Моделирование транспортных свойств полимерных композитов с углеродными нанонаполнителями

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводи­
мых в рамках данной диссертационной работы, формулируются цель, задачи,
научная новизна, теоретическая и практическая значимость представляемой
работы.
Первая глава посвящена обзору литературы по теме газодиффузион­
ного транспорта в гетерогенных средах. Основное внимание сфокусировано
на транспорте газов в полимерных мембранах с углеродными нанотрубками.
Хотя значительное число вопросов, посвященных тем или иным аспектам
этой задачи, было исследовано, универсальная модель газового транспорта в
таких средах до сих пор не разработана. Вероятно, основной проблемой здесь
является большой разрыв между серией экспериментальных исследований и
сложным математическим аппаратом, который в основном используется для
описания транспорта в неупорядоченных средах. В связи с чем глава была
разделена на две части – первая представляет собой обзор физических под­
ходов к описанию транспорта в таких гетерогенных средах, а вторая – обзор
математических методов.
В первой части приведена краткая информация о транспортных
свойствах полимерных нанокомпозитов с углеродными нанонаполнителями.
В работах [1; 5—8] показано, как транспортные характеристики гетероген­
ных полимерных систем (проницаемость, коэффициент диффузии, проводи­
мость и др.) меняются в зависимости от концентрации нанонаполнителя.
Каждая из представленных работ показывает, что в определенной весьма
узкой окрестности концентраций наполнителя наблюдается существенное из­
менение этих макроскопических транспортных характеристик. Обычно это
изменение связывают с образованием в системе перколяционного кластера.
Концентрация наполнителя, при которой формируется перколяционный кла­
стер, может быть определена с помощью теории перколяции. При построении
перколяционной модели может быть учтено множество структурных особен­
ностей системы: размерность системы, геометрическая форма объектов за­
полнения, пространственное распределение объектов, степень их перекрытия
и др. В первую очередь перколяционная теория отвечает на вопросы, связан­
ные со структурными особенностями рассматриваемой системы. Вопросы же,
касающиеся транспортных свойств, тесно связаны со структурными парамет­
рами гетерогенной среды. Однако, наблюдаемые особенности транспорта не
всегда могут быть описаны в рамках одной лишь теории перколяции. Поэто­
му, при разработке транспортной модели гетерогенных сред, структурные и
транспортные параметры (режимы) должны быть учтены в совокупности.
Как было показано в [1], существуют три пути для диффузии частиц
газа в полимерных УНТ-мембранах – диффузия в полимерной матрице, диф­
фузия в УНТ, и, кроме того, диффузия может осуществляться по межфаз­
ным пустотам, образуемым между матрицей полимера и УНТ. В каждом
из этих случаев перенос молекул осуществляется по-разному. Поскольку, в
чистом полимере наблюдается обычная диффузия, причину возникновения
особенностей в режиме транспорта логично связать с влиянием наполните­
ля – УНТ. Для понимания этой причины возможные режимы переноса в
УНТ или межфазных УНТ-областях были рассмотрены отдельно [2—4]. На
основе анализа этих работ можно предположить, что в УНТ-областях будет
осуществляться баллистический режим переноса, в то время как в полимере
будет реализовываться режим обычной фиковской диффузии.
Во второй части рассматриваются математические методы, исполь­
зуемые для описания различных процессов переноса. Одним из наиболее рас­
пространенных методов здесь является так называемый подход непрерывных
блужданий в случайном времени (CTRW – Continuous-time random walk).
Этот подход фактически представляет собой математическое описание слу­
чайного процесса и может быть реализован методом Монте-Карло при из­
вестных распределениях частицы по длинам прыжков и временам ожидания
между ними. В разделе продемонстрированы работы, использующие этот под­
ход для моделирования процессов переноса на перколяционных структурах
[9—11], а также показано, что такие процессы преимущественно связаны с
режимом аномальной диффузии.
В работах [12—16] представлены аналитические методы исследования
процессов транспорта в неупорядоченных средах. Здесь показано, что урав­
нения, используемые для описания транспортных процессов в таких средах,
как правило, представляют собой уравнения в дробных производных. Вывод
этих уравнений так же, как и для CTRW подхода, основан на известных
распределениях частицы – по длинам прыжков, временам ожидания между
ними и/или по скоростям. А их решение в большинстве случаев невозможно
получить аналитическими методами. Таким образом, описание процессов пе­
реноса в неупорядоченных средах требует дальнейших исследований, в том
числе развития соответствующего математического аппарата.
Во Второй главе представлены результаты исследования транспор­
та газа в полимерных мембранах с УНТ. В главе последовательно изложены
вопросы моделирования структуры неупорядоченных сред (первая часть),
двумерная модель транспорта, реализованная при помощи CTRW подхода
методом Монте-Карло (вторая часть), и аналогичная одномерная модель, изу­
ченная аналитическими методами (третья часть).
Первая часть посвящена вопросам моделирования перколяционных
систем. Представлена методика моделирования, при помощи которой было
реализовано вычисление порогов перколяции. Исследованы прямоугольные
и квадратные 2D системы, где в качестве объектов заполнения выступают
диски, отрезки и прямоугольники. Для некоторых объектов получено реше­
ние задачи «вишневых косточек» – влияние соотношения твердой и прони­
цаемой оболочек на перколяционный порог. Также была исследована задача
проницаемых 3D капсул.
На системах, заполняемых проницаемыми дисками и отрезками, бы­
ла проведена верификация результатов и отладка алгоритма расчета пер­
коляционного порога. Затем данный алгоритм был использован для оцен­
ки порога перколяции в системе, заполняемой полупроницаемыми прямо­
угольниками (двумерная задача), и в системе, заполняемой проницаемыми
капсулами (трехмерная задача). Для системы линейного размера = 15,
заполняемой полупроницаемыми прямоугольниками с параметрами = 1,
= 0.1, = 0.05, где – длина прямоугольника, – ширина внутренней
оболочки и – ширина внешней оболочки, порог перколяции был оценен как
= 0.54 ± 0.01. Для трехмерных систем, заполняемых проницаемыми капсу­
лами с аспектным отношением = 100, порог перколяции так же был оценен
– ≈ 0.007, полученная оценка согласуется с [17].
Из сравнения с экспериментальными данными можно заключить, что
перколяционные модели довольно хорошо описывают изменение свойств, свя­
занных с перколяционным переходом в различных полимерных системах с
УНТ. Поэтому представленный алгоритм расчета перколяционных порогов
может быть использован для моделирования перколяции в полимерных УНТ­
структурах.
Во второй части полученные в перколяционной модели данные бы­
ли использованы в качестве структуры, на которой будет осуществляться
перенос. На основе анализа работ, приведенных в первой главе, предполага­
лось, что в полимере реализуется диффузионный перенос, а в УНТ областях
– баллистический. Таким образом, на 2D структуре, заполненной полупро­
ницаемыми прямоугольниками, методом Монте-Карло было реализовано мо­
делирование случайного процесса, отвечающее комбинированному диффузи­
онно-баллистическому режиму.
Полученные результаты моделирования были проанализированы для
разных концентраций наполнителя. В первую очередь этот анализ был связан
с формой полученных распределений – было установлено, что они принадле­
жат классу устойчивых распределений. Для подтверждения этих выводов
выполнялась аппроксимация с помощью функции, параметризованной с ис­
пользованием устойчивого распределения [18]:
[︁(︁(︁ )︁)︁]︁

( ) = exp − | | 1 − sgn( ) tan,(1)
где −∞ < < ∞, ≥ 0,0 < ≤ 2, − 1 ≤ ≤ 1 – параметры распределения. Характеристический показатель определяет форму функции распре­ деления, параметр локализации – положение максимума распределения, масштабный параметр – ширину распределения, и параметр скошенности определяет степень асимметрии. При = 2 устойчивое распределение переходит в распределение Гаус­ са. Поскольку отличие в форме распределений между распределением Гаусса и устойчивым распределением определяется характеристическим показате­ лем , дальнейший анализ был сведен к его вычислению – был вычислен с помощью метода максимального правдоподобия. Полученные результаты показали, что 1 < ≤ 2, в зависимости от плотности прямоугольников . Ниже, в соответствии с терминологией Золотарева и Учайкина [19], прямо­ угольники называются ловушками. На Рисунке 1 показана зависимость характеристического показателя от плотности ловушек для случаев конечных скоростей и мгновенных пе­ ремещений в ловушках. В отсутствии ловушек ( = 0) характеристический показатель = 2, что соответствует распределению Гаусса, тогда как для > 0 были получены устойчивые распределения с < 2. Этот результат соответствует эффективному ускорению частицы в ловушках и показывает переход от режима обычной диффузии к режиму супердиффузии. Эффект конечной скорости в ловушках слегка замедляет процесс ускорения по срав­ нению со случаем мгновенных перемещений, как показано в [19]. Это замед­ ление проиллюстрировано на Рисунке 1. Видно, что уменьшение скорости соответствует увеличению характеристического показателя ( ). Это увели­ чение связано с уменьшением среднего квадрата смещения частицы. Однако, несмотря на тот факт, что конечная скорость замедляет частицу по сравне­ нию со случаем мгновенных перемещений, форма распределения прыжков в ловушках остается устойчивой [19]. Из Рисунка 1 можно видеть, что скорость слабо влияет на параметр для плотности < 0.3. Однако, когда > 0.3, изменения в скорости имеют
значительное влияние на форму устойчивого распределения. Этот эффект
может быть связан с формированием кластеров связанных ловушек (в том
числе перколяционного кластера) при увеличении плотности ловушек: кла­
стеры создают путь, вдоль которого частица будет пролетать через кластер,
что увеличивает эффективную скорость ее перемещения. Образование кла­
Рис. 1 — Характеристический показатель устойчивого распределения как
функция плотности прямоугольных ловушек в случае мгновенных
перемещений и для безразмерных скоростей = 100, = 0.1.

стера связанных ловушек при = 0.54 ± 0.01, через которые реализуется
баллистический транспорт, позволяет частице улетать на большие расстоя­
ния, в отличие от ситуации, где кластер не сформирован. Таким образом,
на среднеквадратичное смещение частицы влияют два фактора: образование
кластеров связанных ловушек и баллистический режим движения. Однако,
поскольку отклонение от значения 2 наблюдается даже при достаточно
малых плотностях , можно сделать вывод, что полученные устойчивые рас­
пределения в первую очередь обусловлены именно баллистическим режимом
переноса частиц внутри ловушек.
Основные выводы этого раздела состоят в том, что при выбранном
диффузионно-баллистическом режиме переноса в гетерогенной среде, распре­
деления частицы по смещениям принадлежат классу устойчивых распределе­
ний. Также исследовано влияние основных параметров – плотности ловушек
и скорости частиц в ловушках на вид полученного устойчивого распределе­
ния. Таким образом, предложенная модель объясняет механизм возникнове­
ния аномального транспорта в гетерогенной среде и может быть применена
для описания транспорта газа в полимерных средах с УНТ.
В третьей части аналогичная 1D задача была решена аналитически­
ми методами. Для этого из системы стохастических уравнений было выведе­
но модифицированное уравнение Клейна-Крамерса, отвечающее диффузии в
гетерогенной полимерной среде с УНТ, а затем был осуществлен переход к
уравнению Фоккера-Планка на больших временных масштабах.
Механизм перемещения частицы организован таким же образом, как и
в предыдущем разделе: частица стартует в точке = 0, а затем, если частица
находится в области полимера, реализуется режим обычной диффузии, а в
областях, отвечающих УНТ, реализуется баллистический режим (Рисунок 2).
Также здесь существует небольшое отличие от предыдущей модели: скорость,
с которой частица перемещается в областях УНТ, определяется скоростью,
с которой частица влетела в УНТ (в предыдущем случае эта скорость была
фиксированной).

Рис. 2 — 1D гетерогенная система с чередующимися УНТ и полимерными
областями. УНТ – серый, полимер – черный.

Случайный процесс, который описывается этим комбинированным ре­
жимом перемещения, для представленной 1D системы может быть записан с
помощью системы стохастических уравнений:

= ,
(2)
= ( )(− + ),

где – скорость частицы; – коэффициент затухания, обратно пропорци­
ональный времени релаксации; ( ) – функция, соответствующая распре­
делению УНТ на прямой; – Винеровский процесс и его дисперсия,
√
= , где ∼ (0,1) – распределение Гаусса со средним значением
0 и дисперсией 1.
Поскольку переход от стохастических уравнений (2) к уравнению на
плотность вероятности требует гладкости функции, то для устранения раз­
рывности, функция ( ) определяется как:
∑︁
( ) = 1 −( ( − 2 ) − ( − 2 +1 )) ,
(3)
( ) = (1 + tanh( )) .
Теперь ( ) является гладкой функцией и для больших значений стремит­
ся к 1 для полимерных областей и к 0 для УНТ областей. В то же время ( )
нигде не равна нулю. В этом случае может быть осуществлен переход от (2)
к уравнению Фоккера-Планка (4):

1
= ,(4)

где = 2 /2 2 – обычный коэффициент диффузии в полимере, а ( , ) –
плотность вероятности:
∫︁∞
( , ) = ( , , ) ,(5)
−∞

Для решения уравнения (4) был осуществлен переход к безразмерным
величинам. Затем было получено численное решение безразмерного уравне­
ния (4), и результирующие функции распределения вместе с распределением
Гаусса и пространственной функцией представлены на Рисунке 3 для слу­
чаев одной, двух, трех и четырех УНТ.
Для этой модели были выбраны следующие параметры. Граничные
условия (∞, ) = (−∞, ) = 0, начальное условие ( ,0) = ( ), время рас­
чета = 20 и коэффициент диффузии = 10−2 . Параметр пространственной
функции (степень аппроксимации функции Хэвисайда) (3) – = 10. Ко­
ординаты УНТ представлены в Таблице 1.
Как можно видеть из Рисунка 3, функция распределения, полученная
из (4), не изменяется для областей, где локализованы УНТ (исключая гра­
ницы). Этот эффект продемонстрирован для разного числа трубок. Таким
образом, показано, что для финальной функции распределения могут быть
получены различные результаты. Это связанно не только с количеством УНТ,
но также с их размером и пространственным расположением относительно
= 0.
Таблица 1 — Параметры четырех моделей, представленных на Рисунке 3:
первая колонка – название модели, соответствующее модели на Рисунке 3;
вторая колонка – координаты УНТ; третья и четвертая колонки –
параметры, полученные из аппроксимации среднего квадрата смещения:
⟨ 2 ⟩ ≃ 2 .
МодельКоординаты
а 0 = 0.75, 1 = 1.75 0.01033 1.168
0 = 0.75, 1 = 1.75
б0.02203 1.069
−1 = −0.5, −2 = −1.5
0 = 0.75, 1 = 1.75
в −1 = −0.5, −2 = −1.5 0.01946 1.137
−3 = −2, −4 = −3
0 = 0.75, 1 = 1.75
−1 = −0.5, −2 = −1.5
г0.01328 1.343
−3 = −2, −4 = −3
2 = 2, 3 = 4.5

На Рисунке 3 показано, что увеличение количества УНТ приводит к
увеличению отклонения от функции распределения Гаусса. Очевидно, что
это отклонение должно изменять средний квадрат смещения – он будет от­
клоняться от линейной временной зависимости. Результаты полученных вы­
числений подтверждают это (Рисунок 4 а). Затем была произведена аппрок­
симация среднего квадрата смещения степенной функцией ⟨ 2 ⟩ = 2 , полу­
ченные и представлены в Таблице 1. Однако, как было отмечено выше,
пространственная конфигурация УНТ также влияет на финальную функцию
распределения. Вследствие чего показатель немонотонно зависит от числа
трубок.
Обычно, точные положения УНТ из экспериментальных данных не
могут быть получены, однако, известно, что в экспериментах пытаются до­
стичь равномерного распределения наполнителя в полимере. Поэтому можно
усреднить функции распределения по различным пространственным УНТ
конфигурациям, которые имеют равномерное пространственное распределе­
ние. В результате финальная функция распределения сглаживается и больше
не является постоянной функцией на каких-либо областях. Эта функция рас­
пределения представлена на Рисунке 4 б вместе с функцией распределения
Гаусса. Затем полученная функция была аппроксимирована как устойчивое
0.60.6

0.40.4

0.20.2
-505-505
xx
а)б)

0.60.6

0.40.4

0.20.2
-505-505
xx
в)г)
Рис. 3 — Влияние пространственной функции на функцию распределения
. Распределение Гаусса – штриховая красная линия, функция
распределения, полученная из (4) – пунктирная линия, пространственная
функция ( )/15 представлена сплошной линией. а) одна УНТ, б) две УНТ,
в) три УНТ, г) четыре УНТ.

распределение, характеристическая функция которого имеет вид (1). Аппрок­
симация дает параметры = 1.845, = −0.016, = 0.477, = 0.002 для
усредненной плотности вероятности и = 2, = −0.02, = 0.429, = 0.001
для распределения Гаусса, как и должно быть. Таким образом, здесь полу­
чен результат, качественно согласующийся с результатом, представленным в
предыдущем разделе.
Для трехмерного случая задачи переноса в диффузионно-баллистиче­
ском режиме были выполнены некоторые предварительные оценки для коэф­
фициентов диффузии. Полученные величины коэффициента диффузии попа­
дают в диапазон экспериментально наблюдаемых значений. Однако, для бо­
лее точного количественного прогноза необходима разработка и реализация
1.5г0.6
0.5
в
1б0.4
x2

0.3
а
0.50.2
0.1
01020-202
tx
а)б)
Рис. 4 — а) Средний квадрат смещения как функция времени. Сплошные
линии: а) Одна трубка, б) две УНТ, в) три УНТ, г) четыре УНТ; штриховая
красная линия соответствует линейной временной зависимости среднего
квадрата смещения;
б) Пунктирная красная линия – функция распределения, полученная из
уравнения (4), усредненная по различным пространственным
конфигурациям для УНТ фиксированной длины; круги – результаты
аппроксимации в соответствии с формулой (1); штриховая линия – функция
распределения Гаусса.

более сложного алгоритма, что сопряжено со значительными техническими
трудностями.
В третьей главе рассмотрена задача об электрическом транспорте,
которая нацелена на определение проводимости полимер-УНТ композитов.
Моделирование проводимости было осуществлено в рамках многомасштабно­
го подхода для полиимида R-BAPB с одностенными УНТ с хиральностью
(5,5). Расчет начинается с молекулярно-динамического моделирования зави­
сящих от времени флуктуирующих атомных конфигураций контактов УНТ,
заполненных полимером. Затем положения атомов, полученные на первом
этапе, используются в качестве входных данных для первопринципных мик­
роскопических расчетов контактных сопротивлений между УНТ с использо­
ванием метода квантового переноса, основанного на использовании функции
Грина. И, наконец, эти контактные сопротивления используются в качестве
входных данных для статистического расчета проводимости ансамбля УНТ
с использованием перколяционной модели.
Первопринципные расчеты контактного сопротивления между УНТ,
заполненными полимером, были выполнены для трех конфигураций, где угол
между осями УНТ равен /2, /4, 0. В случае пространственной агломера­
ции плотность наполнителя задается формулой:

= 0 · exp(−(r − r0 )2 / 2 ),(6)

где 0 – геометрический центр объема моделирования, 0 – параметр, выбран­
ный таким образом, чтобы в случае неоднородного распределения объемная
доля УНТ была такой же, как и для однородного распределения, = /12,
– размер системы.
На Рисунке 5 представлена зависимость рассчитанной проводимости
композита от объемной доли УНТ. Значение порога перколяции оценивает­
ся в данной работе как ℎ ℎ = 0.007. Чтобы сравнить результаты этой ра­
боты с результатами, представленными в работе [20], была рассчитана прово­
димость композита, с фиксированной проводимостью контакта УНТ, равной
1 MОм для всех контактов в перколяционной сети. Результаты, представлен­
ные на Рисунке 5 красными кружками, совпадают с графической точностью
с результатами [20], показанными красными квадратами.
Если считать, что каждый контакт соответствует параллельной кон­
фигурации УНТ, то значение контактного сопротивления 1/⟨ ⟩ = 0.54 МОм.
Зависимость ( ) для фиксированного контактного сопротивления 0.54 МОм
показана на Рисунке 5 черными треугольниками.
Учет угловой зависимости в проводимости контактов УНТ со стати­
стическими параметрами, полученными из первопринципных расчетов, при­
водит к снижению проводимости композита чуть выше порога перколяции
примерно в 30 раз. Расчетная удельная проводимость композита чуть выше
порога перколяции без учета агломерации при = 0.0075 равна 3.6 · 10−3
См/м. Это значение было получено при фиксированном расстоянии (6 Å)
между УНТ.
Если в дополнение к угловой зависимости проводимости учитывает­
ся пространственная агломерация УНТ, моделируемая неоднородностью их
распределения по формуле (6), проводимость дополнительно снижается в 2.5
раза. Результаты расчета проводимости для случая агломерированных УНТ
показаны на Рисунке 5 зелеными пятиугольниками. Таким образом, учет аг­
ломерации сместил бы значения проводимости чуть выше порога перколяции
ближе к 1.5 · 10−3 См/м.
σ, См/м

10-1
10-22

10-34
10-4

10-5
00.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
η
Рис. 5 — Проводимость нанокомпозитов с УНТ выше порога перколяции.
Расстояние между УНТ равно 6 Å для красных, черных, синих и зеленых
символов и 8 Å– для сиреневых и розовых. Красные круги – фиксированные
сопротивления контактов между УНТ: = 1 МОм; красные квадраты –
значения проводимости для фиксированного контактного сопротивления
между УНТ: = 1 МОм из [20]; черные треугольники – то же, что и
красные круги, но для = 0.54 МОм, соответствующего среднему
значению контактного сопротивления между УНТ для параллельной
конфигурации; синие ромбы – учитывается зависимость сопротивления от
угла между осями УНТ; зеленые пятиугольники – в дополнение к угловой
зависимости рассматривается агломерация нанотрубок; сиреневые
треугольники – используется среднее значение контактного сопротивления
для параллельной конфигурации с расстоянием между УНТ, равным 8 Å с
учетом всех эффектов, описанных выше; розовые круги – результаты
экспериментов из работ: 1 – [21], 2 – [22], 3 – [23], 4 – [24].

Наиболее важными параметрами, влияющими на контактное сопротив­
ление УНТ, являются расстояние между УНТ и размер УНТ. В настоящей
работе были проведены прямые расчеты контактных сопротивлений УНТ, за­
полненных полимером, и соответствующих проводимостей композита с рас­
стояниями между УНТ, равными 6.0, 7.0 и 8.0 Å. Для расстояний, равных 7.0
Å и 8.0 Å расчеты были проведены только для параллельных конфигураций
УНТ.
Для объемной доли полимера чуть выше порога перколяции, при уве­
личении расстояния между УНТ с 6.0 до 7.0 Å, проводимость композита ста­
новится значительно ниже – падает с 8.22 · 10−2 См до 8.26 · 10−3 См. При
дальнейшем увеличении расстояния до 8.0 Å, проводимость снижается в го­
раздо меньшей степени – до 4.50 · 10−3 См. Следовательно, при увеличении
расстояния между УНТ, проводимость композита стремится к некоторому
значению насыщения. Таким образом, было показано, что из полученных
расчетов путем экстраполяции можно получить оценку проводимости для
реальных композитов с УНТ, для которых расстояния между УНТ больше,
чем используемые в данной работе.
Аналогичные расчеты проводимости были выполнены для контактов
между УНТ с хиральностью (5,5) × (5,5) и (10,10) × (10,10). Оказалось, что с
увеличением радиуса УНТ при изменении хиральности проводимость изменя­
ется всего в 1.4 раза. Следовательно, с увеличением радиуса УНТ, можно ожи­
дать достижения некоторого предела проводимости. Таким образом, расчеты,
выполненные для УНТ с малым радиусом и малым индексом хиральности,
могут быть использованы для оценки проводимости реальных композитов, у
которых радиусы УНТ больше, чем используемые в данной работе.
Пока конкретные эксперименты для полиимида R-BAPB не проведе­
ны, можно сделать предварительное сравнение полученных результатов моде­
лирования с доступными экспериментальными результатами для различных
композитов. Расчетная проводимость композита чуть выше порога перколя­
ции при = 0.0075 равна 3.6 · 10−3 См/м. Это разумное значение, которое по­
падает в диапазон экспериментально наблюдаемых проводимостей композита
(подробное обобщение экспериментальных результатов см. в [25]). Для коли­
чественного сравнения результатов моделирования с экспериментами необ­
ходимы полные детали структуры нанокомпозитов. Все эти факторы могут
быть учтены в разработанной методике, если имеются достаточные вычисли­
тельные ресурсы.
В заключении приведены основные результаты работы, которые за­
ключаются в следующем:
1. На основе анализа экспериментальных данных было установлено,
что диффузия частиц газа в гетерогенной полимерной среде с уг­
леродными нанотрубками может быть представлена комбинирован­
ным диффузионно-баллистическим режимом.
2. Моделирование диффузионно-баллистического переноса в наноком­
позитных материалах методом Монте-Карло показало, что финаль­
ный режим соответствует режиму аномальной диффузии (а именно
– режиму супердиффузии).
3. Аналитическое исследование одномерной задачи переноса частиц
газа в диффузионно-баллистическом режиме показало, что режим
аномальной диффузии может быть получен без использования
дробно-дифференциального аппарата и без какого-либо предполо­
жения о типе распределений частицы по прыжкам и временам ожи­
дания между ними.
4. Многоуровневое моделирование в системах полимер-УНТ показало,
что электрическая проводимость при увеличении расстояния (6, 7,
8 Å) между УНТ в присутствии полимера достигает насыщения, а
при заданном расстоянии между поверхностями УНТ при увеличе­
нии диаметра УНТ с 6.78 Å ((5,5) хиральность) до 13.56 Å ((10,10)
хиральность) слабо зависит от размера УНТ.
5. Для выполнения поставленных задач были разработаны модели
для электрического и газодиффузионного транспорта, учитываю­
щие структурные особенности систем полимер-УНТ.