Неприводимые ковры аддитивных подгрупп над полями

Актуальность темы. Данная работа посвящена изучению под-
групп групп Шевалле, определяемых коврами — наборами аддитивных
подгрупп основного кольца определения.
Наборы идеалов и в общем случае аддитивных подгрупп

S = {Sij | 1 ≤ i, j ≤ n} (0.1)

определенного ассоциативного, необязательно коммутативного, кольца
с условиями
Sir Srj ⊆ Sij , 1 ≤ i, r, j ≤ n, (0.2)

возникали при решении различных задач. Такие наборы назывались
коврами или сетями, а связанные с ними кольца и группы — ковровы-
ми, сетевыми, обобщенными конгруэнц-подгруппами и др. Аддитивные
подгруппы возникают в силу определения сложения матриц, а включе-
ния (0.2) происходят из матричного умножения и согласуются с ком-
мутированием трансвекций, что и определяет различные приложения
наборов (0.1) с включениями (0.2). Первыми, кто систематически при-
менял в своих исследованиях такие наборы, были Ю.И. Мерзляков [18],
Н.С. Романовский [23], З.И. Боревич [1], [2].
Понятия ковра и ковровой подгруппы были перенесены на груп-
пы Шевалле нормальных и скрученных типов различными способами
(К. Сузуки [28], Н.А. Вавилов [5], В. М. Левчук [14, вопрос 7.28], [15]).
Убрав из набора (0.1) все диагональные подмножества Sii , мы получим
элементарный ковер. Тогда элементарная ковровая подгруппа по опре-
делению совпадает с группой, порожденной всеми трансвекциями tij (u),
u ∈ Sij . Элементарная группа Шевалле типа An−1 над коммутатив-
ным кольцом K изоморфна подгруппе специальной линейной группы
SLn (K), порожденной всеми трансвекциями tij (u), u. При этом изомор-
физме корневым элементам xr (u) определенным образом соответствуют
трансвекции tij (u). Учитывая данный изоморфизм, К. Сузуки для каж-
дой системы корней Φ называет ковром (в оригинале “carpet”) типа Φ
над кольцом K всякий набор его идеалов A = {Ar | r ∈ Φ} с условием

Ar As ⊆ Ar+s , при r, s, r + s ∈ Φ, (0.3)

и описывает в терминах ковровых подгрупп параболические подгруппы
групп Шевалле над локальными кольцами с некоторыми ограничени-
ями на их мультипликативные группы [28]. Перенося эти результаты
на полулокальные кольца, Н.А. Вавилов называет наборы идеалов с
условиями (0.3) сетями, а затем, описывая параболические подгруппы
скрученных групп Шевалле, вводит аналог понятия сети для данных
групп [5], [6]. В.М. Левчук заменил условия (0.3) в определении ковра
на следующие включения

Cij,rs Air Ajs ⊆ Air+js , при r, s, ir + js ∈ Φ, i > 0, j > 0, (0.4)

где Cij,rs — структурные константы из коммутаторной формулы Шевал-
ле, которые могут принимать значения ±1, ±2, ±3, а Air = {ai |a ∈ Ar }
[15]. При этом набор {Ar | r ∈ Φ} не обязан состоять только из идеалов,
в общем случае его элементами являются аддитивные подгруппы. Дан-
ное определение оказалось более естественным и позволило снять воз-
никающие ранее ограничения на мультипликативную группу основного
кольца в различных задачах, в частности, при описании параболических
подгрупп. Отметим также, что в случае когда в системе корней, ассо-
циированной с группой Шевалле, все корни имеют одинаковую длину,
то условия (0.3) и (0.4) совпадают.
С одной стороны, определения ковра и ковровой подгруппы воз-
никали как инструмент при вычислении центральных и коммутатор-
ных рядов определенных матричных групп над кольцами, а также при
описании различных промежуточных подгрупп в группах Шевалле, в
первую очередь, при описании параболических подгрупп, надгрупп диа-
гональной подгруппы и групп, лежащих между группами лиева типа
над кольцом и его подкольцом. С другой стороны, ковровые подгруп-
пы можно рассматривать как обобщение исходных групп Шевалле и
изучать их структуру, что и делается в настоящей диссертации. Ключе-
выми понятиями для ковров являются неприводимость и замкнутость.
По определению ковер называется замкнутым, если его ковровая под-
группа не содержит новых корневых элементов, и он неприводим, если
все его аддитивные подгруппы ненулевые.

Целью диссертационной работы является описание неприво-
димых ковров лиева типа при определенных ограничениях на аддитив-
ные подгруппы ковра и основное поле коэффициентов.

Основные задачи работы:

1. Построить примеры незамкнутых ковров любого лиева типа над
коммутативными кольцами.

2. Описать ковры над локально конечными полями ранга больше еди-
ницы.

3. Описать ковры типа G2 над полем K характеристики p > 0, хо-
тя бы одна аддитивная подгруппа которых является R-модулем, в
случае, когда K — алгебраическое расширение поля R.

Методы исследования. В работе используются методы линей-
ной алгебры, теории полей и теории групп.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссерта-
ции, являются новыми и снабжены подробными доказательствами. В
работе впервые указаны примеры неприводимых незамкнутых ковров
любого лиева типа, в которых все подковры ранга 1, за исключением од-
ного, замкнутые. С другой стороны, установлено, что любой неприводи-
мый ковер лиева ранга больше единицы над локально конечным полем,
с точностью до сопряжения диагональным элементом совпадает с ков-
ром, все аддитивные подгруппы которого равны некоторому фиксиро-
ванному подполю основного поля, в частности, он является замкнутым.
Оказалось, что для любых ковров типа G2 над полем характеристики
p > 0 исключением является только p = 3.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты дис-
сертации представляют теоретический интерес и вносят заметный вклад
в теорию линейных групп и групп лиева типа. Кроме того, результаты
можно ввести в учебный процесс в виде материала для проведения спе-
циальных курсов для студентов, магистрантов и аспирантов кафедры
алгебры и математической логики Института математики и фундамен-
тальной информатики Сибирского федерального университета.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуж-
дались и докладывались на Красноярском алгебраическом семинаре
(Сибирский федеральный университет, 2016–2021 гг.) и следующих кон-
ференциях:
1. Международная конференция “Мальцевские чтения”(Новосибирск,
2016 г., 2020 г.);

2. Российская научная конференция “Алгебра, анализ и смежные во-
просы математического моделирования”(Владикавказ, 2017г.);

3. Международная алгебраическая конференция, посвященная 110-
летию со дня рождения профессора А.Г. Куроша (Москва, 2018г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах
[29] — [39]. Основные результаты диссертации опубликованы в [29] — [32]
в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журна-
лов, в которых должны быть опубликованы основные результаты дис-
сертации на соискание ученой степени кандидата наук.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех
глав основного содержания, заключения, глоссария и списка литерату-
ры. Список цитированной литературы состоит из 28 наименований, а
список работ автора из 11 наименований. Вся работа изложена на 62
страницах и включает в себя 11 рисунков. Главы подразделяются на
параграфы. Основные результаты сформулированы в виде теорем.

В первой главе рассматриваются ковры и ковровые подгруппы
над произвольным коммутативным кольцом. В параграфах 1.1 – 1.3
приводятся определения ковра и ковровой подгруппы, а также приве-
дены два примера, которые дают отрицательный ответ на следующий
вопрос: будет ли подгруппа M , порожденная своими пересечениями
M ∩ Xr , r ∈ Φ ковровой? [20]. В параграфе 1.4 доказана следующая
теорема, которая является основным результатом данной главы

Теорема 1.1. Пусть K — коммутативное кольцо с единицей 1,
Z — кольцо целых чисел и пусть в K существуют ненулевой идеал I
и аддитивная подгруппа J такие, что

Z + I 6= Z + I + J.

Тогда для любой системы корней Φ существует неприводимый неза-
мкнутый ковер типа Φ над K.

Теорема 1.1 обобщает методы построения примеров незамкнутых
неприводимых матричных ковров, предложенных в 2011 году В.А. Кой-
баевым [11] и переносит их на ковры лиева типа. Она дает примеры
незамкнутых неприводимых ковров любого типа Φ над различными
коммутативными кольцами. В этих примерах все подковры {Ar , A−r },
r ∈ Φ, ранга 1 замкнутые, за исключением лишь одного. Поэтому дан-
ные примеры являются предельными в связи со следующим известным
вопросом В. М. Левчука [14, вопрос 15.46].
Верно ли, что для замкнутости ковра A типа Φ над полем K
необходима и достаточна замкнутость его подковров {Ar , A−r }, r ∈
Φ, ранга 1?

Глава два посвящена описанию неприводимых ковров над ло-
кально конечным полем. В параграфе 2.1 приведены две следующие
леммы, которые существенно используются при доказательствах основ-
ных результатов, как главы 2, так и главы 3.

Лемма 2.1. Сопрягая диагональным элементом h(χ) ковровую
подгруппу E(Φ, A) получим ковровую подгруппу

h(χ)E(Φ, A)h(χ)−1 = E(Φ, A0 ),

определяемую ковром A0 = {A0 r | r ∈ Φ}, где A0 r = χ(r)Ar .
Лемма 2.3. Пусть {a, b} — фундаментальная система корней
для системы корней Φ типа A2 , B2 или G2 , A = {Ar | r ∈ Φ} —
неприводимый ковер типа Φ над локально конечным полем K, причем
1 ∈ A−a ∩ A−b . Тогда Ar = P , r ∈ Φ, для некоторого подполя P поля
K.
В [16] лемма 2.3 доказана В. М. Левчуком, исключая случай Φ =
B2 при charK = 2 и случай Φ = G2 при charK = 2, 3.

Теорема 2.1. Пусть A = {Ar | r ∈ Φ} — неприводимый ковер
типа Φ ранга l ≥ 2 над локально конечным полем K. Тогда с точно-
стью до сопряжения диагональным элементом из расширенной груп-
пы Шевалле Φ(K) все аддитивные подгруппы Ar , r ∈ Φ, совпадают с
некоторым подполем P поля K, в частности, ковер A замкнут.

Теорема 2.1 доказана в параграфе 2.2, а в параграфе 2.3 полу-
чен аналогичный результат (теорема 2.2) для полного матричного ковра
любого ранга (степени). Этот результат был получен В. М. Левчуком в
1983 году, исключая случаи, когда система корней типа Bl , Cl и F4 и
характеристика поля равна 2 и система корней типа G2 , характеристика
поля равна 2 и 3 [16]. С другой стороны, в этой же статье [16] установлен
критерий замкнутости любого ковра лиева типа над локально конечным
полем. Теорема 2.1 усиливает этот результат для неприводимых ковров,
так как в предположениях теоремы не накладывается условие замкну-
тости ковра A. Отметим также, что аналогичный результат доказали
Р. Ю. Дряева, В. А. Койбаев и Я. Н. Нужин [8], где говорится, что
любой неприводимый матричный ковер степени n ≥ 3 над полем раци-
ональных чисел замкнут. Для всех групп лиева типа подобный резуль-
тат анонсировался С. А. Зюбиным в 2016 году в трудах Международной
конференции “Алгебра и логика: теория и приложения”[9].

Основным результатом главы три является
Теорема 3.1. Пусть A = {Ar | r ∈ Φ} — неприводимый ковер
типа G2 над полем K характеристики p > 0. Предположим, что хотя
бы одна из аддитивных подгрупп Ar является R-модулем, где K —
алгебраическое расширение поля R. Тогда с точностью до сопряжения
диагональным элементом из группы Шевалле G2 (K) при p 6= 3 все Ar
совпадают с некоторым подполем P поля K, а при p = 3

 P, если r − короткий корень,
Ar =
 Q, если r − длинный корень.

для некоторых полей P и Q, удовлетворяющих следующим включени-
ям
R ⊆ P, Q ⊆ K, (0.5)

P 3 ⊆ Q ⊆ P. (0.6)

Ранее при p > 3 утверждение теоремы установил В. М. Левчук
[16, следствие 3.2] и в этом случае ковер A параметризуется только од-
ним полем. Теорема 3.1 снимает ограничение p > 3 для типа G2 . В
параграфе 3.1 приводятся примеры замкнутых ковров типа G2 , пара-
метризуемых двумя различными несовершенными полями, большее из
которых является алгебраическим расширением меньшего, в частности,

Пример 3.2. Пусть F — поле характеристики p и пусть t, u ал-
гебраически независимы над F . Положим P = F (t, u), Q = F (t3 , u3 ) и
определим ковер A = {Ar | r ∈ Φ} типа G2 следующим образом

 P, если r − короткий корень,
Ar =
 Q, если r − длинный корень.

Тогда A является неприводимым замкнутым ковром. Более того, в [22]

доказано, что все такие ковровые подгруппы допускают разложение
Брюа и являются простыми группами. Доказательство теоремы 3.1 при-
ведено в параграфе 3.2.
Основные результаты:

1. Для коммутативных колец с единицей, ненулевым идеалом I и ад-
дитивной подгруппой J такими, что Z + I 6= Z + I + J, доказано
существование незамкнутых неприводимых ковров лиева типа, ас-
социированных с любой системой корней [29].

2. Доказано, что любой ковер ненулевых аддитивных подгрупп, ас-
социированный с группой Шевалле лиева ранга больше единицы
над локально конечным полем, с точностью до сопряжения диаго-
нальным элементом совпадает с ковром, все аддитивные подгруппы
которого равны некоторому фиксированному подполю основного
поля [30].

3. Описаны неприводимые ковры типа G2 над полем K характеристи-
ки p > 0, хотя бы одна аддитивная подгруппа которых является
R-модулем, в случае когда K — алгебраическое расширение поля
R. Доказано, что такие ковры являются замкнутыми и могут па-
раметризоваться двумя различными полями только при p = 3, а
для других p они определяются одним полем и в этом случае соот-
ветствующие им ковровые подгруппы с точностью до сопряжения
диагональным элементом совпадают с группами Шевалле типа G2
над промежуточными подполями P , R ⊆ P ⊆ K [32].

Благодарность. Автор выражает искреннюю благодарность на-
учному руководителю доктору физико-математических наук, профессо-
ру Нужину Якову Нифантьевичу за неоценимую помощь и поддержку
на всех этапах выполнения работы. Автор благодарен всему коллективу
Кафедры алгебры и математической логики Института математики и
фундаментальной информатики СФУ за внимание и бесценные советы
по написанию диссертации.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных иссле-
дований (коды проектов: 16-01-00707 и 19-01-00566) и Красноярским ма-
тематическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ в рамках ме-
роприятий по созданию и развитию региональных НОМЦ (Соглашение
075-02-2021-1388).
1 Ковры и ковровые подгруппы
над коммутативными кольцами

В первых трех параграфах данной главы приводятся определе-
ния ковра и ковровой подгруппы и другие основные определения дис-
сертации. В четвертом параграфе для коммутативных колец с едини-
цей, ненулевым идеалом I и аддитивной подгруппой J такими, что
Z + I 6= Z + I + J, доказано существование незамкнутых неприводи-
мых ковров, ассоциированных с любой системой корней.

Получены следующие результаты:

1. Для коммутативных колец с единицей, ненулевым идеалом I и ад-
дитивной подгруппой J такими, что Z + I 6= Z + I + J, доказано
существование незамкнутых неприводимых ковров лиева типа, ас-
социированных с любой системой корней.

2. Доказано, что любой ковер ненулевых аддитивных подгрупп, ас-
социированный с группой Шевалле лиева ранга больше единицы
над локально конечным полем, с точностью до сопряжения диаго-
нальным элементом совпадает с ковром, все аддитивные подгруппы
которого равны некоторому фиксированному подполю основного
поля.

3. Описаны неприводимые ковры типа G2 над полем K характеристи-
ки p > 0, хотя бы одна аддитивная подгруппа которых является
R-модулем, в случае когда K — алгебраическое расширение поля
R. Доказано, что такие ковры являются замкнутыми и могут па-
раметризоваться двумя различными полями только при p = 3, а
для других p они определяются одним полем и в этом случае соот-
ветствующие им ковровые подгруппы с точностью до сопряжения
диагональным элементом совпадают с группами Шевалле типа G2
над промежуточными подполями P , R ⊆ P ⊆ K.
Глоссарий

Обозначения:
K — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей 1;
Z — кольцо целых чисел;
GL(K) — общая линейная группа (множество матриц с определителем,
не равным нулю);
SL(K) — специальная линейная группа (множество матриц с опреде-
лителем единица);
tij (u) — трансвекция;
eij — матрица, у которой на позиции (i, j) стоит 1, а на остальных ме-
стах нули;
Φ — приведенная неразложимая система корней ранга l;
Π = {r1 , …, rl } — множество фундаментальных корней;
[x, y] = x−1 y −1 xy — коммутатор;
E(Φ, K) — элементарная группа Шевалле типа Φ над коммутативным
кольцом K с единицей;
Φ(K) — группа Шевалле типа Φ над полем K;
xr (t) — корневой элемент;
nr (t) = xr (t)x−r (−t−1 )xr (t) — мономиальный элемент;
hr (t) = nr (t)nr (−1) — диагональный элемент;
Xr — корневая подгруппа;
U = hXr | r ∈ Φ+ i — верхняя унипотентная подгруппа;
V = hXr | r ∈ Φ− i — нижняя унипотентная подгруппа;
H = hhr (t) | r ∈ Φ, t ∈ K ∗ i — диагональная подгруппа;
N = hnr (t) | r ∈ Φ, t ∈ K ∗ i — мономиальная подгруппа;
ZΦ — линейная оболочка системы корней Φ над кольцом целых чисел;
Nr,s — структурные константы соответствующей алгебры Ли;
K-характер группы P — это гомоморфизм аддитивной группы P в
мультипликативную группу K ∗ ;
F [t, u] — кольцо многочленов от переменных t, u;
F (t, u) — поле рациональных функций от переменных t, u.

Определения:
Под аддитивной подгруппой кольца K мы понимаем любую под-
группу всей его аддитивной группы.
Полный (матричный) ковер степени n над кольцом K — это набор
аддитивных подгрупп

A = {Aij | 1 ≤ i, j ≤ n}

основного кольца K, если выполняется следующее условие

Aik Akj ⊆ Aij , 1 ≤ i, j, k ≤ n.

Ковровое кольцо — это множество матриц

Mn (A) = {(aij ) | aij ∈ Aij , 1 ≤ i, j ≤ n}

которое является кольцом, относительно обычных матричных операций
сложения, умножения.
Элементарный ковер — это набор аддитивных подгрупп

A = {Aij | 1 ≤ i 6= j ≤ n}

основного кольца K, если выполняется следующее условие

Aik Akj ⊆ Aij , 1 ≤ i 6= j 6= k ≤ n.

Элементарная ковровая подгруппа — это группа En (A), порожден-
ная трансвекциями

tij (uij ), uij ∈ Aij , 1 ≤ i 6= j ≤ n.
Ковер типа Φ ранга l над K — это набор аддитивных подгрупп

A = {Ar | r ∈ Φ},

кольца K с условием

Cij,rs Air Ajs ⊆ Air+js , при r, s, ir + js ∈ Φ, i, j > 0,

где
Air = {ai | a ∈ Ar },

а константы Cij,rs = ±1, ±2, ±3 определяются коммутаторной форму-
лой Шевалле
Y
[xs (u), xr (t)] = xir+js (Cij,rs (−t)i ui ), r, s, r + s ∈ Φ.
i,j>0

Всякий ковер A типа Φ над K определяет ковровую подгруппу

E(Φ, A) = hxr (Ar ) | r ∈ Φi,

группы Шевалле E(Φ, K), где hM i — подгруппа, порожденная множе-
ством M .
Поле F характеристики p > 0 называется совершенным, если поле F p
совпадает с полем F , где F p = {f p |f ∈ F p }. В противном случае поле
называется несовершенным.
Параболическая группа — это надгруппа подгруппы U H и сопря-
женная с ней.

1 Боревич З. И. О параболических подгруппах в линейных группах
над полулокальным кольцом // Вестник ЛГУ.— 1976.—Т. 13.—№ 3.—
С. 16-24.