Полиномиальный метод синтеза регуляторов для многоканальных объектов с неквадратной матричной передаточной функцией

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, теоретическая и прак- тическая значимость работы, цель, основные задачи и методы исследования; рассмат- ривается научная новизна и положения, выносимые на защиту; апробация и внедрение результатов.
Первая глава посвящена изложению кратких сведений о синтезе регуляторов, в том числе многоканальных, обеспечивающих заданное расположение полюсов за- мкнутой системы (модальные методы синтеза регуляторов), к которому относится по- линомиальная методика синтеза, взятая за основу разрабатываемого алгоритма син- теза регуляторов для объектов с неквадратной МПФ. Приводятся различные матема- тические описания САУ, используемые при модальном синтезе: матричная передаточ- ная функция, описание в пространстве состояний и полиномиальное матричное описа- ние (ПМО), которое дано ниже для неквадратных моделей объектов и регуляторов:
Wo (s) = N(s)D(s)−1 = D(s)−1 N(s)
, Wr(s)=X(s)Y(s)−1 =Y(s)−1X(s)
, (1) где Wo (s)  R(s) pm , Wr (s)  R(s)m p – МПФ объекта и регулятора ( R(s)m p – множество матриц размерностью m p, элементы которых – рациональные функции от s ), D(s)  R[s]mm , D(s)  R[s]p p – правый и левый «знаменатели» ПМО объекта ( R[s]m p – множество матриц размером m p, элементы которых – полиномы от s с веществен- нымикоэффициентами), N(s), N(s)R[s]pm –правыйилевый«числители»ПМОобъ- екта; Y (s)  R[s]p p , Y (s)  R[s]mm – правый и левый «знаменатели» ПМО регулятора; X(s),X(s)R[s]mp –правыйилевый«числители»ПМОрегулятора.Полиномиальные
матрицы равносильны полиномам с матричными коэффициентами
D(s)=k Dsi , N(s)=k i
Nsi , D(s)=k

Dsi i
, N(s)=k Nsi
, ,
(2)
i=0 i=0
i=0 k
i=0 i=0
Y(s)=k Ysi , X(s)=
k
X si , Y(s)= i
Ysi i
,
X (s) =

i

i
k X si
i
где k – старшая степень «знаменателя» соответствующего ПМО.
i
i=0
i=0
i=0
Построение системы автоматического управления (САУ) возможно при разных вариантах связи объекта и регулятора. Основная часть исследования проведена для замкнутой системы «объект-регулятор в прямой связи», используя термин замкнутая система. Математическое описание модели объекта, регулятора и замкнутой системы через ПМО, позволяет провести аналогии между одноканальной и многоканальной си- стемой, которая заключается в возможности выразить «числитель» и «знаменатель», распространяя понятие нулей и полюсов на многоканальные системы.
Рассматриваются полиномиальные методики синтеза регуляторов полного, по- ниженного, повышенного порядков, также методики синтеза регуляторов для объек- тов с интервальными параметрами. Они применимы только на объекты с равным ко- личеством входов и выходов (объекты с квадратной МПФ, квадратные объекты, square object), то есть в уравнениях (1) количество входов и выходов равно m = p , при
этом, использовался один вариант описания замкнутой системы: правое полиномиаль- ное матричное разложение Wo (s) объекта и левое разложение Wr (s) регулятора. Задача
синтеза заключается в расположении полюсов замкнутой системы на комплексной плоскости в процессе решения матричного полиномиального уравнения
C(s) =Y(s)D(s)+ X(s)N(s)
, где полиномиальная матрица C(s) – характеристическая матрица замкнутой системы (ХМЗС) или «знаменатель» для замкнутой системы:
Wcl (s) = N(s)C(s)−1 X(s)
ное уравнение относится к диофантовым уравнениям, решение которого состоит в
, где Wcl (s)R(s)pp , C(s)R[s]mm . Матричное полиномиаль-
нахождении неизвестных Y(s)
Chen C.T. приводятся теоремы о необходимых условиях существования решения дио- фантового уравнения (регулятора), а также о выборе порядка регулятора.
Эти методики не применимы для неквадратных объектов, поэтому задача раз- работки нового алгоритма синтеза регуляторов для неквадратных объектов требует своего решения. Приводится обширный обзор математических моделей неквадратных объектов: перевернутый маятник на тележке (1 вход – 2 выхода)2, два перевернутых маятника на тележке (1 вход – 3 выхода), математический маятник с подвесом (1 вход – 2 выхода), иллюстративный пример объекта с тремя входами и двумя выходами, мо- дель управления велосипедом (2 входа – 1 выход). Представлен обзор иллюстративных примеров моделей неквадратных объектов, встречающихся во множестве источников, показывающий интерес исследователей к данной области синтеза линейных систем и большую распространенность неквадратных объектов.
Объекты с одним входом и несколькими выходами (SIMO) Wo (s)  R(s) p1 явля-
ются неквадратными, но из-за плохой разработанности методик синтеза для неквад- ратных объектов их могут рассматривать как одноканальные (SISO) многоконтурные (каскадные), для которых САУ строят, например, по принципу подчиненного регули- рования, широко распространенному в области электропривода. Принцип заключается в разбиении модели объекта на контуры, выход каждого контура yi (s) , где i – номер
контура, доступен измерению и интересен в плане управления. Регуляторы рассчиты-
ваются для каждого контура отдельно, начиная с первого контура. Описание трехкон-
турного объекта: y (s)=W(s)u(s), y (s)=W (s)y (s), y (s)=W (s)y (s), 11221332
W (s) =W (s)W (s)W (s), где W (s), i =1,…, p – номер контура, u(s) – входное воздей- o123i
и X(s)
при известных D(s), N(s), C(s). В работах
ствие. Выход i-го регулятора является заданием для (i−1) контура: u(s)=W (s)F(s)e(s),v(s)=W (s)e(s),v(s)=W (s)e(s),гдеe(s)=v(s)−y(s)–сиг-
r1 0 1 1 r2 2 2 r3 3 i i i
налы ошибок, F (s) – фильтр ограничивающий полосу пропускания системы, v (s) –
0i задания на контуры, при этом последний выход y3 (s) управляется через внешнее зада-
ние v3 (s) , а замкнутая система одноканальная 11. Предлагается, используя разраба-
тываемый алгоритм, рассчитать регуляторы, построенные в соответствии с прин- ципом подчиненного регулирования, как для неквадратного объекта, для чего необхо- димо выполнить преобразование к виду многоканальной системы 33.
Рассматривается возможность задания ограничения на структуру регулятора для неквадратных объектов, которое заключается в наличии нулевых элементов МПФ
2 Филюшов В.Ю. Линеаризация обратной связью: перевернутый маятник / А.А. Воевода, В.Ю. Филюшов // Сб. науч. тр. НГТУ. – 2016. – No 3(85). – С. 49–60
регулятора, регуляторы диагонального вида называются распределенными (децентра- лизованными, decentralized3). Такая задача нашла свое применение в многоканальных объектах управления, где не желательно влияние выходов на смежные подсистемы: в электроэнергетических системах, системах большой размерности, робототехнике и других.
Во многих объектах управления встречаются элементы запаздывания сигналов
Wo (s) = e−sWл (s), где Wл (s) – передаточная функция объекта без запаздывания,
 – время запаздывания. Они существенно затрудняют процесс синтеза регуляторов. Одним из направлений синтеза регуляторов для объектов с запаздыванием является аппроксимация звена запаздывания рядом Паде с ограниченным количеством членов:
e−s (1−s/2+(s)2 /12−…)(1+s/2+(s)2 /12+…)−1, (3)
что повышает порядок объекта, добавляя устойчивые полюса и неустойчивые нули.
Время запаздывания неизменно, вне зависимости от закона управления, при этом по-
люса аппроксимации звена запаздывания (3) зависят только от  , поэтому предлага-
ется не «бороться» с запаздыванием, сохраняя полюса из (3) в замкнутой системе
W (s). Для этой цели рассмотрена возможность сохранения некоторых устойчивых cl
полюсов (а также некоторых нулей) модели объекта с запаздыванием в замкнутой си- стеме, как одно из направлений полиномиального метода синтеза.
На основании многих приведенных примеров неквадратных объектов делается вывод об актуальной постановке задачи исследования, заключающейся в разработке формализованного алгоритма синтеза регуляторов для неквадратных объектов. Ста- вится задача распространения разрабатываемого алгоритма для расчета регуляторов системы, построенной по принципу подчиненного регулирования. Рассматривается возможность задания ограничения на структуру регулятора для неквадратных объек- тов. Предлагается подход к синтезу регуляторов для объектов с запаздыванием. Пред- лагается использовать линеаризацию обратной связью для расчета регуляторов по раз- рабатываемой методике для некоторых нелинейных моделей объекта.
Во второй главе рассматриваются основные математические инструменты, не- обходимые при расчете регуляторов в полиномиальном матричном описании системы управления. Основным требованием к полиномиальному матричному описанию (ПМО) объекта является требование взаимной простоты полиномиальных матриц «числителя» и «знаменателя», что гарантирует существование регулятора, задающего желаемый вид характеристической матрицы замкнутой системы. Взаимная простота двух полиномиальных матриц (например, D(s) и N(s)) означает, что их наибольший общий делитель – унимодулярная матрица. Иными словами, не происходит сокраще- ния нулей и полюсов.
Нахождение взаимно простого разложения, а также переход от левого (правого) к правому (левому) ПМО в приведенном исследовании осуществляется с помощью двойного взаимно простого разложения (doubly coprime factorization) вида
H(s)H(s)−1 = V(s) U(s)D(s) −U(s)=I 0, (4) −N(s) D(s)N(s) V(s)  0 I
  
3 Gundes A.N., Desoer C.A. Algebraic theory of linear systems with full and decentralized compen- sators.
где матрицы V (s)  R[s]mm , V (s)  R[s]p p , U (s)  R[s]pm , U (s)  R[s]pm соответствую-
щихразмеров.МатрицыH(s)иH(s)−1 унимодулярныеисоответствуютматрицампе-
рехода к строчной/столбцовой эрмитовой форме.
В отличие от модели квадратного объекта, полиномиальные матрицы «числи-
теля» и «знаменателя» правого и левого ПМО неквадратного объекта или регулятора, имеют различную размерность. Рассмотрим замкнутую систему «объект-регулятор»:
y(s)=W(s)u(s), y(s)=W(s)u(s),v(s)+y(s)=u(s),v+y =u, (5) 1o12r2212121
где u (s)Rm(s) –входныеи y (s)Rp(s) –выходныевеличиныобъекта, u (s)R(s)p 112
– входные и y (s)  R(s)m – выходные величины регулятора, v (s)  Rm (s) – задание на 21
y (s), v (s)Rp(s) –заданиена y(s). 221
Введем дополнительные переменные z1(s), z2(s) и z1(s) правое и левое ПМО объекта
, z2(s) D(s)z(s)=u(s), y(s)=N(s)z(s) или D(s)z(s)=N(s)u(s)
, тогда (5) примет вид:
111111 правое и левое ПМО регулятора
, y(s)=z(s) 11
,
Y(s)z2(s)=u2(s), y2(s)=X(s)z2(s) или Y(s)z2(s)=X(s)u2(s)
при этом правые (D(s) N(s)) объекта и (Y(s) X(s)) регулятора – взаимно простые
, y2(s)=z2(s)
– взаимно простые слева. Используя эти че-
тыре варианта разложения МПФ объекта и регулятора, получены четыре варианта за- писи замкнутой системы (5).
Правые ПМО объекта и регулятора используются для проверки на управляе- мость, а левые ПМО объекта и регулятора – на наблюдаемость замкнутой системы. Другие два варианта описаний – это правое (левое) ПМО объекта и левое (правое) ПМО регулятора – используются для задания полюсов характеристической матрицы потому, что при этих вариантах описания матричное уравнение замкнутой системы записывается в виде полиномиальных, а не блочных матриц:
где
справа, а левые (D(s) N(s))
и (Y(s) X(s))
,
, y (s)=(I −Y(s)C(s)−1D(s))r (s), 1212
y (s) = N(s)С(s)−1 X(s)r (s) С(s) =Y(s)D(s)+ X(s)N(s)
, С(s) = D(s)Y (s) + N (s) X (s) . (6)
Матричные полиномиальные уравнения (6) относятся к матричным диофантовым уравнениям, которые в данном исследовании сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений, где матрицей системы является матрица Сильвестра
регулятора,  = diag(G,G,…,G)
=, =
где  = diag(G,G,…,G) – матрица Сильвестра для правого ПМО объекта и левого ПМО
вого ПМО регулятора, G =
чество диагональных элементов G или G
k−1 1
, (7) – матрица Сильвестра для левого ПМО объекта и пра-
DDDDDTDT DTDTT
k k−1 1
0 , G = k NNNNNTNT NTNT
, коли- на единицу больше порядка регулятора n ,
k k−1 1 0 k k−1 1 0
Т =(Y X Y X …Y X),=(YT XT YT XT …YT XT)
n n n−1 n−1 0 0 n n n−1 n−1 0 0 Т
– неизвестные матрицы – матрицы из коэффициен-
регулятораи=(Сk+n Ck+n−1…C),=(СТ СТ …СТ) 0 k+nk+n−10
тов характеристических матриц (6).
Для существования решения уравнений (7) матрицы Сильвестра должны быть
−1 −1 обратимы: = и = 
, что во многих случаях не так. При большем количе- стве параметров регулятора, необходимых для задания желаемой характеристической матрицы, процесс решения уравнений (7) состоит из: выбора базисного минора мат-
рицы Сильвестра 1 или 1
, соответствующей матрицы основных параметров 1 или
1
, а также матрицы свободных параметров регулятора  или  −1 −1
, тогда решения урав-
нений (7) следующие:  = , где  =− или  = 
Найденные коэффициенты регуляторов 1 , или 1
, где  =− 11111111
. содержат свободные параметры 
или 
для достижения дополнительных свойств системы автоматического управления за счет изменения или исключения некоторых нулей МПФ замкнутой системы.
, которые не влияют на полюса замкнутой системы, но могут быть использованы На примере установки распределенной генерации4 со следующими ПФ турбины,
возбуждения и генератора: W =(1−a T s)(1+0.5a T s)−1, W =[5 4;2 5], T уст в уст в Г
WВ =ka ((Tas+1)(Tes+ke)), где Tв =2, aуст =2, Ta =0.5, Te =3, ka =ke =1, необходимо синтезировать регулятор вида W = WАРС 0 , где W  , W U – ПФ автоматиче-
WW
 АРВ АРВ  1.711s
R W WU  АРВ АРВ  АРВ АРВ
ского регулятора возбуждения по частоте и по напряжению, WАРС – ПФ автоматиче-
ского регулятора скорости. С помощью свободных параметров определенные эле- менты матричного «числителя» и «знаменателя» регулятора задаются нулевыми:
 0.767s+0.4 0  W =WАРС 0 = s(s+10.17) .
RU2 2 
+ 4.425s +1.62 0.433s 
+1.172s + 0.441 −   s3 +11.833s2 +16.944s s2 +1.667s 
Остается нераскрытым вопрос расчета регуляторов с заданием ограничения на струк- туру для неквадратных объектов.
Рассмотрен полиномиальный матричный метод синтеза регуляторов для квад- ратных объектов, заключающийся в задании полюсов замкнутой системы через реше- ние диофантова уравнения, являющегося характеристической матрицей замкнутой си- стемы. Показана возможность задания ограничения на структуру регулятора с исполь- зованием полиномиального матричного метода синтеза.
В третьей главе приводятся алгоритм синтеза регуляторов для многоканальных объектов с неквадратной МПФ и примеры применения этого алгоритма на объекты с большим и меньшим количеством входов по сравнению с выходами.
Объекты с неквадратной МПФ имеют характеристическую матрицу различной размерности, определяемой выбранным ПМО объекта и регулятора. Это вынуждает использовать две теоремы Chen, описывающие порядок регулятора и желаемой харак- теристической матрицы. Для левого ПМО объекта и правого ПМО регулятора:
Теорема 1. Объект описан строго правильной рациональной матрицей Wo (s) раз-
мерностью p  m . Пусть Wo (s) разложена на Wo (s) = D(s)−1 N (s)
имно простые слева и D(s)
4 Нгуен, В. Х. Применение прогностических регуляторов для управления установками распре- деленной генерации в системах электроснабжения железных дорог: дис. … канд. техн. наук: 05.13.06 / Ван Хуан Нгуен. – Иркутск, 2020. – 191 с.
, где D(s) –строчно приведенная со степенями строк i , i = 1,
вза-
, N(s)
.
, p
Пусть  – столбцовый индекс Wo(s) и пусть mi −1, i=1, ,p
строчно и столбцово правильной полиномиальной матрицы С(s), такой что
.Длялюбой pp – несингулярная числовая мат-
limdiag(s−1,s−2, ,s−p)С(s)diag(s−m1,s−m2, ,s−mp)=Сh s→
рица, существует такой правильный регулятор Wr (s) = X (s)Y (s)−1 , где Y (s) – столбцово правильная матрица со степенями столбцов mi , что
С(s) = D(s)Y (s) + N (s) X (s) , (8)
Для правого ПМО объекта и левого ПМО регулятора используется теорема 2 из [Chen C.T. «Linear system. Theory and design». Theorem 9.M2 на странице 296], где характе- ристической матрицей замкнутой системы будет:
С(s) =Y(s)D(s)+ X(s)N(s)
, (9)
Настоящий алгоритм базируется на теоремах 1 и 2, которые позволяют опреде- лить необходимый порядок регулятора для возможности задания произвольного рас- положения полюсов в ХМЗС (6).
Алгоритм синтеза многоканальных регуляторов для объектов с неквадрат- ной матричной передаточной функцией:
Выбрать вариант записи характеристической матрицы замкнутой системы с левым ПМО объекта и правым ПМО регулятора
С ( s ) = D ( s )Y ( s ) + N ( s ) X ( s )
Найти правое и левое взаимно простые ПМО объекта
да
Начало
Входов
больше, чем нет
выходов?
Решение единственное?
Решить матричное полиномиальное уравнение
С(s) =Y(s)D(s)+ X(s)N(s)
Найти общее решение, где
с помощью свободных параметров задать необходимые свойства САУ
нет
да
нет
Задача синтеза выполнена?
Выбрать вариант записи характеристической матрицы замкнутой системы с правым ПМО объекта и левым ПМО регулятора
Повысить порядок регулятора
Смоделировать полученную систему автоматического управления
да
Конец
Рисунок 1 – Блок-схема алгоритма синтеза регуляторов для объектов с неквадратной МПФ
Рассмотрим применение разработанного алгоритма на примере четырехсекци- онной камеры полимерной покраски, которая обычно описывается моделью квадрат-
ного объекта с четырьмя входами u = (u u u u )T (напряжение, подводимое к нагре- 1234
вательным элементам секций) и четырьмя выходами y = ( y y y y )T (измеренные 1234
значения температуры в секциях). В случае отсутствия одного из показаний темпера- туры в секции модель объекта имеет большее количество входов по сравнению с вы- ходами, а именно четыре входа и три выхода (рисунок 2). В таком случае левое ПМО объекта
(s+b)a − 0  100 0 111 
D(s)= 1 (s+b2)a2 −2 , N(s)=0 1 0 0,  0  s+b4  +(s+b3)(s+b4) 0 0 s+b4 −1
2a3aaa 4334343
где коэффициенты передачи тепла i от секции i к секции (i+1), i – от секции (i+1) к секции i, где i = 1, 2, 3 , ai – определяющие нагревание секции i , bi – рассеивания тепла
внутри секции, где i = 1, 2, 3, 4 , задание на температуру секций v = (v v v v 1234
3×1
)T . Строчные степени 1 =2 =1 и 3 = 2 , столбцовые степени i = 1,
i=1, ,4
(столбцовые степени определены в разделе 3.2). Выберем столбцовые степени регулятора mi −1=1. Сте-
пени строк характеристической мат- рицыfi=mi+i,тогдаf1=2,f2=2,
3×1
Рисунок 2 – Структурная схема модели четырехсекционной камеры полимерной покраски без измерения четвертого выхода
4×1 4×1
f3 = 3 . Зададим ХМЗС вида (2 2 3) 1214
, столбцовый индекс  = 1
С(s)=diag (s+q) ,(s+q) ,(s+q) . Матрица Сильвестра R имеет ранг
rank=10
рицу Сильвестра  R
ствующие свободным параметрам регулятора. Выберем базисный минор 1
ными параметрами Y0 =zeros(3,3) и один столбец старших коэффициентов «числи-
. Первые две строки нулевые, поэтому «вычеркиваем» их, получаем мат-
1014
Замкнутая система имеет 3 за-
дания и 3 выхода, при необходимости
управлять температурами в 4-х сек-
циях, поэтому необходимо выразить
задание на четвертую секцию через
задания на другие секции. Составим
систему уравнений, где неизвестными
выступают свободные параметры, то-
гда v = f (v ,v ,v ), решив уравнение 4 123
получим v4 = kv3 , где свободные пара- метры x4,1 , x4,2 , x4,3 зависят от k . По-
, содержащую четыре линейно зависимых столбца, соответ- , а свобод-
теля» x4,1,×4,2,x4,3. 111
y
y2
y1
y4
Рисунок 3 – Переходные процессы камеры
полимерной покраски при v = 60 , v = 100 , 12
v3 = 180 , v4 = 60 , и полюсах равных q = 0.1 1 =2 =0.15, 3 =0.1, 1 =2 =0.1, 3 =0.15, q =0.1, МПФ регулятора
кажем графики переходных процес-
сов (рисунок 3) при a =a = 12
a =a =0.2, b =b =b =b =0.1, 34 1234
 W (s) = 
−0.1 −0.0004s−1
 . 0.379s−1 + 2 
 0.2s−1+1.5
0.15 0.2s−1 +1.5 0.002s−1 − 0.1
0  0.15 
r 
−0.002s−1 −0.02 0.01s−1 +0.101 −0.107s−1 +1.575
Проверка алгоритма для объектов с
меньшим количеством входов по сравнению
с выходами, проиллюстрирована на линеари-
зованных моделях перевернутого маятника
на тележке (один вход и два выхода) и двух
перевернутых маятниках на тележке (один
вход и три выхода). Расчет регуляторов осно-
вывается на задании полюсов замкнутой си-
стемы по предложенному алгоритму, а зада-
чей синтеза ставим перемещение каретки при
удержании нулевого положения одного/двух
маятников. Рассмотрим объект два перевер-
нутых маятника на тележке (рисунок 4),
m1 g
+ l-1 θ11 1 θ1

имеющий описание MS = −m g − m g + u , l  = g − S
,где g=10, M =10, m = m = m =1, L =1, L = 2. Правое и левое ПМО D(s) = s6 + d s4 + d s2 ,
1122111
c1212 20
 n1s4+n1s2  Mls2−m−Mg −m 0  1 201cc
N(s)= n2s4 +n2s2 , D(s)= −m Ml s2 −m −Mg 0 , N(s)=1, 20c2c
n3s4 +n3s2 +n3  420cc
Ms2 1 где d , d , ni , ni , n3 , i =1,2,3 – коэффициенты, получены в разделе 1.3 (пример 1.2),
gm gm
строчный индекс  = 2 , тогда регулятор будет первого порядка n =  −1, столбцовый
20024
индекс D(s) равен шести ( = 6) , тогда желаемый характеристический полином седь-
могопорядка f=n+=7,зададимеговидаC(s)=(s+q)7.МатрицаСильвестрапол-
ного ранга, поэтому регулятор не содержит свободных параметров. Полиномиальное матричное описание регулятора приведено ниже:
X(s)=410−1(−(283821s+881163) 272612s+605916 700s+100), Y(s)=s+7.
Рисунок 5 – Графики переходных процессов при vS =1 и с корнями характеристического полинома, равными q = 1 и q = 2
u
1ss
(-) (-) S
+ M-1 S 1 1 (-) ss
(-) θ211 θ2
+l-1 ss 2
m2 g
Рисунок 4 – Структурная схема модели двух перевернутых маятников на тележке (1х3)
, l =g −S 222

Предложенный алгоритм одинаково просто позволяет рассчитать регуляторы для стабилизации нулевого угла отклонения одного или двух маятников на тележке, при произвольном задании на перемещении тележки. На рисунке 5 показаны графики переходных процессов для двух маятников на тележке.
Предложенный алгоритм позволяет задать ограничение на структуру регуля- тора для неквадратного объекта. В разделе 3.4 рассмотрен пример синтеза такого регулятора для объекта с тремя входами и двумя выходами.
На рисунке 6 введены следующие обозначения:  – элементы с произволь- ным значением;  – один из элементов «числителя» регулятора, который необхо- димо сделать нулевым, если элемент (2,2) или (2,1) «знаменателя» регулятора задан нулевым;  – элемент, который станет ну- левым после обнуления соответствующего ему элемента  (показано стрелками). За- дание других элементов МПФ регулятора нулевыми происходит аналогично.
Приведен алгоритм синтеза регуля-
торов для объектов с неквадратной МПФ
на основании теорем 1 и 2, и использующий инструменты для работы с ПМО, приве- денными во второй главе. На различных примерах неквадратных объектов рассмот- рено применение предложенного алгоритма, а также решена задача задания ограниче- ния на структуру регулятора.
В главе 4 предлагается переход от решения задачи синтеза многоконтурной си- стемы подчиненного регулирования к задаче синтеза многоканального регулятора для неквадратного объекта на примере САУ двигателя постоянного тока.
Построение системы по принципу подчиненного регулирования (СПР), который в большинстве случаев применяется для синтеза регуляторов различных типов элек- тродвигателей, заключается в разбиении объекта на контуры, выходами каждого кон- тура являются величины, интересные в плане управления (рисунок 7).
  −1  0   
   =  =    0     
   
  −1     
v2 v1 y – R3(s) – R2(s) – R1(s) u W1(s) y1 W2(s) y2 W3(s) 3
Регуляторы для каж- дого контура рассчи- тываются последова- тельно, начиная с внут- реннего, по формуле
R (s) =W (s)−1(T s)−1 , где iii
v3
Рисунок 7 – Многоконтурная система автоматического регулирования (система подчиненного регулирования)
Φ3(s)
Φ2(s)
Φ1(s)
i – номер контура. Таким образом получаем подчиненную связь между внутренними контурами и внешними. Для удобства записи регулятор первого контура объединен с регулятором нулевого контура, являющимся апериодическим звеном с некомпенсиру- емой постоянной времени T , определяющей полосу пропускания всей системы. Для
применения предложенной методики многоконтурные модели объектов преобразо- ваны к виду моделей объектов с неквадратной МПФ вида «один вход и три выхода»
T
W (s) = (W (s) W (s) W (s)) , где W (s) = W (s) , W (s) = W (s)W (s) , W (s) = W (s)W (s) , а
o123 11212323
   =  =  00     
Рисунок 6 – Пример задания структуры регулятора

система управления становится многоканальной (рисунок 7) с тремя входами и тремя выходами (33).
На рисунке 8 изображена СПР в матрич- ном виде с тремя внешними заданиями на три выходные величины. Входов объекта меньше, чем выходов, поэтому задания на выходы y1 и
y зададим равными нулю v =0 и v =0, а за- 212
дание v3 на y3 меняем произвольно, при этом
v3 =v3. Такой подход позволяет рассчитывать
v1 y1
v- u y2
v2- y3 3-
Рег
ОУ
Рисунок 8 – Эквивалентная запись многоконтурной системы
регуляторы не последовательно, а совместно в виде одного матричного регулятора,
причем переход от последовательной записи к матричной, и наоборот, возможен:
R (s) = R (s) , R (s) = R (s)R (s) , R (s) = R (s)R (s) , где R (s) , R (s) , R (s) – последова- 11212323123
тельно соединенные регуляторы СПР, а R (s) , R (s) , R (s) элементы матричного регу- 123
лятора вида W (s) = (R (s), R (s), R (s)). r123
Двигатель постоянного тока (ДПТ) часто встречается в складских системах, об- служиваемых краном-штабелером, а также в различных системах кругового обзора (акты внедрения приведены в приложении А, описание – в приложении В). Продемон- стрируем расчет регуляторов системы подчиненного регулирования с использованием полиномиального матричного метода. Модель ДПТ в многоканальном виде имеет один вход m =1 (напряжение питания) и три выхода p = 3 ( y1 – ток якоря iя , y2 – ско-
рость ротора  , y3 – положение ротора  ), то есть входов меньше, чем выходов. При- ведем передаточные функции ДПТ (рисунок 6):
W(s)=k(rTs+1)−1, W(s)=(Ts)−1, W(s)=s−1, (10) 1пяя2j3
где kп – пропорциональный коэффициент усиления преобразователя, rя – сопротив- ление якоря, Tя – электромагнитная постоянная времени якоря, Tj – инерционная по- стоянная времени,  – магнитный поток.
Синтез регуляторов разделим на два этапа: на первом этапе зададим полюса за- мкнутой системы без учета воздействия возмущения; на втором этапе зададим нули замкнутой системы по заданию и возмущению.
Для задания полюсов без учета возмущения рассмотрим подсистему МПФ объекта Wо (s) размерностью
13 – в виде правого ПМО, а МПФ ре- гулятора Wr (s) с размерностью 31 – в
виде левого ПМО, как показано на ри- сунке 9. Задание равно v = (v1 v2 v3 )T .
mc(s) Wmc(s)
Wr(s) u(s) Wо(s) замкнутой системы
D(s)=T s2(T s+1), N(s)=(k r−1T s2 k r−1s k r−1)T . (11) jя пяjпяпя
Характеристический полином однократной САР положения: 16
v(s) –
+ y(s) Рисунок 9 – Структурная схема
Расположим полюса замкнутой си-
стемы аналогично однократной и аста-
тической САР положения, рассчитанной по принципу подчиненного регулирования. Для расчета регулятора воспользуемся правым ПМО объекта (10):

C1(s) = (((Ts +1)Tis +1)Ts +1)Ts +1, (12) передаточная функция СПР по заданию и возмущению:
Wy3(s)=1C(s), Wy3(s)=4T(2T2s2+2Ts+1)C(s)T, (13) v3 1 mc    1 j
где T = 2T , T = 2T , T = 2T – постоянные времени настройки на модульный оптимум. ii
Однократная САР
Пол. Матр. рег. 1го порядка
время, с
Требуемый характеристический полином (12)
четвертого порядка, порядок объекта (11) тре-
тий, поэтому получим регулятор первого по-
рядка X (s) = (x1,1s + x1,1 x1,2s + x1,2 x1,3s + x1,3 ), 111010
Y(s) = (y1,1s + y1,1 ). Составив систему линейных 10
уравнений в матричном виде (7) для правого ПМО объекта и левого ПМО регулятора, полу- чим матрицу Сильвестра  R85 с рангом rank()=5, что соответствует трем свобод- ным параметрам регулятора. Выбрав в каче-
стве свободных параметров =(y1,1 x1,1 x1,2) 0 0 0
получим ПФ по заданию и возмущению: Wy3(s)=(s(8T −kr−1x1,2)+1)C(s),
Рисунок 10 – Положение ротора при v (t) =1 и m (t  0.5) = 0,
,
3 c mc(t0.5)=0.5
v3  пя 0 1 W y3 (s) = (64T3(T s +1)s +T (y1,1 + k r−1×1,1)) T C (s) ,
mc j0пя0j1
при свободных параметрах x1,1 = 0 0
замкнутой системы с регулятором первого порядка:
Wy3 (s)(s)=1C(s), Wy3 (s)=64T3s(T s+1)TC(s). (14)
, y1,1 =0 0
, x1,2 =8T (k r−1)−1 получаемследующиеПФ 0пя
v3 1 mc j1
Сравнивая полученные уравнения замкнутой системы (14) и уравнения, полученные
стандартной настройкой на модульный оптимум СПР (13), заметим, что при одинако-
вой динамике по заданию (рисунок 10) в предложенной САУ (14) по сравнению с СПР
(13), возмущение компенсируется без статической ошибки, что достигнуто заданием
нуля (корня числителя Wmy3 (s) ) равного нулю в ПФ по возмущению, тем самым полу- c
чен астатизм, что наглядно показано на рисунке 10.
По аналогии сравним показатели САУ с регуляторами, рассчитанными по пред-
ложенному алгоритму и рассчитанными по стандартной методике синтеза регуляторов
астатической САР положения, имеющей характеристический полином замкнутой си-
стемы С (s) = ((((T s +1)T s +1)T ‘ s +1)T s +1)T ‘s +1, и ПФ по заданию и возмущению: 2i
W(s)=1С (s), W (s)=T T’T'(2T2s+2T +1)s (TC (s)), (15) v3 2mcj2
где T = 2T , T = 2T , T = 2T , T ‘ = 2T , T ‘ = 2T ‘ . Ниже приведены ПФ замкнутых си- ii
стем по заданию и возмущению с регулятором второго порядка:
Wy3(s)=1C(s), Wy3(s)=1024T4(Ts+1)s2 C(s). (16)
v3 2 mc  2
Приведем графики переходных процессов по углу y3 (рисунок 11) и входному
воздействию u (рисунок 12) САУ с регуляторами первого (14), второго (16) порядков и астатической САР положения (15), при воздействии возмущения mc (t  0.5) = 0 ,
mc (t  0.5) = 0.5 и задании v3 (t ) = 1(t ) .
Угол, y3 [рад]

Пол. Матр. рег. 1го порядка
Астатическая САР
Пол. Матр. рег. 2го порядка
время, с
Астатическая САР
Рисунок 12 – Входное воздействие u рядка (16) и астатической САР (15), что следует из равенства ПФ W y3 (s) , при этом
Рисунок 11 – Положение ротора y3
Реакция на задание v3(t)=1(t) одинаковая для САУ с регулятором второго по-
v3
возмущение компенсируется значительно лучше за счет астатизма второго порядка в ПФ (16) против астатизма первого порядка в ПФ (15). Входное воздействие, необхо- димое для компенсации возмущения, в случае (16) меньше по амплитуде и по длитель- ности, по сравнению с (15), за счет более быстрой реакции на возмущение. Таким об- разом, применение предложенного алгоритма в значительной мере повышает возмож- ности системы автоматического управления и показывает актуальность использования
предложенного преобразования одноканальной модели объекта к многоканальной. Использование нелинейной модели
Пол. Матр. рег. 1го порядка
Пол. Матр. рег. 2го порядка
время, с
u
G
+
x 1 x s
A
m
y
T −1z1,z2 x(xx) z3
объекта для синтеза регуляторов позволяет находить нелинейные обратные связи, ко- торые повышают возможности управления по сравнению с линейными. Одним из под- ходов является компенсация нелинейно- сти по обратной связи, преобразующая модель объекта к линейному виду, что дает возможность использовать линейные ме- тоды синтеза.
Рисунок 13 – Структурная схема трехканального объекта с нелинейной связью выходных переменных
Рассмотрим объекты, содержащие нелинейные элементы вида дифференци- руемых в некоторой области функций (например синус, косинус, функции, содержа-
щие операции умножения и деления переменных).
В качестве примера выберем многоканальный нелинейный объект, который со-
стоит из линейной ПФ, вектор состояния которой нелинейно связан с выходом объ- екта5. Выбор такого объекта обусловлен тем, что такая нелинейная связь может высту- пать в качестве некоторых свойств объекта (например, для машины переменного тока тепловые потери, реактивная мощность, величина напряжения).
5 Филюшов В.Ю. Эквивалентные преобразования определенного класса нелинейных систем с переходом от интеграла по времени к интегралу по параметру. / А.А. Воевода, В.Ю. Филюшов // Сб. науч. тр. НГТУ. – 2017. – No 1(87). – С. 38–52.
MUX
Угол, y3 [рад]
Входное воздействие, u, [отн.ед.]

Объект управления представим в пространстве состояний (рисунок 13), тогда u  R3 – вектор входных переменных объекта; x  R3 – вектор состояния; y  R3 – вектор выходных переменных; A R33 – матрица размером 33 , состоящая извещественныхчисел;матрицаGR33 –единичнаяматрица;MUX–мультиплексор, Т – знак транспонирования;  – знак умножения компонент вектора, diag(1, 1, 1) – диа-
гональная матрица. Математическое описание объекта:
x=Ax+Gu, z=(z z z)T, m=xxx, 123 123
(T
гдеz= x x2+x2+x2 x x2+x2+x2 x x2+x2+x2 ),A=[a ] ,G=diag(1,1,1),
i,j 33
u=(u u u )T , x=(x x x )T .Компонентывектораzограничены z2 +z2 +z2 =1.
112321233123
123 123
Для удобства изложения примем
A = zeros(3, 3) . Найдем компенсирующее
нелинейности управление u по обратной
связи. Продифференцировав выходной
вектор y = (z1 z2 m)T , получим зависи-
мость y=F(x,x ,x )u,тогда задавновую 123
переменную v=F(x,x,x)u, получим, 123
что при u = F(x)−1v исходный нелиней- ный объект преобразуется в линейный
объект управления y = v
y
Рисунок 14 – Структурная схема системы «объект – компенсатор»
vu
 F(x)−1
(рисунок 14).
Показан способ линеаризации мно-
гоканального объекта с нелинейной зависимостью выходных переменных. Этот спо- соб заключается в компенсации нелинейности объекта за счет управляющего воздей- ствия, что позволяет в дальнейшем применять линейные законы управления.
В заключении отражены результаты диссертационного исследования. В прило- жениях приведены копии актов об использовании и внедрении результатов, дополни- тельные материалы и коды реализации алгоритма в пакете MathCad.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
В ходе выполнения диссертационного исследования получены следующие результаты:
– разработан алгоритм синтеза многоканальных регуляторов для объектов, опи- сываемых неквадратной матричной передаточной функцией с использованием двух вариантов полиномиального матричного описания замкнутой системы. В результате САУ с синтезированным регулятором имеет не только заданное расположение полю- сов, но и нулей, что позволяет достигать требуемых параметров качества;
– предложенный алгоритм адаптирован для задания ограничений на структуру регуляторов, позволяющий задавать некоторые элементы МПФ регулятора нулевыми, что соответствует отсутствию сигналов обратной связи у части входов регулятора от выходов объекта;
– предложена процедура расчета регуляторов для объектов с запаздыванием управляющего сигнала, которая заключается в сохранении устойчивых полюсов в за- мкнутой системе, полученных в результате аппроксимации звена задержки рядом Паде, что соответствует заданию этих полюсов во множестве корней желаемого харак- теристического полинома;
x1x T−112

m z,z
s
x(xx) z3
MUX

– получено преобразование системы, построенной по принципу подчиненного регулирования, к многоканальному полиномиальному матричному виду для примене- ния разработанного алгоритма синтеза, что позволяет за счет расположения нулей за- мкнутой системы добиться повышения порядка астатизма САУ по возмущению при том же порядке регуляторов;
– для получения зависимости между управляющим сигналом и нелинейными звеньями объекта, описываемые гладкими функциями, с целью последующей их ком- пенсацией по обратной связи, использовано дифференцирование выходного вектора, что позволяет использовать разработанный алгоритм расчета регуляторов.
Научные и технические результаты диссертационной работы внедрены в учеб- ный процесс по дисциплинам «Многоканальные системы управления» (кафедра авто- матики, НГТУ) и «Электропривод производственных механизмов» (факультет элек- тротехники и автоматики Сибирского государственного университета водного транс- порта, г. Новосибирск).
Результаты диссертационного исследования использованы на промышленных предприятиях для модернизации алгоритма работы крана-штабелера (АО «Синетик», г. Новосибирск) и построения системы автоматического управления многоспектраль- ного оптического устройства кругового обзора (АО «Новосибирский приборострои- тельный завод»), а также могут найти свое дальнейшее применение для синтеза систем автоматического управления различными химическими процессами, электромехани- ческими и мехатронными устройствами.