Порождающие мультиплеты инволюций линейных групп над кольцом целых чисел
Введение 3
1. Линейные группы малых размерностей над кольцами 12
1.1. Обозначения и известные результаты . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Линейные группы размерности 2
над кольцом целых чисел Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Линейные группы размерности 2
над кольцом целых гауссовых чисел Z + Zi . . . . . . . . . . . . 19
2. Группы Шевалле исключительных типов над кольцом целых
чисел 25
2.1. Обозначения и предварительные результаты . . . . . . . . . . . 25
2.2. Порождаемость группы Шевалле G2 (Z) тремя инволюциями,
две из которых перестановочны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Порождаемость групп Шевалле El (Z) тремя инволюциями,
две из которых перестановочны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3. Группы SL6 (Z) и SL10 (p) 47
3.1. Обозначения и известные результаты . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Порождаемость группы SL6 (Z) тремя инволюциями . . . . . . . 48
3.3. Порождаемость группы SL10 (p) тремя инволюциями . . . . . . 60
Заключение 67
Список литературы 68
Приложение А. Программа для El (Z) 73
Постановка задачи и актуальность темы исследования
Диссертация посвящена нахождению порождающих множеств инволю-
ций с различными свойствами для матричных групп и групп Шевале над
кольцом целых чисел и кольцом целых гаусовых чисел.
Вопрос о минимальном количестве и порядках порождающих элемен-
тов группы постоянно вызывал большой интерес и изучался для разнообраз-
ных классов групп: конечных и бесконечных, абстрактных, групп подстано-
вок, матричных групп и других. Порождающие тройки инволюций конечных
групп используются при нахождении гамильтоновых циклов в графах Кели
[27], при описании групп автоморфизмов карт на плоскости [22], а также при
решении обратной задачи Галуа [2].
Еще в 1890 году Ф. Клейн и Р. Фрике доказали [21], что гомоморфные об-
разы модулярной группы P SL2 (Z), за исключением трех циклических групп
Z1 , Z2 , Z3 , — это в точности (2, 3)-порожденные группы (то есть группы по-
рожденные двумя элементами порядка 2 и 3). Этим в определенной степени
объясняется важность изучения (2, 3)-порожденных групп.
Хорошо известно, что классические группы порождаются своими про-
стейшими элементами. Например, симметрические группы порождаются транс-
позициями, а простые классические линейные группы или более обобщенно
— простые группы лиева типа — порождаются корневыми элементами (см.
[5, 6, 19, 23]). В обоих случаях мощность порождающего множества растет
вместе с ростом мощности самой группы. Особый интерес вызывают порож-
дающие множества минимальной мощности относительно некоторых свойств.
Л. Диксон в 1901 г. доказал, что для любого нечетного q 6= 9, являюще-
гося степенью простого числа, группа SL2 (q) порождается двумя матрицами
! !
1 0 1 1
и ,
t 1 0 1
В заключении сформулируем результаты диссертационной работы:
а) Решены задачи о порождаемости тремя инволюциями и тремя инволю-
циями, две из которых перестановочны, для линейных групп степени два
GL2 , SL2 , P GL2 , P SL2 над кольцами целых чисел Z и целых гауссовых
чисел Z + Zi, исключая группу P SL2 (Z + Zi).
б) Найдено минимальное число n(G) порождающих инволюций, произведе-
ние которых равно 1 для групп GL2 (Z), P GL2 (Z).
в) Доказана порождаемость тремя инволюциями, две из которых переста-
новочны, групп Шевалле типа G2 , E6 , E7 , E8 над кольцом целых чисел.
Все инволюции найдены в явном виде.
г) Найдены порождающие тройки инволюций в группах SL6 (Z) и SL10 (p),
где p — простое число.
Помогаем с подготовкой сопроводительных документов
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.6 (92 отзыва)
4.4 (93 отзыва)
4.7 (96 отзывов)
4.1 (20 отзывов)
4.9 (35 отзывов)
4.9 (522 отзыва)
4.8 (2878 отзывов)
4.2 (25 отзывов)
4.2 (5 отзывов)
