Вербальные отображения с константами простых алгебраических групп

Вербальные отображения с константами. Пусть G – произвольная
группа, а Fn – свободная группа ранга n. Пусть, далее, Σ = {σ1 , . . . , σm } –
некоторая последовательность элементов из G. Выражение вида

wΣ = w1 σ1 w2 σ2 · · · wm σm wm+1 ,

где
w1 = w1 (x1 , . . . , xn ), . . . , wm = wm (x1 , . . . , xn ) ∈ Fn
– элементы свободной группы, называют словом с константами. В данной ра-
боте мы будем также предполагать, что σi ∈ / Z(G), где Z(G) – центр группы
G, и w2 , . . . , wm 6= 1. (Отметим, что обычно центральные константы допуска-
ются, но при некотором дополнительном условии; см.[9].)
Мы не исключаем случай постоянных слов wΣ = σ ∈ G и случай Σ = ∅,
т.е. слов из Fn . Кроме того, мы рассматриваем и тривиальное слово wΣ = 1
(здесь 1 – нейтральный элемент группы G). Таким образом, слова с кон-
стантами здесь – это элементы свободного произведения G ∗ Fn без слов с
элементами из центра и постоянные слова wΣ = σ ∈ G.
Слово с константами wΣ определяет вербальное отображение с констан-
тами
eΣ : Gn → G,
w
заданное формулой
eΣ ((g1 , . . . , gn )) :=
w

= w1 (g1 , . . . , gn )σ1 w2 (g1 , . . . , gn )σ2 · · · wm (g1 , . . . , gn )σm wm+1 (g1 , . . . , gn ).

Актуальность и степень разработанности темы. В последние годы
интенсивно развивается теория вербальных отображений простых алгебра-
ических групп (см. ссылки в [15]). Отправной точкой здесь служит теорема
e : Gn → G
А. Бореля ([3]), которая утверждает, что вербальноe отображениe w
простой алгебраической группы G доминантно. Это значит, что образ тако-
го отображения Im w e содержит непустое открытое подмножество U ⊂ G и,
следовательно, этот образ есть “почти вся” группа G. Однако простой при-
мер G = SL2 (C), w = x2 показывает, что этот образ может не совпадать со
! в группе SL2 (C) не извлекается квадратный
всей группой G. Действительно,
−1 1
корень из матрицы и, следовательно, такая матрица не может
0 −1
x2
лежать в образе отображения SL2 (C) → SL2 (C). С другой стороны, то же
вербальное отображение для группы PGL2 уже является сюръективным.
Вопрос о сюръективности того или иного вербального отображения про-
стой алгебраической группы представляется достаточно сложным. В настоя-
щее время все примеры несюръективных вербальных отображений простых
алгебраических групп соответствуют словам w = ω m , которые являются сте-
пенями других слов. С другой стороны, примеров с сюръективными отоб-
ражениями также немного. Теорема А. Бореля гарантирует сюръективность
для вербальных отображений, у которых слово w является произведением
двух слов w1 (x1 , . . . , xk ) и w2 (y1 , . . . , yl ) от независимых переменных (дей-
ствительно, в этом случае образ

e1 Im w
Im w = Im w e2

и образы Im w e2 содержат открытые подмножества U1 , U2 ⊂ G, про-
e1 , Im w
изведение которых совпадает со всей группой G ([2]). Для “неразложимых”
отображений, которые также не являются степенями других вербальных отоб-
ражений, нет общих критериев сюръективности-несюръективности. Этот во-
прос остается открытым даже для простейшей группы PGL2 . В работе Т. Банд-
ман и Ю. Зархина ([1]) доказана следующая теорема.

Теорема (i) (Бандман-Зархин). Пусть K – алгебраически замкнутое
поле, w ∈ Fn – нетривиальное слово. Тогда образ Im w
e вербального отобра-
жения w e : SL2 (K)n → SL2 (K) содержит все нецентральные полупростые
элементы группы SL2 (K).

Из Теоремы (i) следует, что образ вербального отображения

e : PGLn2 (K) → PGL2 (K)
w
содержит все полупростые элементы группы PGL2 (K) и для сюръективно-
сти такого отображения достаточно найти в его образе нетривиальный уни-
потентный элемент. Интересно отметить, что существование такого элемента
связано с размерностями компонент многообразия представлений (см.[12]).
Также Бандман и Зархин доказали ([1])
Теорема (ii) (Бандман-Зархин). Пусть K – алгебраически замкну-
тое поле, w ∈ F2 F22 , где F22 = [[F2 , F2 ], [F2 , F2 ]] – второй член нормального
ряда свободной группы F2 . Тогда w e : PGL2 (K)2 → PGL2 (K) – сюръективное
отображение.
В этой же работе был приведен пример неразложимого слова w ∈ F22 F23 ,
для которого также соответствующее отображение w e сюръективно. Этот при-
мер был просчитан с помощью компьютерных вычислений. Затем в работе
[12] был построен аналогичный пример, но уже без компьютерных вычисле-
ний. Недавно появился препринт U. Jezernik, J. Sanchez On surjectivity of word
maps on P SL2 , в котором доказана сюръективность вербальных отображений
we : PGL2 (K)2 → PGL2 (K) для слов вида w = [[xk , y l ], [xm , y n ]] ∈ F22 . Доказа-
тельство работы основано на трудных и сложно проверяемых вычислениях
со следами матриц.
В данной работе мы строим некоторый алгоритм, который позволяет
строить бесконечные рекурсивные последовательности вербальных отобра-
жений на группах PGL2 , SL2 , которые являются сюръектиными и у которых
соответствующие слова – это элементы из любого члена нормального ряда.
При этом все соответствующие слова являются неразложимыми. (Эффек-
тивность изучения рекурсивных последовательностей слов для вербальных
отображений была продемонстрирована в работе А. Тома [22] о вербальных
отображениях компактных топологических групп.)

В данной работе мы рассматриваем отображения с константами для про-
стой алгебраической группы (вербальные отображения также рассматрива-
ются как вербальные отображения с пустым множеством констант). Такие
отображения, в частности, рассматривались в работах [9], [18],[12], [13], [14],
[15], [16].
Одним из важных вопросов здесь является вопрос об образе Im w eΣ та-
кого отображения. В случае когда Σ = ∅, т.е. w
eΣ = w – обычное вербальное
отображение, тогда
eΣ = G
Im w
согласно теореме А. Бореля (здесь X – это замыкание X в топологии За-
рисского). Для достаточно “общего слова” wΣ образ Im w eΣ также плотен в G
([13], Corollary 1.4). Однако для произвольного слова мы не можем ожидать,
что образ соответствующего вербального отображения “почти совпадает” со
всей группой G.
Пример. Пусть Σ = {σ}, wΣ = xσx−1 . Тогда образ – это класс сопря-
женности элемента σ, размерность которого может быть достаточно
маленькой.
Следует отметить, что в отличие от вербальных отображений образ вер-
бального отображения с константами не является инвариантным относитель-
но сопряжения. Для некоторых задач важным моментом является оценка не
самого образа, а множества
eΣ g −1 | g ∈ G},
{g Im w
eΣ “с точностью до сопряжения в группе” G. Для некоторых
т.е. образа Im w
слов wΣ удается доказать, что
eΣ g −1 | g ∈ G} = G,
{g Im w (0.0.1)
eΣ “почти совпадает” со всей группой G с “точностью до” сопря-
т.е. образ Im w
жений элементами группы G. В этом случае мы имеем в образе представи-
телей “почти всех” классов сопряженных группы G. Например, в работе [13]
(Theorem 1.6.) равенство 0.0.1 было доказано для слова вида
X
k1 k2 km
wΣ = w1 σ w2 σ · · · wm σ wm+1 , где ki = 0
i
и σ – элемент некоторого открытого подмножества X группы G.
Условие 0.0.1 удобно рассматривать в следующей форме. Для любой по-
лупростой алгебраической группы G имеется морфизм факторизации
π : G → T /W,
где T – зафиксированный максимальный тор группы G, W – группа Вейля
системы корней G (здесь рассматривается естественное действие группы W
на максимальном торе), T /W – аффинное многообразие, являющееся фак-
тором действия W на T ([20]). Морфизм π сопоставляет любому элементу g
группы G элемент tg ∈ T , сопряженный полупростой части gs разложения
Жордана g = gs gu элемента g. Таким образом, для некоторого подмножества
M ⊂ G равенство π(M ) = T /W означает, например то, что все M пересекает
все полупростые классы сопряженных элементов. Условие 0.0.1 эквивалентно
условию
Im π ◦ w
eΣ = T /W. (0.0.2)

Отметим, что для слов из приведенного выше примера условие 0.0.2 не
может выполняться, поскольку образ отображения π ◦ wΣ в данном случае
заведомо одна точка. Пусть v∆ – слово c константами. Тогда для слов вида
−1
wΣ = v∆ gv∆ (0.0.3)

множество Im π ◦ w eΣ – это также в точности одна точка, т.е. эти слова наи-
более “удаленные” от условия 0.0.2. Отметим, что если Im π ◦ w
eΣ – не являет-
ся точка, то это некоторое конструктивное подмножество в T /W , замыкание
которого – связное аффинное многообразие размерности ≥ 1. Этот факт ино-
гда позволяет “индукционно” описать весь образ π ◦ weΣ (см., например, [13],
Theorem 1.6.).
Слова вида 0.0.3 будем называть словами C-типа (постоянные слова
wΣ = σ ∈ G также являются словами C-типа).

Цель исследования. Целью исследования является описание образов
отображений с константами (в частности, вербальных отображений). Для до-
стижения цели поставлены следующие задачи:
(1) Построить рекурсивные последовательности сюръективных вербаль-
ных отображений групп PGL2 , SL2 соответственно от двух и трех пере-
менных, члены которых (в отличие от Теоремы Бандман-Зархина (ii))
существуют в любом члене нормального ряда свободной группы.
(2) Получить описание “малых” вербальных отображений с константами,
образы которых попадают в один класс сопряженных элементов.
(3) Получить обобщение Теоремы Бандман-Зархина (i) на случай вербаль-
ных отображений с константами.
(4) Получить описание образов “общих вербальных отображений с кон-
стантами”.
(5) Получить описание образов вербальных отображений с константами
простых алгебраических групп специальных типов Br , Cr , D2r , E7 , E8 ,
F4 , G2 .

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит
теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использо-
ваны как для теории вербальных отображений с константами (в частности,
вербальных отображений) простых алгебраических групп, так и для струк-
турной теории таких групп.

Методы исследования. В данной работе применялись теоретические
методы теории алгебраических групп, методы алгебраической геометрии и
теории алгебраических чисел.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми в тео-
рии вербальных отображений с константами и вербальных отображений про-
стых алгебраических групп. Получен новый алгоритм построения сюръек-
тивных отображений на группах ранга один, получено описание малых вер-
бальных отображений с константами, разработан новый метод редукции вер-
бальных отображений с константами к положительной характеристике. По-
лучено обобщение Теоремы Бандман-Зархина на вербальные отображения с
константами.

Степень достоверности. Все результаты работы снабжены подробны-
ми доказательствами.
Апробация работы. По теме исследования было прочитано два докла-
да:
(1) Ф. Гнутов. Вербальные отображения на группе GL2 // IV Всероссий-
ская научная конференция с международным участием “Математиче-
ское моделирование и информационные технологии”. Сыктывкарский
Государственный Университет им. П. Сорокина. 12 – 14 ноября 2020.
(2) Ф. Гнутов. Рекурсивные последовательности вербальных отображе-
ний групп P GL2 , SL2 // Международный вебинар “Actual problems of
the theory of Algebraic groups”. Российский Государственный Педагоги-
ческий Университет им. А.И. Герцена. 16-18 декабря 2020.

По теме работы опубликовано три статьи в журналах, индексируемых
наукометрическими базами данных Web of Science/SCOPUS.
[1] F. Gnutov, N. Gordeev, Recursive sequences of surjective word maps for
the algebraic groups PGL2 and SL2 , Arch. Math. 114, no. 6 (2020), 609-618.
[2] Ф. А. Гнутов, Н. Л. Гордеев, Об образе вербального отображения с
константами простой алгебраической группы, Записки научных се-
минаров ПОМИ РАН, т. 478 (2019), 78-99.
[3] Ф.А. Гнутов, Об образе вербального отображения с константами про-
стой алгебраической группы II, Записки научных семинаров ПОМИ
РАН, т. 492 (2020), 75-93.
В статьях [1] и [2], опубликованных в соавторстве, автору принадлежит
следующее: в работе [1] — вычисления необходимые для доказательства тео-
ремы и доказательства следствий (i),(ii); в работе [2] — доказательства теорем
1 и 2.
Положения, выносимые на защиту.
Теорема 1. Пусть K – алгебраически замкнутое поле и ω = ω(x, y) ∈
F2 = hx, yi такое, что ω(x, y) 6= xl для каждого l ∈ Z. Тогда
1. для каждого слова
w(x, y) := [[x, [x, ω]], x[x, [x, ω]]x−1 ]
соответствующее вербальное отображение w e : PGL2 (K)2 → PGL2 (K) сюръ-
ективно;
2. существует число d = d(ω) ∈ N такое, что для слова w0 (x, y, z) =
w(x, y)ν(x, z) ∈ F3 = hx, y, zi, где
h i
2d d 2d −d
ν(x, z) = [x , ω(x, z)], x [x , ω(x, z)]x ,

e0 : SL2 (K)3 → SL2 (K) сюръективно.
вербальное отображение w

Отметим, что в доказательстве Теоремы 1 непосредственно указывается
как выбирать числа d из п.2 (это любое натуральное число, кроме конечного
множества натуральных чисел, которое определяется ω).

Замечание 1. Слова w, w0 , построенные в Теореме 1, являются нераз-
ложимыми (см. ниже Лемму 1.2).

Замечание 2. В Теореме 1 рассматриваются слова от двух и трех
переменных. Однако, заменяя слова w, w0 словами µwµ−1 , µw0 µ−1 , где µ –
слово от переменных, независимых от x, y (соответственно x, y, z), можно
получить набор неразложимых сюръективных вербальных отображений от
любого числа переменных.
Из Теоремы 1 получаем
Следствие 1. Пусть K – алгебраически замкнутое поле. Тогда
1. существует бесконечная последовательность сюръективных нераз-
ложимых вербальных отображений w em : PGL2 (K)2 → PGL2 (K) (где m ∈
N, wm ∈ F2 ) такая, что для каждого m ∈ N выполняется следующее утвер-
ждение:
wm ∈ F2i ⇒ wm+1 ∈ F2i+1 ;
2. существует бесконечная последовательность сюръективных нераз-
ложимых вербальных отображений w em : SL2 (K)3 → SL2 (K) (где m ∈
N, wm ∈ F3 ) такая, что для каждого m ∈ N выполняется следующее утвер-
ждение:
0 0
wm ∈ F3i ⇒ wm+1 ∈ F3i+1 .

Используя также теорему Морозова–Джекобсона, получаем
Следствие 2. Для любой простой алгебраической группы G, определен-
ной над полем характеристики ноль, существует бесконечная последова-
тельность неразложимых вербальных отображений w em : G2 → G таких,
что wm ∈ F2m F2m+1 и образ каждого отображения w
em содержит все уни-
потентные элементы группы G.

Используя особенности систем корней групп Br , Cr , D2r , E7 , E8 , F4 , G2 , по-
лучаем из Теоремы 1
Следствие 3. Для простой алгебраической группы G, относящейся к
одному из типов Br , Cr , D2r , E7 , E8 , F4 , G2 , существует бесконечная после-
довательность неразложимых вербальных отображений w em : G2 → G та-
ких, что wm ∈ F3m F3m+1 и образ каждого отображения w em содержит все
полупростые элементы группы G.
Отметим, что последовательности wm в следствиях 1–3 строятся по пра-
вилам пунктов 1 и 2 Теоремы 1, т.е. существует бесконечное число таких
последовательностей в каждом из рассматриваемых случаев.
Доказательству Теоремы 1 и ее следствиям посвящена Глава 1 данной ра-
боты. Доказательство теоремы основано не только на прямых вычислениях.
Принципиальное значение для доказательства имеет теория вербальных
отображений с константами.
Существенно важным в Теореме 1 является тот факт, что отображение w e
строится по слову ω с теми же переменными x и y, что позволяет построить
рекурсивную последовательность слов wm в группе F2 (или F3 ) из Следствий
1–3. Построение сюръективных вербальных отображений при прибавлении
независимых переменных — это несложное следствие Теоремы Бореля (см. п.
1.5.1).
Основной результат второй главы данной работы — описание слов с кон-
стантами, для которых Im π ◦ w eΣ — это в точности одна точка, т.е. “малых”
вербальных отображений с константами. Здесь результат разбивается на две
части. В первой части мы рассматриваем простые алгебраические группы
типов Al , Dl , E6 , E7 , E8 — т.е. группы, у которых все корни соответствую-
щей системы корней имеют одинаковую длину, а во второй части — типов
Bl , Cl , F4 , G2 — группы, корни которых имеют разную длину. Это связано с
тем фактом, что для групп первого типа существуют так называемые тож-
дества с константами, а для второго — нет (см.[9]).
Мы доказываем следующую теорему.
Теорема 2. Пусть G — простая присоединенная алгебраическая группа
типа Al , Dl , E6 , E7 , E8 . Далее, пусть wΣ — слово с константами из группы
G. Множество Im π ◦ w eΣ состоит из одной точки тогда и только тогда,
когда wΣ — слово C-типа.

eΣ —
Таким образом, в данном случае все слова с “малым” образом Im w
это в точности слова C-типа.

Для случая групп Bl , Cl , F4 , G2 нам потребуется следующее определение.
Элемент g ∈ G Z(G) называется малым полупростым элементом, если
он сопряжен некоторому элементу t ∈ T , для которого α(t) = 1 для любого
длинного корня α ∈ R. Элемент g ∈ G называется малым унипотентным
элементом, если он сопряжен некоторому корневому элементу xα (s) (s 6= 1)
для какого-либо длинного корня α.

Теорема 3. Пусть G — простая присоединенная алгебраическая группа
типа Bl , Cl , F4 , G2 , определенная над полем, характеристика которого 6=
2, 3. Далее, пусть wΣ — неединичное слово с константами из группы G, не
содержащее среди констант малые полупростые и малые унипотентные
элементы. Тогда множество Im π ◦ w eΣ состоит из одной точки в том и
только том случае, когда wΣ — слово C-типа.
Используя Теорему 2 мы получим следствие, которое является аналогом
Теоремы (i) (Бандман–Зархина).

Теорема 4. Пусть K — алгебраически замкнутое поле. Пусть w eΣ :
PGL2 (K)n → PGL2 (K) — вербальное отображение с константами. Тогда
либо любой неединичный полупростой класс сопряженных элементов груп-
eΣ , либо wΣ — слово C-типа.
пы PGL2 (K) пересекается с образом w

На самом деле мы доказываем более общий факт (Теорема 40 ), а именно,
если вербальное отображение w eΣ : SL2 (K)n → SL2 (K) не есть ± вербальное
отображение C-типа, то его образ пересекает все нецентральные полупростые
классы сопряженных элементов группы SL2 (K).

Для доказательства Теорем 2 и 3 мы разработали метод редукции к ло-
кально конечным полям позволяющий свести исследование вербальных отоб-
ражений с константами weΣ : G(K)n → G(K) для произвольного алгебраиче-
ски замкнутого поля K к случаю, когда K = F p , где Fp — простое конечное
поле характеристики p > 0, а F p — его алгебраическое замыкание (неко-
торые вопросы теории вербальных отображений с константами, в частности
исследуемые в данной работе, удобнее изучать именно над такими полями).
В третьей главе рассматриваются некоторые типы вербальных отображе-
ний с константами, для которых, используя результаты предыдущей главы,
мы оцениваем их образы.
Следующая теорема является обобщением результата работы [13] о вер-
бальных отображениях с константами “общего положения”.
Теорема 5. Пусть G — простая алгебраическая группа и пусть

w1 , . . . , wm+1 ∈ Fn , где w2 6= 1, m > 1.

Тогда существует такое непустое открытое подмножество U ⊂ Gn , что
для любой последовательности σ1 , . . . , σm ∈ U отображение

π ◦ wΣ : Gn → T /W,
где
wΣ = w1 σ1 w2 σ2 · · · wm σm wm+1 ,
доминантно.

Также используя Теорему 4 и специфику систем корней Br , Cr , D2r , E7 ,
E8 , F4 , G2 доказываем следующую теорему.

Теорема 6. Пусть G — простая алгебраическая группа типа Br , Cr ,
D2r , E7 , E8 , F4 , G2 и пусть T ≤ G – зафиксированный максимальный тор.
Далее, пусть
wΣ = σ 1 w1 σ 2 · · · σ m wm ,
где wi ∈ Fn , wi 6= 1, где Σ = {σ1 , . . . , σm } ⊂ T — некоторое множество
регулярных элементов. Тогда образ Im w eΣ :
eΣ вербального отображения w
Gn → G пересекает любой полупростой регулярный класс элементов группы
G.

Терминология и обозначения. В данной работе используются следу-
ющие обозначения и соглашения:
N — множество натуральных чисел;
Z(G) — центр группы G;
[x, y] = xyx−1 y −1 — коммутатор x, y ∈ G;
ord g — порядок элемента g ∈ G;
1 также означает единичный элемент
! группы; для G = SL2 (K) через ±1
±1 0
мы обозначаем матрицу .
0 ±1

K — алгебраически замкнутое поле; ch K — характеристика поля K.
Ниже мы отождествляем алгебраическую группу G с группой K-точек G(K);

Для данного слова w ∈ Fn обозначим w e соответствующее вербальное
отображение группы G; Im w e Вербаль-
e — образ вербального отображения w.
e называется разложимым или неразложимым, если w раз-
ное отображение w
ложимо или неразложимо соответственно.

В первой главе данной работы рассматривается вопрос сюръективности
вербальных отображений, соответствующих неразложимым словам. Приво-
дится алгоритм, позволяющий строить бесконечные рекурсивные последо-
вательности неразложимых слов, для которых соответствующие вербальные
отображения на группах PGL2 (K)2 и SL2 сюръективны, и члены этой по-
следовательности соответствуют всем членам нормального ряда. Значимым
моментом доказательства сюръективности вербальных отображений таких
последовательностей является метод подстановки в вербальные отображения
e 1 , . . . , xn ) вместо переменных x1 , . . . , xk элементов группы PGL2 (K)2 (или
w(x
SL2 ). Такие подстановки превращают вербальные отображения в отображе-
ния с константами. В данном случае важным фактом является отсутствие
тождеств с константами на группах PGL2 (K)2 и SL2 .
Во второй и третьей главе рассматриваются только отображения с кон-
стантами. Вторая глава посвящена изучению “малых” вербальных отобра-
жений с константами. Получено описание слов с константами, для которых
образ Im π ◦ w eΣ является в точности одной точкой. Результат второй главы
разбит на две части: в первой части рассматриваются простые алгебраиче-
ские группы типов Al , Dl , E6 , E7 , E8 — т.е. группы, у которых все корни соот-
ветствующей системы корней имеют одинаковую длину, а во второй части —
типов Bl , Cl , F4 , G2 — группы, у которых корни имеют разную длину. Это
связано с тем фактом, что для групп первого типа существуют так называ-
емые тождества с константами, а для второго — нет. Изучение “малых”
вербальных отображений с константами является важным инструментом ис-
следования произвольных вербальных отображений с константами и просто
вербальных отображений (см., например, [13]). Дальнейшие исследования в
этом направлении, как нам кажется, помогут прояснить различные вопросы
теории вербальных отображения простых алгебраических групп.
В третьей главе были рассмотрены некоторые типы вербальных отобра-
жений с константами, для которых, оценивался образ, при помощи резуль-
татов, полученных в предыдущей главе. Доказано две теоремы, первая из
которых является обобщением результата работы [13].

[1]T. Bandman, Yu. G. Zarhin, Surjectivity of certain word maps on P SL(2, C) and SL(2, C), Eur. J. Math.
2 (2016), 614–643.
[2]A. Borel, On free subgroups of semisimple groups, Enseign. Math. 29 (1983), 151–164.
[3]A. Borel. Linear Algebraic groups. 2nd enl.ed., Graduate texts in mathematics 126. Springer-Verlag New
York Inc.1991.
[4]N. Bourbaki. Éléments de Mathématique. Groupes et Algèbres de Lie, Chap. IV, V, VI, 2ème édition.
Masson, Paris 1981.
[5]R. W. Carter. Simple groups of Lie type. Pure and Applied Mathematics, Vol. 28. John Wiley & Sons,
London-New York-Sydney, 1972.
[6]R. W. Carter. Finite Groups of Lie Type. Conjugacy Classes and Complex Characters. A Wiley –
Interscience Publication, John Wiley& Sons, Chichester-New York-Bribane-Toronto-Singapure, 1985.
[7]V. Chernousov, E. W. Ellers, N. Gordeev, Gauss decomposition with prescribed semisimple part: short
proof, J. Algebra 229 (2000), no. 1, 314-332.
[8]E. W. Ellers, N. Gordeev, Gauss decomposition with prescribed semisimple part in classical Chevalley
groups, Comm. Algebra 22 (1994), no. 14, 5935Џ5950.
[9]N.L. Gordeev, Freedom in conjugacy classes of simple algebraic groups and identities with constants,
Алгебра и Анализ, том 9 (1997), выпуск 4, 63-78;перевод в:St. Petersburg Math.Jouranal, vol.9 (1998),
709-723.
[10]Ф.А. Гнутов, Н.Л. Гордеев, Об образе вербального отображения с константами простой алгебра-
ической группы, Записки научных семинаров ПОМИ РАН, т. 478(2019), 78-99.
[11]F. Gnutov, N.Gordeev, Recursive sequences of surjective word maps for the algebraic groups PGL2 and
SL2 , Arch. Math. (Basel) 114 (2020), no. 6, 609Џ618.
[12]Н. Л. Гордеев, Б. Э. Кунявский, Е. Б. Плоткин, Вербальные отображения и вербальные отобра-
жения с константами простых алгебраических групп, Докл. Акад. Наук, 2016, том 471, є 2, с.
136-138. перевод в : Dokl. Math. 94 (2016), no. 3, 632 – 634.
[13]N. Gordeev, B. Kunyavskii, E. Plotkin, Word maps, word maps with constants and representation
varieties of one-relator groups, J. Algebra 500 (2018), 390–424.
[14]N. Gordeev, B. Kunyavskii, E. Plotkin, Word maps on perfect algebraic groups, Intern. J. Algebra
Comput. 28 (2018), No. 8, 1487-1515.
[15]Н. Л. Гордеев, Б. Э. Кунявский, Е. Б. Плоткин, Геометрия вербальных отображений в простых
алгебраических группах над специальными полями, Успехи Мат. Наук 73 (2018), no. 5(443), 3-52;
перевод в: Russian Math. Surveys 73 (2018), no. 5, 753-796
[16]A.A. Klyacko, M.A. Ryabtseva, The dimension of solution sets to systems of equations in algebraic
groups, arXiv:1903.05236v1 [math.GR] (2019).
[17]А. Г. Курош, Теория групп, Издание третье, дополненное, “Наука”, Главная редакция физико-
математической литературы, Москва, 1967 г.
[18]В.В. Нестеров, А.В. Степанов, Тождества с константами групп в группе Шевалле типа F4 , Ал-
гебра и Анализ, том 21 (2009), выпуск 5, 196-202; перевод в: St. Petersburg Math. J. 21 (2010), no.
5, 819Џ823.
[19]T. A. Springer. Linear Algebraic Groups, 2nd edition. Progress in Mathematics 9. Birkhäuser Boston,
Boston MA, 1998.
[20]T. A. Springer, R. Steinberg,Conjugacy classes, in: “Seminar on Algebraic Groups and Related Finite
Groups”, Lecture Notes Math., vol. 131, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York, 1970, pp. 167–
266.
[21]R. Steinberg, Лекции о группах Шевалле, “Мир” , Москва 1975.
[22]A. Thom, Convergent sequences in discrete groups, Canad. Math. Bull. 56 (2013), 424–433.