются менее чем на
1%, при этом отличие усилий не превышает 5% от экспериментальных данных. Таким
образом, для восстановления диаграммы деформирования материала основы достаточно
столбца из 5 структурных элементов. Численное моделирование показало, что для
геометрических моделей с количеством представительных объемов более 5 получаемое
напряженно-деформированное состояние во всех структурных элементах одинаковы кроме
граничных, в которых нарушается принцип трехмерного подобия из-за задания на их
торцах постоянных скоростей перемещения.
Средний размер структурного элемента в испытуемом образце составлял
приблизительно 0,3 мм. Применение принципа трехмерного подобия для пористого
материала позволило осуществить процедуру идентификации диаграммы деформирования
материала основы с использованием столбца из 5 структурных элементов. Без
использования принципа подобия для пористого образца высотой 20 мм потребовалось бы
рассмотреть столбец из 67 структурных элементов размером 0,3 мм каждый.
Математическая модель пористого металла основана на применении принципа
трехмерного подобия, позволяющий заменить набор одинаковых представительных
объемов на один подобный структурный элемент, в котором реализуется среднее по
набору напряженно-деформированное состояние. Эффективность и адекватность
построенной математической модели продемонстрирована на примере сжатия пористых
образцов со свободными боковыми поверхностями.
Геометрические модели для расчетов построены исходя из формы структурного
элемента и геометрических характеристик экспериментального образца. Форма
структурного элемента позволяет построить расчетную область в виде параллелепипеда.
Поэтому геометрические модели были построены таким образом, чтобы высота точно
соответствовала экспериментальному образцу, а площади поперечных сечений
построенной расчетной области и экспериментального образца максимально
соответствовали друг другу. Удалось построить геометрическую модель, площадь
поперечного сечения которой отличалась от экспериментального образца на 6%.
Рассмотрены геометрические модели с 9, 72 и 243 структурными элементами. Для
снижения вычислительных затрат учтена геометрическая симметрия сжимаемой
структуры и рассмотрена ¼ часть конструкции. Расположение структурных элементов
выбрано таким образом, чтобы вырезающие ¼ часть образца поверхности проходили через
центрыполостей.Вэтомслучае
геометрическаямодельпористой
структуры позволяет учитывать локальную
потерю устойчивости при сжатии в
перегородках между рассеченными порами.
Моделирование сжатия пористых
образцов выполнено с использованием двух
абсолютно твердых тел, расположенных на
торцах образца. Одно из абсолютно
твердых тел двигалось со скоростью 1 мм/с,
автороебылонеподвижно.На
Рисунок 10 – Схема нагруженияповерхностях тел и расчетной области,
соприкасающихсядругсдругом,
определено условие одностороннего контактного взаимодействия с учетом сухого трения
по закону Кулона с постоянным значением коэффициента трения 0,1. На поверхностях,
вырезающих ¼ часть расчетной области, задавалось равенство нулю нормальных
перемещений и касательных напряжений. На рисунке 10 представлена схема нагружения.
Поведение упругопластического материала основы описывалось истинной диаграммой
деформирования, идентификация которой осуществлена на базе экспериментальных
данных о сжатии пористого образца в жесткой обойме.
На рисунке 11 представлена
зависимостьсжимающейсилы,
приведенной к площади поперечного
сечения экспериментального образца, от
относительного перемещения верхнего
торцаиколичестваструктурных
элементов.
Результаты расчетов с 9, 72 и 243
структурными элементами различаются
между собой не более чем на 9%, при
этомотличиеусилийот
экспериментальныхданныхне
превышает 6%.
Рисунок 11 – Изменение сжимающейДляпроведениячисленного
силы от относительного перемещениярасчета сжатия пористого образца со
верхнего торца образцасвободными боковыми поверхностями с
учетом реального размера представительного объема, равного 0,3 мм, потребовалось бы
порядка 187 тыс. структурных элементов. Принцип трехмерного подобия позволил
произвести расчет сжатия пористого образца с использованием 9 структурных элементов.
В заключении приведены основные выводы диссертационной работы.
В постановке механики сплошных сред и теории оболочек, основанной на
соотношениях Тимошенко, методом конечных элементов исследовано снижение
жёсткости густо перфорированных оболочек при растяжении, сдвиге и изгибе.
Установлено, что отличия между трёхмерной и оболочечной моделью не превышают 5%
при значениях пористости менее 0,5. Получена зависимость параметров ортропии упругих
густо перфорированных пластин и оболочек от степени перфорации (пористости).
Осуществлена верификация ортотропной модели на примере решения задач упругого
изгиба пластины и цилиндрической оболочки, перфорированных одним рядом отверстий.
Показано, что использование конструктивно-ортотропной модели с параметрами,
определёнными из решения трёхмерной задачи растяжения и сдвига структурного
элемента, правомерно в задачах упругого изгиба пластины и цилиндрических оболочек для
волн, длины которых превышают характерный размер структурного элемента.
Выполнено исследование напряжённо-деформированного состояния в структурном
элементе с отверстием в упругой постановке. Получены зависимости коэффициентов
концентрации напряжения от степени перфорации при изгибе и растяжении.
На основе теории Тимошенко в совокупности с конструктивно-ортотропной моделью
проведено исследование устойчивости упругих перфорированных цилиндрических
оболочек под действием внешнего давления с различной степенью перфорации. Получены
критические значения давления и формы потери устойчивости в зависимости от
пористости и длины цилиндрической оболочки.
С использованием конечно-элементного анализа определена область применимости
теории Тимошенко для задач упругого и упругопластического изгиба густо
перфорированных пластин и оболочек в зависимости от толщины и коэффициента
пористости.
Проведено исследование применимости принципа двумерного подобия для задач
изгиба и устойчивости густо перфорированных упругопластических пластин и
цилиндрических оболочек. Установлено, что принцип двумерного подобия позволяет
сократить количество вычислительных ресурсов от 2 до 10 раз в зависимости от
коэффициента пористости и вида нагружения.
Предложен метод определения истинных диаграмм деформирования материала
основы на базе экспериментальных данных об испытаниях на сжатие пористых образцов в
жесткой обойме. Метод основывается на трехмерном принципе подобия напряженно-
деформированного состояния в структурном элементе. Итерационным путем
осуществлялась коррекция зависимости интенсивности истинных напряжений σi от
интенсивности логарифмических деформаций εi таким образом, чтобы удовлетворить с
заданной точностью экспериментальной зависимости сжимающей силы от относительного
изменения длины образца. Определено достаточное количество структурных элементов
для идентификации механических свойств материала основы.
На основе принципа трехмерного подобия построена математическая модель
пористого материала, которая позволяет учесть неоднородность напряженно-
деформированного состояния в структурном элементе. Исследована эффективность
применения принципа при численном моделировании сжатия образцов из пористого
алюминия. Предложенная математическая модель позволяет сократить объем
вычислительных ресурсов путем варьирования количеством структурных элементов,
сохраняя коэффициент пористости и характерные размеры конструкции. Показано, что при
численном моделировании сжатия цилиндрического образца из пористого алюминия в
жесткой обойме с использованием явной схемы интегрирования по времени применение
принципа трехмерного подобия позволило сократить на два порядка объем
вычислительных ресурсов, а при моделировании сжатия образца со свободными боковыми
поверхностями – на 5 порядков.
Методика расчета, основанная на принципе подобия напряженно-деформированного
состояния в структурном элементе конструкции, в дальнейшем будет использована при
исследовании деформирования густо перфорированных пластин, оболочек и пористых тел
при динамических нагрузках. Принцип трехмерного подобия в совокупности с учетом
контактного взаимодействия берегов пор позволит исследовать процесс деформирования
пористых материалов до момента схлопывания пор и далее с учётом трения
контактирующих поверхностей.