Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Глава 1. Основные положения и математические модели
классической теории капиллярности . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Уравнение капиллярной поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Кривизна плоской кривой и средняя кривизна поверхности . . . . 14
1.3 Осесимметричные мениски и их классификация . . . . . . . . . . . 18
1.4 Математические модели свернутых менисков . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 Лежащая капля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Висящая капля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4.3 Мениск в капилляре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.5 Математические модели капиллярных мостиков . . . . . . . . . . . 67
1.6 Математические модели развернутых менисков . . . . . . . . . . . 76
Выводы к главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Глава 2. Размерная зависимость поверхностного натяжения . . . . . . 85
2.1 Уравнение Лапласа и размерная зависимость поверхностного
натяжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2 Размерная зависимость поверхностного натяжения сферической
поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3 Размерная зависимость поверхностного натяжения
цилиндрической поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.4 Размерная зависимость поверхностного натяжения для мениска в
капилляре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.5 Размерная зависимость поверхностного натяжения для
поверхности с произвольной геометрией . . . . . . . . . . . . . . . 93
Выводы к главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Глава 3. Математические модели теории капиллярности с учетом
размерной зависимости поверхностного натяжения . . . . . . 96
Стр.

3.1 Уравнение капиллярной поверхности с учетом размерной
зависимости поверхностного натяжения . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2 Математические модели свернутых менисков с учетом размерной
зависимости поверхностного натяжения . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2.1 Лежащая капля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2.2 Висящая капля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.2.3 Мениск в капилляре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.3 Математические модели капиллярных мостиков с учетом
размерной зависимости поверхностного натяжения . . . . . . . . . 177
3.4 Математические модели развернутых менисков с учетом
размерной зависимости поверхностного натяжения . . . . . . . . . 183
3.5 Программный комплекс моделирования капиллярных менисков . . 187
Выводы к главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы,
поставлена цель и сформулированы задачи исследования, отражены научная
новизна и практическая значимость решаемых в рамках диссертации проблем,
представлена информация об апробации полученных результатов и публикаци-
ях. Здесь же приведены основные положения, выносимые на защиту.
Первая глава посвящена исследованию математических моделей осе-
симметричных менисков в гравитационном поле без учета размерных зависи-
мостей физических параметров и методам их численного моделирования.
Рассмотрен вопрос о максимально возможном объеме висящей капли. В
ходе вычислительных экспериментов установлено, что в безразмерной
√форме,
когда характерной длиной выбрана капиллярная длина 1/ ( — капилляр-
ная постоянная), верхняя граница значений составляет ≈ 18.964. Отсюда
следует, что объем
√︀физически реализуемой висящей капли не может превосхо-
дить 18.964/ 3 . По√︀
данному вопросу в литературе встречается лишь сильно
завышенная оценка 3 < 126.4, найденная качественными методами. Отве- чающая экстремальному объему конфигурация изображена на рисунке 1. Рис. 1 — Висящая капля наибольшего объема. Получено новое представление точного решения задачи о форме двумер- ной висящей капли. Искомое решение распадается на две ветви: ⎧√︀ (−) ⎨ ⎪( ) = − 2 (cos − ), (︂ ⃒)︂√(︂ ⃒)︂ (−) √︀ ⃒⃒ 22 ⃒⃒ 2 ⎩ ⎪( ) = 2 (1 − ) + √ , 2 ⃒1 − 1− 2 ⃒1 − и{︃√︀ (+) ( ) =2 (cos − ), (+) ( ) = 2 (−) (arccos ) − (−) ( ) , где ( | ), ( | ) — эллиптические интегралы I-го и II-го рода соответствен- но, переменная параметризации ∈ [0, arccos ] — угол наклона касательной к профилю капли с осью , ( , ) — безразмерные координаты точки профиля, 0 ∈ (−1.71, 0], = 1 − 02 /2. Предложен метод расчета формы лежащей капли с заранее заданными значениями объема * , угла контакта и капиллярной постоянной. Для де- монстрации точности метода на рисунке 2 показан профиль капли вместе с набором эталонных точек. Проблема сводится к нахождению численного ре- шения задачи sin ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ = ( + )−sin , ⎨ cos ⎪ = ( + )−sin , ⎪ ⎩ 3 sin ⎪ = ( + )−sin , ⃒⃒⃒ ⃒ =0 = 0, ⃒ =0 = 0, ⃒ =0 = 0 со свободным параметром . Его значение подбирается, исходя из дополни- тельного условия на границе: ( = ; ) = * . 1.5 1.0 β z 0.5 0.0 -2-1012 xβ Рис. 2 — Расчетный профиль и точки профиля эталонной капли. Во второй главе подробно анализируется размерная зависимость поверх- ностного натяжения . Рассмотрены различные математические модели этой зависимости, соответствующие поверхностям со сферической и цилиндриче- ской симметрией, а также произвольно искривленной поверхности. При записи уравнений для капиллярных поверхностей, как правило, пред- полагается, что поверхностное натяжение является константой и не зависит от геометрии поверхности. Однако, такое допущение приемлемо только для массивных объектов, когда радиусы кривизны их поверхностей намного пре- восходят молекулярные размеры. Для малоразмерных объектов, например для микро/нанокапель и пузырьков, указанное условие уже нарушается. В целях моделирования капиллярных поверхностей выбрана следующая формула (∞) =(︁)︁ ,(1) 1 + 11 +1 2 где (∞) — поверхностное натяжение плоскости, — длина Толмена, 1 и 2 — главные радиусы кривизны. Из (1) следует, что за размерную зависимость по- верхностного натяжения отвечает параметр . В диссертации показано, что учет этого параметра в дифференциальных уравнениях математических моделей капиллярных поверхностей приводит к появлению дополнительного парамет- ра подобия. Если в (1) 1, 2 ≫ , то ≈ (∞) , и размерная зависимость отсутствует. Третья глава посвящена аналитическому и численному исследованию математических моделей осесимметричных менисков в однородном гравита- ционном поле с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения. Рассмотрено общее для всех капиллярных поверхностей уравнение 11 ± +=.(2) 1 21 − ( ± ) Опробованы различные варианты параметризации профилей каждого класса осесимметричных менисков. Среди них отобраны те, что позволяют опти- мально сводить уравнение (2) к эквивалентным системам ОДУ I-го порядка, численное решение начальных задач для которых классическими методами Рунге—Кутты или Адамса не вызывает затруднений. Проведено аналитическое исследование математической модели лежащей капли, связанной с параметризацией профиля по переменной 2 / 2 / + [︁]︁3/2 +[︁]︁1/2 = 1 − ( + ) ,(3) 1 + ( / ) 1 + ( / ) ⃒ ⃒⃒ ⃒ =0 = 0,= 0.(4) =0 ⃒ ◁ Теорема 1. Пусть > 0, ≥ 0, ≥ 0 и 1 − > 0. Тогда на конечном
полуинтервале (0, * ], где
(︂)︂
0 < * < 2− ,(5) существует, и притом единственное, решение уравнения (3), удовлетворяющее начальным условиям (4). Функция = ( ) непрерывна на [0, * ], непрерывно- дифференцируема на [0, * ), а отрезок [0, * ] есть максимальный промежуток существования искомого решения. Изучены качественные свойства решений (3)–(4). В частности, показана устойчивость решений задачи относительно входных данных. В вопросах математического моделирования целесообразен переход от параметризации по к параметризации по углу наклона касательной ⎧ [1− ( + )] sin = ( + )−[1− ( + )] sin , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ [1− ( + )] cos = ( + )−[1− ( + )] sin ,(6) ⎪ ⎪ 3 [1− ( + )] sin ⎪ ⎩ = ( + )−[1− ( + )] sin , ⎪ ⃒⃒⃒ ⃒ =0 = 0, ⃒ =0 = 0, ⃒ =0 = 0.(7) ◁ Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда существует единственное гладкое решение задачи (6)–(7), продолжимое на отрезок [0, ]. Функция = ( ) строго возрастает до точки = /2, достигает в ней свой максимум * = ( /2), после строго убывает до = ( ) > 0. Функция
= ( ) на всем продолжении строго возрастает.
◁ Следствие теоремы 2: каждому набору параметров { , , } соответ-
ствует одна лежащая капля с контактным углом смачивания ∈ (0, ].
Основываясь на численных решениях (6)–(7), проанализированы харак-
тер и степень влияния всех параметров по отдельности на форму лежащей
капли. Результаты моделирования при различных представлены на рисунке 3.
Они свидетельствуют о том, что увеличение сопровождается уменьшением
линейных размеров капли. Влияние параметра на объем таково:

< 0,lim = 0,lim = ∞.(8) →1/ →0 Справедливость соотношений (8) делает возможным и при ̸= 0 использование метода, разработанного в первой главе с целью расчета профиля капли. 1.5a 1.0b β z 0.5c 0.0 -1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 xβ Рис. 3 — Влияние [нм] на форму лежащей капли: — 0, — 0.3, — 0.6. Аналитически исследована математическая модель висящей капли: 2 / 2 / − [︁]︁3/2 +[︁]︁1/2 = 1 − ( − ) ,(9) 1 + ( / ) 1 + ( / ) ⃒⃒ ⃒ = 0. ⃒ =0 = 0,(10) =0 ⃒ ◁ Теорема 3. Пусть > 0, ≥ 0, ≥ 0 и 1 − > 0. Тогда существу-
ет единственное гладкое решение уравнения (9), удовлетворяющее начальным
условиям (10).
Показано, что оптимальным вариантом с точки зрения моделирования
является параметризация по длине дуги :
⎧
⎪
⎪
⎪ = sin ,
⎪
⎨ = cos ,
⎪

(11)
− sin
⎪ = 1− ( − ) − ,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 2
= sin ,
| =0 = 0, | =0 = 0, | =0 = 0, | =0 = 0.(12)
Как и для лежащей капли, проведен анализ влияния всех параметров модели
(11)–(12) на равновесную форму и объем висящей. Увеличение приводит к
монотонному уменьшению высоты и объема капли. Независимо от допустимых
значений объем висящей капли всегда ограничен сверху, а его точная верхняя
граница монотонно уменьшается с увеличением .
Представляет интерес исследование поведения функции ( ). У висящей
капли график = ( ) напоминает осциллирующую кривую, в связи с чем
уравнение ( ) = 0 > 0 может иметь множество корней. Таким образом, в
отдельных случаях допускается существование нескольких висящих капель с
одинаковыми объемом и углом контакта при фиксированных и .
Исследована математическая модель мениска в капилляре
⎧(1+ ) sin

⎨ = −(1+ ) sin ,
(13)
⎩ = (1+ ) cos ,
−(1+ ) sin

| =0 = ℎ, | =0 = 0,(14)
где ℎ — высота капиллярного подъема.
◁ Теорема 4. Пусть ≥ 0, ≥ 0, ℎ > 0. Тогда на полуинтервале (0, /2]
существует единственное гладкое решение уравнения (13), удовлетворяющее
начальным условиям (14), и
(︁ )︁(︂)︂
1[︁ ]︁
( ) ≤ <2+ , ∈ 0,. 2 ℎ2 Подробно изучены свойства решений задачи (13)–(14). Предложен алго- ритм, с помощью которого удается с заданной точностью определить высоту капиллярного подъема по известным значениям , угла контакта жидкости со стенками капилляра, и . Преимущество данного алгоритма перед исполь- зуемыми на практике аппроксимационными формулами состоит в отсутствии ограничений на малость параметров , , или . Результаты его применения приведены на рисунке 4. Численно исследована математическая модель капиллярного мостика ⎧ = sin , ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ = cos ,(15) ⎩ ⎪ − sin = 1− ( − ) − , | =0 = 0, | =0 = , | =0 = − ,(16) где — радиус контактной линии. Мостик характеризуется набором из боль- шего числа параметров нежели лежащая и висящая капли. Кроме , и его математическая модель включает еще угол и контактный радиус , а па- раметр может равняться нулю или принимать отрицательные значения. В совокупности перечисленные факторы наделяют мостик более разнообразны- ми и менее предсказуемыми формами, чем капли. β h 510152025 rβ Рис. 4 — Линия — точные значения ℎ, точки — рассчитанные. Проведено моделирование развернутого мениска. Его профиль описыва- ется решением задачи ⎧−(1+ ) cos ⎨ = +(1+ ) sin , (17) ⎩ = (1+ ) sin , +(1+ ) sin | = = , | →0 = 0, | →0 = +∞,(18) где — угол наклона касательной с осью , — радиус контакта, — угол кон- такта с верхним основанием. 3.0c 2.5b a 2.0 β 1.5 z 1.0 0.5 0.0 -6-4-20246 xβ Рис. 5 — Развернутый мениск при разных [нм]: — 0, — 0.5, — 1.5. Из-за последнего условия в (18) расчет профиля развернутого мениска крайне затруднителен. Большинство существующих подходов отталкивается от линеаризаций и разложений в степенные ряды уравнений, эквивалентных (17). Однако при положительном задействовать их не получается. Поэтому здесь, основываясь на (17)–(18), предлагается адаптировать метод стрельбы, позво- ляющий численно с высокой точностью рассчитывать профиль развернутого мениска независимо от величины . На рисунке 5 показаны профили менисков, построенные по указанному методу при разных . В качестве основы всех алгоритмов численного моделирования в дис- сертации был выбран метод Рунге— Кутты четвертого порядка с постоянным шагом. Показано, что устойчивые решения систем дифференциальных уравне- ний достижимы,√если для шага интегрирования выполняется необходимое условие: < 1/ . Все исследованные системы являются нежесткими и для них выполняется известная теорема о достаточном условии сходимости явных одношаговых методов. Разработан программный комплекс «Droplets», предназначенный для ком- пьютерного моделирования рассмотренных в диссертации менисков. Комплекс реализован в форме пакета расширения, интегрируемой в систему «Wolfram Mathematica», и объединяет в себе восемь автономных программ. Все програм- мы базируются на экономичных вычислительных алгоритмах, позволяющих за короткое время проводить большое число однотипных вычислительных экс- периментов. Выходные данные представляются в виде графиков и таблиц. В таблицах отображается информация о наиболее важных характеристиках ме- ниска, таких как площадь поверхности, центральная высота, длина профиля, объем и т. д. В заключении приведены основные результаты работы: 1. Впервые исследованы корректно поставленные начальные и крае- вые задачи, описывающие форму основных типов равновесных капиллярных поверхностей с учетом нелинейной зависимости поверхностного натяжения от локальной кривизны поверхности. Сформулированы и доказаны теоремы, гарантирующие как существование, так и единственность решений рассмотрен- ных задач. Сформулированы и доказаны теоремы, выражающие непрерывную зависимость решений от начальных данных. 2. Для всех рассмотренных осесимметричных капиллярных поверхностей найдены оптимальные варианты параметризации математических моделей с учетом скоростей сходимости численных решений соответствующих началь- ных или краевых задач. 3. Путем вычислительных экспериментов с высокой точностью установ- лены значения верхних границ для объема висящей капли и радиуса линии ее контакта с потолком. Получено новое представление решения задачи о фор- ме двумерной висящей капли. Предложен численный метод расчета профиля лежащей капли при заданных значениях объема, угла контакта и капиллярной постоянной с возможностью контроля точности. 4. Разработан качественно новый метод численного расчета высоты ка- пиллярного подъема по заданным значениям радиуса капилляра, капиллярной постоянной и контактного угла смачивания. 5. Разработан качественно новый метод численного расчета профиля раз- вернутого мениска, пригодный для использования как с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения, так и без него. 6. На языке программирования «Wolfram Language» разработаны программный комплекс «Droplets» и программа «CapillaryRiseMeter» в фор- ме пакетов расширения к системе компьютерной математики «Wolfram Mathematica». Программы предназначены для компьютерного моделирова- ния осесимметричных менисков различного типа в зависимости от задаваемых параметров их математических моделей.

На сегодняшний день существует большое количество программных ком-
плексов, предназначенных для математического и компьютерного моделирова-
ния сложных мультифизических систем. В их основе лежит подход, когда ис-
следуемый объект замещается математической моделью, реализуемой в после-
дующем численно, а затем уже программно. Благодаря такой методике в рамках
вычислительных экспериментов становится возможным воспроизводить и пред-
сказывать поведение системы, ее свойства, особенности, выявлять присущие
ей закономерности качественного и количественного характера, верифициро-
вать выводы теории. Необходимость в разработке подобного рода программных
сред продиктована, главным образом, ограниченностью аналитических методов
исследования. Ведь практически все природные явления и системы линейны
только в самом грубом приближении. Стремление добиться наиболее полной и
точной детализации неизбежно приводит к моделям с нелинейными связями, ко-
торые выражаются, как правило, нелинейными уравнениями и их системами —
дифференциальными, интегральными, интегро-дифференциальными и т. д. Но
нелинейные уравнения в подавляющем большинстве случаев, исключая триви-
альные, неразрешимы в явном виде. Вдобавок изучение качественных свойств
их решений бывает крайне затруднено, да так, что каждый тип нелинейности
требует отдельного рассмотрения. Резюмируя сказанное, программные комплек-
сы моделирования в тандеме с высокопроизводительными компьютерами пред-
ставляют из себя мощный, порой безальтернативный, инструмент в современ-
ных научных исследованиях.
Среди множества программ, активно применяющихся в самых разных об-
ластях физики, выделяются «Simulink», «Wolfram SystemModeler», «COMSOL
Multyphysics», «MapleSim» и «ANSYS». Предоставляя графическое и интуитив-
но понятное окружение для программирования, они охватывают очень широкий
спектр проблем. Это создание прототипов, анализ данных и моделирование яв-
лений в: электродинамике, радиофизике, акустике, механике жидкости и газа,
механике твердого тела, теории электромагнетизма и оптики. Приведенный спи-
сок далеко не полный, он гораздо длиннее. Однако здесь стоит отметить, что у
перечисленных выше пакетов и у более узко специализированных отсутствует
функционал, который позволял бы моделировать капиллярные явления.
Капиллярные явления объединяют круг физических явлений, обуслов-
ленных действием поверхностного натяжения на границе раздела нескольких
несмешивающихся сред. Классическим примером таких явлений выступает дви-
жение жидкости по узким трубкам и поровым каналам без внешнего силового
воздействия. Вместе с тем, к капиллярным явлениям в равной степени относят-
ся и равновесные состояния ограниченных объемов жидкости и газа, получив-
ших специальное название «капиллярные мениски». Если придерживаться более
точной терминологии, капиллярными менисками принято называть различные
конфигурации капель и пузырей, чьи поверхности полностью или частично гра-
ничат с инородной жидкостью, газом или собственным паром.
Исследования вопросов, связанных со статикой капиллярных менисков в
силовых полях, имеют огромное значение как с теоретической, так и с при-
кладной точек зрения. За последние несколько десятилетий их результаты на-
шли широкое применение в микроэлектронике, нефтяной и газовой промыш-
ленности, химической промышленности, медицине, биотехнологиях, космиче-
ских технологиях, материаловедении, металлургии, механике пористых сред и
т. д. В особенности велика роль менисков в разработке высокоточных методик
по определению величины поверхностного натяжения и краевого угла смачива-
ния — важнейших термодинамических характеристик раздела фаз. В настоящее
время наблюдается повышенный интерес к изучению свойств и поведения ме-
нисков нанометрового диапазона. Причиной тому служит интенсивное их ис-
пользование в сфере нанотехнологий, например при синтезе супергидрофобных
или супергидрофильных покрытий.
Несмотря на внешнюю простоту, капиллярные мениски являются непро-
стым объектом для исследования. Если говорить об экспериментальных методах,
то тут их разработка сопряжена с определенными трудностями. Для наноразмер-
ных капиллярных тел положение дел усугубляется чрезмерной сложностью и,
как следствие, дороговизной комплекса необходимого оборудования. Так, про-
ведение экспериментов с участием наноразмерных объектов почти всегда пред-
полагает применение микроразмерного оборудования, отличающегося высокой
точностью и надежностью. Вдобавок все работы требуется проводить в абсолют-
но стерильных условиях. Но и к интерпретации результатов, полученных в ходе
столь тонких экспериментов, следует подходить с осторожностью, поскольку
компоненты оборудования, невзирая на свои микроразмеры, по-прежнему спо-
собны оказывать достаточно сильное воздействие на нанообъект. В конечном
счете, нужно достоверно убедиться в том, что измеренные величины характери-
зуют исследуемый объект в его максимально невозмущенном состоянии, а не с
уже измененной структурой — стало быть и свойствами. Эксперименты с мак-
роменисками также не лишены трудностей, хотя и менее принципиальных. В
основном они вызваны шероховатостью твердой поверхности, с которой сопри-
касается мениск, необходимостью обеспечения химической инертности менис-
ковой фазы по отношению к окружающим фазам, неоднородностью фаз. Любой
из перечисленных факторов, взятый по отдельности или вместе с остальными,
может привносить серьезные искажения в выходные данные эксперимента.
Наряду с экспериментальными методами проблематично и использование
аналитических. Обычно в качестве математических моделей капиллярных ме-
нисков выступают нелинейные дифференциальные уравнения и их системы.
Из-за нелинейности уравнений в общем случае выписать точные решения на-
чальных и краевых задач, часто возникающих в теории капиллярности, не пред-
ставляется возможным. Учет размерной зависимости поверхностного натяжения
приводит к математическим моделям с еще более сложной структурой. Для по-
следних аналитические методы, можно сказать, вообще неразвиты. Редкие ис-
ключения касаются только случаев отсутствия внешних силовых полей или ме-
нисков тривиальных форм (сферической, цилиндрической, конической и т. д.).
Принимая во внимание ограниченность экспериментального и аналити-
ческого подходов, идея привлечения методов математического и компьютерно-
го моделирования к исследованию равновесных капиллярных менисков на ба-
зе наиболее общих математических моделей видится весьма привлекательной.
В ряде работ с помощью метода Монте-Карло и метода классической молеку-
лярной динамики в этом направлении уже достигнуты важные результаты. В
частности: учитывая потенциал межмолекулярного взаимодействия Леннарда-
Джонса, в ходе моделирования нанокапли и нанопузыря запечатлен факт суще-
ствования у поверхностного натяжения размерной зависимости [1—3]; показана
корректность уравнения Юнга—Лапласа применительно к капиллярным наноси-
стемам [4; 5]; показана справедливость формулы Толмена, определяющей по-
верхностное натяжение для малой сферической капли [1; 2]; дана оценка длины
Толмена [1]. Однако оба метода имеют один и тот же известный недостаток, рез-
ко сужающий круг вопросов, где они могли бы быть задействованы. А именно,
вычислительная сложность каждого из них напрямую связана с числом частиц
в ансамбле, имитирующим физическую систему. Даже наносистемам отвечает
ансамбль с довольно внушительным числом частиц, не говоря уже о макроси-
стемах. Поэтому и метод Монте-Карло, и метод молекулярной динамики для
гарантии приемлемой точности нуждаются в больших компьютерных ресурсах.
Подчеркнем, что в научной литературе иные методы математического и компью-
терного моделирования равновесных капиллярных менисков с учетом размерной
зависимости поверхностного натяжения практически отсутствуют. Вследствие
такого расклада разработка новых менее ресурсоемких приемов представляет
значительный интерес.
Как уже было сказано, популярные системы компьютерного моделирова-
ния не имеют в своем распоряжении специализированных инструментов для мо-
делирования капиллярных менисков. В то же время, такие инструменты, создан-
ные на основе экономичных численных методов, без сомнения востребованы,
т. к. могут позволить проводить вычислительные эксперименты для установле-
ния новых закономерностей, присущих равновесным состояниям менисков, или
спрогнозировать их поведение в наперед заданных условиях.
Таким образом, имея ввиду роль капиллярных менисков в фундаменталь-
ной науке и практических приложениях, тема настоящей диссертационной рабо-
ты является актуальной, а ее результаты перспективными.
Целью работы является развитие аналитических методов исследования
математических моделей осесимметричных капиллярных поверхностей, а также
разработка для данных моделей эффективных численных методов и алгоритмов,
реализуемых в рамках единого программного комплекса.
Для достижения обозначенной в рамках диссертационной работы цели
предполагается решить следующие задачи:
1. Исследовать начальные и краевые задачи, которые описывают равновес-
ную форму капиллярных поверхностей различного типа с учетом нели-
нейной зависимости поверхностного натяжения от локальной кривизны
поверхности. Найти условия однозначной разрешимости и устойчиво-
сти решений этих задач относительно входных данных.
2. Провести параметризацию всех математических моделей равновесных
капиллярных поверхностей, а также разработать и протестировать эф-
фективные численные методы расчета равновесных форм капиллярных
поверхностей с учетом нелинейной зависимости поверхностного натя-
жения от локальной кривизны поверхности.
3. Разработать единый программный комплекс, позволяющий проводить
моделирование равновесных капиллярных поверхностей основных ти-
пов: свернутых и развернутых менисков, мостиков.
4. В ходе вычислительных экспериментов установить влияние всех пара-
метров математических моделей на равновесную форму капиллярных
поверхностей.
Научная новизна. В рамках диссертационной работы получены следую-
щие новые результаты, которые можно условно разделить на три группы.
Математическое моделирование. Проведено аналитическое и численное
исследование математических моделей осесимметричных капиллярных поверх-
ностей (лежащая и висящая капли, свернутые и развернутые мениски), которые
учитывают размерную зависимость поверхностного натяжения.
Численные методы. Разработаны и протестированы эффективные числен-
ные методы расчета профилей осесимметричных капиллярных поверхностей
вместе с их характеристиками (объем, площадь поверхности, высота и т. д.).
Проанализирована устойчивость реализованных численных методов. Доказаны
теоремы существования и единственности решений рассмотренных задач.
Комплексы программ. Разработан программный комплекс «Droplets» в
форме расширения к системе компьютерной математики «Wolfram Mathematica»,
предназначенный для компьютерного моделирования капиллярных поверхно-
стей. Разработана программа «CapillaryRiseMeter», предназначенная для числен-
ного расчета высоты капиллярного подъема. Программы не имеют аналогов сре-
ди известных программ математического моделирования, а также их многочис-
ленных расширений («Comsol», «ANSYS», «MatLab», «Python» и др.).
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость
исследования обоснована тем, что впервые системно исследованы корректно по-
ставленные дифференциальные задачи, решения которых описывают равновес-
ную форму основных разновидностей капиллярных менисков с учетом нелиней-
ной зависимости поверхностного натяжения от кривизны поверхности. Полу-
ченные в диссертационной работе результаты могут:
найти применение в методах измерения краевого угла смачивания и по-
верхностного натяжения;
использоваться в нанофлюидике;
быть полезными в получении информации о структуре и свойствах меж-
фазного слоя;
быть полезными в изучении адгезионных и когезионных эффектов;
применяться в развитии технологий по производству материалов с гид-
рофобными и гидрофильными свойствами;
использоваться в атомно силовой микроскопии и нанолитографии.
Mетодология и методы исследования. В диссертационной работе задей-
ствованы элементы дифференциальной геометрии, базовые положения теории
равновесия жидкостей и газов, теория капиллярности Лапласа. Аналитическое
и численное исследование математических моделей проводилось методами тео-
рии обыкновенных дифференциальных уравнений и математического анализа,
численными методами решения краевых задач и задачи Коши для систем обык-
новенных дифференциальных уравнений первого порядка, интерполяционны-
ми методами. Вычислительные эксперименты выполнялись с помощью пакетов
«MatLab» и «Wolfram Mathematica».
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Результаты аналитического исследования и алгоритм численной реали-
зации математической модели лежащей капли.
2. Результаты аналитического исследования и алгоритм численной реали-
зации математической модели мениска в капилляре.
3. Результаты аналитического исследования и алгоритм численной реали-
зации математической модели висящей капли.
4. Результаты аналитического исследования и алгоритм численной реали-
зации математической модели развернутого мениска.
5. Программный комплекс для компьютерного моделирования осесиммет-
ричных капиллярных менисков.
Достоверность полученных результатов и выводов основывается на сов-
местном использовании: теории дифференциальной геометрии, теории обыкно-
венных дифференциальных уравнений, математических моделей классической
теории капиллярности, уравнений и формул гидростатики, вычислительных ме-
тодов. Все они хорошо апробированы и не вызывают сомнений. Корректность
разработанных методов численного моделирования подтверждается сравнением
их результатов с имеющимися в литературе табличными и экспериментальными
данными, сравнением с решениями обратных задач, а также отсутствием рас-
хождений с базовыми закономерностями. Кроме того, в проведенных исследо-
ваниях выполняется принцип соответствия: полученные новые результаты есте-
ственным образом обобщают ранее известные.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы до-
кладывались и обсуждались на конференциях и симпозиумах различных уров-
ней: Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанно-
го типа, родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2011 г.);
Международной конференции молодых ученых «Математическое моделирова-
ние фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информати-
ки» (Нальчик–Терскол, 2011–2012 гг.); Школе молодых ученых «Нелокальные
краевые задачи и родственные проблемы современного анализа и информа-
тики» (Эльбрус, 2012–2016 гг.); Международном симпозиуме «Устойчивое раз-
витие: проблемы, концепции, модели» (Нальчик, 2013 г.); Всероссийской на-
учной конференции молодых ученых «Современные вопросы математической
физики, математической биологии и информатики», посвященной памяти ака-
демика А. А. Самарского в связи с 95-летием со дня его рождения (Нальчик,
2014 г.); International Russian-Chinese conference «On actual problems of applied
mathematics and physics» and scientific school for young scientists «Nonlocal
boundary problems and modern problems in algebra, analysis and informatics»
(Elbrus, 2015 г.); Международной научной конференции «Актуальные пробле-
мы прикладной математики и физики» (Терскол, 2016–2018 гг.), а также на на-
учно-исследовательских семинарах: Научно-исследовательском семинаре по со-
временному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН; Научно-
исследовательском семинаре по актуальным проблемам прикладной математики
ИПМА КБНЦ РАН.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 23 работы: 8 — в изда-
ниях из списка, рекомендованного ВАК при Министерстве науки и высшего об-
разования РФ; 2 — в изданиях, индексируемых в базах данных Web of Science и
Scopus; 13 — в сборниках материалов научных конференций и симпозиумов. По-
лучены два свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.
Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из
введения, трех глав, заключения, списка литературы и одного приложения. Пол-
ный объем диссертации составляет 212 страниц, включая 95 рисунков и 2 таб-
лицы. Список литературы содержит 138 наименований.

В ходе проведенного в рамках диссертационной работы исследования по-
лучены следующие основные результаты:
1. Впервые исследованы корректно поставленные начальные и краевые задачи,
описывающие форму основных типов равновесных капиллярных поверхностей
с учетом нелинейной зависимости поверхностного натяжения от локальной кри-
визны поверхности. Сформулированы и доказаны теоремы, гарантирующие как
существование, так и единственность решений рассмотренных задач. Сформули-
рованы и доказаны теоремы, выражающие непрерывную зависимость решений
от начальных данных.
2. Для всех рассмотренных осесимметричных капиллярных поверхностей най-
дены оптимальные варианты параметризации математических моделей с уче-
том скоростей сходимости численных решений соответствующих начальных или
краевых задач.
3. Путем вычислительных экспериментов с высокой точностью установлены
значения верхних границ для объема висящей капли и радиуса линии ее кон-
такта с потолком. Получено новое представление решения задачи о форме дву-
мерной висящей капли. Предложен численный метод расчета профиля лежащей
капли при заданных значениях объема, угла контакта и капиллярной постоянной
с возможностью контроля точности.
4. Разработан качественно новый метод численного расчета высоты капиллярно-
го подъема по заданным значениям радиуса капилляра, капиллярной постоянной
и контактного угла смачивания.
5. Разработан качественно новый метод численного расчета профиля разверну-
того мениска, пригодный для использования как с учетом размерной зависимо-
сти поверхностного натяжения, так и без нее.
6. На языке программирования «Wolfram Language» разработаны программный
комплекс «Droplets» и программа «CapillaryRiseMeter» в форме пакетов расши-
рения к системе компьютерной математики «Wolfram Mathematica». Программы
предназначены для компьютерного моделирования осесимметричных менисков
различного типа в зависимости от задаваемых параметров их математических
моделей.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?

Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

Читать

Публикации автора в научных журналах

Моделирование равновесных капиллярных поверхностей с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения

С. Ш. Рехвиашвили, А. А. Сокуров // Материалы II Международного Рос-сийско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа, родственныепроблемы анализа и информатики». — 2— С. 151—

Равновесный профиль висящей капли с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения

А. А. Сокуров // МатериалыМеждународной конференции молодых ученых «Математическое моде-лирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа иинформатики». — 2— С. 201—

Численная реализация математических моделей капиллярных поверхностей с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения

А. А. Сокуров // Материалы X Школы молодых ученых «Нело-кальные краевые задачи и родственные проблемы современного анализа иинформатики». — 2— С. 100—

О математической модели лежащей капли с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения

А. А. Сокуров // МатериалыII Международной конференции молодых ученых «Математическое мо-делирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа иинформатики». — 2— С. 209—

Размерный эффект в формировании равновесных капиллярных форм лежащих капель

А. А. Сокуров // Материалы Международ-ного симпозиума «Устойчивоеразвитие: проблемы, концепции, модели». —2— С. 189—

Математическая модель равновесной поверхности малой лежащей капли

А. А. Сокуров // Материалы Всероссийской научнойконференции молодых ученых «Современные вопросы математической фи-зики, математической биологии и информатики». — 2— С. 106—

Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее

Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее

Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее

Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

Хочешь уникальную работу?

Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

Я - кандидат философских наук, доцент кафедры философии СГЮА. Занимаюсь написанием различного рода работ (научные статьи, курсовые, дипломные работы, магистерские дисс... Читать все

Я - кандидат философских наук, доцент кафедры философии СГЮА. Занимаюсь написанием различного рода работ (научные статьи, курсовые, дипломные работы, магистерские диссертации, рефераты, контрольные) уже много лет. Качество работ гарантирую.

#Кандидатские #Магистерские

1486 Выполненных работ

Учился на мат.факе ТвГУ. Любовь к математике там привили на столько, что я, похоже, никогда не перестану этим заниматься! Сейчас работаю в IT и пытаюсь найти время на... Читать все

Учился на мат.факе ТвГУ. Любовь к математике там привили на столько, что я, похоже, никогда не перестану этим заниматься! Сейчас работаю в IT и пытаюсь найти время на продолжение диссертационной работы... Всегда готов помочь! ;)

#Кандидатские #Магистерские

164 Выполненных работы

Работы пишу исключительно сама на основании действующих нормативных правовых актов, монографий, канд. и докт. диссертаций, авторефератов, научных статей. Дополнительно... Читать все

Работы пишу исключительно сама на основании действующих нормативных правовых актов, монографий, канд. и докт. диссертаций, авторефератов, научных статей. Дополнительно занимаюсь английским языком, уровень владения - Upper-Intermediate.

#Кандидатские #Магистерские

39 Выполненных работ

Выполняю работы по экономическим дисциплинам. Маркетинг, менеджмент, управление персоналом. управление проектами. Есть опыт написания магистерских и кандидатских диссе... Читать все

#Кандидатские #Магистерские

31 Выполненная работа

Работаю на сайте четвертый год. Действующий преподаватель вуза. Основные направления: микробиология, биология и медицина. Написано несколько кандидатских, магистерских... Читать все

#Кандидатские #Магистерские

566 Выполненных работ

Работы пишу, начиная с 2000 года. Огромный опыт и знания в области экономики. Закончил школу с золотой медалью. Два высших образования (техническое и экономическое). С... Читать все

Работы пишу, начиная с 2000 года. Огромный опыт и знания в области экономики. Закончил школу с золотой медалью. Два высших образования (техническое и экономическое). Сейчас пишу диссертацию на соискание степени кандидата экономических наук.

#Кандидатские #Магистерские

692 Выполненных работы

Практикую гражданское, семейное право. Преподаю указанные дисциплины в ВУЗе. Выполняла работы на заказ в течение двух лет. Обучалась в аспирантуре, подготовила диссерт... Читать все

Практикую гражданское, семейное право. Преподаю указанные дисциплины в ВУЗе. Выполняла работы на заказ в течение двух лет. Обучалась в аспирантуре, подготовила диссертационное исследование, которое сейчас находится на рассмотрении в совете.

#Кандидатские #Магистерские

18 Выполненных работ

Мне нравится изучать все новое, постоянно развиваюсь. Могу написать и диссертацию и кандидатскую. Есть опыт в различных сфера деятельности (туризм, экономика, бухучет... Читать все

Мне нравится изучать все новое, постоянно развиваюсь. Могу написать и диссертацию и кандидатскую. Есть опыт в различных сфера деятельности (туризм, экономика, бухучет, реклама, журналистика, педагогика, право)

#Кандидатские #Магистерские

39 Выполненных работ

Высшее юридическое образование, красный диплом. Более 5 лет стажа работы в суде общей юрисдикции, большой стаж в написании студенческих работ. Специализируюсь на напис... Читать все

Высшее юридическое образование, красный диплом. Более 5 лет стажа работы в суде общей юрисдикции, большой стаж в написании студенческих работ. Специализируюсь на написании курсовых и дипломных работ, а также диссертационных исследований.

#Кандидатские #Магистерские

158 Выполненных работ