Исследование и оптимизация циклоидального зацепления рабочих органов винтовых забойных двигателей для бурения скважин

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы,
сформулированы цель и основные задачи исследования, научная новизна, теоретическая
и практическая значимость работы, приведены основные защищаемые положения.
В первой главе диссертационной работы выполнен литературный обзор, в
котором рассмотрены принцип действия, особенности конструкции ВЗД, история
создания, исследования и применения ВЗД за рубежом и в Китае, представлен патентный
анализ методов модификации циклоидальных торцовых профилей в различных зубчатых
механизмах, обобщены основные направления развития ВЗД, технологий бурения с их
использованием и теоретических исследований в этой области техники.
За более чем полувековую историю большой объем исследований по различным
аспектам проектирования ВЗД и повышения их эксплуатационных характеристик
выполнен российскими учеными (Д.Ф. Балденко, Ф.Д. Балденко, Н.П. Безлепкин, Т.Н.
Бикчурин, М.Г. Бобров, Ю.В. Вадецкий, М.Т. Гусман, Д.А. Голдобин, М.В. Двойников,
Н.Д. Деркач, Ю.В. Захаров, В.А.Каплун, Ю.А. Коротаев, А.М. Кочнев, А.В. Лягов, С.С.
Никомаров, С.М. Селиванов, А.В. Цепков, В.А. Шулепов и др.) и зарубежными
авторами (Yi-Nao Su, Zhu-Zhuang Xie, Bang-Lie Wan, Xiao-Hua Zhu, Chang-Shuai Shi,
Yu-Chun Kuang, R. Tiraspolsky, W. Samuel, T. Nguyen и др.), которые внесли творческий
вклад в разработку ВЗД и их РО. Эти фундаментальные исследования являются основой
для дальнейшего развития теории ВЗД и совершенствования циклоидальных профилей
РО на современном этапе развития техники в соответствии с требованиями рынка.
Во второй главе проведено исследование особенностей профилирования РО
ВЗД с циклоидальным зацеплением. Разработана методика и программа численного
расчета для построения исходного и сопряженного профиля в общем случае зацепления
со смещением (от исходного контура циклоидальной рейки, используемого при
проектированиироссийскихВЗД).Удобнаяпроцедураимпортирования
геометрических параметров и экспортирования координат циклоидальных торцовых
профилей обеспечивают возможность проведения геометрических и кинематических
исследований зацепления.
Рабочий орган ВЗД состоит из статора и ротора с циклоидальными профилями
зубьев, числа которых (z1; z2) отличаются на единицу. Исследование циклоидального
зацепления сопряженных профилей проведено на основе общей теории зубчатых
зацеплений. Исходный торцовый профиль (статора для гипоциклоидального
зацепления) в общем случае профилируется от исходного контура рейки (эквидистанты
циклоиды со смещением), связанного с инструментальной прямой, по которой
производящая окружность радиусом r перекатывается без скольжения для образования
циклоиды (Рисунок 1 а). Исходный циклоидальный профиль образуется как внутренняя
огибающая семейства контуров рейки при обкатке инструментальной прямой по
неподвижной направляющей окружности радиусом z1r (Рисунок 1, б).
Форму торцового профиля определяют три безразмерных геометрических
коэффициента: внецентроидности с0 = r/e; формы зуба ce = rц/e; смещения cΔ = Δx1/e.
После получения исходного профиля сопряженный профиль образуется как огибающая
исходного профиля при взаимном обкатывании центроид профилей (Рисунок 2).
Расстояние между двумя центрами центроид равно эксцентриситету зацепления e.
Из литературных источников известно, что в идеальном случае на основе
аналитических методов сопряжённый профиль описывают два параметрических
уравнения, отдельно выражающих участки профиля, относящихся к выступам и
впадинам зубьев. В общем случае зацепления сопряжённый профиль может быть
построен только на основе численных методов.
Предложенный численный метод расчета сопряженного профиля позволил
упростить процесс проектирования и уточнить геометрические и кинематические
исследования ВЗД с идеальным торцовым профилем (Рисунок 3).
1 – укороченная циклоида; 2 – смещенная циклоида; 3 – эквидистанта циклоиды;
4 – инструментальная прямая; 5 – основная окружность; 6 – производящая окружность;
е – эксцентриситет; ∆x1 – смещение; rц – радиус эквидистанты
Рисунок 1 – Схема образования исходного профиля

a, b – радиусы центроиды статора и ротора a=z1е, b=z2е;
О1, О2 – центр статора и ротора; P – полюс; K – точка огибающей
а – исходное положение; б – при повороте на угол φ; в – огибающая исходного профиля
Рисунок 2 – Схема образования сопряженного профиля

Чтобы получить координаты внутренней огибающей семейства кривых исходного
профиля, не задействуя громоздкие процедуры исследования нормалей (Рисунок 3,
линия 4), используется производящая прямая (Рисунок 3, линия 3), проходящая через
центр ротора и полюс, угол наклона которой соответствует углу поворота центроиды в
переносном движении β = z1φ. Блок-схема расчета сопряженного профиля как
совокупности точек производящей прямой, находящихся на внутреннем контуре и
наименее удаленных от центра, а соответственная программа представлена в приложении
1 диссертационной работы.

1 – центроида статора; 2 – центроида ротора;
3 – производящая прямая; 4 – полюсная нормаль
Рисунок 3 – Определение точки на огибающей исходного
профиля

В третей главе предложен метод расчета площадей рабочих камер РО ВЗД и
исследовано влияние геометрических параметров профилей на площадь живого сечения
и площади отдельных камер. Площадь живого сечения является одним из важных
геометрических параметров, который влияет на рабочий объем, форму зубьев и КПД
ВЗД.Варьированиеплощадьюживогосеченияможетиспользоватьсяпри
профилировании РО с целью получения необходимого сочетания между угловой
скоростью ω и крутящим моментом при определённом расходе жидкости.
Проведено исследование изменения площади отдельной камеры во времени при
движении ротора. В одном цикле площадь сначала увеличивается от нуля до максимума,
а потом уменьшается до полного исчезновения. Цикл изменения площади повторяется z2
раза за один оборот ротора в абсолютном движении.
Расчет площади отдельной камеры поперечного сечения проведен методом
численного интегрирования на основе программного обеспечения Matlab. При известных
координатах исходного (x, y) и сопряженного (x*, y*) профиля посредством метода
преобразования координат получены относительные положения профилей в любой фазе
ротора. Площадь отдельной камеры представляет собой разность площадей секторов
профилей статора и ротора, расположенных между точками касания с угловыми
параметрами τi+1 и τi с шагом βi = var ≈ 2π/z2 относительно центра координат О1 (Рисунок 4).
Элементарные площади секторов (треугольников) статора и ротора определяются как
1/2 векторного произведения двух векторов, расположенных под углом Δβ.

Рисунок 4 – Схема расчета площадей камер в первом характерном сечении

Проведено два комплекса численных исследований при условиях постоянного
внешнего диаметра контура и взаимоогибаемого зацепления: (1) влияние одномерного
безразмерного геометрического коэффициента на эволюцию формы циклоидального
профиля (Рисунок 5) и площади отдельных камер; (2) влияние многомерных
безразмерных геометрических коэффициентов на площадь живого сечения.
Для качественной оценки общей полезной площади рабочих камер предложен
коэффициент относительной площади живого сечения ks, в котором числитель
представляет площадь живого сечения, а знаменатель – полную площадь исходного
профиля статора. Увеличение ks способствует достижению максимальной полезной
площади поперечного сечения и повышению крутящего момента. Для оценки доли
камеры максимальной площади Smax внутри живого сечения целесообразно
использовать коэффициент kmax:

== ( , 0 , , ∆ ),(1)
ст

== ( , 0 , , ∆ ).(2)

Рисунок 5 – Эволюция формы исходного профиля при изменении безразмерных
геометрических коэффициентов (Dk = const)

В результате анализа эволюции формы профиля установлено влияние
коэффициентов внецентроидности со, формы зубьев се и смещения сΔ на геометрические
показатели циклоидального зацепления (гладкость, периметр и кривизна профиля,
высота и толщина зубьев, площадь живого сечения, протяжённость контакта и др.) для
различных z1. Эти исследования позволили оценить влияние различных сочетаний
между безразмерными коэффициентами профиля на геометрические, кинематические
и энергетические характеристики ВЗД с учетом ограничений на пересечение (излом)
профиля и технологических возможностей зуборежущего инструмента.
Предложены сочетания безразмерных коэффициентов для механизма с заданным
кинематическим отношением в виде четырёх групп (в каждой группе имеется 2-3
переменных величин): (1) с0 и ce, сΔ = const; (2) с0 и сΔ, ce = const; (3) ce и сΔ, с0 = const;
(4) с0, ce и сΔ. В случае, если при заданном контурном диаметре Dk требуется обеспечить
постоянный эксцентриситет e и высоту зубьев (h = 2e), то между безразмерными
параметрами должна установиться следующая взаимосвязь:

2 0 + е + ∆ + 1 = .(3)

Результаты расчётов показали, что при Dk/e = const площади отдельных камер
почти одинаковые, хотя у них различная конфигурация профилей ротора и статора при
изменении безразмерных геометрических параметров. Этот вывод можно применять
при проектировании и оптимизации РО ВЗД. При заданном внешнем диаметре и
определенной площади живого сечения можно регулировать геометрические
параметры циклоидального зацепления так, чтобы получить наилучшие механические
характеристики и целесообразную конструкцию РО двигателя.

Рисунок 6 – Сравнение циклоидальных
профилей с максимальной (а) и
минимальной (б) площадями живого
сечения (Dk=const)
Анализ предельных форм циклоидального профиля (Рисунок 6) показал, что при
необходимостимодификацииРОзасчетварьированиябезразмерными
геометрическими коэффициентами (при сохранении плавности контуров) площадь
живого сечения можно изменять на 50%, причём максимальное значение S (Рисунок 6
а) относится к зацеплению с минимальными численными значениями геометрических
коэффициентов. При этом варьирование лишь одним коэффициентом смещения
(со; се – const) ограничивает возможности изменения площади живого сечения до 25%.
В четвертой главе предложена классификация циклоидального зацепления по
признаку расположения центроид зубчатых колёс относительно их профилей
(внутреннее, с касанием, с пересечением).
Эпюры распределения мгновенных скоростей точек на контуре ротора,
полученные численным методом, использованы для исследования закона изменения
скорости контура ротора и площади отдельных камер. На Рисунке 7 показано, что все
точки на контуре вращаются вокруг полюса P в одном направлении. Новая
сформированная камера S5 увеличивается при движении ротора, направление скоростей
показывает, что для этой камеры ротор отходит от стенки статора. Камеры S1 и S2
уменьшаются по мере движения ротора до нуля в конечной фазе. Камера S3 является
самой большой в данном поперечном сечении, достигая максимально возможной
площади. В следующий момент времени площадь камеры S3 будет уменьшаться, что
обеспечивает рабочий цикл гидромашины.

1 – центроида внешнего элемента;
2 – центроида внутреннего элемента;
3 – ротор; 4 – статор;
скорости, увеличивающие площадь камер, показаны
синим цветом; скорости, уменьшающие площадь камер –
красным цветом
Рисунок 7 – Распределение скоростей на контуре ротора
(z1 = 6; с0 = 1,175; сΔ = 0)
Чтобы исследовать координаты и кинематику точек касания в общем случае
зацепления со смещением рассмотрено циклоидальное зацепление профилей для
скелетной (се = 0) и эквидистантной схемы (Рисунок 8). Существует два типа точек
касания циклоидальных профилей: (1) точки касания выступов ротора, постоянно
находящиеся в зацеплении с профилем статора (К1–К5); (2) точка касания впадины ротора
(К6), расположенная рядом с полюсом, направление движения которой противоположно
направлению движения точек первого типа. Эта точка касания периодически совпадает с
одной из точек касания первого типа, когда очередной выступ ротора входит во впадину
статора (точки К1 и К6).

1,2 – эквидистантные профили;
3,4 – скелетные профили; 5,6 – центроиды
Рисунок 8 – Текущее положение профилей в
«скелетной» и эквидистантной схеме многозаходного
героторного механизма
(z1 = 6; с0 = 1,175; сΔ = 0; φ = 2º)

Из Рисунка 8 видно, что точки касания на скелетном и эквидистантном профилях
имеют общую нормаль, проходящую через полюс P зацепления. Поэтому все точки
касания на эквидистантном профиле как первого (К1–К5), так и второго (К6) типа можно
определить через соответствующие (при данном угловом параметре) точки касания на
скелетном профиле. Точки касания второго типа постоянно расположены рядом с
полюсом, поэтому для их определения находятся точки на роторе и статоре, которые
имеют нормали одинакового угла наклона. На основе этого подхода разработан алгоритм
определения координат точек касания профилей при движении ротора.
Тенденция изменения скорости на поверхности ротора графически представлена
на радарной диаграмме (Рисунок 9), которая отображает функцию распределения
скорости при круговом направлении и строится при различных переносных углах
поворота ротора (φп).

Рисунок 9 – Радарная диаграмма скорости точек профиля ротора
при переносном угле φп = 15˚

Графики скоростей точек касания профилей, построенные на основе
разработанного метода, показаны на Рисунке 10. Кривые К1–К5 характеризуют графики
скоростей точек касания профилей первого типа, эти пять точек касания совершают
одинаковое циклическое движение со сдвигом по фазе на угол 2π/z1. За один период
цикла ротор поворачивается на 300˚ в переносном движении (или на 60˚ в абсолютном
движении в обратном направлении).
Суммарная скорость скольжения (практически не зависящая от фазы зацепления)
может рассматриваться как интегральный показатель износа профилей ротора и статора
при их контактном взаимодействии. Геометрически это означает, что сумма отрезков,
соединяющих точки контакта и полюс зацепления, не изменяется при повороте ротора
и зависит только от геометрических параметров механизма (эксцентриситета, чисел
заходов и безразмерных геометрических коэффициентов). При вращении ротора под
воздействием центробежной силы существует тенденция отбрасывания ротора от
центра, что способствует вибрации и деформации резиновой обкладки, а также
возникновению дополнительной нагрузки в точках контакта. При этом фрикционные
силы возрастают по мере увеличения скорости скольжения, поэтому снижение
суммарной скорости скольжения способствует увеличению долговечности РО.

1,65
к1

Скорость Vsum м/с
Скорость точек

к2
касания м/с

1,24
к3
0,83к4
к5
0,42к6
Vsum
0204060
Абсолютный угол

Рисунок 10 – Скорости точек касания героторного механизма с кинематическим
отношением 5:6 (с0 = 1,175; сe = 2; сΔ = 0; n = 180 об/мин)

Проведено исследование влияния безразмерных геометрических параметров
профиля (z1, c0, ce, cΔ) на скорости точек касания при условии постоянства наружного
диаметра статора (Dк = const) и изменении величины одного геометрического
параметра в каждой группе. Было проанализировано изменение скорости точки касания
при вращении ротора и построены графики скоростей точек касания как функции
абсолютного и переносного углов ротора (Рисунок 11).
Для оценки влияния геометрических параметров зацепления на скорость
скольжения профилей предложен коэффициент относительной максимальной скорости
скольжения сск, который пропорционален отношению между расстоянием от точки
касания до полюса и контурным диаметром (Рисунок 12):

ск 3 2 ( 0 +1)+ + ∆
ск ===,(4)
к к2( 2 0 + + ∆ +1)

где ω – угловая скорость ротора, ω=2πn.
Рисунок 11 – Влияние числа заходов и безразмерных коэффициентов профиля на график скоростей
точки касания первого типа

Диаметральный размер не влияет на коэффициент сск. Изменение коэффициента
сск при различных сочетаниях геометрических параметров профилей, в случае, когда
при прочих равных условиях переменным является один геометрический параметр,
показано на Рисунке 13. На графике видно, что с повышением числа зубьев статора
коэффициент сск тоже возрастает, что оказывает соответствующее влияние на
максимальную скорость скольжения для механизмов с постоянным контурным
диаметром и угловой скоростью.
С помощью построенных безразмерных графических зависимостей (Рисунок 11, 13),
которые можно использовать в качестве расчётных номограмм, были определены
численные значения суммарной скорости vsum и коэффициента сск скольжения для двух
экстремальных вариантов исполнения профиля (Рисунок 6), которые составили: vsum = 2,89
м/с; сск = 0,805 (вариант а) и vsum = 2,76 м/с; сск = 0,66 (вариант б). Результаты такого расчета
показывают, что модификация профиля не оказывает заметного влияния на суммарную
скорость скольжения, но при этом профиль с максимальной площадью характеризуется
повышенным значением vmax, вследствие увеличения радиуса центроиды статора.

1,7

Коэффициент сск
1,6

1,5

1,4

1,3

1,2
12345
Номер сочетания параметров
z1c0cecΔ

Рисунок 12 – К расчету коэффициентаРисунок 13 – Графики изменения коэффициента сск
относительной максимальной скоростипри различных геометрических параметрах профиля
скольжения циклоидальных профилей

В пятой главе проведено исследование влияния трех безразмерных
геометрических коэффициентов профиля (с0, се, сΔ) на характеристики циклоидального
зацепления при постоянном контурном диаметре РО на основе численных методов и
программного обеспечения, изложенных в главе 3. Установленные закономерности
обобщены в сводной Таблице 1, из которой видно, что при Dk = const для каждого
безразмерного коэффициента можно отметить основные факторы его влияния на
профиль: сo, сΔ – высота зубьев и кривизна контура; сe – радиус выступа и толщина зуба.
Число зубьев оказывает равнозначное комплексное влияние на все вышеперечисленные
факторы (Рисунок 5, а). Поэтому выбор чисел заходов РО является основополагающим
этапом при проектировании циклоидального зацепления.
Предложенафеноменологическаямодельоптимизациибезразмерных
геометрических параметров при профилировании РО ВЗД на основе геометрических и
кинематического критериев (главы 2–4), обобщённых в целевой функции, что
позволило применить вариативный подход к выбору геометрических параметров
торцового профиля. При проектировании РО в качестве исходных данных необходимо
задать рабочие параметры двигателя и его наружный габарит в заданных условиях
бурения. При определенных значениях Dk и e площадь живого сечения становится
постоянной при различных сочетаниях безразмерных геометрических параметров. В
связи с этим при проектировании можно создавать альтернативные сочетания
геометрических параметров для окончательного выбора оптимального варианта
торцового профиля.

Таблица 1 – Влияние безразмерных геометрических коэффициентов на основные характеристики
циклоидального зацепления

с0сесΔ
Высота зубьев●↓●↓●↓
Толщина зубьев○↑●↑○↓
Кривизна контура●↓○↑●↓
Радиус кривизны выступа ротора●↑●↑○↓
Радиус центроиды●↓●↓○↓
Максимальное расстояние от точки
●↑○↑○↑
контакта до полюса
Площадь живого сечения●↓●↓○↓
Максимальная площадь камеры-○↓-
Коэффициент площади ks●↓●↓○↓

●: существенное влияние; ○: несущественное влияние; -: отсутствие влияния;
↑ показатель увеличивается по мере увеличения коэффициента;
↓ показатель уменьшается по мере увеличения коэффициента.

Выбраны четыре показателя оптимизации, которые являются функциями
безразмерных геометрических параметров профилей: (1) площадь живого сечения S
выражает пропускную способность, которая определяет объём рабочих камер и как следствие,
крутящий момент и частоту вращения двигателя; (2) коэффициент ks выражает коэффициент
использования площади живого сечения; (3) коэффициент сск характеризует максимальную
скорость на контуре ротора, которая влияет на фрикционный износ между сопряжёнными
поверхностями в паре ротор-статор; (4) скорость vsum рассматривается как интегральный
показатель износа профилей ротора и статора при их контактном взаимодействии.
Целевая функция, составленная при использовании функций вышеизложенных
показателей оптимизации, приведена к безразмерному виду:

4
( 1 , 0 , , ∆ ) = (+ −− ск ).(5)
2 1

В целевой функции (5) чем больше первый и второй члены, а также чем меньше
третий и четвертый члены, тем сочетание геометрических коэффициентов профиля
(проектных параметров) является более рациональным. Нахождение максимального
значения целевой функции (5) будет означать получение циклоидального профиля с
оптимальным сочетанием геометрических и кинематических критериев при
определенном отношении Dk/e. Блок-схема процесса оптимизации представлена в
диссертационной работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1Разработанная методика и программа расчета циклоидальных торцовых
профилей при их номинальном взаимоогибаемом зацеплении с использованием
предложенного алгоритма на основе производящей прямой при построении огибающей
исходного профиля позволили упростить процесс проектирования рабочих органов ВЗД по
сравнением с классическим методом. Удобная процедура импортирования геометрических
параметров и экспортирования координат статора и ротора обеспечивают возможность
уточнённого расчета площади камер и кинематических характеристик рабочих органов.
2Численный метод расчета площадей отдельных рабочих камер поперечного
сечения рабочих органов ВЗД и исследование влияния предложенных безразмерных
коэффициентов (ks и kmax) на изменение площади отдельных рабочих камер и живого
сечения использованы для оптимизации геометрических параметров рабочих органов
при проектировании ВЗД.
3Исследование влияния многомерных геометрических параметров ВЗД на
площадь живого сечения показало, что при определенном контурном диаметре Dk и
эксцентриситете е зацепления различные возможные сочетания безразмерных
геометрических коэффициентов профиля (с0, се, сΔ) практически не влияют на площади
живого сечения, поэтому выбор оптимальных соотношений между безразмерными
коэффициентами профиля при соблюдении условия Dk/e=const должен производиться
на основе анализа кинематических и технологических критериев.
4Предложенная классификация циклоидального зацепления по признаку
расположения центроид зубчатых колёс относительно их профилей и разработанный
метод расчета точек торцовых профилей на основе приложения Matlab, позволил
выполнить всесторонний геометрический и кинематический анализ циклоидального
зацепления. Наибольшее влияние на изменение скоростей точек касания оказывают
кинематическое отношение и коэффициент внецентроидности.
5Установлено, что суммарная скорость скольжения контактных точек vsum в любом
сечении героторного механизма есть величина постоянная, не зависящая от фазы
зацепления, что позволяет рассматривать vsum как интегральный показатель взаимодействия
сопряжённых профилей рабочих органов. Предложенный безразмерный коэффициент сск,
равный отношению расстояния от полюса наиболее удалённой точки контакта к
контурному диаметру рабочих органов, выражает влияние геометрических параметров на
максимальную относительную скорость скольжения циклоидальных профилей.
6Феноменологическаямодельиблок-схемапроцессаоптимизации
безразмерных геометрических параметров с использованием целевой функции,
составленной из геометрических и кинематических критериев, позволили выявить
направления дальнейшего развития циклоидального зацепления рабочих органов ВЗД.