Теоретическое исследование движения дислокаций и малоугловых границ зерен в ГЦК металлах и сплавахu200b

Во введении обоснована актуальность темы исследования, изложено современное
состояние проблемы, сформулированы цель и задачи диссертационной работы; указана научная новизна, а также научная и практическая значимость; обоснована достоверность результатов; приведены основные публикации автора и вклад автора в диссертационную работу; сформулированы основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе проведен обзор современных представлений о дефектах кристаллической структуры и их связи с пластической деформацией металлов и сплавов, а также о методах теоретических исследований в данной области. В разделе 1.1 рассмотрены дислокации и ГЗ как дефекты кристаллической структуры, которые в основном определяют пластическую деформацию металлов и сплавов. Рассмотрено движение дислокаций в чистых металлах и в сплавах, приведены основные механизмы упрочнения сплавов. Показана структура ГЗ, распределение ГЗ в поликристаллах чистых металлов и сплавов, влияние этих факторов на деформацию. Также показано, что движение ГЗ может приводить к значительной релаксации сдвиговых напряжений в системе, а малоугловые ГЗ наклона движутся как массив дислокаций под действием внешних напряжений или за счет отталкивания от других дислокаций в системе. В разделе 1.2 рассмотрены примеры методов многомасштабного моделирования, включающие разработку теоретических моделей в рамках механики сплошной среды. Рассмотрены дислокации как источники полей напряжений. В разделе 1.3 показано, что метод МД позволяет глубже понимать процессы, лежащие в основе деформации металлов и сплавов. Рассмотрена математическая постановка метода МД.
Во второй главе исследуется движение малоугловых ГЗ наклона в бикристаллах при деформации сдвига перпендикулярного плоскости границы. Оба зерна в бикристаллах состоят из одного материала (алюминия, меди или никеля). Движение малоугловых ГЗ как массива полных дислокаций рассматривается под действием напряжений сдвига в МД моделировании, и этот процесс также описывается с помощью предложенной теоретической модели. Теоретическая модель учитывает неоднородное распределение
локальных сдвиговых напряжений в кристалле, возникающее в результате движения дислокаций [25] и междислокационные взаимодействия.
Рис. 1. Схема движения малоугловых ГЗ наклона под действием сдвиговых напряжений с учетом неоднородного распределения локальных напряжений вокруг зернограничных дислокаций.
В разделах 2.1-2.2 описана постановка теоретической модели (рисунок 1) и МД
моделирования. Движение дислокации приводит к перестроению кристаллической
решетки за её следом, что приводит к релаксации сдвигового напряжения [25]. В
пластически недеформированной зоне является следствием приложенной сдвиговой
кристалле возникает неоднородное распределение напряжений. Напряжение в
(0)
деформации к бикристаллу и может быть определено по смещению верхней области кристалла относительно нижней с постоянной скоростью u за время t:
(0) = , (1)
где H – высота кристалла, G – модуль сдвига.
Пластически деформированная область кристалла находится за стенкой
дислокаций, и характеризуются меньшим значением сдвиговых напряжений из-за
пластической релаксации позади движущихся дислокации. Величина пластической деформации может быть найдена из уравнения Орована [26]:
= , 4
где b – вектор Бюргерса зернограничных дислокации. 9
(2)
(1)

Можно получить выражение для (1) через (0) используя закон Гука совместно с
формулами (1) и (2): − ⁄2
(1) = (0) − 2 =
пластически деформированной области кристалла. Разделим образец на ⁄2 слоя длиной
и предположим, что текущая граница пластически деформированной области в пределах
+ ⁄2
дислокации (или ): – для левой ГЗ, – для правой ГЗ. Среднее по области
.
(3)
Начальные и текущие позиции дислокационных стенок определяют границу
2 и высотой ⁄( ⁄2) вокруг плоскости скольжения каждой зернограничной дислокации
рассматриваемого слоя является вертикальной линией, совпадающей с позицией
напряжение можно рассчитать следующим образом:
⁄2
〈 〉 = (0) − 2 �� − + ⁄2+ �. =1
Выражения для сил , действующих на стенку дислокации, можно получить через h
В формуле (4) учитывается, что начальное положение левой ГЗ равно ( = 0) = 0, а начальное положение правой ГЗ + ⁄2( = 0) = .
сдвиговые напряжения, описанные в уравнении (3). Напряжения действуют на
зернограничные дислокации в слое 2a вокруг ядра каждой дислокаций, где a –
характерный размер области локализации поля упругих смещений вокруг
дислокационного ядра. Значение a находится в диапазоне от 2.5 до 2.87 нм в зависимости
+ ⁄2 дислокаций удовлетворяет условию ≤ для левой стенки или − ≤ для
от рассматриваемого металла. Когда ГЗ начинает двигаться и движение зернограничной
отрелаксированную область длиной или − с напряжениями , в то время как
правой стенки (I этап движения), дислокации оставляют позади себя пластически
+ ⁄2 (1)
напряжения (0) действуют на область перед дислокацией с длиной − и − ( −
+ ⁄2) для каждой системы скольжения. На II этапе, движение ГЗ (условия для которого:
+ ⁄2 − ≥ > для левой стенки и + ≤ + ⁄2 < − для правой стенки) напряжение (1) действует в одной половине слоя 2a и (0) в другой половине. Когда правой зернограничной дислокации ( дополнительно отрелаксирована: − ≤ , этап III), область кристалла будет 10 левая зернограничная дислокация вместе с окружающим ее слоем 2a входит в тот же слой + ⁄ 2 (4) = < > , =1… (5) h 2
для левой стенки:
⎧ (0) − , ≤ (этап I);
⎪ 4
⎨ (0) 4 + ⁄2
< > =⎪ − , − ≥ > (этапII);
2 ⎪ (0) + ⁄2− + ⁄2 ⎪ − 2 �1 − 2 � , + >
(этап III); (6) ⎧ (0)− , − + ⁄2≤ (этапI);
⎩ � − �
для правой стенки: + ⁄2
⎪ 4
+ ⁄2 ⎨ (0) 4 + ⁄2
< > =⎪ − , + ≤ < − (этапII); (7) 2 ⎪ + ⁄2 − ⎪ (0)− 2 �1− 2 �, + ⁄2− < (этапIII); ⎩ где = 1 ... ⁄2 в обоих уравнениях (6) и (7). Для учета междислокационные взаимодействий необходимо рассчитать силы сдвиговой деформации . Обозначим силу, действующую на i–ю дислокацию со взаимодействия между дислокациями и добавить их к силе, действующей со стороны h стороны j–й дислокации. Эта сила определяется выражением [27]: = Δ �Δ 2−Δ 2�, 2 (1− ) 2 2 �Δ +Δ �2 (8) где �Δ ,Δ � - двумерный вектор, проведенный из j-й дислокации к i-й дислокации; - коэффициент Пуассона. Для того чтобы получить силу , действующую на i-ю дислокацию, нужно (9) Из-за периодических граничных условий вдоль оси X, имеется бесконечный периодически повторяющийся набор стенок взаимодействующих дислокаций и сумма в уравнении (9) является бесконечной. Поэтому явно в уравнении (9) учитываются только дислокации одной и той же ГЗ и двух соседних ГЗ. Взаимодействие с остальными ГЗ учитывается косвенно в уравнении (12). Тогда суммарная сила, действующая на i-ю дислокацию, выглядит следующим образом: формально суммировать все взаимодействия этой дислокации: =� . ≠ = + . (10) h Скорость каждой зернограничной дислокации может быть получена путем решения дифференциального уравнения [28]: = � − sign� �� �� �− �− , 2 2 �1−� �2�3�2 (11) �1−� �2�3�2 где ( ) - ступенчатая функция Хэвисайда от аргумента f , - масса покоя дислокации на единицу длинны, - скорость i–й дислокации, Y - предел текучести, B - коэффициент трения при низкой скорости дислокации, и c - поперечная скорость звука. Предел текучести в уравнении (11) зависит от плотности дислокаций согласно уравнению Тейлора [29] и имеет следующий вид: = + � , (12) 0 где Y0 - сопротивление от точечных препятствий и барьера Пайерлса, - общая скалярная плотность дислокаций, A - постоянная средней силы взаимодействия на больших расстояниях по всем дислокациям. В разделах 2.3-2.7 приведены результаты теоретической модели и МД моделирования, проведено сравнение результатов. Движение малоугловой симметричной ГЗ наклона в ГЦК металлах можно представить как движение стенки периодически расположенных полных краевых дислокаций, что показывают результаты МД моделирования – рисунок 2. Несмотря на то, что уединенные полные дислокации в ГЦК кристаллах имеют тенденцию к расщеплению на пары частичных дислокаций Шокли, зернограничные дислокации не проявляют этой тенденции до схождения противоположных ГЗ. В теоретической модели выделены три этапа движения границ: влияние этих стадий на движение ГЗ зависит от скорости деформации и размера зерна – рисунок 3. Модель показывает хорошее согласие с данными МД моделирования движения ГЗ, рисунок 3, однако дальнейший прогресс в исследовании ГЗ может быть достигнут за счет включения в модель большего количества физических эффектов, сопровождающих движение ГЗ. Учет междислокационных взаимодействий позволяет описать изменение формы ГЗ, наблюдаемое в МД моделировании – рисунок 2. Рис. 2. Положения зернограничных дислокаций, полученные из МД моделирования (верхние графики) и рассчитанные по теоретической модели (нижние графики) в различные моменты времени для случая бикристалла алюминия с углом разориентировки 120 и скоростью сдвига 10 м/с. Результаты приведены для времен моделирования сдвиговой деформации (а) 94 пс, (б) 163 пс. Рис. 3. Сравнение результатов МД моделирования и теоретической модели для движения малоугловой симметричной ГЗ наклона при перпендикулярном сдвиге: Al – алюминиевый бикристалл с углом разориентировки 20 при скорости сдвига 10 м/с; Cu – медный бикристалл с углом разориентировки 90 при скорости сдвига 10 м/с; Ni – никелевый бикристалл с углом разориентировки 3.60 при скорость сдвига 5 м/с; Al (удлиненный) – алюминиевый удлиненный бикристалл с углом разориентировки 120 при скорость сдвига 3 м/с, соответственно. В третьей главе в разделе 3.1 проводится МД моделирование взаимодействия уединенной краевой дислокации с твердым раствором атомов меди различной концентрации (до 1 ат.%) в алюминиевом кристалле при нормальной температуре (300 K). В разделе 3.2 формулируется теоретическая модель движения малоугловых ГЗ наклона в твердом растворе атомов меди в алюминиевом кристалле (2 и 5 ат.%) при нормальной температуре. Модель основана на полученных в МД моделировании представлениях о движении, как уединенной краевой дислокации, так и малоуголовых ГЗ наклона в твердом растворе атомов меди в алюминиевой матрице. Теоретическая модель движения малоугловых ГЗ наклона в твердом растворе атомов меди построена на основе модели движения ГЗ в чистых ГЦК металлах, которая сформулирована в разделе 2.1. Для данной теоретической модели варьировались 3 параметра: модуль сдвига G, область локализации напряжений вокруг зернограничных дислокации в кристалле a/b, предел текучести Y0. Изменение значений параметров связанно с взаимодействием движущихся зернограничных дислокаций с растворенными атомами меди. В целом, результаты МД и теоретической модели показывают хорошее количественное и качественное соответствие – рисунок 4. Рис. 4. Сравнение результатов МД моделирования и теоретической модели движения малоугловой симметричной ГЗ наклона в бикристалле алюминия с 5% твердым раствором атомов меди и углом разориентировки 8.10 при перпендикулярном сдвиге 1 м/с: (а) сдвиговые напряжения, (б) среднее положение ГЗ. В четвертой главе осуществляется многомасштабное моделирование алюминиевого сплава упрочненного наноразмерными медными кластерами. Путем МД моделирования исследуются механизмы взаимодействия краевой дислокации и кластеров размером 1-4 нм, рассматриваются несколько скоростей сдвига (2.5×107 и 8.3×107 с-1), температур МД системы (100 – 700 K) и концентраций меди внутри объема кластера (20 – 100 ат.%). Далее формулируется теоретическая модель преодоления кластера и включается в схему двумерной дискретной дислокационной динамики (2D ДДД) для перехода на мезоскопический масштабный уровень. Рис. 5. Схема движения дислокации и взаимодействия с медным кластером: стадия (А) приближение дислокации к препятствию; стадия (Б) начало взаимодействие дислокации с кластером, когда основной сегмент дислокации ещё не дошел до середины препятствия; стадия (В) завершающая стадия взаимодействия; этап (Г) стягивание к основной части дислокации её отстающих круговых сегментов после взаимодействия; стадия (Д) движение прямой дислокационной линии после взаимодействия. В разделе 4.2 формулируется теоретическая модель перерезания наноразмерного медного кластера – схема и этапы модели приведены на рисунке 5. В периодически повторяющейся системе, соответствующей постановке МД моделирования, расстояние между кластерами: вдоль линии дислокации; вдоль вектора Бюргерса, совпадающего с направлением движения краевой дислокации, и в направлении, перпендикулярном плоскости скольжения. Движение каждого дислокационного сегмента описывается с помощью обобщенных координат x, a, c – рисунок 5. Движение прямой дислокационной линии на стадиях (А) и (Д) описывается уравнением движения (11): 2 = �1 − 1 � �2�3�2 − � �, 2 2 (13) где - сила со стороны сдвиговых напряжений, действующая на единицу длины дислокационной линии. В работе [25] показано, что следует использовать локальные напряжения в окрестности дислокационной линии при расчете : = ′, (14) где ′ - действующее напряжение. При деформации сдвига, когда верхняя область кристалла сдвигается с постоянной ′ скоростью , в момент времени рассчитывается аналогично случаю малоугловых границ зерен наклона в формулах (6) - (7): ⎧ ( − ) − � − 0� , ( − 0) < , ⎪ 2 ′ =⎨ ( − )− �2− −( − 0)�,( − 0)> − , (15) ⎪ 2
⎩ ( − ) − , в других случаях, 2
где 0 – начальное положение дислокации, – количество полных циклов движения дислокации по периодической системе, – размер области действующих напряжений вокруг ядра дислокации.
Среднее напряжение в системе составляет:
〈 〉 = � − �, (16)

где – площадь заметенная дислокацией при ее движении:
⎧ ( − 0) − (2 − ⁄2)( − )2 + , на стадиях (А), (Г), (Д),
=⎪ ( − 0)+ ( )− 2⁄4+ ,настадии(Б), (17)
⎨⎪⎩ ( − 0)−(2− ⁄2)( − )2 −( − )� 2 −4 2 + ( )− − 2⁄4 + , на стадии (В),

где ( ) – площадь заметенная дислокацией внутри включения, определяемая
координатой перерезания .
дислокации, которая включает в себя как работу упругого поля − , так и
Чтобы найти действующие на дислокацию силы, нужно записать ′ энергию
1
собственную энергию, которая пропорциональна длине линии дислокации [2]:
⎧− ′ + + 2 [ − (4 − ) ]( − ), на стадии (А), (Г), (Д),
⎪
⎪ − ′ + � −� 2 −4 2�+ ⎪
= ⎨ + �� 2 − 2 + arcsin(2 ⁄ ) − arcsin(2 ⁄ )� , на стадии (Б), (18) ⎪ − ′ + � −� 2 −4 2�+1[ −(4− ) ]( − )+
⎪ 2
⎪ + �� − + arcsin(2 ⁄ ) − arcsin(2 ⁄ )� , на стадии (В), ⎩ 22
где = на этапах (A) и (Д), а энергии дислокационных сегментов: – краевых, –
винтовых, с – перерезающих кластер.
Обобщенные силы, , с и , действующие
на
координаты, ,
и , (19а)
(19б) (19в)
=− ,
соответственно, рассчитываются следующим образом:

=− ,
=− − ∙sign� �,
где последний член в выражении для – сила сопротивления, связанная с преодолением
уравнения (19в) не преодолеет силу сопротивления. Коэффициент с размерностью
сегментов дислокации, , и , связанные с изменением координат , и ,
(20а)
медного кластера. Перерезание не начинается пока первый упругий член в правой части
поверхностной энергии характеризует силу сопротивления. Эффективные длины
определяются через производные от заметенной площади. А силы на единицу длины дислокационной линии равны:
⎧ ′ на стадиях (А) и (Д),
⎪ ′ − 4 + 2 на стадии (Б1), =⎪ √ 2−4 2
⎨ ′ − √ 2 −4 2 sign� �настадии(Б2), ⎪1
⎪ ′ − [ −(4− ) ]настадиях(В)и(Г),
⎩2
⎧ 2 + ′ − ∙ sign� �на стадиях от (Б1) до (Д1), ⎪ − 2
=⎪ 1 �12[ −(4− ) ]−4 +2 + ′ �− ⎨√ 2 − 4 2 √ 2 − 4 2
⎪
⎪ − ∙ sign� �на стадии (В2),
(20б)
⎩ 1 4 +2
⎧ �[ −(4− ) ]− �+ ⎪2(4− )( − ) √ 2 −4 2
= ⎨ + ′ на стадии (В1),
⎪ −(4− ) + ′ настадии(Г),
(20в) на стадии (В2) в формуле (20б) предполагается, что вся сила прилагается к отрезку длиной
⎩ 2(4 − )( − )
= √ − 4 , разрезающему кластер, поскольку сопротивление в кластере намного

выше, чем в окружающей матрице.
Уравнение движения для координаты :
2 = �1 − 1 � �2�3�2 − � �. (21) 2 2
Изменение координаты отражает движение свободных сегментов дислокации, помимо этого нет большой разницы между коэффициентом трения для краевых и винтовых сегментов. С другой стороны, для координаты перерезания используется аналогичное уравнение движения, но с ожидаемо большим коэффициентом трения , соответствующим движению дислокации в зоне сегрегации атомов меди:
2 = �1 − 1 � �2�3�2 − � �.
2 2
(22)
Чтобы замкнуть модель необходимо определить удельные энергии дислокаций, которые взяты из литературных данных [2]:
В разделах 4.1 и 4.3 приводятся результаты теоретической модели и данные МД моделирования. Предложенная теоретическая модель взаимодействия дислокации с включениями и перерезания включений позволяет адекватно описать упрочнение материала наноразмерными медными кластерами – рисунок 6. Наибольшее отклонение между МД данными и результатами теоретической модели наблюдается при высокой скорости сдвига. Это может быть связано с эффектом локализации поля напряжений вокруг дислокации при больших скоростях деформации.
Рис. 6. Сравнение результатов МД моделирования и теоретической модели с параметрами, определенными байесовским алгоритмом: среднее напряжение сдвига при температуре 300 K для случая (а) чистого алюминия и (б) алюминия с кластером меди диаметром 1 нм и с концентрацией 50% атомов меди.
На рисунке 7 сравниваются результаты теоретической модели с данными МД моделирования для включений диаметром до 4 нм. Модель адекватно отражает увеличение среднего напряжения с увеличением диаметра кластера. И в МД, и в теоретической модели перерезание происходит только для включений диаметром до 1.2 нм включительно, в то время как петля Орована образуется вокруг включений с диаметром 1.4 нм и более.
Рис. 7. Сравнение результатов теоретической модели и МД моделирования для кластеров разных размеров [1.2 нм (а), 4 нм (б)]: среднее сдвиговое напряжение в системе при
температуре 300 K в алюминиевом кристалле, содержащем кластер с концентрацией 50% атомов меди.
В разделе 4.4 для оценки макроскопического отклика системы упрочненного наноразмерными медными кластерами, сформулирован метод 2D ДДД, который был изначально предложен в работе [24] для оценки макроскопического отклика Al-Cu сплава с неперерезаемыми включениями типа θ-фазы. Следуя предложенному подходу и используя теоретическую модель взаимодействия дислокаций с наноразмерным кластером можно получить новую модель 2D ДДД.
Рис. 8. Результаты 2D ДДД: кривые напряжение-деформация для алюминиевого сплава с медными наноразмерными включениями, равномерно распределенными по размеру от 1 до 2 нм; линия с кружками представляет экспериментальные результаты [30] для алюминиевого сплава 2024 с содержанием меди 4.4 мас. %, обработанного циклическим нагружением.
Из данных представленных на рисунке 8 следует, что полученные результаты расчетов 2D ДДД согласуются с экспериментальными данными [30], хотя есть некоторая неопределенность в реальном распределении по размерам и содержанию атомов меди внутри кластеров в экспериментах. Дополнительное параметрическое исследование показывает, что как и в случае θ-фазы, рассмотренной в работе [24], распределенные по размеру включения дают гораздо более высокое напряжение течения, чем монодисперсные. Напряжение течения зависит от конкретной формы распределения по размерам.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы: 20

1. Разработана теоретическая модель движения малоугловой ГЗ наклона в чистых ГЦК металлах, которая основана на данных МД моделирования. Теоретическая модель позволяет описать основные стадии движения ГЗ в соответствии с распределение локальных напряжений в кристалле. Искривление формы границы в процессе движения, связаны с дислокационными взаимодействиями. Все перечисленные эффекты наблюдаются в численном МД эксперименте. Проведены исследования с различными скоростями деформации и определена стадия быстрого движения ГЗ, которая наблюдается как в динамическом, так и в квазистатическом режиме.
2. Исследовано движение уединенной краевой дислокации и малоугловых границ зерен в твердом растворе атомов меди. Средние напряжения значительно возрастают в системе с уединенной дислокацией, также как и порог движения границ зерен (предел текучести). Теоретическая модель движения малоугловых ГЗ наклона дает приемлемое соответствие с численным МД экспериментом.
3. Рассмотрена пластичность алюминиево-медного сплава упрочненного наноразмерными медными кластерами, что соответствует экспериментально полученному сплаву [30]. Разработана теоретическая модель перерезания/обхода кластера на основе данных МД моделирования. Предложенная теоретическая модель, обобщенная в схеме двумерной дискретной дислокационной динамики, показывает хорошее соответствие с экспериментальными данными.