Теоретико-модельные и топологические свойства семейств теорий
Оглавление
Стр. Введение
Глава1. Предварительныесведения
1.1 Сведенияизобщейтополигии
1.2 Сведенияосемействахполныхтеорий. . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Сведения из теории аппроксимаций и теории моделей псевдоконечныхструктур
1.2.2 Рангидлясемействполныхтеорий . . . . . . . . . . . .
Глава 2. Определимые подсемейства полных теорий . . . . . . .
2.1 Ранги для семейств теорий в зависимости от заданных языков .
2.2 Исчислениядлясемействтеорий.
2.2.1 Компактность и E-замкнутые семейства . . . . . . . . .
2.2.2 Динамика рангов относительно определимых
подсемействтеорий
2.3 Алгебры для определимых подсемейств теорий . . . . . . . . . .
Глава 3. Топологии, ранги и замыкания для семейств полных теорий
3.1 Топологиидлясемействполныхтеорий . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Рангиитопологии
3.3 e-минимальные и Bs-минимальные подсемейства, ранги и степени
3.4 Замыкания относительно s-определимых и Bs-определимых подсемейств
3.5 Алгебры для Bs-определимых подсемейств семейств теорий . .
3.6 Замыкания
3.7 e1-спектрыипорождающиеподсемейства . . . . . . . . . . . . .
3.8 Замыкания и ранги для линейно упорядоченных семейств теорий 82
Глава4. Приложения
4.1 Рангидлясемействтеорийподстановок . . . . . . . . . . . . . .
3
Стр
.2 Локальносвободныеалгебры
Заключение
Списоклитературы
Во введении обосновывается актуальность исследований, проводи
мых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной
литературы по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи
работы, излагается научная новизна и практическая значимость представ
ляемой работы.
В первой главе приводятся необходимые определения, относящие
ся к полным и псевдоконечным теориям моделей. Даны предварительные
сведения и основные теоретико-модельные конструкции полных теорий.
Вторая глава посвящена описанию рангов и степеней семейств всех
теорий произвольных заданных языков и исследованию определимых под
семейств полных теорий. Определяется исчисления для семейств теорий,
аналогичные исчислениям для предложений первого порядка, а также об
суждается свойства и связи для этих исчислений.
Пусть Σ — язык. Через Σ обозначим семейство всех теорий языка Σ.
Теорема 2.1. Для любого языка Σ семейство Σ является
-минимальным тогда и только тогда, когда Σ = ∅ или Σ состоит
из одного константного символа.
Теорема 2.2. Для любого языка Σ либо ранг ( Σ ) конечен, если Σ
состоит из конечного числа 0-арных и унарных предикатов, и констант
ных символов или ( Σ ) = ∞, в противном случае.
Техника подсчета рангов ( Σ ) может быть применена для семейств
Σ, всех теорий в языках Σ и имеющих -элементных моделей ∈ , а
также для семейств Σ,∞ всех теорий в языках Σ и имеющих бесконеч
ные модели.
Теорема 2.3. Для любого языка Σ либо ( Σ, ) = 0, если Σ ко
нечен или = 1 и Σ имеет конечное число предикатных символов, или
( Σ, ) = ∞, в противном случае.
Теорема 2.4. Для любого языка Σ либо ( Σ,∞ ) конечен, если Σ
конечен и не имеет предикатных символов арности ≥ 2, а также без
функциональных символов арности ≥ 1 или ( Σ, ) = ∞, в против
ном случае.
Пусть — семейство полных теорий первого порядка на языке Σ, Σ
— семейство всех полных теорий первого порядка языка Σ. Для множества
Φ Σ-предложений положим Φ = { ∈ | |= Φ}. Семейство вида Φ
называется -определимым (в ). Если Φ является одноэлементным { },
то = Φ называется -определимым.
Рассматриваем свойства исчислений для семейств относительно
отношений ⊢ , где Φ ⊢ Ψ ⇔ Φ ⊆ Ψ .
Предложение 2.5. Для любых множеств предложений Φ и Ψ и
семейства теорий следующие условия эквивалентны:
(1) Φ ⊢ Ψ;
(2) Φ ⊢ 0 Ψ для любого конечного 0 ⊆ ;
(3) Φ ⊢{ } Ψ для любого одноэлементного { } ⊆ ;
(4) Φ ⊢ ( ) Ψ.
Теорема 2.6. (теорема о компактности) Для любого непу
стого -замкнутого семейства каждое локально -совместное
-определимое множество Φ является -совместным.
Следующая теорема дает критерий существования -определимого
семейства, которое не является -определимым.
Теорема 2.7. Для любого E-замкнутого семейства существует
-определимое семейство Φ , которое не является -определимым тогда
и только тогда, когда бесконечно.
Следующая теорема дает характеристику для -определимости под
семейства ′ ⊆ .
Теорема 2.8. Подсемейство ′ ⊆ является -определимым в
тогда и только тогда, когда ′ -замкнуто в , т.е. ′ = ( ′ ) ∩ .
Третья глава посвящена исследованию структурных и топологиче
ских свойств семейств теорий, возможно неполных. Обобщаются понятия
ранга и степени, которые были определены ранее для семейств полных
теорий.
Предложение 3.1. Любое семейство образует 0 -пространство.
Предложение 3.2. Для любого семейства следующие условия
эквивалентны:
(1) является 1 -пространством;
(2) не содержит теории , ′ , для которых ⫋ ′ .
Предложение 3.3. 1 -пространство является хаусдорфовым
тогда и только тогда, когда для любых различных теорий , ′ ∈
существуют предложения ∈ , ∈ ′ такие, что ∧ является
-несовместным.
Следующее предложение показывает, что можно построить неограни
ченно большое семейство без нетривиальных 1 -подсемейств:
Предложение 3.4. Для любой мощности существует семейство
без нетривиальных 1 -подсемейств.
Теорема 3.5. Для любого семейства и ∈ ∖ {0} следующие
условия эквивалентны:
(1) ( ) = 0 и ( ) = ;
(2) имеет -элементное хаусдорфово подсемейство { 1 , . . . , }
такое, что каждый элемент ∈ ∖ { 1 , . . . , } не является
2 -отделимым от 1 , . . . , в семействе ;
(3) содержит цепи 1 , . . . , такие, что их некоторые пред
ставители 1 ∈ 1 , . . . , ∈ образуют -элементное хаусдорфово
подсемейство и каждый элемент ∈ ∖ ( 1 ∪ . . . ∪ ) не является
2 -отделимым от 1 , . . . , в ;
(4) делится на дизъюнктных непустых частей 1 , . . . , так,
что каждая часть содержит некоторую цепь и каждый элемент
∈ ∖ не является 2 -отделимым от элементов из .
Теорема 3.6. Для любого ординала и натурального числа ∈ ∖
{0} существует семейство и его ограничение ′ , для которых ( ) =
, ( ) = , ( ′ ) = ∞.
Следующее утверждение дает оценки числа 2 -отделимых теорий в
семействах полных теорий.
Предложение 3.7. (1) Если — семейство полных теорий с
( ) = 0 и ( ) = , то имеет 2 -отделимых теорий.
(2) Если — семейство полных теорий с ( ) = > 0, для неко
торого ординала , то имеет по крайней мере · 2 -отделимых
теорий.
Для семейства обозначим через множество всех
-определимых подсемейств .
Ясно, что, образует булеву алгебру. Более того, справедлива сле
дующая лемма.
Лемма 3.8. Для любого семейства пара ( , ) хаусдорфова.
Далее определим ранг и степень , обобщающие и и зада
ющие более адекватную меру сложности для семейств неполных теорий.
Предложение 3.9. Для любого семейства имеет место ( ) =
и ( ) = тогда и только тогда, когда представляется в виде
дизъюнктного объединения -определимых подсемейств 1 , . . . , та
ких, что каждое -минимально.
Теорема 3.10. Для любого ординала и натурального числа
̸= 0 существует семейство позитивных теорий такое, что
( ( ), ( )) = ( , ).
Теорема 3.11. Если ′ — порождающее подсемейство для специаль
ного -замкнутого семейства , то следующие условия эквивалентны:
(1) ′ — наименьшее порождающее множество для ;
(2) ′ — минимальное порождающее множество для ;
(3) любая теория из ′ изолируется некоторым -определимым
подмножеством семейства ′ , т.е. для любого ∈ ′ существует
-определимое подмножество ⊆ ′ вида ( ′ ) ∩ ( ′ ) 1 ∩ . . . ∩ ( ′ )
такое, что = { };
(4) любая теория из ′ изолируется некоторым -определимым
подмножеством семейства , т.е. для любого ∈ ′ существует
-определимое подмножество ⊆ такое, что = { }.
(5) любая теория из ′ изолируется некоторым -определимым под
множеством семейства ′ , т.е. для любого ∈ ′ существует
-определимое подмножество ⊆ ′ вида ( ′ ) такое, что = { };
(6) любая теория из ′ изолируется некоторым -определимым
подмножеством семейства , т.е. для любого ∈ ′ существует
-определимое подмножество ⊆ такое, что = { }.
Теорема 3.12. Для любого непустого -замкнутого специального
семейства , ординала ≥ 1 и натурального числа ∈ ∖{0}, следующие
условия эквивалентны:
(1) ( ) = и ( ) = ;
(2) булева алгебра ℬ ( ) изоморфна прямому произведению бу
левых алгебр ℬ1 , . . . , ℬ , каждая из которых порождается элементами
рангов < так, что каждая алгебра ℬ содержит бесконечное число эле
ментов каждого ранга < ;
(3) алгебра ℬ ( ) состоит из бесконечного числа атомных элемен
тов каждого ранга < для ≥ 0 и ровно атомных элементов ранга
, эти атомных элементов соответствуют неглавным ультрафиль
трам по отношению к элементам рангов < .
Определение. Для семейства теорий сигнатуры Σ и теории
полагаем ∈ 1 ( ), если ∈ , или непусто и
= { ∈ (Σ) | ( ′ ) бесконечно}(1)
для некоторого ′ ⊆ . Если ′ фиксировано, мы говорим, что при
надлежит 1 -замыканию семейства относительно ′ , а является
точкой накопления относительно ′ .
Семейство называется 1 -замкнутым или просто замкнутым,
если = 1 ( ).
Предложение 3.13. Для любого семейства полных теорий не
более чем счетного языка Σ имеет место равенство 1 ( ) = ( ).
Теорема 3.14. Для любого семейства не более чем счетного язы
ка Σ оператор замыкания 1 транзитивен.
Теорема 3.15. Для любого семейства теорий счетной сигнатуры
следующие условия эквивалентны:
(1) | 1 ( )| = 2 ;
(2) 1 - ( ) = 2 ;
(3) ( ) = ∞.
Теорема 3.16. Для любого линейно ⊆-упорядоченного семейства ,
1 ( ) состоит из объединений подсемейств и пересечений счетных
подсемейств , упорядоченных по типу * .
Предложение 3.17. Для любого линейно ⊆-упорядоченного семей
ства , 1 ( 1 ( )) = 1 ( ).
В четвертой главе исследовано семейство теорий подстановок,
семейство кубических теорий, семейство локально свободных алгебр, се
мейство ациклических теорий.
Пусть язык Σ состоит из подстановки . Обозначим через Σ семей
ство всех теорий подстановок языка Σ.
Следующая теорема показывает, что существует семейство теории
подстановок, имеющее счетный ранг.
Теорема 4.1. Для любого счетного ординала и натурального ≥ 1
существует семейство ⊆ Σ , что ( ) = и ( ) = .
Теорема 4.2. Любая теория подстановки на бесконечном множе
стве является псевдоконечной.
Пусть — полная теория первого порядка локально свободных ал
( )( )
гебр языка Σ = { 1 1 , . . . , , . . . ; 1 , . . . , , . . . ,}.
Предложение 4.3. Если язык Σ состоит из константных симво
лов или из константных символов и одного унарного функционального
символа, то локально свободная алгебра псевдоконечна.
Теорема 4.4 Бесконечная локально свободная алгебра псевдоконеч
на тогда и только тогда, когда язык Σ содержит не более одного унарного
символа и не содержит символов арности > 1.
Следствие 4.5. Локально свободный группоид не является псевдо
конечным.
В заключении приведены основные результаты работы.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю,
д.ф.-м.н., доценту Судоплатову Сергею Владимировичу за ценные советы
и замечания при планировании исследования и всестороннюю помощь при
работе над диссертацией. Автор выражает признательность всем участни
кам семинара «Теория моделей» им. Е.А. Палютина за множество ценных
замечаний и предложений.
Вопросы изучения топологических свойств объектов дискретной матема- тики и теории моделей привлекают внимание широкого круга специалистов. В этой связи следует отметить монографию Ю.Л. Ершова [1], в которой изложен ряд результатов о топологических пространствах, применяемых в дискретной математике. Е. Лось [2] в 1954 г. высказал гипотезу, что если полная теория ка- тегорична в некоторой несчетной мощности, то она категорична во всех других несчетных мощностях. В 1965 г. М. Морли [3] подтвердил гипотезу Лося и до- казал однородность всех моделей категоричных теорий, одновременно изменив качество исследований в теории моделей, систематически вводя методы работы с типами (локально совместными множествами формул), вводя ранги типов и формул на основе изучения категории топологических пространств n-типов и элементарных вложений.
Классическая теорема Фефермана – Воота [4] для логики первого порядка объясняет, как вычислить значение истинности предложения первого порядка в обобщенном произведении структур первого порядка, сводя это вычисление к вычислению значений истинности других предложений первого порядка в факторах и оценке монадического предложения второго порядка в индексной структуре.
Семейства теорий в общем виде впервые начал исследовать С.В. Судо- платов в 2016 году введя E-операторы и P-операторы [5] на классы структур, порождающих структуры и аппроксимирующие заданные структуры. Эти опе- раторы связаны с естественными топологическими свойствами, относящимися к семействам теорий. Также исследованы комбинация структур, для данных се- мейств структур, относительно семейств одноместных предикатов и отношений эквивалентности. Охарактеризованы условия сохранения ω-категоричности и эренфойхтовости для этих комбинаций. Введены понятия e-спектров и описаны возможности для e-спектров.
С.В. Судоплатовым в работе [6] исследованы операторы замыкания и описаны свойства для E-оператора и P-оператора систем и их теорий, включая отрицание конечного характера и свойство замены. Введено понятие сигнатурно однородной теории [7] и изучены топологические свойства, относящиеся к семей- ствам сигнатурно однородных теорий и их E-комбинациям, а также, показано, что семейства сигнатурно однородных теорий задают произвольный ранг Кан- тора – Бендиксона и произвольную степень относительно этого ранга. Доказано, что решетки для семейств теорий с наименьшими порождающими множествами являются дистрибутивными [8]. Изучены аппроксимация структур конечны- ми в контексте структурных комбинаций. Рассмотрены и охарактеризованы классы конечных и счетно категоричных структур и их теории, сохраняющие- ся при E-операторах и P-операторах [9]. Определены понятия относительных е-спектров [10] по отношению к E-операторам, относительным замыканиям и относительным порождающим множествам.
Исследованы аппроксимации теорий [11] как в общем контексте, так и по отношению к некоторым естественным классам теорий. Рассмотрены некоторые виды аппроксимаций, найдены связи с конечно аксиоматизируемыми теориями и минимальными порождающими множествами теорий, а также их спектрами. Поставлена следующая проблема:
Проблема 1. Описать мощности и виды аппроксимаций для естествен- ных классов теорий.
Изучение семейств элементарных теорий дает информацию о поведе- нии и взаимосвязях теорий внутри семейств, возможности порождения и их сложности. Эта сложность выражается ранговыми характеристиками как для семейств, так и для их элементов внутри семейств.
В 2019 году продолжено изучение семейств теорий и их аппроксимации, введением рангов и степеней для семейств теорий [12], аналогичных рангу и сте- пени Морли, а также рангу и степени Кантора-Бендиксона, кроме того введено понятие тотально трансцендентного семейства теорий. Эти ранги и степени иг- рают аналогичную роль для семейств теорий, с иерархиями для определимых семейств теорий, как иерархии Морли для фиксированной теории, хотя они имеют свои особенности. Поставлена следующая проблема:
Проблема 2. Описать иерархию рангов RS(·) для естественных се- мейств теорий.
Ранг для семейств теорий, можно рассматривать как меру сложности или богатства семейств. Таким образом, повышая ранг за счет расширения семейств, можно производить более богатые семейства, получая семейства с бесконечным рангом, который можно считать «достаточно богатым».
Следует отметить активно развивающуюся в последнее время область исследования псевдоконечных структур, связанную с аппроксимациями струк- тур. В 1950-60 годы активно исследованы элементарные теории конечных полей, особенно, поля F, обладающих тем свойством, что каждое абсолютно неприводимое многообразие над F имеет точку, определенную над F. В 1967 году Ю.Л. Ершов поле с таким свойством назвал регулярно замкнутым [13]. Примерами регулярно замкнутых полей являются сепарабельно замкнутые поля и бесконечные поля, удовлетворяющие всем аксиомам теории конечных полей. Регулярная замкнутость последних является следствием глубокого фак- та — теоремы Вейля о гипотезе Римана для кривых над конечными полями. Это было также отмечено независимо Дж. Аксом.
Дж. Акс [14] показал, что ультрапроизведения, которые преобразуют классы конечных структур в бесконечные «регулярно замкнутые» структуры наследуют свойства классов и поддаются теоретико-модельным методам с при- ложениями для конечных структур. Следует отметить, что в разных статьях это понятие называется по-разному (Σ-поля, аксовы поля), позже в зарубеж- ных работах такие поля стали в основном называться псевдоалгебраически замкнутыми (PAC) [15; 16]. Алгебраические свойства регулярно замкнутых полей (PAC) достаточно полно изучены в работах Ю.Л. Ершова [17—19], Г. Черлина, Л. ван ден Дриса и А. Макинтайра [20], З. Шатзидакис [21], А. Пиллэя и Д. Полковска [22], Э. Хрушовского [23].
Интересные классы регулярно замкнутых (PAC) полей более сильными свойствами, а также алгебраические и теоретико-модельные свойства псевдоал- гебраически замкнутых полей неявно изучены в работах М. Жардена [24—26], М. Жардена совместно С. Шелахом [27], Г. Фрея [28], К. Кифа [29], У.Г. Уиллера [30; 31]. Более подробно это изучено в книге M. Фрида и M. Жардена [32].
В 1968 году Дж. Акс впервые ввел понятие псевдоконечности [33], чтобы показать разрешимость теории всех конечных полей, обобщая алгоритм раз- работанной в [14] и используя теорему Вейля о гипотезе Римана для кривых над конечными полями, а также теорему плотности Чеботарева. Он назвал поле F псевдоконечным, если оно является квазиконечным [34] (совершенным с единственным расширением каждой положительной степени), и псевдоалгеб- раически замкнутым (PAC) (каждое абсолютно неприводимое многообразие над F имеет точку, определенную над F, то есть, регулярно замкнутым). Свойство псевдоалгебраической замкнутости или регулярной замкнутости выражается конъюнкцией предложений первого порядка, каждое из которых, по оценкам Ленга-Вейля [35], имеет место в достаточно больших конечных полях, и поэтому каждое из них должно выполнятся в любом псевдоконечном поле. Важным фактом является обратное: любое поле, удовлетворяющее этим двум условиям, удовлетворяет каждому предложению, истинному для всех конечных полей. Дж. Акс установил, что псевдоконечное поле элементарно эквивалентно бесконечному ультрапроизведению конечных полей. Также пока- зал, что существует алгоритм, позволяющий решить, выполняется ли данное предложение для всех конечных полей. После этого появилась новая область исследования — бесконечные структуры, удовлетворяющие аксиомам теории конечных структур. Такие структуры называются псевдоконечными.
Псевдоконечные структуры в явном виде после Дж. Акса долгое время не изучались. До 1990-х годов получены лишь несколько результатов по этой тематике и самым первым результатом является результат Б.И. Зильбера [36; 37] утверждающий, что тотально категоричные структуры псевдоконечны.
Теорема Ж. Дюре [38] гласит, что теория любого псевдоалгебраически замкнутого (PAC) поля, не являющегося сепарабельно замкнутым, обладает свойством независимости, то есть, Ж. Дюре показал, что теория псевдоконеч- ных полей нестабильна.
Одним из первых результатов в теории классификации псевдоконеч- ных структур является знаменитая теорема Г. Черлина, Л. Харрингтона и А. Лахлана [39], обобщающая теорему Зильбера на класс א0-стабильных א0-категоричных структур, о том, что ω-категоричные ω-стабильные теории являются псевдоконечными. Также они доказали, что такие структуры гладко аппроксимируются конечными структурами.
Гладко аппроксимируемые структуры являются естественным обощени- ем א0-категоричных א0-стабильных структур. В 1989 году У. М. Кантором, М. У. Либеком и Д. Макферсоном [40] дана классификация примитивных א0-категоричных структур, которые гладко аппроксимируются цепочкой конеч- ных однородных подструктур. А в 1991 году Д. Макферсон [41] предположил, что конечно аксиоматизируемая א0-категоричная теория обладает свойством строгого порядка, что в дальнейшем обобщит часть результата Г. Черлина, Л. Харрингтона и А. Лахлана.
Измеримая структура [42] — это структура, снабженная функцией, которая присваивает размерность и меру каждому определимому множеству, которое является равномерно определимым в терминах своих параметров и удовлетворяет определенным условиям, аналогичным тем, которым удо- влетворяют ультрапроизведения конечных полей. Некоторые измеримые структуры могут быть построены как ультрапроизведения структур в од- номерном асимптотическом классе и являются псевдоконечными SU-ранга 1. Изучение асимптотических классов проистекает из глубокого применения З. Шатзидакис, Л. ван ден Дрисом и А. Макинтайром [43] оценок Ленга – Вейля и работы Дж. Акса. Существует интересный пример Р. Элвеса [44] измеримой структуры, состоящей из структуры с двумя различными псевдо- конечными полевыми структурами (на непересекающихся языках) с разными простыми характеристиками, которая не элементарно эквивалентна никакому ультрапроизведению асимптотического класса. Асимптотические классы ко- нечных структур и измеримых структур были введены Д. Макферсоном и Ч. Стэйнхорном [45] с целью разработки теории моделей для классов конечных структур, которая отражает современные теоретические разделы бесконечных моделей. Более подробно это представлено в обзоре Р. Элвеса, Д. Макферсона, З. Шатзидакис, А. Пиллэя, А. Уилки [46].
Теория геометрической стабильности родилась на основе псевдо- конечных структур. Основным инструментом Б. Зильбера была теория размерности [47], основанная на ранге Морли и старшем коэффициенте полинома Зильбера, подсчитывающем точки в конечных аппроксимациях. Хрушовский [48] исследует понятие псевдоконечной размерности [49], вве- денное вместе с Ф. Вагнером, которое формирует точку входа в связь теории моделей и комбинаторики. Также обновляются открытые проблемы псевдоко- нечных (квазиконечных) структур из [50] в контексте теории геометрической стабильности. В 2015 году Д. Макферсон, Д. Гарсия и Ч. Стейнхорн в работе [51] исследует понятие псевдоконечной размерности (называемое квазиконечной размерностью), примененное Хрушовским в [52] для аппроксимации подгрупп с перспективными дальнейшими направлениями. А. Пиллэй доказал [53], что сильно минимальная псевдоконечная структура унимодулярна, следовательно, по теореме Хрушовского [54] локально модулярна. А. Пиллэем [55] введены по- нятия слабо, строго и сильно псевдоконечной структуры. Значительный обзор в теорию моделей конечных структур дан в работе Э. Росена [56]. В работе Ю. Вяанянена [57] утверждается, что псевдоконечные структуры являются хоро- шой основой для изучения логики первого порядка на конечных структурах. Б.Ш. Кулпешов и С.В. Судоплатов [58] доказали, что теория T бесконечной линейно упорядоченной структуры M = ⟨M; <⟩ псевдоконечнa тогда и только тогда, когда M не имеет плотных частей и M имеет как наибольшие, так и наименьшие элементы.
Работа Дж. Акса привела к важным достижениям в теории моделей полей и в арифметике полей. Фактически в псевдоконечных полях размер- ность соответствует SU-рангу. Это было по существу известно Хрушовскому, который разработал анализ псевдоконечных полей в стиле стабильности [23]. З. Шатзидакис, Э. Хрушовский и Я. Петерзил в работе [59] показали, что псевдоконечное поле имеет SU-ранг 1. Э. Хрушовский и Г. Черлин изучают псевдоконечные структуры как гладко аппроксимируемые структуры, которые аппроксимируются конечными структурами [50; 60]. В 1997 году З. Шатзида- кис [61] дала полный обзор полученных результатов в теории моделей конечных и псевдоконечных полей. В последние годы теоретико-модельные и алгебра- ические свойства конечных и псевдоконечных полей активно изучаются М. Райтеном [62], В. С. Лопесом и Л. ван ден Дрисом [63], О. Бейарсланом и Э. Хрушовским [64], Тинсян Цзоу [65], Э. Хрушовским [66] и А. Крюкманом [67].
Теория моделей конечных и псевдоконечных полей изучается достаточно. В своей диссертации Р. Белло-Агирре [68] представляет результаты, способ- ствующие началу изучения теории моделей конечных и псевдоконечных колец.
С 1993 года обнаружена тесная связь между алгебраическими и теоре- тико-модельными свойствами псевдоконечных полей и псевдоконечных групп. Дж. Вильсон [69] показал, что существует тесная связь между простыми псев- доконечными группами и псевдоконечными полями. В частности, он доказал, что всякая простая псевдоконечная группа элементарно эквивалентна группе Шевалле над псевдоконечным полем. Результаты, полученные Ф. Пуан [70] в 1999 году, могут быть использованы для классификации простых псевдо- конечных групп. Алгебраические и теоретико-модельные свойства конечных и псевдоконечных групп исследованы Э. Хрушовским с А. Пиллэем [71], Д. Макферсоном и К. Тент [72; 73], Д. Макферсоном, Р. Элвесом, Э. Жалигот и М. Райтеном [74]. В 2018 году Д. Макферсон делает большой обзор [75] по теории моделей конечных и псевдоконечных групп с открытыми вопросами и дополнительными направлениями по этой тематике. Ин.И. Павлюк и С.В. Судоплатов [76] охарактеризовали псевдоконечные абелевы группы в терминах шмелёвских инвариантов. Целью данной работы является исследование теоретико-модельных и то- пологических свойств семейств теорий.
Научная новизна: Все основные результаты являются новыми, снабже- ны полными доказательствами и своевременно опубликованы.
Методология и методы исследования. Для достижения поставлен- ной цели исследования предлагаются методы теории моделей, основанные на использовании классических и новых понятий общей теории моделей, таких как аксиоматизируемость, полнота, модельная полнота, стабильность, тотально трансцендентность, псевдоконечность; различные теоретико-модельные кон- струкции, такие как прямые произведения, ультрапроизведения, элементарные расширения; методы общей топологии.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Построены семейства теорий подстановок, имеющее данный счетный ранг и данную степень n. Доказано, что в семействе теорий под- становок любая теория является теорией конечной структуры или аппроксимируется теориями конечных структур. Получен критерий псевдоконечности локально свободных алгебр. Результаты получены лично и опубликованы в [1; 2].
2. Получены характеристики и динамика относительно ранга и степе- ни определимых предложениями и определимых диаграммами под- семейств заданных семейств теорий, а также исчисления для этих подсемейств. Охарактеризованы топологические свойства и ранги ал- гебр, связанные с определимыми предложениями и диаграммами подсемейств семейств теорий. Результаты получены в неразделимом соавторстве с Судоплатовым С.В. и опубликованы в [3; 4].
3. Описаны топологические свойства, ранги, замыкания и их динамика для семейств теорий. Дана характеризация видов топологий семейств теорий. Установлена связь рангов с топологиями для семейств теорий. Рассмотрены булевы комбинации s-определимых семейств теорий, опре- делены ранги и степени относительно этих семейств, описаны значения этих характеристик. Изучены замыкания семейств теорий относитель- но s-определимых подсемейств и их булевых комбинаций, описаны свойства операторов замыкания, а также охарактеризовано условие су- ществования наименьшего порождающего множества. Описаны ранги и степени для семейств всех теорий произвольно заданных сигнатур. Ре- зультаты получены в неразделимом соавторстве с Судоплатовым С.В.
и опубликованы в [5-7].
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались
на семинарах «Теория моделей» имени Е.А. Палютина Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, на семинарах «Алгебра и Логика» Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН. Результаты работы также докладывались на конференциях: Традиционная международная конференция «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2018-2020 гг.), Традиционная междуна- родная апрельская математическая конференция в честь Дня работников науки Республики Казахстан, (Алматы, 2019-2020 гг.), Международная конференция «Алгебра и математическая логика: теория и приложения», (г. Казань, 24-28 июня 2019 г.), 16-я Азиатская логическая конференция (Нур-султан, Казахстан, 2019 г.), 13-я Международная летняя школа-конференция «Пограничные во- просы теории моделей и универсальной алгебры» (Эрлагол-2019, Алтай), 14-я Международная летняя школа-конференция «Пограничные вопросы теории мо- делей и универсальной алгебры», посвященная 75-летию профессора Б. Пуаза (Эрлагол-2021, Алтай), 16-й Международный конгресс по логике, методологии и философии науки и технологий, г. Прага, 5–10 августа 2019 г.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в ра- ботах [1–15]. Работы [1] и [3–6] изданы в журналах, рекомендованных ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опуб- ликованы основные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук, а также индексируемых в наукометрических си- стемах (Scopus, Web of Science и т.д.), работа [2] — в сборнике Эрлаголской конференции «Algebra and Model Theory 12», работа [7] — в журнале, индекси- руемый базами Scopus и Web of Science не из списка ВАК РФ. Работы [3–9] и [11–15] написаны в неразрывном сотрудничестве с Судоплатовым С.В.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключений. Полный объём диссертации составляет 107 страниц. Список литературы содержит 88 наименований.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, д.ф.-м.н., доценту Судоплатову Сергею Владимировичу за ценные советы и замечания при планировании исследования и всестороннюю помощь при работе над диссертацией. Автор выражает признательность всем участни- кам семинара «Теория моделей» им. Е.А. Палютина за множество ценных замечаний и предложений.
Читать «Теоретико-модельные и топологические свойства семейств теорий»
Публикации автора в научных журналах
Помогаем с подготовкой сопроводительных документов
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.6 (71 отзыв)
4.5 (330 отзывов)
4.8 (30 отзывов)
5 (49 отзывов)
4.3 (248 отзывов)
4.8 (37 отзывов)
4.8 (105 отзывов)
5 (44 отзыва)
4.9 (35 отзывов)
