Во введении обосновывается актуальность исследований алгебр бинарных
изолирующих формул P ( ) , проводимых в рамках данной диссертацион-
ной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме,
формулируется цель, ставятся задачи работы, излагается научная новизна
и практическая значимость представляемой работы.
В первой главе приводятся необходимые определения, относящиеся к
алгебрам бинарных изолирующих формул. Даны предварительные сведе-
ния и основные понятия.
Во второй главе дается описание алгебр распределений бинарных изо-
лирующих формул для естественных классов теорий теорий.
В разделе 2.1 приводится описание алгебр распределений бинарных изо-
лирующих формул для теорий с отношениями эквивалентности и для се-
мейств вложенных отношений эквивалентности (теоремы 2.1.10. и 2.1.13).
В разделе 2.2 приводится описание алгебр распределений бинарных изо-
лирующих формул для теории одноместных предикатов с унарной функ-
цией.
Теорема 2.2.5.Если — теория унара с одноместными предика-
тами, P ( ) — алгебра распределений бинарных изолирующих формул для
типа ∈ 1 (∅), то алгебра P ( ) задается ровно одной из следующих ал-
гебр: группой Z, группой Z , алгеброй A , , алгеброй Afr, , алгеброй ⟨ * ; +⟩,
B , 1 , 2 ,…, , B ,( ) ∈ .
В разделе 2.3 дается описание алгебр распределений бинарных изоли-
рующих формул для теорий симплексов.
В разделе 2.4 приводится описание алгебр распределений бинарных изо-
лирующих формул для теории архимедовых тел.
В третьей главе “Алгебры бинарных изолирующих формул для вариа-
ций о-минимальных структур”описываются алгебры для различных теорий
упорядоченных структур.
В разделе 3.1 приводится описание алгебр бинарных формул в счетно
категоричных слабо о-минимальных структурах.
Теорема3.1.9. Пусть — счетно категоричная слабо –
минимальная теория. Тогда для любого типа ∈ 1 (∅) и натурального
числа следующие условия эквивалентны:
(1) алгебра P ( ) является ( , ℵ0 , )-wom-моноидом;
(2) ( ) = .
ТеоремаПусть — счетно категоричная слабо о-
3.1.27.
минимальная теория, , ∈ 1 (∅). Тогда следующие условия эквивалент-
ны:
(1) алгебра P ({ , }) — обобщенно коммутативный моноид;
(2) ( ) = ( ).
В разделе 3.2 приводится описание алгебр бинарных формул для вполне
о-минимальных теорий с немаксимальным числом счетных моделей.
Теорема 3.2.13.Пусть — вполне o-минимальная теория с малым
числом счетных моделей, ∈ 1 (∅) — неалгебраический тип. Тогда суще-
ствует < такой, что: (1) если — изолированный тип, то алгебра P ( ) является ( , ℵ0 , )- wom-моноидом, состоящим из 2 + 1 метки; (2) если квазирациональный вправо (влево), то алгебра P ( ) являет- ся ( , , )-wom-моноидом (( , , )-wom-моноидом), состоящим из 2 меток; (3) если иррациональный, то алгебра P ( ) является ( , , )-wom- моноидом, состоящим из 2 − 1 метки. Квазирациональному вправо типу соответствует алгебра A изоли- рующих формул, состоящая из 2 меток, перемножение которых задается следующей таблицей: ·01234...2 − 32 − 2−1 0{0}{1}{2}{3}{4}...{2 − 3}{2 − 2}{−1} 1{1}{1}{0, 1, 2}{3}{4}...{2 − 3}{2 − 2}{−1} 2{2}{0, 1, 2}{2}{3}{4}...{2 − 3}{2 − 2}{−1} 3{3}{3}{3}{3}{0, 1, 2, 3, 4}...{2 − 3}{2 − 2}{−1} 4{4}{4}{4}{0, 1, 2, 3, 4}{4}...{2 − 3}{2 − 2}{−1} ...........................{−1} 2 − 3{2 − 3}{2 − 3}{2 − 3}{2 − 3}{2 − 3}...{2 − 3}{0, 1, . . . , 2 − 2}{−1} 2 − 2{2 − 2}{2 − 2}{2 − 2}{2 − 2}{2 − 2}...{0, 1, . . . , 2 − 2}{2 − 2}{−1} −1{−1}{−1}{−1}{−1}{−1}...{−1}{−1}{−1} Заменив в структуре ′ и в формулах знак < на >, получаем задава-
емую той же самой таблицей алгебру A для квазирационального влево
типа ( ) := { < ∧ ¬ −1 ( , ) | ∈ }. Если — иррациональный тип, то ему соответствует алгебра A изо- лирующих формул, состоящая из 2 − 1 меток, перемножение которых задается следующей таблицей: ·01234...2 − 32 − 2 0{0}{1}{2}{3}{4}...{2 − 3}{2 − 2} 1{1}{1}{0, 1, 2}{3}{4}...{2 − 3}{2 − 2} 2{2}{0, 1, 2}{2}{3}{4}...{2 − 3}{2 − 2} 3{3}{3}{3}{3}{0, 1, 2, 3, 4}...{2 − 3}{2 − 2} 4{4}{4}{4}{0, 1, 2, 3, 4}{4}...{2 − 3}{2 − 2} ........................... 2 − 3{2 − 3}{2 − 3}{2 − 3}{2 − 3}{2 − 3}...{2 − 3}{0, 1, . . . , 2 − 2} 2 − 2{2 − 2}{2 − 2}{2 − 2}{2 − 2}{2 − 2}...{0, 1, . . . , 2 − 2}{2 − 2} В разделе 3.3 приводится описание алгебр бинарных формул для вполне о-минимальных теорий с немаксимальным числом счетных моделей. Следствие 3.2.15.Пусть — вполне o-минимальная теория с ма- лым числом счетных моделей, , ∈ 1 (∅) — неалгебраические типы. То- гда алгебры P ( ) и P ( ) изоморфны, если и только если ( ) = ( ) и типы и одновременно являются изолированными, либо квазирацио- нальными, либо иррациональными. Теорема 3.2.21.Пусть — вполне о-минимальная теория с малым числом счетных моделей, , ∈ 1 (∅), ̸⊥ . Тогда алгебра P ({ , }) яв- ляется обобщенно коммутативным моноидом. В четвертой главе дается описание алгебр бинарных формул для полигонометрических теорий, включая детерминированные и почти ( - почти) детерминированные алгебры. Описаны алгебры для расширения псевдоплоскостей полигонометрий с условием симметрии до плоскостей, а также псевдоевклидовы и интервальные алгебры бинарных изолирующих формул полигонометрических теорий. Определение.Система P ( ) называется (почти) детерминирован- ной, если множество 1 2 одноэлементно (непусто и конечно) для любых 1 , 2 ∈ ( ) . Любая детерминированная система P ( ) порождается моноидом = ⟨ ( ) ; ⊙⟩, где = { ⊙ } при , ∈ ( ) , и сама, будучи по- P′ ( ) чти детерминированной системой, является моноидом. Теорема 4.2.2.Алгебра P ( ) бинарных изолирующих формул полиго- нометрической теории (pm), где pm = pm( 1 , 2 , ), детерминирована тогда и только тогда, когда выполняется какое-либо из следующих усло- вий: (1) | 1 | = 1 и (pm) ≤ 2; (2) 1 < | 1 | < , | 2 | = 1 и (pm) = 1; (3) | 1 | ≥ и | 2 | = 1. При этом в случае (1) алгебра P′ ( ) изоморфна единичной группе или груп- пе Z2 , а в случаях (2) и (3) эта алгебра изоморфна группе 1 . Теорема 4.2.4. Алгебра бинарных изолирующих формул полигономет- рической теории (pm) почти детерминирована тогда и только тогда, когда группа 1 одноэлементна или группа 2 конечна. В противовес детерминированным алгебрам рассматриваются - поглощающие алгебры, которые при перемножении нетривиальных ме- ток захватывают все метки данной алгебры. Теорема 4.4.1.Для любой группы 1 существует тригонометрия trm = trm( 1 , 2 , ) такая, что теория (trm) обладает 2-поглощающей алгеброй бинарных изолирующих формул. В пятой главе описаны алгебры бинарных изолирующих формул для операций над теориями, приведены примеры с таблицами Кэли. 17 Shulepov I. V., Sudoplatov S. V. Algebras of distributions for isolating formulas of a complete theory // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2014. Vol. 11. P. 380–407. В разделе 5.1 приводится описание алгебр бинарных изолирующих фор- мул для теорий произведения графов, таких как декартово, корневое и тензорное произведение. В разделе 5.2 приводится описание алгебр бинарных изолтрующих фор- мул для комрозиций теорий. Определение.Композиция ℳ[ ] структур ℳ и называется - определимой, если ℳ[ ] имеет ∅-определимое отношение эквивалентно- сти , у которого -классы являются носителями копий структуры , образующих ℳ[ ]. Теорема 5.1.17. Если композиция ℳ[ ] является -определимой, то алгебра P бинарных изолирующих формул теории = Th(ℳ[ ]) изоморфна композиции P 1 [P 2 ] алгебр P 1 и P 2 бинарных изолирующих формул теорий 1 = Th(ℳ) и 2 = Th( ). Следствие 5.1.18.Если композиция ℳ[ ] является -определимой, 1 = Th(ℳ), 2 = Th( ), и 1 , 2 — транзитивные теории с алгебрами P ( ) и P ′ ( ′ ) соответственно, то теория 1 [ 2 ] имеет алгебру P ′′ ( ′′ ) с единственным 1-типом ′′ , изоморфную композиции P ( ) [P ′ ( ′ ) ]. Теорема 5.2.21. Для любого -группоида P, состоящего из неотри- цательных меток, существует теория с типом ∈ ( ) и правиль- ной меточной функцией ( ) так, что P ( ) = P0 [P], где P0 — алгебра бинарных изолирующих формул теории плотного линейного порядка без концевых элементов. Теорема 5.2.22. Для любого -группоида P, состоящего из неотри- цательных меток, существует теория с типом ∈ ( ) и правильной меточной функцией ( ) так, что P ( ) = P̂︀ 0 — алгебра би- ̂︀ 0 [P], где P нарных изолирующих формул неглавного 1-типа теории Эренфойхта. Теорема 5.2.24. Для любого -группоида P, состоящего из неотри- цательных меток, существует теория с типом ∈ ( ) и правильной меточной функцией ( ) так, что P ( ) = PZ [P]. Теорема 5.2.28. Для любого натурального ≥ 1 существует ℵ0 - категоричная слабо циклически минимальная структура Q с прими- тивной группой автоморфизмов и такая, что соответствующая алгебра PQn бинарных изолирующих формул имеет ровно + 1 метку. Теорема 5.2.29.Алгебра PQn бинарных изолирующих формул обла- дает следующими правилами умножения: (1) для любой метки с условием 0 ≤ ≤ выполняется 0 · = · 0 = { }; (2) для любых меток 1 , 2 с условиями 1 ≤ 1 , 2 ≤ справедливо: (2a) если 1 + 2 ≤ , то 1 · 2 = 2 · 1 = { 1 + 2 − 1, 1 + 2 }; (2b) если 1 + 2 − = 1, то 1 · 2 = 2 · 1 = {0, 1, }; (2c) если 1 + 2 − = для некоторого ≥ 2, то 1 · 2 = 2 · 1 = { − 1, }. Заключениесодержит список основных результатов, полученных в работе. Автор благодарит своих научных руководителей Судоплатова С.В. и Кулпешова Б.Ш. за постановку задач исследования и за оказанное внима- ние к работе.

Алгебры распределений бинарных изолирующих и полуизолирующих фор-
мул являются производными структурами для данной элементарной теории.
Эти алгебры отражают бинарные связи между реализациями 1-типов, опреде-
ляемые формулами исходной теории. Алгебры бинарных формул возникли из
потребностей теории моделей и связаны с построением классификации счетных
моделей полных теорий [19]. При построении счетных моделей элементарных
теорий ключевую роль играют бинарные формульно определимые связи между
реализациями полных типов. При описании получаемых бинарных структур и
взаимосвязей между бинарными связями естественно возникают подходящие
алгебры. Описание таких алгебр дает представление об общей структуре счет-
ной модели теории. Тем самым, алгебры бинарных формул являются одними из
важных производных объектов данной теории, позволяющих получать струк-
турную информацию о данной теории. Вопросы описания таких свойств и по-
лучения классификации являются одними из центральных в теории моделей и
связаны с работами А.И. Мальцева, А. Тарского, Е. Лося, С. Фефермана, Р. Во-
ота, М. Морли, Ю.Л. Ершова, А.Д. Тайманова, Е.А. Палютина, С. Шелаха,
С.С. Гончарова, Б. Пуаза, А. Пилая, Б.И. Зильбера, Т.Г. Мустафина, Б.С. Бай-
жанова и др.
Алгебры бинарных формул тесно связаны с разделами алгебраической ло-
гики, с реляционными алгебрами [46], с мультиалгебрами [16], с полугруппами
[7, 13] и моноидами. Следует отметить результаты по мультиалгебрам, полу-
ченные Н.А. Перязевым [15], С.Ф. Винокуровым [5], В.И. Пантелеевым [14] и
другими.
Основным понятием, рассматриваемым в данной работе, является следую-
щее понятие алгебры бинарных изолирующих формул.
Определение [28, 58]. Пусть — полная теория, ℳ |= . Рассмотрим типы
( ), ( ) ∈ (∅), реализуемые в ℳ, а также всевозможные ( , )-устойчивые
формулы ( , ) теории , т. е. формулы, для которых найдутся элементы
∈ такие, что |= ( ) и ( , ) ⊢ ( ). Определим для каждой такой фор-
мулы ( , ) двухместное отношение , , {( , ) | ℳ |= ( ) ∧ ( , )}.
При условии ( , ) ∈ , , пара ( , ) называется ( , , )-дугой. Если ( , ) —
главная формула (над ), то ( , , )-дуга ( , ) также называется главной.
Если ( , ) является ( ↔ )-формулой, т. е. одновременно ( , )- и ( , )-
устойчивой, то множество [ , ] {( , ), ( , )} называется ( , , )-ребром. Ес-
ли ( , , )-ребро [ , ] состоит из главных ( , , )- и ( , −1 , )-дуг, где −1 ( , )
обозначает ( , ), то [ , ] называется главным ( , , )-ребром.
Будем называть ( , , )-дуги и ( , , )-рëбра дугами и рëбрами соответ-
ственно, если из контекста ясно, о какой формуле идëт речь, или речь идëт
о некоторой формуле ( , ). Дуги ( , ), у которых пары ( , ) не являются
дугами ни по каким ( , )-формулам, называются необращаемыми.
Определение [54]. Для типов ( ), ( ) ∈ (∅) обозначим через PF( , )
множество { ( , ) | ( , ) — главная формула, ( , ) ⊢ ( ), где |= ( )}.
Пусть PE( , ) — множество пар ( ( , ), ( , )) формул из PF( , ) таких,
что для любой (некоторой) реализации типа совпадают множества решений
формул ( , ) и ( , ).
Очевидно, что PE( , ) является отношением эквивалентности на множестве
PF( , ). Заметим, что каждому PE( , )-классу соответствует либо глав-
ное ребро, либо необращаемая главная дуга, связывающая реализации типов
и посредством любой (некоторой) формулы из . Таким образом, фактор-
множество PF( , )/PE( , ) представляется в виде дизъюнктного объеди-
нения множеств PFS( , ) и PFN( , ), где PFS( , ) состоит из PE( , )-
классов, соответствующих главным рëбрам, а PFN( , ) состоит из PE( , )-
классов, соответствующих необращаемым главным дугам.
Зафиксируем полную теорию . Пусть = − ∪˙ {0} ∪˙ + — некоторый ал-
фавит мощности ≥ | ( )|, состоящий из отрицательных элементов − ∈ − ,
положительных элементов + ∈ + и нуля 0. Как обычно, будем писать < 0 для любого элемента ∈ − и > 0 для любого элемента ∈ + .1 Множество
− ∪ {0} обозначается через ≤0 , а + ∪ {0} — через ≥0 . Элементы множе-
ства будем называть метками.
Рассмотрим инъективные меточные функции

( , ): PF( , )/PE( , ) → ,

( ), ( ) ∈ (∅), при которых классам из PFN( , )/PE( , ) соответствуют
отрицательные элементы, а классам из PFS( , )/PE( , ) — элементы
неотрицательные так, что значение 0 определяется лишь для = и задаëтся по
формуле ( ≈ ), ( ) ( , ). При этом будем считать, что ( ) ∩ ( ) = {0}
1 Еслимножество не более чем счëтно, то можно считать, что является подмножеством множества
целых чисел Z.
для ̸= (где, как обычно, через обозначается область значений функции
) и ( , ) ∩ ( ′ , ′ ) = ∅, если ̸= и ( , ) ̸= ( ′ , ′ ). Любые меточные функции
с указанными свойствами, а также семейства таких функций будем называть
правильными и далее рассматривать только правильные меточные функции и
их правильные семейства.
Через , , ( , ) будут обозначаться формулы из PF( , ), представляющие
метку ∈ ( , ) . Если тип фиксирован и = , то формула , , ( , ) обо-
значается через ( , ).
Отметим, что если , , ( , ) и , , ( , ) — формулы, свидетельствующие о
том, что для реализаций и типов и соответственно пары ( , ) и ( , )
являются главными дугами, то формула , , ( , ) ∧ , , ( , ) свидетельствует
о том, что [ , ] является главным ребром. При этом обратимой метке одно-
значно соответствует (неотрицательная) метка и наоборот. Метки и будем
называть взаимно обратными и обозначать через −1 и −1 соответственно.
Для типов 1 , 2 , . . . , +1 ∈ 1 (∅) и множеств меток 1 , 2 , . . . , ⊆
обозначим через
( 1 , 1 , 2 , 2 , . . . , , , +1 )
множество, состоящее из всех меток ∈ , соответствующих формулам
1 , , +1 ( , ), которые для реализаций типа 1 и некоторых 1 ∈ 1 ∩
( 1 , 2 ) , . . . , ∈ ∩ ( , +1 ) удовлетворяют условию

1 , , +1 ( , ) ⊢ 1 , 1 , 2 , 2 ,…, , , +1 ( , ),

где
1 , 1 , 2 , 2 ,…, , , +1 ( , )
∃ 2 , 3 , . . . , ( 1 , 1 , 2 ( , 2 ) ∧ 2 , 2 , 3 ( 2 , 3 ) ∧ . . .
. . . ∧ −1 , −1 , ( −1 , ) ∧ , , +1 ( , )).
Тем самым, на булеане ( ) множества образуется алгебра распределений
бинарных изолирующих формул с -местными операциями

( 1 , ·, 2 , ·, . . . , , ·, +1 ),

где 1 , . . . , +1 ∈ 1 (∅). Эта алгебра имеет естественное обеднение на лю-
бое семейство ⊆ 1 (∅). Алгебра бинарных изолирующих формул с мно-
жеством меток, связывающих 1-типы из семейства , сводится к частичной
мультиалгебре с одной бинарной операцией перемножения меток, при которой
для любых меток , ∈ ( ) результат умножения является подмноже-
ством ( ) и для любых множеств , ∈ ( ( ) ) имеет место соотношение
· = { | ∈ , ∈ }. Полученный группоид ⟨ ( ( ) ), ·⟩ обозначается
⋃︀
через P ( ) , а если = { }, то эта алгебра обозначается через P ( ) . При этом
при наличии малости теории алгебра P ( ) сводится к своему естественному
ограничению на ( ( ) ) ∖ {∅}.
В работе речь идет об описании алгебр бинарных изолирующих формул
P ( ) для ряда естественных классов теорий: теорий отношений эквивалент-
ности, теорий унаров, теорий симплексов и архимедовых тел, полигонометри-
ческих теорий [18], различных видов упорядоченных теорий, включая слабо
о-минимальные и вполне о-минимальные теории.
Определение [45]. Слабо о-минимальной структурой называется линейно
упорядоченная структура ℳ = ⟨ ; =, <, . . .⟩ такая, что любое определимое (с параметрами) подмножество структуры ℳ является объединением конечного числа выпуклых множеств в ℳ. В работах Д.Макферсона, Д.Маркера и Ч.Стейнхорна получены первона- чальные глубокие структурные результаты о слабо о-минимальных теориях. В следующих определениях ℳ — слабо о-минимальная структура, , ⊆ , ℳ является | |+ -насыщенной, , ∈ 1 ( ) — неалгебраические типы. Определение [26]. Говорят, что тип не является слабо ортогональным типу ( ̸⊥ ), если существуют -определимая формула ( , ), ∈ ( ) и 1 , 2 ∈ ( ) такие, что 1 ∈ ( , ) и 2 ̸∈ ( , ). Определение [8]. Говорят, что тип не является вполне ортогональным типу ( ̸⊥ ), где , ∈ 1 ( ), если существует -определимая биекция : ( ) → ( ). Будем говорить, что слабо о-минимальная теория является вполне о-минимальной, если понятия слабой ортогональности и вполне ортого- нальности 1-типов совпадают. В работе Б.Ш.Кулпешова показано, что вполне о-минимальные теории, об- разующие подкласс класса слабо о-минимальных теорий, наследуют многие свойства о-минимальных теорий. В работе Б.Ш.Кулпешова [10] были полно- стью описаны ℵ0 –категоричные вполне о-минимальные теории. Это описание влечет их бинарность, т.е. сведение всех формул теории к булевым комбинаци- ям формул от двух свободных переменных (аналогичный результат верен для ℵ0 -категоричных о-минимальных теорий). Свойство бинарности дает возможность сведения алгебр изолирующих фор- мул к подходящим группоидам и представлениям алгебр таблицами Кэли. Цель работы. Целью данной работы является: описание алгебр бинарных изолирующих формул для различных естественных классов теорий, их систе- матизация. Научная новизна. Все основные результаты являются новыми, снабже- ны полными доказательствами и своевременно опубликованы. Они могут быть использованы при чтении спецкурсов по теории моделей, написании учебных пособий и монографий. Методология и методы исследования. Для достижения поставленной цели исследования используются методы теории моделей, основанные на ис- пользовании классических и новых понятий общей теории моделей, а также алгебраические и теоретико-графовые методы. Основные положения, выносимые на защиту: 1. Описаны алгебры бинарных формул для естественных классов теорий, в частности, для теорий унаров, теорий симплексов и архимедовых тел, поли- гонометрических теорий. Результаты для теорий унаров, теорий симплексов и архимедовых тел получены лично и опубликованы в [65, 69, 77, 75, 78, 82, 83, 85], а для полигонометрических теорий получены в неразделимом соавторстве с Судоплатовым С.В. и опубликованы в [67, 70, 84, 86]. 2. Описаны алгебры бинарных формул для различных видов теорий упорядо- ченных структур, включая счетно категоричные слабо о-минимальные, вполне о-минимальные, циклически упорядоченные. Охарактеризованы условия изо- морфизма алгебр над данными типами, а также обобщенной коммутативности алгебр над парой типов теорий упорядоченных структур в терминах ранга вы- пуклости. Результаты получены в неразделимом соавторстве с Кулпешовым Б.Ш., Судоплатовым С.В. и опубликованы в [66, 68, 92, 93, 100, 101]. 3. Описана взаимосвязь алгебр бинарных формул с операциями над алгебра- ическими системами, включая композиции, декартовы, тензорные и корневые произведения. Результаты о декартовых, тензорных и корневых произведениях получены лично и опубликованы в [22, 33,69, 88–91], а результаты о композици- ях получены в неразделимом соавторстве с Кулпешовым Б.Ш., Судоплатовым С.В. и опубликованы в [71, 87, 95–97, 99]. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: ∙ Международная научная студенческая конференция, 2016, 2018, Новоси- бирск, НГУ; ∙ Традиционная международная конференция “Мальцевские чтения”, Ново- сибирск, 2014–2020; ∙ Традиционная международная апрельская математическая конференция в честь Дня работников науки Республики Казахстан, Алматы, Казахстан, 2015–2021; ∙ Международная конференция “Алгебра и математическая логика: теория и приложения”, г. Казань, 2019; ∙ Logic Colloquium, 2015, 2017, 2019; ∙ Синтаксис и семантика логических систем 2017, 2019; ∙ 14-я международная летняя школа-конференция «Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры», посвященная 75-летию профес- сора Б. Пуаза, Эрлагол, 2021. ∙ Семинары “Теория моделей имени Е.А. Палютина”, “Алгебра и логика” ИМ СО РАН. Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 37 печатных изданиях, 7 из которых изданы в рекомендованных ВАК российских рецензируемых научных журналах, в которых должны быть опубликованы ос- новные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и канди- дата наук, а также индексируемых в наукометрических системах (Scopus, Web of Science и т.д.) [65]–[71], 30 — в сборниках статей и тезисах докладов [72]–[91], [92]–[99], [100], [101]. Работы [3, 6, 17, 19, 20, 24, 25, 27] написаны в неразрывном сотрудничестве с Судоплатовым С.В. Работы [2, 4, 7, 11, 13, 18, 23, 28—32, 34] подготовлены в неразрывном соавторстве с Кулпешовым Б.Ш. и Судоплатовым С.В. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 128 страниц машинописного текста. Библиография содержит 101 наименование. Содержание работы. Во введении обосновывается актуальность иссле- дований алгебр бинарных изолирующих формул P ( ) , проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изу- чаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, излагается на- учная новизна и практическая значимость представляемой работы. В первой главе приводятся необходимые определения, относящиеся к ал- гебрам бинарных изолирующих формул. Даны предварительные сведения и ос- новные понятия. Во второй главе дается описание алгебр распределений бинарных изоли- рующих формул для естественных классов теорий теорий. В разделе 2.1 приводится описание алгебр распределений бинарных изоли- рующих формул для теорий с отношениями эквивалентности и для семейств вложенных отношений эквивалентности (теоремы 2.1.10. и 2.1.13). В разделе 2.2 приводится описание алгебр распределений бинарных изоли- рующих формул для теории одноместных предикатов с унарной функцией. Теорема 2.2.5. Если — теория унара с одноместными предиката- ми, P ( ) — алгебра распределений бинарных изолирующих формул для типа ∈ 1 (∅), то алгебра P ( ) задается ровно одной из следующих алгебр: груп- пой Z, группой Z , алгеброй A , , алгеброй Afr, , алгеброй ⟨ * ; +⟩, B , 1 , 2 ,..., , B ,( ) ∈ . В разделе 2.3 дается описание алгебр распределений бинарных изолирующих формул для теорий симплексов. В разделе 2.4 приводится описание алгебр распределений бинарных изоли- рующих формул для теории архимедовых тел. В третьей главе “Алгебры бинарных изолирующих формул для вариаций о-минимальных структур ”описываются алгебры для различных теорий упоря- доченных структур. В разделе 3.1 приводится описание алгебр бинарных формул в счетно кате- горичных слабо о-минимальных структурах. Теорема 3.1.9. Пусть — счетно категоричная слабо -минимальная теория. Тогда для любого типа ∈ 1 (∅) и натурального числа следующие условия эквивалентны: (1) алгебра P ( ) является ( , ℵ0 , )-wom-моноидом; (2) ( ) = . Теорема 3.1.27. Пусть — счетно категоричная слабо о-минимальная теория, , ∈ 1 (∅). Тогда следующие условия эквивалентны: (1) алгебра P ({ , }) — обобщенно коммутативный моноид; (2) ( ) = ( ). В разделе 3.2 приводится описание алгебр бинарных формул для вполне о- минимальных теорий с немаксимальным числом счетных моделей. Теорема 3.2.13. Пусть — вполне o-минимальная теория с малым чис- лом счетных моделей, ∈ 1 (∅) — неалгебраический тип. Тогда существует < такой, что: (1) если — изолированный тип, то алгебра P ( ) является ( , ℵ0 , )-wom- моноидом, состоящим из 2 + 1 метки; (2) если квазирациональный вправо (влево), то алгебра P ( ) является ( , , )-wom-моноидом (( , , )-wom-моноидом), состоящим из 2 ме- ток; (3) если иррациональный, то алгебра P ( ) является ( , , )-wom- моноидом, состоящим из 2 − 1 метки. Квазирациональному вправо типу соответствует алгебра A изолирую- щих формул, состоящая из 2 меток, перемножение которых задается следую- щей таблицей: · 0 1 2 3 4 ... 2 − 3 2 − 2 −1 0 {0} {1} {2} {3} {4} ... {2 − 3} {2 − 2} {−1} 1 {1} {1} {0, 1, 2} {3} {4} ... {2 − 3} {2 − 2} {−1} 2 {2} {0, 1, 2} {2} {3} {4} ... {2 − 3} {2 − 2} {−1} 3 {3} {3} {3} {3} {0, 1, 2, 3, 4} ... {2 − 3} {2 − 2} {−1} 4 {4} {4} {4} {0, 1, 2, 3, 4} {4} ... {2 − 3} {2 − 2} {−1} ... ... ... ... ... ... ... ... ... {−1} 2 − 3 {2 − 3} {2 − 3} {2 − 3} {2 − 3} {2 − 3} ... {2 − 3} {0, 1, . . . , 2 − 2} {−1} 2 − 2 {2 − 2} {2 − 2} {2 − 2} {2 − 2} {2 − 2} ... {0, 1, . . . , 2 − 2} {2 − 2} {−1} −1 {−1} {−1} {−1} {−1} {−1} ... {−1} {−1} {−1} Заменив в структуре ′ и в формулах знак < на >, получаем задаваемую
той же самой таблицей алгебру A для квазирационального влево типа ( ) :=
{ < ∧ ¬ −1 ( , ) | ∈ }. Если — иррациональный тип, то ему соответствует алгебра A изолиру- ющих формул, состоящая из 2 − 1 меток, перемножение которых задается следующей таблицей: · 0 1 2 3 4 ... 2 − 3 2 − 2 0 {0} {1} {2} {3} {4} ... {2 − 3} {2 − 2} 1 {1} {1} {0, 1, 2} {3} {4} ... {2 − 3} {2 − 2} 2 {2} {0, 1, 2} {2} {3} {4} ... {2 − 3} {2 − 2} 3 {3} {3} {3} {3} {0, 1, 2, 3, 4} ... {2 − 3} {2 − 2} 4 {4} {4} {4} {0, 1, 2, 3, 4} {4} ... {2 − 3} {2 − 2} ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 − 3 {2 − 3} {2 − 3} {2 − 3} {2 − 3} {2 − 3} ... {2 − 3} {0, 1, . . . , 2 − 2} 2 − 2 {2 − 2} {2 − 2} {2 − 2} {2 − 2} {2 − 2} ... {0, 1, . . . , 2 − 2} {2 − 2} В разделе 3.3 приводится описание алгебр бинарных формул для вполне о- минимальных теорий с немаксимальным числом счетных моделей. Следствие 3.2.15. Пусть — вполне o-минимальная теория с малым числом счетных моделей, , ∈ 1 (∅) — неалгебраические типы. Тогда алгебры P ( ) и P ( ) изоморфны, если и только если ( ) = ( ) и типы и одновременно являются изолированными, либо квазирациональными, либо иррациональными. Теорема 3.2.21. Пусть — вполне о-минимальная теория с малым чис- лом счетных моделей, , ∈ 1 (∅), ̸⊥ . Тогда алгебра P ({ , }) является обобщенно коммутативным моноидом. В четвертой главе дается описание алгебр бинарных формул для полиго- нометрических теорий, включая детерминированные и почти ( -почти) детер- минированные алгебры. Описаны алгебры для расширения псевдоплоскостей полигонометрий с условием симметрии до плоскостей, а также псевдоевклидо- вы и интервальные алгебры бинарных изолирующих формул полигонометри- ческих теорий. Определение.[54] детерминированной, если множество 1 2 одноэлементно (непусто и конечно) для любых 1 , 2 ∈ ( ) . Любая детерминированная система P ( ) порождается моноидом P′ ( ) = ⟨ ( ) ; ⊙⟩, где = { ⊙ } при , ∈ ( ) , и сама, будучи почти детерми- нированной системой, является моноидом. Теорема 4.2.2. Алгебра P ( ) бинарных изолирующих формул полигоно- метрической теории (pm), где pm = pm( 1 , 2 , ), детерминирована тогда и только тогда, когда выполняется какое-либо из следующих условий: (1) | 1 | = 1 и (pm) ≤ 2; (2) 1 < | 1 | < , | 2 | = 1 и (pm) = 1; (3) | 1 | ≥ и | 2 | = 1. При этом в случае (1) алгебра P′ ( ) изоморфна единичной группе или группе Z2 , а в случаях (2) и (3) эта алгебра изоморфна группе 1 . Теорема 4.2.4. Алгебра бинарных изолирующих формул полигонометри- ческой теории (pm) почти детерминирована тогда и только тогда, когда группа 1 одноэлементна или группа 2 конечна. В противовес детерминированным алгебрам рассматриваются - поглощающие алгебры, которые при перемножении нетривиальных меток захватывают все метки данной алгебры. Теорема 4.4.1. Для любой группы 1 существует тригонометрия trm = trm( 1 , 2 , ) такая, что теория (trm) обладает 2-поглощающей алгеброй бинарных изолирующих формул. В пятой главе описаны алгебры бинарных изолирующих формул для опе- раций над теориями, приведены примеры с таблицами Кэли. В разделе 5.1 приводится описание алгебр бинарных изолирующих формул для теорий произведения графов, таких как декартово, корневое и тензорное произведение. В разделе 5.2 приводится описание алгебр бинарных изолтрующих формул для комрозиций теорий. Определение. Композиция ℳ[ ] структур ℳ и называется - определимой, если ℳ[ ] имеет ∅-определимое отношение эквивалентности , у которого -классы являются носителями копий структуры , образу- ющих ℳ[ ]. Теорема 5.1.17. Если композиция ℳ[ ] является -определимой, то алгебра P бинарных изолирующих формул теории = Th(ℳ[ ]) изоморфна композиции P 1 [P 2 ] алгебр P 1 и P 2 бинарных изолирующих формул теорий 1 = Th(ℳ) и 2 = Th( ). Следствие 5.1.18. Если композиция ℳ[ ] является -определимой, 1 = Th(ℳ), 2 = Th( ), и 1 , 2 — транзитивные теории с алгебрами P ( ) и P ′ ( ′ ) соответственно, то теория 1 [ 2 ] имеет алгебру P ′′ ( ′′ ) с единствен- ным 1-типом ′′ , изоморфную композиции P ( ) [P ′ ( ′ ) ]. Теорема 5.2.21. Для любого -группоида P, состоящего из неотрицатель- ных меток, существует теория с типом ∈ ( ) и правильной меточной функцией ( ) так, что P ( ) = P0 [P], где P0 — алгебра бинарных изолирую- щих формул теории плотного линейного порядка без концевых элементов. Теорема 5.2.22. Для любого -группоида P, состоящего из неотрицатель- ных меток, существует теория с типом ∈ ( ) и правильной меточной ̂︀ 0 [P], где P функцией ( ) так, что P ( ) = P ̂︀ 0 — алгебра бинарных изолирую- щих формул неглавного 1-типа теории Эренфойхта. Теорема 5.2.24. Для любого -группоида P, состоящего из неотрицатель- ных меток, существует теория с типом ∈ ( ) и правильной меточной функцией ( ) так, что P ( ) = PZ [P]. Теорема 5.2.28. Для любого натурального ≥ 1 существует ℵ0 - категоричная слабо циклически минимальная структура Q с примитивной группой автоморфизмов и такая, что соответствующая алгебра PQn бинар- ных изолирующих формул имеет ровно + 1 метку. Теорема 5.2.29. Алгебра PQn бинарных изолирующих формул обладает следующими правилами умножения: (1) для любой метки с условием 0 ≤ ≤ выполняется 0· = ·0 = { }; (2) для любых меток 1 , 2 с условиями 1 ≤ 1 , 2 ≤ справедливо: (2a) если 1 + 2 ≤ , то 1 · 2 = 2 · 1 = { 1 + 2 − 1, 1 + 2 }; (2b) если 1 + 2 − = 1, то 1 · 2 = 2 · 1 = {0, 1, }; (2c) если 1 + 2 − = для некоторого ≥ 2, то 1 · 2 = 2 · 1 = { − 1, }. Заключение содержит список основных результатов, полученных в работе.

В данной работе исследовались и были описаны алгебры распределений би-
нарных изолирующих формул для ряда естественных классов теорий:
∙ описаны алгебры бинарных формул для естественных классов теорий, в
частности, для теорий унаров, теорий симплексов и архимедовых тел, полиго-
нометрических теорий;
∙ описаны алгебры бинарных формул для различных видов теорий упорядо-
ченных структур, включая счетно категоричные слабо о-минимальные, вполне
о-минимальные, циклически упорядоченные. Охарактеризованы условия изо-
морфизма алгебр над данными типами, а также обобщенной коммутативности
алгебр над парой типов теорий упорядоченных структур в терминах ранга вы-
пуклости;
∙ описана взаимосвязь алгебр бинарных формул с операциями над алгебра-
ическими системами, включая композиции, декартовы, тензорные и корневые
произведения.

[1] Александров П.С. Комбинаторная топология. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?

Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

Читать

Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее

Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее

Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее

Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

Хочешь уникальную работу?

Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

Помощь в написании магистерских диссертаций, курсовых, контрольных работ, рефератов, статей, повышение уникальности текста(ручной рерайт), качественно и в срок, в соот... Читать все

Помощь в написании магистерских диссертаций, курсовых, контрольных работ, рефератов, статей, повышение уникальности текста(ручной рерайт), качественно и в срок, в соответствии с Вашими требованиями.

#Кандидатские #Магистерские

12 Выполненных работ

Красный диплом референта-аналитика информационных ресурсов, 8 лет преподавания. Опыт написания работ вплоть до докторских диссертаций. Отдельно специализируюсь на повы... Читать все

Красный диплом референта-аналитика информационных ресурсов, 8 лет преподавания. Опыт написания работ вплоть до докторских диссертаций. Отдельно специализируюсь на повышении уникальности текста и оформлении библиографических ссылок по ГОСТу.

#Кандидатские #Магистерские

132 Выполненных работы

Стаж педагогической деятельности в вузах Москвы 15 лет, автор свыше 140 публикаций (РИНЦ, ВАК). Большой опыт в подготовке дипломных проектов и диссертаций по научной с... Читать все

Стаж педагогической деятельности в вузах Москвы 15 лет, автор свыше 140 публикаций (РИНЦ, ВАК). Большой опыт в подготовке дипломных проектов и диссертаций по научной специальности 12.00.14 административное право, административный процесс.

#Кандидатские #Магистерские

216 Выполненных работ

Работаю только по книгам, учебникам, статьям и диссертациям. Никогда не использую технические способы поднятия оригинальности. Только авторские работы. Стараюсь учитыв... Читать все

Работаю только по книгам, учебникам, статьям и диссертациям. Никогда не использую технические способы поднятия оригинальности. Только авторские работы. Стараюсь учитывать все требования и пожелания.

#Кандидатские #Магистерские

213 Выполненных работ

Берусь за решение юридических задач, за написание серьезных научных статей, магистерских диссертаций и дипломных работ. Окончила Кемеровский государственный универси... Читать все

Берусь за решение юридических задач, за написание серьезных научных статей, магистерских диссертаций и дипломных работ. Окончила Кемеровский государственный университет, являюсь бакалавром, магистром юриспруденции (с отличием)

#Кандидатские #Магистерские

38 Выполненных работ

Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных с... Читать все

Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных статей в области экономики.

#Кандидатские #Магистерские

56 Выполненных работ

Здравствуйте! Опыт написания работ более 12 лет. За это время были успешно защищены более 2 500 написанных мною магистерских диссертаций, дипломов, курсовых работ. Явл... Читать все

Здравствуйте! Опыт написания работ более 12 лет. За это время были успешно защищены более 2 500 написанных мною магистерских диссертаций, дипломов, курсовых работ. Являюсь действующим преподавателем одного из ВУЗов.

#Кандидатские #Магистерские

177 Выполненных работ

Высшее экономическое образование. Мои клиенты успешно защищают дипломы и диссертации в МГУ, ВШЭ, РАНХиГС, а также других топовых университетах России.

#Кандидатские #Магистерские

108 Выполненных работ

Наличие красного диплома УрГЮУ по специальности юрист. Опыт работы в профессии - сфера банкротства. Уровень выполняемых работ - до магистерских диссертаций. Написан... Читать все

Наличие красного диплома УрГЮУ по специальности юрист. Опыт работы в профессии - сфера банкротства. Уровень выполняемых работ - до магистерских диссертаций. Написание письменных работ для меня в удовольствие.Всегда качественно.

#Кандидатские #Магистерские

60 Выполненных работ