Математическое моделирование устойчивой моды дендритного роста при различных условиях кристаллизации : диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук : 01.04.14

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Глава 1. Литературный обзор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1 Обзор современных исследований дендритного роста . . . . . . . 10
1.1.1 Микроскопическое описание и анализ межфазных структур 12
1.1.2 Экспериментальные исследования и мезоскопическое
моделирование дендритов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3 Макроскопическое моделирование дендритов и зерен . . . 17
1.2 Методы теоретического анализа, компьютерного моделирования
и эксперимента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1 Модель кристаллического фазового поля . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Методы граничного интеграла и клеточных автоматов . . 22
1.2.3 Теория микроскопической разрешимости . . . . . . . . . . 23
1.2.4 Экспериментальный метод электромагнитной левитации . 24
1.2.5 Термо-временной цикл обработки экспериментальных
образцов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3 Роль конвекции в кинетике дендритного роста . . . . . . . . . . . 32
1.4 Выводы по главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Глава 2. Математическое моделирование устойчивой моды

дендритного роста при различных условиях

кристаллизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1 Модель роста кристалла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Аналитическое решение для параболического дендрита . . . . . . 41
2.3 Условие микроскопической разрешимости . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Линейный анализ морфологической устойчивости . . . . . . . . . 44
2.5 Критерий устойчивого роста вершины дендрита . . . . . . . . . . 47
2.5.1 Критерий отбора для термически контролируемого роста . 47
2.5.2 Критерий отбора для химического и термо-химического
роста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 Баланс переохлаждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Стр.

2.6.1 Модель полного переохлаждения . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6.2 Точное аналитическое решение . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7 Поведение основных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.8 Устойчивый дендритный рост при конвективных граничных
условиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.8.1 Модель роста кристалла и ее стационарное решение . . . . 57
2.8.2 Линейный анализ устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8.3 Критерии устойчивого роста вершины дендрита . . . . . . 61
2.8.4 Баланс переохлаждения и точное аналитическое решение 65
2.9 Выводы по главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Глава 3. Сравнение теоретической модели устойчивого

дендритного роста с методами численного

моделирования и экспериментом . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1 Кинетические уравнения модели фазового поля . . . . . . . . . . 68
3.2 Моделирование фазовым полем в дву- и трехмерной геометрии . 70
3.2.1 Двумерное моделирование дендритного роста . . . . . . . 71
3.2.2 Трехмерное моделирование дендритного роста . . . . . . . 73
3.3 Влияние порядка симметрии кристалла на кинетику роста
ледяных дендритов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4 Сравнение теоретической модели устойчивого дендритного
роста с энтальпийным методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5 Сравнение теоретической модели устойчивого дендритного
роста с экспериментом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6 Влияние конвективного потока на затвердевание сплава Ti45 Al55 . 85
3.7 Выводы по главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Список сокращений и условных обозначений . . . . . . . . . . . . . 92

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

На основании рассмотренной теории сформулирован подход к исследова­
нию проблемы дендритного роста кристаллов при различных кристаллических
симметриях в условиях вынужденной конвекции. Приведено аналитическое ре­
шение задачи об отборе устойчивого режима вершины дендрита, растущего в
бинарной системе при кондуктивных и конвективных граничных условиях.
Анализ устойчивого режима приводит к критерию роста вершины денд­
ритного кристалла в бинарной системе с учетом конвекции и анизотропии
поверхностного натяжения на границе “кристалл–расплав”. Полученный крите­
рий устойчивого роста может применяться с целью управления динамическими
процессами фазовых превращений, а также оптимизации изучаемых процессов
для прогнозирования различных свойств гетерогенных сред и материалов, ис­
пользуемых в аэрокосмических, медицинских, биологических, химических и др.
приложениях.
C учетом критерия роста вершины дендрита приведена модель для ка­
чественного анализа и количественного расчета влияния течения жидкости на
параметры дендритного роста. Модель описывает рост кристаллов в вязкой и
слабовязкой жидкости, поэтому ее решение применимо к реальным растворам
и расплавам. В частности, при уменьшении вязкости жидкой фазы, влияние
конвекции на скорость роста дендрита становится более значительным для ши­
рокого диапазона переохлаждений.
Основные результаты работы заключаются в следующем.
1. Разработана модель устойчивого роста дендритного кристалла с сим­
метрией n-го порядка в условиях вынужденной конвекции в одноком­
понентной и бинарной системах. Найдены распределения температуры,
концентрации примеси, а также компонент скорости конвективного те­
чения расплава в двумерной и трёхмерной геометриях роста.
2. Проведен обобщенный линейный анализ морфологической устойчи­
вости роста вершины дендрита. Выведены уравнения и граничные
условия для возмущений относительно найденных стационарных реше­
ний. Определены нелинейное дисперсионное соотношение (зависимость
частоты возмущений от волнового числа) и уравнение кривой нейтраль­
ной устойчивости процесса.
3. Получены новые критерии отбора устойчивой кристаллизации для тер­
мического и термо-химического устойчивого роста параболического
дендрита с симметрией n-ого порядка.
4. Сопоставлены модельные предсказания с данными, полученными ме­
тодами численного моделирования, а также экспериментальными дан­
ными по кинетике роста кристаллов в каплях, обрабатываемых в
установках электромагнитной и электростатической левитации.
Перспективы дальнейшей разработки темы исследования. Раз­
виваемая в данной диссертации теория и результаты работы в дальнейшем
применимы для проверки результатов численного моделирования кристалличе­
ского роста, а также интерпретации данных экспериментов по росту дендритов
в наземных условиях (когда наблюдается существенная роль конвективного те­
чения) и в условиях микро-гравитации (когда конвекция замедленна).
В дальнейшем представляет интерес объединение теории дендритного ро­
ста с теорией зарождения и эволюции полидисперсного ансамбля кристаллов в
переохлаждённой области фазового перехода – двухфазной зоне.
Список сокращений и условных обозначений

двумерное пространство
}︃
2
3 трехмерное пространство
αβ кинетичсекий параметр анизотропии
α параметр, определяющий жёсткость, которая зависит от малого
параметра анизотропии ε
αℎ конвективный коэффициент для тепла
α конвективный коэффициент для массы
β̃ анизотропнй кинетический коэффициент роста
β0 константа кинетического коэффициента роста
ε анизотропия поверхностной энергии кристалла
ρ плотность жидкости
σ* критерий отбора
ν кинематическая вязкость
θ, ϕ сферические углы между направлением роста и направлениями
минимальных функций (θ,ϕ) и β̃(θ,ϕ)
θ , θβ сферические углы между направлением роста и направлениями
минимальных функций (θ) и β̃(θ)
ϕ полярный угол, лежащий в плоскости перпендикулярной набега­
ющему потоку
концентрация примеси в жидкой фазе
∞ концентрация примеси в жидкой фазе вдали от границы раздела
фаз
плотность жидкой фазы
удельная теплота
коэффициент диффузии
коэффициент температуропроводности
анизотропная капилярная длина
0 капилярная константа
локальная кривизна фронта
0 равновесный коэффициент распределения
коэффициент теплопроводности твёрдой фазы
наклон ликвидуса
порядок симметрии кристаллической решётки
ростовое число Пекле
потоковое число Пекле
давление
скрытая теплота
число Рейнольдса
ρ удельная теплоёмкость жидкой фазы
n единичная нормаль к поверхности
температура межфазной границы “кристалл-жидкость”
температура адиабатического затвердевания
температура жидкой фазы
температура твёрдой фазы
температура плавления
∞ температура в жидкости вдали от границы раздела фаз
ℜ число Рейнольдса
радиус вершины дендрита
1 , 2 радиусы кривизны для трёхмерной вершины дендрита
скорость потока вдали от вершины дендрита
скорость роста
скорость атомной диффузии
нормальная скорость роста
* скорость проскальзывания
w скорость потока
CA Cellular Automata, клеточные автоматы
FE Finite Element, конечные элементы
g Gravitation, гравитация (наземные условия)
mg Microgravitation, микрогравитация
IDGE Isothermal Dendritic Growth Experiment, эксперимент по изотерми­
ческому росту дендритов
MST Microscopic Solvability Theory, теория микроскопической разреши­
мости
MCS Marginal Stability Condition, условиt пограничной устойчивости
PFC Phase Field Crystal, кристаллическое фазовое поле
PFM Phase Field Modeling, моделирование фазового поля
ShIM Sharp interface model, модель с резкой границей
IDGE Isothermal Dendritic Growth Experiment, эксперимент по изотерми­
ческому росту дендритов
TEMHD Thermoelectric Magnetohydrodynamic effect, термоэлектрический
магнитогидродинамический эффект
КФП модель кристаллического фазового поля
МКФП модифицированная модель кристаллического фазового поля