Введение 3

Глава 1. 2-Замыкание групп ранга 3 13
1.1 Предварительные сведения о группах подстановок . . . . . . . . . . 15
1.2 Сведение к аффинному случаю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Классификация аффинных групп ранга 3 . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Параметры аффинных групп ранга 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Автоморфизмы графов ранга 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Контрпример к гипотезе Пономаренко . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Глава 2. Подгруппы наименьшего индекса 38
2.1 Теорема Берковича . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Алгоритмы на конечных группах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Доказательство теоремы 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Доказательство теоремы 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Глава 3. Теорема Виланда–Хартли 43
3.1 Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Доказательство теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Доказательство следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Заключение 51

Приложение 52

Список условных обозначений 58

Список литературы 60

Во введении формулируются задачи и цели исследования, обосновы-
вается его актуальность и описывается степень разработанности. Приво-
дятся основные результаты диссертации и описываются основные методы
исследования. Отражается новизна полученных результатов, их теоретиче-
ская значимость, также приводятся сведения об апробации и публикации
результатов диссертации.
Первая глава посвящена описанию 2-замыканий групп ранга 3, основ-
ными результатами являются следующие две теоремы.
Теорема 1. Пусть — группа подстановок ранга 3 на множестве Ω.
Тогда либо — одна из групп из таблицы 8, либо верно в точности одно
из следующих утверждений.
(i) импримитивна, т.е. сохраняет нетривиальное разложение вида
Ω = Δ × . Тогда (2) = Sym(Δ) ≀ Sym( ).

(ii) примитивна и сохраняет нетривиальное разложение вида Ω = Δ2 .
Тогда (2) = Sym(Δ) ↑ Sym(2).

(iii) примитивна и почти проста с цоколем , т.е. E ≤ Aut( ).
Тогда (2) = Sym(Ω) ( ), и группа (2) почти простая с цоколем .

(iv) примитивная аффинная группа, не сохраняющая разложение Ω в
произведение. Тогда (2) — тоже аффинная группа. Более точно, су-
ществует целое число ≥ 1 и число , являющееся степенью про-
стого числа, такие, что ≤ AΓL ( ), и выполнена в точности одна
из следующих возможностей (положим = GF( )).

(a) ≤ AΓL1 ( ). Тогда (2) ≤ AΓL1 ( ).
(b) ≤ AΓL2 ( ) сохраняет граф билинейных форм (2, ), ≥ 3.
Тогда
(2) = 2 o ((GL2 ( ) ∘ GL ( )) o Aut( )).
(c) ≤ AΓL2 ( ) сохраняет аффинный полярный граф VO 2 ( ), ≥
2, = ±. Тогда
(2) = 2 o ΓO 2 ( ).
(d) ≤ AΓL10 ( ) сохраняет граф знакопеременных форм (5, ). То-
гда
(2) = 10 o ((ΓL5 ( )/{±1}) × ( × /( × )2 )).
(e) ≤ AΓL16 ( ) сохраняет аффинный полуспинорный граф VD5,5 ( ).
Тогда (2) ≤ AΓL16 ( ) и

(2) = 16 o (( × ∘ Inndiag( 5 ( ))) o Aut( )).

(f ) ≤ AΓL4 ( ) сохраняет граф Сузуки–Титса VSz( ), = 22 +1 ,
≥ 1. Тогда

(2) = 4 o (( × × Sz( )) o Aut( )).

Теорема 2. Пусть — примитивная аффинная группа подстановок
ранга 3, и пусть ≤ AΓL1 ( ) для некоторого , являющегося степенью
простого числа. Тогда (2) ≤ AΓL1 ( ) кроме конечного числа исключений,
степени и подстепени которых перечислены в таблице 7.
Таблицы 7 и 8 даны в приложении к диссертации, и содержат конечное
число исключений. Определения сильно регулярных графов, фигурирую-
щих в формулировке теоремы 1, даются в первой главе и во многом следуют
книге [13].
В § 1.1 приводятся предварительные сведения о группах подстановок,
так, формулируются свойства 2-замыкания, напоминается теорема О’Нэна–
Скотта о строении примитивных групп подстановок и доказывается огра-
ничение на количество прямых сомножителей в цоколе примитивной груп-
пы в терминах её ранга (следствие 1.1.3).
В § 1.2 рассматриваются импримитивные группы ранга 3, примитивные
почти простые и примитивные группы, действующие на произведении, и
задача сводится к случаю аффинных групп (предложение 1.2.7). В § 1.3
напоминается классификация аффинных групп ранга 3 (теорема 1.3.1) и
приводятся соответствующие сильно регулярные графы. В § 1.4 исследу-
ются арифметические свойства подстепеней одномерных аффинных групп
ранга 3 и доказывается, что этот класс характеризуется своими подсте-
пенями за исключением лишь конечного числа случаев (лемма 1.4.4). Как
следствие, доказывается, что 2-замыкание примитивной аффинной группы
подстановок ранга 3, лежащей в AΓL1 ( ), снова лежит в AΓL1 ( ), кроме
конечного числа исключений (теорема 2). Далее, сравниваются подстепени
других классов, и показывается, что большинство графов ранга 3 опре-
деляются своими подстепенями, кроме графов Пэли и Пайзерта, опреде-
лённых семейств графов Сузуки–Титса и аффинных полярных графов, а
также кроме конечного числа исключений ограниченного порядка (пред-
ложение 1.4.5).
В § 1.5 привлекаются известные результаты об автоморфизмах силь-
но регулярных графов, и вычисляются 2-замыкания во всех случаях, кро-
ме графов Сузуки–Титса и аффинных полуспинорных графов. Последний
случай разбирается в предложении 1.5.6, с использованием некоторых ре-
зультатов о строении исключительных групп лиева типа. Группа автомор-
физмов графа Сузуки–Титса вычисляется в предложении 1.5.8, и параграф
завершается доказательством теоремы 1.
В заключительном параграфе первой главы даётся отрицательный от-
вет на вопрос 19.67, предложенный И.Н. Пономаренко в «Коуровской тет-
ради» [35], и конструируется бесконечная серия примитивных разрешимых
групп подстановок, в 2-замыкании которых есть композиционный фактор,
отличный от циклического или знакопеременного (предложение 1.6.1).
Теоремы 1 и 2 опубликованы автором в [42], результаты § 1.6 в [40].
Во второй главе изучаются подгруппы наименьшего индекса. Опре-
деляется функция ( ), равная наименьшему возможному индексу соб-
ственной подгруппы группы , и изучаются алгоритмические проблемы
вычисления ( ) и нахождения подгрупп наименьшего индекса в . Снача-
ла рассматривается случай, когда группа задаётся списком порождающих
подстановок, т.е. длина входа алгоритма будет ( · ), где — количество
порождающих, а — степень группы подстановок. В этом случае основным
результатом является
Теорема 3. Если группа задана порождающими подстановками, то
( ) можно вычислить за полиномиальное время.
Также рассматривается ситуация, когда группа задаётся таблицей умно-
жения, т.е. длина входа алгоритма будет ( 2 ), где — порядок группы.
В такой постановке удаётся получить усиление предыдущего результата:
Теорема 4. Если группа задана таблицей умножения, то множество
{ < | | : | = ( )} можно вычислить за полиномиальное время. Оба результата опираются на теорему Берковича о подгруппах наи- меньшего индекса, доказательство которой приводится в § 2.1 для полноты изложения. В § 2.2 даются основные сведения об алгоритмах на группах подстановок и группах, заданных таблицей умножения. В § 2.3 и § 2.4 до- казываются основные результаты главы. Теоремы 3 и 4 опубликованы автором в [43]. Третья глава посвящена доказательству теоремы Виланда–Хартли для субмаксимальных X-подгрупп. Основным результатом является сле- дующее утверждение. Теорема 5. Пусть — конечная группа, а X — полный класс. Тогда если ∈ smX ( ), то ( )/ не содержит нетривиальных X-подгрупп. В § 3.1 даются предварительные сведения о минимальных нормальных подгруппах, максимальных X-подгруппах и отделимых X-подгруппах. В § 3.2 доказывается основной результат главы. Наконец, в § 3.3 демонстри- руется применение теоремы 5, и доказывается критерий сопряжённости субмаксимальных X-подгрупп в терминах проекций на секции субнормаль- ного ряда. Теорема 5 опубликована в [41]. В заключении диссертации приводятся основные результаты. Далее следует приложение, в котором собраны различные табличные данные, использующиеся в доказательстве результатов из первой главы. Диссерта- ция завершается списком условных обозначений и списком литера- туры. Заключение Результаты, представленные в диссертации, объединены общей темой изучения классов максимальных подгрупп. Было получено описание 2- замыканий групп ранга 3, построены алгоритмы нахождения подгрупп наименьшего индекса в конечных группах, доказано обобщение теоремы Виланда–Хартли на субмаксимальные X-подгруппы. Разработанные мето- ды могут быть использованы в теории сложности алгоритмов, при изуче- нии групп подстановок и X-подгрупп. Автор выражает благодарность своему научному руководителю про- фессору А.В. Васильеву за помощь и поддержку в учебной и научной де- ятельности, а также всему коллективу лаборатории алгебры ИМ СО РАН и кафедры алгебры и математической логики ММФ НГУ за творческую атмосферу, в которой было выполнено диссертационное исследование.

Постановка задачи и актуальность темы исследования
Изучение максимальных подгрупп является одной из центральных тем
теории конечных групп, а такие результаты, как теорема О’Нэна–Скотта и тео-
рема Ашбахера, описывающие максимальные подгруппы в симметрических и
линейных группах, соответственно, находят свои приложения при изучении во-
просов, максимальных подгрупп напрямую не касающихся. Данная диссерта-
ция тоже посвящена изучению максимальных подгрупп, однако, понятие макси-
мальности трактуется более широко: рассматриваются максимальные подгруп-
пы, сохраняющие некоторые комбинаторные объекты, подгруппы, максималь-
ные по порядку, и также подгруппы, максимальные в некоторых классах.
Первая тема, рассматриваемая в диссертации, касается связи между груп-
пами подстановок и комбинаторными объектами. Напомним, что конечная груп-
па подстановок на множестве Ω действует естественным образом на мно-
жестве -кортежей Ω , а орбита группы на этом множестве называется
-орбитой. Максимальную группу подстановок на Ω, имеющую такие же –
орбиты, что и , будем называть -замыканием группы и обозначать ( ) .
Если смотреть на совокупность -орбит данной группы как на некоторую ком-
бинаторную структуру, то -замыкание будет соответствовать максимальной
группе подстановок, сохраняющей эту структуру.
Понятие -замыкания было введено Х. Виландом в [62] и было исполь-
зовано им в качестве инструмента изучения групп подстановок, см., например,
приложение 2-замыкания к оценке порядка унипримитивных групп [62, § 8]. Но-
вую жизнь в теорию -замыканий вдохнула обнаружившаяся связь с пробле-
мой изоморфизма графов. Напомним, что в теории сложности вычислений про-
блемой изоморфизма графов называется проблема распознавания изоморфизма
двух графов, заданных своими матрицами смежности. Не известно, решаема ли
эта проблема за полиномиальное время, а лучший на данный момент алгоритм
для проблемы изоморфизма является квазиполиномиальным [14]. Естествен-
но попробовать рассмотреть более слабые аналоги проблемы изоморфизма, и
одним из таких аналогов является алгоритмическая проблема -замыкания:
по заданной группе подстановок вычислить её -замыкание. Другими словами
нас интересует вопрос, если известно достаточно много автоморфизмов комби-
наторного объекта, легко ли найти остальные автоморфизмы?
Нетрудно показать, что алгоритмическая проблема -замыкания сводит-
ся к проблеме изоморфизма графов и, таким образом, не сложнее этой про-
блемы. Однако, в общей постановке эта задача оказалась нетривиальной. Есте-
ственным направлением исследований явилось изучение -замыканий групп из
определённых классов, так, в работе С.А. Евдокимова и И.Н. Пономаренко [27]
был построен полиномиальный алгоритм вычисления 2-замыкания группы под-
становок нечётного порядка — стоит отметить, что алгоритм опирался на тот
факт, что 2-замыкание группы нечётного порядка снова будет группой нечёт-
ного порядка. В работе И.Н. Пономаренко [50] было показано, что 2-замыкание
нильпотентной группы будет группой разрешимой, а в [24] И.Н. Пономарен-
ко и Д.В. Чуриков установили, что 2-замыкание нильпотентной группы снова
нильпотентно. Нельзя не упомянуть работу А.В. Васильева и И.Н. Понома-
ренко [49], в которой было получено ограничение на композиционные факто-
ры 2-замыкания сверхразрешимой группы, а также работу Э.А. О’Брайена,
А.В. Васильева, Е.П. Вдовина и И.Н. Пономаренко [57], показывающую, что 3-
замыкание разрешимой группы снова разрешимо. Во всех перечисленных слу-
чаях, полученные ограничения на замыкания позволили сконструировать иско-
мый полиномиальный алгоритм.
Помимо структурных ограничений на группы подстановок, можно рас-
сматривать и свойства -орбит. Например, в работе А.В. Васильева и Д.В. Чу-
рикова [4] был построен полиномиальный алгоритм вычисления 2-замыкания
3
2 -транзитивных групп подстановок (напомним, что транзитивная группа под-
становок множества Ω называется 32 -транзитивной, если орбиты стабилиза-
тора точки на Ω ∖ { } имеют один размер). Другим естественным пара-
метром является ранг, т.е. количество 2-орбит. Так как проблема нахождения
2-замыкания группы ранга 2 тривиальна (2-замыкание такой группы совпада-
ет со всей симметрической группой), первым нетривиальным случаем является
класс групп подстановок ранга 3. Таким образом, естественно сформулировать
следующую проблему.
Проблема 1. Описать 2-замыкания групп подстановок ранга 3.
Классификация групп ранга 3 была получена в серии работ Э. Баннаи [16],
В.М. Кантора и Р.А. Либлера [39], М. Либека и Я. Саксла [44], и окончатель-
но завершена в 1987 г. в статье М. Либека [41]. Несмотря на это, вопрос о 2-
замыканиях групп ранга 3 оставался открытым. Во многом это связано с тем,
что полученная классификация характеризует минимальные группы ранга 3 и
фокусируется на их теоретико-групповом строении, а не на строении соответ-
ствующих 2-орбит. Так как внедиагональная 2-орбита группы ранга 3 чётного
порядка является сильно регулярным графом, а 2-замыкание такой группы бу-
дет полной группой автоморфизмов соответствующего графа, проблема 1 так-
же включает в себя и проблему описания групп автоморфизмов всех графов
ранга 3. Решению указанных проблем и посвящена первая часть данной дис-
сертации.
В первой части также рассматривается вопрос 19.67 из «Коуровской тет-
ради» [58], поставленный И.Н. Пономаренко: верно ли, что 2-замыкание раз-
решимой группы подстановок имеет только циклические и знакопеременные
композиционные факторы? В заключительном параграфе первой главы даёт-
ся отрицательный ответ на этот вопрос, причём полученная бесконечная серия
контрпримеров базируется на соответствующем примере в ранге 3.
Второй темой, рассматриваемой в диссертации, является изучение макси-
мальных подгрупп наибольшего порядка или, эквивалентно, собственных под-
групп наименьшего индекса. Мотивацией снова явилась проблема изоморфизма
графов.
Известно, что проблема изоморфизма графов эквивалентна проблеме вы-
числения полной группы автоморфизмов графа [45], и довольно естественно
рассмотреть близкие вычислительные проблемы, связанные с графами и груп-
пами. В работе [26] С. Дутта и П.П. Курур предложили так называемую пробле-
му представимости группы на графе: по данной конечной группе и графу
Γ требуется определить, существует ли нетривиальный гомоморфизм из в
Aut(Γ)? Оказалось, что данная проблема в общем случае не проще проблемы
изоморфизма графов, а именно, последняя проблема сводится к проблеме пред-
ставимости циклических групп.
В той же работе было предложено ограничить класс графов и рассмот-
реть проблему представимости группы на (конечном) дереве, где группа зада-
ётся таблицей умножения, а дерево — списком рёбер. Не сложно показать, что
эту проблему можно свести к вычислению наименьшего возможного индекса
собственной подгруппы данной группы, так что естественно сформулировать
следующую проблему.
Проблема 2. Построить полиномиальный алгоритм вычисления подгруппы
наименьшего индекса для группы, заданной таблицей умножения.
Стоит отметить, что в [26] С. Дутта и П.П. Курур предположили, что
проблема представимости группы на дереве не решается за полиномиальное
время. Во второй части данной диссертации мы решим проблему 2 даже в более
общей постановке, и, таким образом, решим проблему представимости группы
на дереве за полиномиальное время.
Третий результат, представленный в данной диссертации, касается изуче-
ния максимальных X-подгрупп для полных классов X. Напомним, что класс
конечных групп X называется полным, если он замкнут относительно взятия
прямых произведений, гомоморфных образов и расширений (например, полным
является класс разрешимых групп и класс -групп для фиксированного просто-
го числа ). Группа, принадлежащая классу X также называется X-группой, а
максимальной X-подгруппой некоторой группы называется максимальная по
включению X-подгруппа.
Хорошо известно, что изучение подгрупп данной группы зачастую мож-
но свести к изучению максимальных подгрупп, например, строение -подгрупп
часто определяется структурой максимальных -подгрупп (т.е. силовских –
подгрупп). В общем случае, описать максимальные X-подгруппы становится
затруднительно. Так, известны обобщения теорем Силова на случай -подгрупп
в разрешимых группах (см. работы Ф. Холла [32] и С.А. Чунихина [10]), но для
произвольных групп и классов X подобное описание едва ли возможно.
Закономерным подходом для решения этой проблемы является попытка
свести описание максимальных X-подгрупп данной группы к соответствующей
задаче в фактор-группах и нормальных подгруппах, по сути дела, редуцируя
исходную проблему к вопросам о композиционных факторах. По аналогии со
свойствами силовских подгрупп, можно сформулировать следующие два утвер-
ждения, которые были бы полезны при индукционных рассуждениях: пусть
— конечная группа, — максимальная X-подгруппа в , и — нормальная
подгруппа в ; тогда

1. Беркович Я. Г. Необходимые и достаточные условия простоты конечной
группы // Алгебра и теория чисел, Нальчик. — 1979. — № 4. — С. 3—6.
2. Васильев А. В. Минимальные подстановочные представления конечных
простых исключительных групп скрученного типа // Алгебра и логика. —
1998. — Т. 37, № 1. — С. 17—35.
3. Васильев А. В. Минимальные подстановочные представления конечных
простых исключительных групп типа 6 , 7 и 8 // Алгебра и логика. —
1997. — Т. 36, № 5. — С. 518—530.
4. Васильев А. В., Чуриков Д. В. 2-Замыкание 23 -транзитивных групп за по-
линомиальное время // Сиб. матем. журн. — 2019. — Т. 60, № 2. — С. 360—
375.
5. Го В., Ревин Д. О. О максимальных и субмаксимальных X-подгруппах //
Алгебра и логика. — 2018. — Т. 57, № 1. — С. 14—42.
6. Калужнин Л. А., Клин М. Х. О некоторых числовых инвариантах групп
подстановок // Латв. Мат. Ежегодник. — 1976. — Т. 18, № 1. — С. 81—99.
7. Клин М. Х. Об одном методе построения примитивных графов // Труды
НКИ. — 1974. — Т. 87. — С. 3—8.
8. Мазуров В. Д. Минимальное подстановочное представление простой груп-
пы Томпсона // Алгебра и логика. — 1988. — Т. 27, № 5. — С. 562—580.
9. Мазуров В. Д. Минимальные подстановочные представления конечных про-
стых классических групп. Специальные линейные, симплектические и уни-
тарные группы // Алгебра и логика. — 1993. — Т. 32, № 3. — С. 267—287.
10. Чунихин С. А. О разрешимых группах // Изв. НИИММ Том. унив. —
1938. — Т. 2. — С. 220—223.
11. Шеметков Л. А. О силовских свойствах конечных групп // Докл. АН
БССР. — 1972. — Т. 16. — С. 881—883.
12. Шеметков Л. А. Обобщения теоремы Силова // Сиб. матем. журн. —
2003. — Т. 44, № 6. — С. 1127—1132.
13. Atlas of finite groups: maximal subgroups and ordinary characters for simple
groups / J. H. Conway [et al.]. — Clarendon Press, 1985.
14. Babai L. Groups, graphs, algorithms: the graph isomorphism problem. //
Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM 2018).
Vol. 3. — Rio de Janeiro : WORLD SCIENTIFIC, 2019. — P. 3303–3320.
15. Babai L., Luks E., Seress A. Permutation groups in NC // Proceedings of
the Nineteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing. — New
York, New York, USA : ACM, 1987. — P. 409–420. — (STOC ’87).
16. Bannai E. Maximal subgroups of low rank of finite symmetric and alternating
groups // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. — 1972. — Vol. 18. — P. 475–486.
17. Berkovich Y. The degree and index of a finite group // J. Algebra. —
1999. — Vol. 214, no. 2. — P. 740–761.
18. Bray J. N., Holt D. F., Roney-Dougal C. M. The maximal subgroups of
the low-dimensional finite classical groups. — Cambridge University Press,
2013. — (London Mathematical Society Lecture Note Series).
19. Brouwer A. E., Cohen A. M., Neumaier A. Distance-regular graphs. —
Springer Berlin Heidelberg, 1989. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer
Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics).
20. Brouwer A. E., Van Maldeghem H. Strongly regular graphs. — URL: https:
//homepages.cwi.nl/~aeb/math/srg/rk3/srgw.pdf.
21. Buekenhout F., Van Maldeghem H. A characterization of some rank 2 in-
cidence geometries by their automorphism group // Mitt. Mathem. Sem.
Giessen. — 1994. — Vol. 218. — P. 1–70.
22. Burness T. C., Liebeck M. W., Shalev A. Generation and random generation:
from simple groups to maximal subgroups // Advances in Mathematics. —
2013. — Vol. 248. — P. 59–95.
23. Cameron P. J. Finite permutation groups and finite simple groups // Bull.
London Math. Soc. — 1981. — Vol. 13, no. 1. — P. 1–22.
24. Churikov D., Ponomarenko I. On 2-closed abelian permutation groups. —
2020. — arXiv: 2011.12011.
25. Cooperstein B. N. Minimal degree for a permutation representation of a clas-
sical group // Israel J. Math. — 1978. — Vol. 30. — P. 213–235.
26. Dutta S., Kurur P. P. Representing groups on graphs // Mathematical
Foundations of Computer Science 2009 / ed. by R. Královič, D. Niwiński. —
Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2009. — P. 295–306.
27. Evdokimov S., Ponomarenko I. Two-closure of odd permutation group in
polynomial time // Discrete Mathematics. — 2001. — Vol. 235, no. 1. —
P. 221–232.
28. Foulser D. A. Solvable primitive permutation groups of low rank // Trans.
Amer. Math. Soc. — 1969. — Vol. 143. — P. 1–54.
29. Foulser D. A., Kallaher M. J. Solvable, flag-transitive, rank 3 collineation
groups // Geometriae Dedicata. — 1978. — Vol. 7. — P. 111–130.
30. GAP – Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.11.1 / The GAP
Group. — 2021. — URL: https://www.gap-system.org.
31. Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The Classification of the Finite Simple
Groups, number 3. — American Mathematical Society, 1994. — (Mathe-
matical surveys and monographs).
32. Hall P. A note on soluble groups // J. London Math. Soc. — 1928. —
Vol. 3. — P. 98–105.
33. Hartley B. A theorem of Sylow type for finite groups // Math. Z. — 1971. —
Vol. 122. — P. 223–226.
34. Hering C. Transitive linear groups and linear groups which contain irreducible
subgroups of prime order, II // J. Algebra. — 1985. — Vol. 93, no. 1. —
P. 151–164.
35. Hirschfeld J. W. P. Finite projective spaces of three dimensions. — Claren-
don Press, 1985. — (Oxford mathematical monographs).
36. Huppert B., Blackburn N. Finite groups III. — Springer, 1982. — (Grundleh-
ren der mathematischen Wissenschaften ; 243).
37. Isaacs I. M. Finite group theory. — American Mathematical Society, 2008. —
(Graduate studies in mathematics).
38. Kaloujnine L., Krasner M. Le produit complet des groupes de permutations
et le problème d’extension des groupes // C. R. Acad. Sci. Paris. —
1948. — Vol. 227. — P. 806–808.
39. Kantor W. M., Liebler R. A. The rank 3 permutation representations of the
finite classical groups // Trans. Amer. Math. Soc. — 1982. — Vol. 271. —
P. 1–71.
40. Kleidman P. B., Liebeck M. W. The subgroup structure of the finite classical
groups. — Cambridge University Press, 1990. — (London Mathematical
Society Lecture Note Series).
41. Liebeck M. W. The affine permutation groups of rank three // Proc. London
Math. Soc. — 1987. — Vol. s3–54, no. 3. — P. 477–516.
42. Liebeck M. W., Praeger C. E., Saxl J. On the 2-closures of finite permutation
groups // J. London Math. Soc. — 1988. — Vol. s2–37, no. 2. — P. 241–
252.
43. Liebeck M. W., Praeger C. E., Saxl J. On the O’Nan-Scott theorem for finite
primitive permutation groups // J. Aust. Math. Soc. Ser. A. — 1988. —
Vol. 44, no. 3. — P. 389–396.
44. Liebeck M. W., Saxl J. The finite primitive permutation groups of rank
three // Bull. London Math. Soc. — 1986. — Vol. 18, no. 2. — P. 165–172.
45. Mathon R. A note on the graph isomorphism counting problem // Inform.
Process. Lett. — 1979. — Vol. 8, no. 3. — P. 131–136.
46. Muzychuk M. A classification of one-dimensional affine rank three graphs //
Discrete Mathematics. — 2021. — Vol. 344, no. 7. — P. 112400.
47. On the maximum orders of elements of finite almost simple groups and prim-
itive permutation groups / S. Guest [et al.] // Trans. Amer. Math. Soc. —
2015. — Vol. 367. — P. 7665–7694.
48. Peisert W. All self-complementary symmetric graphs // J. Algebra. —
2001. — Vol. 240, no. 1. — P. 209–229.
49. Ponomarenko I., Vasil’ev A. Two-closure of supersolvable permutation group
in polynomial time // Comp. Complexity. — 2020. — Vol. 29, no. 5.
50. Ponomarenko I. N. Graph isomorphism problem and 2-closed permutation
groups // AAECC. — 1994. — Vol. 5. — P. 9–22.
51. Praeger C. E., Saxl J. Closures of finite primitive permutation groups //
Bull. London Math. Soc. — 1992. — Vol. 24, no. 3. — P. 251–258.
52. Praeger C. E., Schneider C. Permutation groups and cartesian decompo-
sitions. — Cambridge University Press, 2018. — (London Mathematical
Society Lecture Note Series).
53. Revin D. O., Zavarnitsine A. V. The behavior of -submaximal subgroups
under homomorphisms with -separable kernels // Sib. Èlektron. Mat.
Izv. — 2020. — Vol. 17. — P. 1155–1164.
54. Schröder E. M. Ein einfacher Beweis des Satzes von Alexandroff-Lester // J.
Geom. — 1990. — Vol. 37. — P. 153–158.
55. Seress Á. Permutation group algorithms. — Cambridge University Press,
2003. — (Cambridge Tracts in Mathematics).
56. Suzuki M. Group theory II. — Springer-Verlag, 1982. — (Group Theory).
57. The 3-closure of a solvable permutation group is solvable / E. A. O’Brien
[et al.] // J. Algebra. — 2021.
58. Unsolved problems in group theory. The Kourovka notebook / ed. by E. I.
Khukhro, V. D. Mazurov. — 19th ed. — Inst. of Mathematics, SO RAN,
Novosibirsk, 2018.
59. Van Lint J. H., Schrijver A. Construction of strongly regular graphs, two-
weight codes and partial geometries by finite fields // Combinatorica. —
1981. — Vol. 1. — P. 63–73.
60. Wielandt H. Zusammengesetzte Gruppen endlicher Ordnung // Helmut Wie-
landt: Mathematical Works, Vol. 1: Group theory / ed. by B. Huppert, H.
Schneider. — Berlin : De Gruyter, 1994. — P. 607–655.
61. Wielandt H. Zusammengesetzte Gruppen: Hölders Programm heute // Finite
groups, Santa Cruz Conf. 1979, Proc. Symp. Pure Math. Vol. 37. —
1980. — P. 161–173.
62. Wielandt H. W. Permutation groups through invariant relations and invariant
functions. — The Ohio State University, 1969.
63. Wilson R. The finite simple groups. — Springer London, 2009. — (Graduate
Texts in Mathematics).
64. Wilson R. A. Maximal subgroups of automorphism groups of simple groups //
J. London Math. Soc. — 1985. — Vol. s2–32, no. 3. — P. 460–466.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?

Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

Читать

Публикации автора в научных журналах

Необходимые и достаточные условия простоты конечной группы

Алгебра и теория чисел, Нальчик. — 1— No — С. 3—Васильев А. В. Минимальные подстановочные представления конеч- ных простых исключительных групп скрученного типа // Алгебра и логика. — 1— Т. 37, No — С. 17—

Минимальное подстановочное представление простой группы Томпсона

Алгебра и логика. — 1— Т. 27, No — С. 562— Мазуров В. Д. Минимальные подстановочные представления конеч- ных простых классических групп. Специальные линейные, симплек- тические и унитарные группы // Алгебра и логика. — 1— Т. 32, No — С. 267—

The rank 3 permutation representations of the finite classical groups

Trans. Amer. Math. Soc. — 1— Vol. — P. 1–14

The subgroup structure of the finite classical groups. — Cambridge University Press, 1— (London Mathematical Society Lecture Note Series). Liebeck M. W. The affine permutation groups of rank three

Proc. London Math. Soc. — 1— Vol. s3–54, no. — P. 477

Permutation groups through invariant relations and invariant functions. — The Ohio State University, 1Wilson R. A. Maximal subgroups of automorphism groups of simple groups

J. London Math. Soc. — 1— Vol. s2–32, no. — P. 460–Работы автора по теме диссертации

Контрпримеры к двум гипотезам из Коуровской тетради

Алгебра и логика. — 2— Т. 58, No — С. 249—Revin D., Skresanov S., Vasil’ev A. The Wielandt–Hartley theorem for submaximal X-subgroups // Monatsh. Math. — 2— Vol. — P. 143

Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее

Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее

Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее

Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

Хочешь уникальную работу?

Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

Занимаюсь написанием студенческих работ (дипломные работы, маг. диссертации). Участник международных конференций (экономика/менеджмент/юриспруденция). Постоянно публик... Читать все

#Кандидатские #Магистерские

1386 Выполненных работ

Работаю в сфере метрологического обеспечения. Защищаю кандидатскую диссертацию. Основной профиль: Метрология, стандартизация и сертификация. Оптико-электронное прибост... Читать все

#Кандидатские #Магистерские

10 Выполненных работ

Возможно выполнение работ по правоведению и политологии. Имею высшее образование менеджера ВЭД и правоведа, защитила кандидатскую и докторскую диссертации по политоло... Читать все

Возможно выполнение работ по правоведению и политологии. Имею высшее образование менеджера ВЭД и правоведа, защитила кандидатскую и докторскую диссертации по политологии.

#Кандидатские #Магистерские

68 Выполненных работ

Работы пишу исключительно сама на основании действующих нормативных правовых актов, монографий, канд. и докт. диссертаций, авторефератов, научных статей. Дополнительно... Читать все

Работы пишу исключительно сама на основании действующих нормативных правовых актов, монографий, канд. и докт. диссертаций, авторефератов, научных статей. Дополнительно занимаюсь английским языком, уровень владения - Upper-Intermediate.

#Кандидатские #Магистерские

39 Выполненных работ

Более 40 лет занимаюсь преподавательской деятельностью. Специалист в области философии, логики и социальной работы. Кандидатская диссертация - по логике, докторская - ... Читать все

Более 40 лет занимаюсь преподавательской деятельностью. Специалист в области философии, логики и социальной работы. Кандидатская диссертация - по логике, докторская - по социальной работе.

#Кандидатские #Магистерские

260 Выполненных работ

Имеется большой опыт написания творческих работ на различных порталах от эссе до кандидатских диссертаций, решения задач и выполнения лабораторных работ по любым напра... Читать все

Имеется большой опыт написания творческих работ на различных порталах от эссе до кандидатских диссертаций, решения задач и выполнения лабораторных работ по любым направлениям физики, математики, химии и других естественных наук.

#Кандидатские #Магистерские

5 Выполненных работ

Опыт в написании студенческих работ (дипломные работы, магистерские диссертации, повышение уникальности текста, курсовые работы, научные статьи и т.д.) по экономическо... Читать все

Опыт в написании студенческих работ (дипломные работы, магистерские диссертации, повышение уникальности текста, курсовые работы, научные статьи и т.д.) по экономическому и гуманитарному направлениях свыше 8 лет на различных площадках.

#Кандидатские #Магистерские

224 Выполненных работы

Добрый день, работаю в сфере написания студенческих работ более 7 лет. Всегда довожу своих студентов до защиты с хорошими и отличными баллами (дипломы, магистерские ди... Читать все

Добрый день, работаю в сфере написания студенческих работ более 7 лет. Всегда довожу своих студентов до защиты с хорошими и отличными баллами (дипломы, магистерские диссертации, курсовые работы средний балл - 4,5). Всегда на связи!

#Кандидатские #Магистерские

138 Выполненных работ