Учет электронных корреляций и лазерного излучения в состояниях кулоновского непрерывного спектра электронов

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводи- мых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, сформулированы научная новизна и практическая значимость пред- ставляемой работы.
В первой главе анализируется предлагаемый автором подход к чис- ленному решению проблемы трехчастичного кулоновского континуума на примере реакции ( ,3 ) двойной ионизации атома гелия в рамках s-модели Темкина-Поета [1, 4, 9, 10]. Исходная четырехчастичная задача, + → ++ + + + , решается методом последовательных приближений, где роль возмущения играет оператор ^ взаимодействия налетающего электрона с мишенью [19]. При этом состояние невозмущенной системы описывается про- изведением кулоновской функции налетающего электрона и функцией основ- ного состояния атома гелия. В первом порядке теории возмущений уравнение формулируется в виде:
[︁ − ^ ]︁ Φ(+)(r1, r2) = ^ (r1, r2)Φ(0)(r1, r2). (1) Здесь ^ — гамильтониан атома гелия
^= ^0+ 1, ^0= ^1+ ^2, ^ =−12△ − , (2) 12
r1 и r2 — координаты электронов, движущихся в поле бесконечно тяжелого
ядра с зарядом ( = 2 в случае гелия), 12 = |r1−r2|. В качестве начального
состояния используется волновая функция Φ(0) основного состояния атома.
В результате ионизации оба электрона покидают атом с суммарной энергией
= 12 + 2 . Здесь и ниже используется атомная система единиц (а.е.), если 22
не указано иное.
В случае процесса ударной ионизации оператор ^ — так называемый
‘driven term’ — в уравнении (1) имеет вид:
^ (r1,r2)= 1 4 (− + q·r1 + q·r2). (3)
(2 )3 2
Здесь q = k − k — переданный импульс, k и k — начальный и конечный импульсы быстрого электрона.
В рамках предлагаемого подхода другие каналы реакции (упругое рас- сеяние, неупругое рассеяние, однократная ионизация атома) частично учиты- ваются при построении базисных функций. Однако детальное изучение этих эффектов выходит за рамки данного исследования.
8
В разделе 1.2 решение Φ(+) уравнения (1), удовлетворяющее гранично- му условию в виде расходящейся шестимерной сферической волны в асимп- тотической области Ω0 (где все три частицы сильно разделены), ищется в виде разложения
l −1
Φ(+)(r1, r2) = ∑︁ ∑︁ (l1l2) | 1l1 2l2; ⟩ (4)
1 2
по базису так называемых сверток квазиштурмовских функций (СКШ). Эти
интегрируемым базисным функциям
l1,l2 1, 2=0
базисные функции генерируются действием оператора функции Грина ^0 ≡ [︁ ^ ]︁−1
− 0 :
на функции, которые являются ортогональным дополнением к квадратично
^⃒ ⟩
| 1l1 2l2; ⟩ = 0 ⃒ 1l1 2l2; (5)
l1 ( 1) l2 ( 2)
| 1l1 2l2; ⟩ ≡ 1 2 l1l2(^r1,^r2). (6)
1 2
Угловую часть базисных функций (6) образуют бисферические гармоники:
l1l2(^r1,^r2)= ∑︁(l1 1l2 2| ) l (^r1) l (^r2). (7)
1 2
В свою очередь радиальная часть задается в виде произведения ( ),
= 1,2 так называемых лагерровских функций l( )=[( +1)2l+1]−21 (2 )l+1 − 2l+1(2 ),
где — масштабный параметр.
(5) в области больших значений гиперрадиуса = √︀ 12 + 2 определяется

11 22
(8) Главный член асимптотики радиальной части l1l2(+) СКШ функции

свойствами функции Грина ^0 и имеет вид: l1l2(+)( ; , ) ∼ √︁1(2 )3/4 2 ( )2
( )1 2 √
1 2 1 2 →∞ 8 4 1 1,l1 1 2 2,l2 × exp {︁ [︁√2 − 1 ln(2 1 1) − 2 ln(2 2 2)
(9)
+ l ( 1)+ l ( 2)− (l1+l2)]︁}︁, 122
1 2

где 1 = cos( )√2 , 2 = sin( )√2 , 1,2 = − ; — гиперугол: tan( ) = 1,2
2/ 1; l( ) — кулоновская фаза; l — синусоподобное -матричное решение [28]. Из (9) следует асимптотическое поведение решения (4):
(+) 1 [√2 − 1 ln (2 1 1)− 2 ln (2 2 2)] Φ (r1,r2) ≃ 5/2
, (10)
амплитуда которого выражается через коэффициенты разложения
= sin(2 )
√︁2 3/4 l l1l2
(2 ) 4 ∑︀ (^r1,^r2)
l1 l2
(l +l )]︁}︁ −1 (l1l2)
(11)
Заметим, что СКШ функции (5) изначально строились с помощью функции Грина ^0, отвечающей гамильтониану ^0 = ^1 + ^2 двух невза- имодействующих водородоподобных систем. По этой причине в показателе экспоненты в (10) в отличие от соответствующего выражения для прибли- женного решения в виде сферического эйконала [11,29] отсутствует фаза
1(︁√)︁
3(r1,r2)=−√ ln 2 2 , (12)
2 12
соответствующая -потенциалу 1/ 12. Такое несоответствие асимптотиче- ских свойств решения и СКШ функций (5) ставит под вопрос их примени- мость в качестве базисных при построении решения (4).
В разделе 1.3, в качестве примера, рассмотрено неоднородное двумер- ное уравнение
(13)
{︁ [︁
×exp l ( 1)+ l ( 2)− 1 2 ∑︀ 1 2 l ( 1) l ( 2).
1221122 1 , 2 =0
[︁ +1 2 +1 2 +2 +2 −1]︁ ( , )= ^ (r,r)Φ(0)(r,r)=F( , )
2 12 2 2 1 2 > 1 2 1 2 1 2 ^ (r,r)= 1 4 [2− ( )− ( )],
1 2
1 2 (2 )3 2 0 1 0 2 Φ(0)(r1,r2)=− 1 2 3 − ( 1+ 2),
к которому сводится (1) в рамках модели Темкина-Поета для ( , 3 ) процес- са [19]. Энергию и переданный импульс мы выбрали близкими к значениям, соответствующим эксперименту: = 0.791 и = 0.24. Для описания модель- ного связанного состояния использовано значение = 27/16.
Мы задали значение масштабного параметра = 0.6 и исследовали сходимость разложения
−1
( 1, 2) = ∑︁ , (+) ( 1, 2), (14)
1 , 2 =0
(здесь опущены индексы орбитального момента l1 = l2 = 0) решения с ростом . Вещественные части функций (+) 5/2 ≡ ( 1, 2) 1/22/sin2( ), получен- ных в модельных пространствах различной размерности, представлены на рис. 1. Результаты демонстрируют расходимость решения (14) как функции на больших расстояниях. В свою очередь в ограниченной области реше- ние стремится с ростом к ‘точному’, полученному методом обобщенных штурмовских функций (GSF) [19] на конечном интервале.

1 2 1, 2

Re( (+) ) N
0,0004
0,0000
0 10 20 30 40 50
-0,0004
-0,0008
-0,0012
GSF
N = 36
N = 26
N = 16
Рис. 1: Вещественная часть решения (+) 5/2 ≡ ( 1, 2) 1/22/ sin 2( ), полученного с разными , при = 4 , т.е. вдоль диагонали 1 = 2 = /√2. Масштабный параметр базиса (8) = 0.6.
В разделе 1.4 для решения проблемы расходимости мы предложили вместо (14) модифицированное разложение:
−1
̃︀( 1, 2) = ( 1, 2) ∑︁ , (+) ( 1, 2), (15)
1 , 2 =0
где ( 1, 2) совпадает с кулоновской фазой (12) в асимптотической области Ω0 [11]. Явный учет электронной корреляции путем введения фазового мно- жителя мы назвали представлением двухэлектронного континуума (ДЭК).
В рамках -модели Темкина-Поета, где кулоновское -взаимодействие принимает вид 1 → 1 , асимптотическое поведение кулоновской фазы (12)
12 > задается выражением
1(︁√)︁
( 1, 2)→−√ ln 2 2 . (16)
2 >
Подстановка (15) и (16) в (13) дает уравнение относительно коэффициентов
−1 [︂ ( 1) ( 2)
]︂
− ^ (+) ( ; 1, 2) ̃︀ , = − ( 1, 2)F( 1, 2), (17)
1 2
∑︁ 1 1, 2=0
̃︀
1 2 1, 2
1 2
1, 2
^ 1 1 [︂(︁ )︁2 (︁ )︁2]︂ [︁ 2 2 ]︁ = >+2 1+ 2 −2 12+ 2
(18) Из асимптотического поведения (9) следует справедливость выражения
− [︁ + ]︁. 1 1 2 2
(+) √ (+)
1, 2( ; 1, 2) ≃ 2 1, 2( ; 1, 2), = 1,2, (19)

из которого, с учетом свойства фазы (16), можно заключить, что действие последнего члена оператора ^ (18) на (+) компенсирует действие дально-
1 , 2
действующего потенциала 1 при → ∞. Таким образом, можно ожидать,
>
что в этой асимптотической области оператор ^ можно рассматривать как возмущение.
В наших расчетах использована следующая параметризация фазы : 1(︁√)︁
( 1, 2) = −√2 ln(2 2 ) + + , (20)
где = + >, = √︀ + 2, и , и — вещественные числа. Мы остановили свой выбор на следующем наборе параметров: = 2.5, = −2.364, = −0.75, минимизирующем оператор ^ (18) для заданных , и .
Из результатов, представленных на рис. 2, следует, что применение представления ДЭК позволяет достичь сходимости решения уравнения (13) с расширением базисного пространства.
Рис. 2: Сходимость решения ̃︀(+) 5/2 ≡ ̃︀( 1, 2) 1/22/sin2( ) с ростом .
Во второй главе представлено обобщение подхода, основанного на использовании представления ДЭК [3,6,7]. В случае ( ,3 ) процесса ударной ионизации решается уравнение (1) с оператором в правой части в виде (3).
Асимптотическое поведение решения Φ(+) при больших задается сфе- рическим эйконалом (см., например, [11])
где k1, k2
поведение при больших задается кулоновски модифицированными плос-
3/2 exp{ [ + (r ,r )]}
Φ(+)(r1,r2) ≃ 4 0 1 2 k1,k2, (21)
(2 )5/2 5/2
( k1 = 1^r1, k2 = 2^r2) — амплитуда перехода:
=⟨Ψ(−) ⃒ ^ ⃒Φ(0)⟩. k1,k2 k1,k2
(22) Здесь Ψ(−) обозначает решение соответствующего (1) однородного уравне-
k1 ,k2
ния Шредингера, нормированного таким образом, что его асимптотическое
2 — гиперимпульс. В главном члене асимптотики (21) 0 является кулоновской
кими волнами с импульсами 1 = cos( ) и 2 = sin( ); = фазой
0 (r1, r2) = 1 (r1, r2) + 2 (r1, r2) + 3 (r1, r2) , (23) 13
√

где каждое из слагаемых отвечает своему кулоновскому взаимодействию: (r1,r2) = ln(2 ), = 1,2. (24)

Таким образом, для того, чтобы извлечь из (21) -независимую амплиту- ду k1,k2, все элементы зависящей от фазы 0 должны присутствовать в асимптотике для решения Φ(+).
В разделе 2.2 предлагается ДЭК представление задачи, в рамках ко- торого строится -независимая амплитуда. В частности подстановка
Φ(+) (r1, r2) = (r1,r2)Φ̃︀(+) (r1, r2) (25)
преобразует (1) в уравнение [︁]︁
^
− ^0+L^ Φ̃︀(+)(r1,r2)= − (r,r) Φ(0)(r1,r2), (26)
где оператор L^ определен следующим образом
L^ = 2 [ △ 1 + △ 2 ] − 21 [︁ ( ∇ 1 ) 2 + ( ∇ 2 ) 2 ]︁
+ [(∇ 1 )·∇ 1 +(∇ 2 )·∇ 2]− 1 . 12
Решение (26) ищем в виде разложения по СКШ функциям [4] l −1
(27)
Φ̃︀(+) (r1,r2) = ∑︁ ∑︁ ̃︀ (l1l2) | 1l1 2l2; ⟩ . (28) 1 2
l1, l2=0 1, 2=0
Предположим, что фаза выбрана таким образом, что
+ 1 ln(2 ) ≃ ( , ), 12
(29)
где — асимптотически не зависящая от от функция переменных и = ^r1 · ^r2. Тогда, переходя к пределу → ∞ в (28) с учетом (9), получим в результате последующего сравнения с (21), что
∞
k , k = exp { ( , )} ∑︁ ∑︁ l1l2 (k^1,k^2) ̃︀ (l1,l2), (30)
12 0 l1 ,l2 =0
где k1 = 1^r1, k2 = 2^r2, а парциальные амплитуды
(l ,l ) (4 )2 {︁ [︁ (l1+l2)]︁}︁
̃︀ 1 2 = sin(2 ) exp l1( 1)+ l2( 2)− 2
×
∑︀∞ (l1 l2 ) (31) l ( 1) l ( 2)
̃︀12 11 22 1 , 2 =0
выражаются через коэффициенты разложения (28). Таким образом, в ДЭК представлении амплитуда перехода (30) определена с точностью до – независимой фазы
( , ) = ln (︀cos2( ))︀ + ln (︀sin2( ))︀ + ( , ). (32) cos( ) sin( )
В разделе 2.3 рассмотрен случай полного углового момента = 1. Предположим сначала, что решение Φ(+) представимо в виде разложения (4) по базисным СКШ функциям, тогда с учетом асимптотических свойств (21) и (9) получаем разложение амплитуды ионизации
k1,k2 = exp {− [ 0(r1,r2) + 1 ln(2 1 1) + ln(2 2 2)]}
∞ ∞ l1l2 (l ,l ) (33)
× ∑︀ ∑︀ 0 ( ^r 1 , ^r 2 ) 1 2 l1,l2=0
по парциальным амплитудам (l1,l2):
(l1,l2) =
(4 )2 exp{︁ [︁ l ( 1)+ l ( 2)− (l1+l2)]︁}︁ sin(2 ) 1 2 2
−1 (l l )
× ∑︀ 1 2 l( 1) l( 2).
1 , 2 =0
121122
Заметим, что выражение (33) содержит зависящую от экспоненту. Вместе с тем этот расходящийся общий фазовый множитель не влияет на значение сечения. По этой причине (33) можно рассматривать как формальное опреде- ление амплитуды ионизации, а величины (34) трактовать как парциальную амплитуду.
В расчетах, проводимых в рамках ДЭК представления, мы использо- вали следующую параметризацию фазы , через полиномы Лежандра ( ):
∑︁6( 1 2) √︁2
(34)
(r1,r2) = − [ln(2 ) + ]
Индуцированное фазовым множителем возмущение здесь призва- но компенсировать соответствующее мультипольное разложение потенциала 1/ 12.
=0
2 +1 ( ), = + >. (35)
Оптимальный выбор вещественных параметров: = 50 и = −6.9, позволяет минимизировать возмущение (27) в окрестности начала координат и на сравнительно больших расстояниях, соответственно.
Рис. 3: Сходимость абсолютных значений (верхний график) и аргументов (нижний
рисунок) парциальных амплитуд (l1,l2) (34) (сплошные символы) и (l1,l2) (31)
(прозрачные символы), полученные соответственно с использованием × СКШ базисных функций ( = 1 и l ≤ 3).
Мы рассмотрели случай энергии = 0.735 [19], одинаково распреде-
ленной между двумя выбитыми электронами ( = /4). Функция основно-
го состояния атома гелия Φ(0) была получена в результате диагонализации
матрицы гамильтониана в базисе (6). На рис. 3 приведены результаты расче-
тов парциальных амплитуд =1(l1,l2) (34). Несмотря на то, что абсолютные
значения амплитуд сходятся довольно быстро, их аргументы демонстрируют монотонное поведение с ростом . Таким образом, в этом случае отсутствует сходимость.
С другой стороны, амплитуды =1(l1,l2) (31) сходятся как по абсолют-
ным значениям, так и по фазе.
В разделе 2.4 обсуждается оператор возмущения (27), соответствую-
щий двухпараметрическому представлению фазы:
(r1,r2)=− 1[ln(2 )+ ], =√︁ 12 + 2 −2 1 2 ( )+ , (36)
̃︀
̃︀
главный член асимптотики которой в области Ω0 совпадает с кулоновской фазой (12). Здесь ( ) = 1 за исключением малой окрестности точки = 1, в которой ( ) < 1. Параметры и в (36) выполняют роль минимизации оператора возмущения L^ (27). В разделе 2.5 рассмотрено приложение ДЭК представления к расчету процессов двойной ионизации атома гелия. В частности, выполнен расчет пятикратного дифференциального сечения (FDCS) реакции ( , 3 ): 5 = 1 1 2⃒ ⃒2, (37) ⃒ k1,k2⃒ 1 2 1 2 (2 ) Ω Ω Ω 2 =√1 ( k,k + k,k). (38) k1,k2 212 21 Импульсы обоих выбитых электронов с энергиями 1 = 2 = 10 эВ лежат в плоскости рассеяния [30,31]. 6o 6o 1 = 97 44 22 00 0 60 120 180 240 300 360 2 (degrees) 66 = 263o 1 22 00 0 60 120 180 240 300 360 2 (degrees) 1 = 139 0 60 120 180 240 300 360 2 (degrees) FDCS ( 10-3 a.u. ) FDCS ( 10-3 a.u. ) FDCS ( 10-3 a.u. ) FDCS ( 10-3 a.u. ) Рис. 4: FDCS как функция угла вылета второго электрона 2 при фиксированном значении угла 1 в случае компланарной геометрии и кинематических условий эксперимента [30, 31]: 1 = 2 = 10 эВ и = 0.24 а.е. Экспериментальные данные в абсолютных единицах — [30,31]; результаты, полученные с использованием (33), (34) (пунктирная линия); ДЭК представление (сплошная линия); CCC [30] (штриховая линия); GSF [32] (штрих-пунктирная линия). Все теоретические результаты приведены со множителем 2.2. 0 60 = 291o 1 120 180 240 300 360 2 (degrees) Исследуя сходимость, мы последовательно увеличивали верхний пре- дел в разложении (28). При этом сходимость была достигнута при max = 36, т.е. при максимальном размере базиса 9072 (для = 2). На рис. 4 при- ведены FDCS, рассчитанные в ДЭК представлении (30), (31), в сравнении с экспериментальными данными [30, 31], а также с результатами, полученны- ми в рамках CCC-подхода [30] и GSF-метода [32,33]. Для полноты картины мы здесь также привели FDCS, полученные с использованием (33), (34). Все приведенные теоретические результаты согласуются как по угловому распре- делению, так и по абсолютной величине. Третья глава посвящена исследованию состояний непрерывного спектра электронов в комбинированном кулоновском и лазерном поле в непертурбативном подходе, основанном на эрмитовой теории Флоке. Исполь- зование представления Крамерса-Хеннебергера (KХ) приводит к формули- ровке задачи в виде неоднородного уравнения Шредингера с квадратично интегрируемой правой частью. Решение уравнения с граничными условиями в виде сферической кулоновской волны предлагается искать в виде разложе- ния по базису параболических квазиштурмовских функций [2,5]. В параграфе 3.1 формулируется задача теоретического исследования реакции ( , 2 ) на атоме водорода в присутствии лазерного поля: l + − +H(1 )→H+ +2 −, (39) где l — число фотонов, которыми атомная система обменивается с полем. Монохроматическое линейно поляризованное лазерное поле, задаваемое век- торным потенциалом A( ) = A0 cos (40) с частотой , включается адиабатически в далеком прошлом: = −∞. В параграфе 3.2 приведены основные положения эрмитовой теории Флоке применительно к уравнению Шредингера, описывающему динамику электрона в комбинированном кулоновском поле (r) = − / и внешнем электромагнитном поле (40): [︃1(︂ 1 )︂2 ]︃ Ψ(r, )= 2 − ∇+ A( ) + (r) Ψ(r, ). (41) В KХ представлении уравнение (41) преобразуется к виду где (︂1)︂ (r, ) = −2Δ + [r + a( )] (r, ), (42) −∞ ⎡ ⎤ ∫︁′2′ (r, )=exp⎣a( )·∇+2 2 18 ( )⎦Ψ(r, ), (43) виде разложения −∞ ∞ (r, ) = − ∑︁ − ( , r) (45) 1∫︁ ′′ a( )= В рамках эрмитовой теории Флоке решение уравнения (42) ищется в A( )=a0sin , a0 =A0/ . (44) =−∞ с вещественной квазиэнергией . Компоненты удовлетворяют бесконечной системе стационарных уравнений [ + 0(a0,r)− ] ( ,r)+∑︀ ̸= − (a0,r) ( ,r)=0, = 0, ±1, ±2,... (46) Здесь = −21 Δ − , — Фурье-компоненты кулоновского потен- циала: Граничные условия для волновой функции состояния непрерывного спектра электрона могут быть сформулированы с использованием следую- щих свойств: (r, ) −→ − (±)(r), (a0,r) −→ 0 (r), (48) →−∞ →∞ где (±) — кулоновская волна. Таким образом, асимптотическое поведение (a0,r) = [r+a( )]. (47) Флоке-компонент задается выражением (±)( ,r) −→ 1 { exp[ kr ± ln( ∓ kr)] →∞ (2 )3/2 0 + (±)( ,^r)exp[± ∓ ln(2 )]}︁, (49) 1∫︁ {︃ √︀2( + ), + ≥0, =− / , = ± √︀−2( + ), + <0. (50) Представляя далее компоненты (±) в виде (±)( , r) = ̃︀(±)( , r) + 0 (±)(r), (51) преобразуем (46) в следующее неоднородное уравнение: + ∑︀ ̸= − 0 0 [ + (a ,r)− ] (±)( ,r) 00 (a ,r) (±)( ,r) = − (a ,r) (±)(r). ̃︀ ̃︀ (52) В параграфе 3.2.1 решение уравнения (52) ищется в виде разложения −1 ̃︀(±)( , r) = ∑︁ ∑︁ (±) (±) ( ; , , ) (53) 1 2 1 2 =− 1, 2=0 по так называемым параболическим квазиштурмовским функциям. Для их построения мы применяем соответствующие операторы кулоновской функ- ^ [︁^ ]︁−1 цииГрина = − : (±) ( ; , , )= ^(±)| ⟩. (54) 1 2 1 2 В качестве вспомогательных здесь использованы функции параболических координат , , (ось ^ выбрана в направлении импульса k налетающего электрона: = √ cos , = √ sin , = − ), ортогональные базисным лагерровским 2 функциям | 1 2 ⟩=√2 1 ( ) 2 ( ), (55) | | | | √︃ 2 Γ( + 1) Γ( +1+| |) (2 )| |/2 − | |(2 ), (56) где — масштабный параметр базиса. Главный член асимптотики КШ функ- | |( ) = ций следует из их определения (54): (±) | |(±) exp {± [ − ln(2 )]} 1 2 ( ; , , ) −→ √ →∞ 2 1 2 ( ) , (57) амплитуда | |(±), которого выражается через гамма-функции. 1 2 Построение одетого полем начального состояния атома водорода об- суждается в параграфе 3.4.1. Здесь компоненты Флоке аппроксимируются конечными разложениями −1 ( ) = ∑︁ ∑︁ ( ) | 1 2 ⟩ (58) 1 2 из = (2 + 1) × 2 лагерровских базисных функций (55). Таким образом, =− 1, 2=0 коэффициенты ( ) и энергия являются решением обобщенной задачи на 1 2 собственные значения (H + V) C( ) = BC( ). (59) Заметим, что a priori неизвестно, какой из собственных векторов соот- ветствует искомому связанному состоянию, поскольку учет очередной Флоке- компоненты приводит к расширению модельного пространства и модифика- ции собственных векторов. Мы предлагаем в качестве начального исполь- зовать так называемое обобщенное KХ состояние, которому соответствует максимальная (по абсолютной величине) нулевая компонента Флоке, и фор- мулируем процедуру его построения. В параграфе 3.4 мы рассмотрели ( ,2 ) процесс на атоме водорода в присутствии лазерного поля в компланарной кинематике, т. е. когда импульс p0 налетающего электрона, а также импульсы рассеянного p и выбитого k электронов лежат в одной плоскости. Мы положили в наших расчетах = 0.93 и значение масштабного параметра = 0.6 базиса (55). Вектор по- ляризации лазерного поля выбран перпендикулярным плоскости рассеяния. Значения амплитуды 0 = 5 и частоты = 0.05 = 1.36 эВ поля характерны для имеющихся экспериментов [34] ( = 4 × 1012 W/cm2 и = 1.17 эВ). По условию эксперимента переданный импульс q = p0 − p достаточно мал по сравнению с p0 и p , так что амплитуда ионизации, соответствующая погло- щению l фотонов, в этом случае может быть записана как ′ здесь ′ — функция Бесселя целого порядка [35]. Мы исследовали сходимость аппроксимации (53) решения. В частно- сти, нашли, что при ≥ 16 решение (53) сходится на интервале , ≤ 15 а.е. В последующих расчетах мы зафиксировали это число базисных функ- ций по каждой из координат , и положили = 7 в разложениях (53) и (58). Сходимость решений теперь исследовалась по отношению к числу 2N + 1 Флоке-компонент в разложении (45) (N — верхний предел, (−N) — нижний предел). При этом N последовательно увеличивалось до N = 7, так что максимальные размеры базисного пространства достигали = 57600. Последовательность обобщенных KХ состояний, построенная таким образом, представлена в таблице 1. С полученным начальным состоянием мы рассчитали трехкратное дифференциальное сечение (TDCS) ( ,2 ) процесса (39) (l) 4 ∑︁[︂∫︁ ( )* qr ( ) = 2 − ∑︁ ′ (−qa ) r ( )* ( ,r) ( ) ( ,r) , (60) (l) Ω Ω = 1 ⃒ ⃒2 ⃒ (l)⃒ . (61) r −l ( ,r) ( ,r) ∫︁]︃ 0 − ′−l (2 )2 0 в отсутствие обмена фотонами (l = 0) между полем и атомной системой. При этом мы последовательно увеличивали число 2N + 1 базисных функ- ций Флоке-Фурье разложения (45) конечного состояния атомной системы. Сходимость сечения (61) была исследована для кинематической области, ко- гда быстрый электрон рассеянный на малый угол = 0.43∘ имеет энергию = 5 кэВ, так что переданный импульс достаточно мал = 0.15. Результаты для TDCS, приведенные на Рис. 5, демонстрируют типич- ную картину углового распределения выбитого электрона в плоскости рас- сеяния. А именно, присутствуют бинарный пик в направлении переданного импульса (q) и пик отдачи в противоположном направлении (−q). Сравне- ние результирующего TDCS с сечением в отсутствие поля (сплошная линия) позволяет оценить эффект поля лазера. Таблица 1: Поведение собственных значений N и наибольших коэффициентов 0( ) 1 20 нулевых компонент Флоке ( = 0) для обобщенных KХ состояний с ростом N N N 0( ) 000 0( ) 100 -0.355924 +i0.417389×10−14 -0.199877 -i0.192053×10−14 -0.196557 +i0.103595×10−12 -0.195399 -i0.123909×10−14 -0.184586 +i0.442137×10−10 -0.184227 -i0.629620×10−15 -0.179809 -i0.516623×10−7 -0.176820 +i0.244482×10−16 0( ) 110 0.235527 -i0.276201×10−14 0.209358 +i0.201163×10−14 0.112545 -i0.593281×10−13 0.156212 +i0.993447×10−15 0.150770 -i0.361136×10−10 0.159845 +i0.547415×10−15 0.159936 +i0.459524×10−7 0.158099 -i0.197072×10−16 0 -0.201819 1 -0.326097 2 -0.330410 3 -0.389163 4 -0.419223 5 -0.438350 6 -0.450722 7 -0.459299 0.551647 -i0.646912×10−14 0.264437 +i0.254086×10−14 0.405213 -i0.213726×10−12 0.350215 +i0.221954×10−14 0.371691 -i0.890313×10−10 0.360758 +i0.122863×10−14 0.360771 +i0.103656×10−6 0.360064 -i0.483796×10−16 Основным результатом, полученным в этой главе, является довольно быстрая сходимость с ростом числа членов Флоке-Фурье разложения (45) ко- нечного состояния атомной системы. Таким образом, в рамках предложенной квазиштурмовской-Флоке методологии возможно генерировать одетые полем состояния электрона, движущегося в комбинации кулоновского поля и лазер- ного излучения, и исследовать соответствующие процессы ионизации. Рис. 5: Поведение сходимости модифицированного лазером TDCS при l = 0, когда число N в разложении Флоке-Фурье для конечного состояния водорода варьируется от 0 до 7. TDCS в отсутствие поля показано сплошной линией. Импульсы падающего и рассеянного электронов 0 = 19.21 и = 19.17, соответственно. В заключении приведены основные результаты работы, которые за- ключаются в следующем: 1. В приближении s-модели Темкина-Поета процесса двойной ионизации атома гелия сформулировано представление двухэлектронного конти- нуума. В рамках ДЭК представления решение уравнения Шредингера ищется в виде разложения по сверткам квазиштурмовских функций, ‘одетым’ фазовым множителем, отвечающим электрон-электронному взаимодействию. 2. Предложена форма кулоновской фазы представления ДЭК и способ вы- бора параметров, который позволяет минимизировать возмущение, ин- дуцированное фазовым множителем. Исследована сходимость прибли- женного решения к эталонному с увеличением числа базисных функций как в пространстве СКШФ, так и в ДЭК представлении. 3. Выполнено обобщение s-модели ДЭК представления на случай произ- вольного числа парциальных волн, основанное на приближении сфери- ческого эйконала трехчастичной кулоновской системы. Численным ана- лизом доказана сходимость парциальных амплитуд двойной ионизации атома гелия с увеличением числа базисных функций в ДЭК представле- нии. Полученные результаты для дифференциальных сечений ( ,2 ) и ( , 3 ) процессов на атоме гелия согласуются с расчетами других авто- ров. 4. Сформулировано представление параболических КШФ для уравнений Флоке в калибровке Крамерса-Хеннебергера. Базисные КШФ с асимпто- тическим поведением в виде сферических кулоновских волн генерируют- ся действием оператора функции Грина на квадратично интегрируемые лагерровские функции параболических координат. Исследована сходи- мость разложения решения уравнения Флоке с расширением базисного пространства. 5. В рамках представления параболических КШФ выполнен непертурба- тивный расчет дифференциального сечения ( ,2 ) процесса на атоме водорода в присутствии лазерного поля. В качестве одетого полем на- чального состояния атомной системы построено обобщенное состояние Крамерса-Хеннебергера. Численным анализом доказана сходимость ре- зультатов расчетов в рамках предложенной квазиштурмовской-Флоке методологии.