Копулярные модели для оценки инвестиционного риска
В данной работе исследуются и используются копулярные модели для представления и отображения многомерной зависимости в финансовых временных рядах. Предлагается алгоритм вычисления мер риска (Value-at-Risk и Conditional-Value-at-Risk) с использованием копул. Используется CVaR-оптимальный портфель. Далее вычисляются P&L портфеля и соответствующие кривые мер риска. Кривые VaR и CVaR были смоделированы с помощью трёх копул: Гауссовой, t-Стьюдента и иерархической копулы. Эти модели позволяют учитывать корреляцию различных активов друг с другом. Согласно полученным кривым риска, предложенная модель является более консервативной, чем историческое моделирование. Модель R-иерархическая позволяет более адекватно оценить риски и предсказать поведение портфеля лучше, чем обычный эмпирический метод.
Введение 10
1 Обзор литературы 13
2 Объект и методы исследования 15
3 Методология 16
3.1 Сбор и подготовка исходных данных . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Оценка параметров маргинальных распределений . . . . . . . . 17
3.3 Оценка параметров копулярных моделей . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Построение инвестиционного портфеля . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Алгоритм вычисления точечных оценок риск-метрик с исполь-
зованием копул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6 Алгоритм вычисления усреднённых и интервальных характери-
стик риск-метрик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Численное исследование копулярных моделей 30
4.1 Калибровка математической модели . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.1 Исходные данные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.2 Результаты оценки параметров распределений . . . . . . 30
4.1.3 Результаты оценки параметров копул . . . . . . . . . . . 32
4.1.4 Результаты решения задачи поиска оптимального инве-
стиционного портфеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Вычисление риск-метрик с использованием копул . . . . . . . . 38
4.2.1 Точечные оценки значений риск-метрик VaR и CVaR . . 38
4.2.2 Интервальные оценки риск-метрик VaR и CVaR . . . . . 39
4.2.3 Моделирование кривых VaR и CVaR с использованием
копул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Финансовый менеджмент,
ресурсоэффективность и ресурсосбережение 43
5.1 Предпроектный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1 Потенциальные потребители результатов исследования 43
5.1.2 Анализ конкурентных технических решений с позиции
ресурсоэффективности и ресурсосбережения . . . . . . 44
5.1.3 SWOT-анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.4 Оценка готовности проекта к коммерциализации . . . . 45
5.2 Планирование управления научно-техническим проектом . . . 48
5.2.1 Цели и результат проекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.2 Организационная структура проекта . . . . . . . . . . . 49
5.2.3 План проекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.4 Бюджет научного исследования . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.5 Реестр рисков проекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Социальная ответственность 56
6.1 Описание рабочего места . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Требования к ПЭВМ и организация работы . . . . . . . . . . . . 57
6.2.1 Организационные мероприятия . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.2 Технические мероприятия . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Анализ опасных и вредных производственных факторов . . . . 60
6.3.1 Электромагнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.2 Электростатическое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3.3 Производственный шум . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3.4 Микроклимат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3.5 Освещённость рабочей зоны . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3.6 Психофизиологические факторы . . . . . . . . . . . . . 68
6.4 Электробезопасность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.5 Пожарная безопасность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.6 Охрана окружающей среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.7 Защита в чрезвычайных ситуациях . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.8 Перечень научно-технической документации . . . . . . . . . . . 73
Заключение по разделу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Заключение 75
Список использованных источников 77
Приложение A 84
Приложение B 85
Приложение C 86
При построении системы измерения риска инвестиций существует
определенная свобода выбора методологии для определения фактического и
потенциального риска. В данной работе рассчитываются меры риска, широ-
ко используемые в риск-менеджменте: стоимостная мера риска Value-at-Risk
(VaR) и условная стоимостная мера риска Conditional-Value-at-Risk (CVaR),
которые можно определить для разных уровней значимости . В статье
О. Крицкого и М. Ульяновой [12] показано, что при наличии корреляции в
динамике активов портфеля оценка одномерных величин VaR и CVaR оказыва-
ется неадекватной по отношению к риску портфеля. Поэтому для оценки риска
портфеля целесобразно использовать -мерные случайные величины, опреде-
ляемые с помощью многомерных функций совместного распределений.
Зависимость между случайными величинами 1 , 2 , … , может
быть полностью определена через совместную функцию распределения
( 1 , 2 , … , ). Идея представления этой функции через две составляющие
части, одна из которых определяет структуру зависимости, а другая — част-
ные (в англоязычной литературе — маргинальные) распределения для каждой
из рассматриваемых случайных величин 1 , 2 , … , по отдельности, приво-
дит к понятию копула-функции, или просто копулы.
Сегодня существует множество способов описания финансовых вре-
менных данных с использованием нормального (Гауссового) распределения.
Хорошо известно, что Гауссова копула, т. е. копула, для которой в качестве
частного (маргинального) распределения выбрано нормальное распределение,
используется в качестве одного из способов описания портфеля в теории Мар-
ковица. С другой стороны, многие эмпирические исследования показали, что
распределение Гаусса имеет множество недостатков в описании зависимости
финансовых временных рядов [52, 61, 71]. Заметим, что стандарт EBA [36] не
рекомендует использовать Гауссовы копулы для моделирования финансового
риска, а в большинстве случаев более подходящей оказывается двухпарамет-
рическая копула t – Стьюдента, для которой степень свободы (параметр
модели) обычно выбирается равным трем или четырем.
Общая проблема использования копулярных моделей, как и любых
других моделей в реальной практике, — требование нахождения оценок неиз-
вестных параметров с наилучшими статистическими свойствами. При этом
качество оценок может определяться по-разному: несмещенная оценка, оцен-
ка с минимальной дисперсией; состоятельная оценка; оценка с хорошим
асимптотическим поведением; удобная для вычислительной работы оценка и
прочее.
В настоящее время предложено множество подходов для оценки па-
раметров и построения копуляпных моделей: полный параметрический [58],
полупараметрический [27, 53] и непараметрический метод [37, 47].
Полный параметрический метод реализуется посредством двухэтапной
оценки максимального правдоподобия (Maximum Likelihood Estimation, MLE),
предложенный Гарри Джо [43, 44]. Параметры копулы оцениваниваются с
использованием двухступенчатого параметрического подхода MLE, также на-
зываемого методом оценки частных распределений (Inference Functions for
Margins, IFM). Данный метод включает два этапа: (1) оценка параметров
маргинальных распределений и затем (2) оценка параметров копулы. Полу-
параметрический метод предполагает эти же два этапа, в первом из которых
вместо маргинальных рассчитываются эмпирические распределения. Непа-
раметрический метод на обоих этапах предполагает оценку эмпирических
функций распределения: в первом — для маргиналов. во втором — для копулы.
Для двумерного случая среди основных семейств копул выделяют: эл-
липтические (Гауссова, – Стьюдента), архимедовы (Клейтона, Франка, Джо)
и экстремальные (Гумбеля, Коши). В диссертационном исследовании [72]
для оценки параметров и тестирования был использован двухэтапный пара-
метрический MLE-метод, в ходе которого автор использует все возможные
комбинации различных маргинальных распределений (нормальное, Стьюдента
с асимметрией и без нее), а также различные архимедовы копулы. Решение о
выборе маргинального распределение определяется после второго этапа MLE.
Для этой цели в работе [39] была предложена модификация теста Хансена, дан-
ный тест позволяет определить наиболее адекватную копулу.
Многомерные копулы, основанные на одном распределении (на-
пример, Гауссова или – Стьюдента) или созданные из так называемых
функций-генераторов, не обладают необходимой гибкостью для проведе-
ния моделирования зависимости между большим числом переменных [26].
Эти недостатки предопределили направление дальнейших исследований, в
результате которых Гарри Джо [42] предложил концепцию регулярных иерар-
хических копул (regular vine copula, R-vine), дальнейшее развитие этой
концепции представлено в работах [26, 31]. R-vine копула представляют собой
достаточно гибкую математичическую модель для описания многомерных за-
конов распределения с использованием каскада двумерных копул (двумерных
функций распределения). В настоящее время активно развиваются различные
подходы для работы с R-vine копулой, такие копулы легче интерпретировать
и визуализировать (например, в виде древовидной структуры или матриц).
Отметим работы [31, 32, 34], в которых авторы уделяют большое внимание
разработке новых алгоритмов для оценки параметров копулярных моделей,
а также приложениям R-vine копул для моделирования временных рядов из
разных предметных областей. Авторы используют древовидную и матрич-
ные структуры для визуализации процесса выбора и объединения двухмерных
функций распределений в R-vine копуле, при этом они используют алгоритм
построения максимального покрывающего дерева (Maximum Spanning Tree,
MST), в котором вес ребер отражает степень корреляционной зависимости ис-
ходных временных рядов данных.
Цель данной работы — построить систему оценивания риска с исполь-
зованием копулярных моделей.
Для достижения поставленной цели необходимо последовательно ре-
шить следующие задачи:
1) проанализовать существующие подходы и выбрать метод для оценки
параметров копулярных моделей.
2) с использованием копулярных моделей вычислить и сравнить по-
ведение различных мер риска (VaR, CVaR) для инвестиционного
портфеля.
1 Обзор литературы
В ходе рассмотрения безопасности и охраны труда при осуществлении
работ на ПЭВМ, были выявлены вредные и опасные факторы рабочей зоны,
причины и средства защиты, рассмотрены чрезвычайные ситуации и поведение
в них. Также были рассмотрены оптимальные условия для работы в данных
условиях.
Заключение
В данной работе мы использовали математический аппарат копула-
функций для исследования многомерной зависимости между финансовыми
временными рядами и сравнения риск-метрик VaR и CVaR для управления
портфелем.
В качестве исходных данных мы использовали четыре временных ря-
да из дневных цен закрытия фьючерсов на индекс РТС (RTS) и обыкновенные
акции ПАО «НорНикеля» (GMKR), ПАО «Сбербанка» (SBRF) и ПАО «Газпро-
ма» (GAZR). В работе использовались наблюдения за два года: с 16 декабря
2015 по 16 декабря 2017 (504 наблюдения).
Для оценки параметров копулярных моделей применён двухэтапный
полный параметрический метод. Для каждого временного ряда была выполне-
нена оценка параметров следующих четырехпараметрических распределений-
кандидатов: гиперболического, устойчивого и Мейкснера. Стастическое те-
стирование оценок распределений показало удовлетворительные результаты
качества полученных значений параметоров для всех распределений. Распре-
деление Мейкснера выбрано в качестве частного (маргинального) для всех
активов на основе результатов статистического критерия Крамера – фон Ми-
зеса.
Далее в работе была осуществлена оценка параметров для трех ко-
пулярных моделей: Гауссовой, – Стьюдента и R-иерархической. Оценка
параметров для трех выбранных копула-моделей была произведена методом
«инверсии Кендалла». Выбор семейств для иерархической копулы выпол-
нялся на основе тестов Вуонга и Кларка.
Для выбранных активов RTS, SBRF, GAZR, GMKR был найдет опти-
мальный mean-CVaR-портфель с долями w = {0,050; 0,114; 0,384; 0,452}.
Предложен алгоритм для расчёта точечных и интервальных оценок
риск-метрик VaR и CVaR с использованием копулярных моделей, основанный
на Монте-Карло моделировании. Данный алгоритм был также усовершен-
стован за счёт проведения бутстрап-процедуры, благодаря которой были
получены несмещённые оценки риск-метрик, а также доверительный интер-
вал для них. В результате было установлено, что исследуемые копула-модели
для выбранных временных рядов перестают быть консервативными на уровне
выше 99.0%.
Как показали результаты моделирования для кривых VaR и CVaR на
уровне 95%, все используемые копула-модели являются консервативными,
причём более точно оценивает риск иерархическая копула, в то время как –
Стьюдента копула его переоценивает. Такое поведение двухпараметрической
– Стьюдента копулы было ожидаемо, так как она более чувствительна к объ-
ему выборки, чем другие рассматриваемые копулы.
Данная работа содержит три нововведения. Во-первых, мы показали,
что Гауссовы, Стьюдента и иерархические копулы могут быть использова-
ны для представления многомерной зависимости в коротких временных рядах
(только 504 наблюдения), в то время как применение копул изучалось толь-
ко по отношению к длительным наблюдениям [34, 50, 53]. Во-вторых, мы
использовали маргинальные распределения, отличные от нормального: ги-
перболическое [22], устойчивое [61] и Мейкснера [64]. Стоянов и др. [67]
рассматривают подобную задачу, используя только симметричные варианты
распределений Стьюдента и устойчивого, а также обобщённое нормальное
распределение. В-третьих, при моделировании иерархической копулы мы до-
пускаем использование в качестве степени свободы вещественное число.
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.9 (37 отзывов)
4.9 (298 отзывов)
4.6 (92 отзыва)
5 (188 отзывов)
0 (13 отзывов)
5 (44 отзыва)
5 (145 отзывов)
4.9 (343 отзыва)
4.8 (40 отзывов)
