Порождающие мультиплеты инволюций линейных групп над кольцом целых чисел
Введение 3
1. Линейные группы малых размерностей над кольцами 12
1.1. Обозначения и известные результаты . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Линейные группы размерности 2
над кольцом целых чисел Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Линейные группы размерности 2
над кольцом целых гауссовых чисел Z + Zi . . . . . . . . . . . . 19
2. Группы Шевалле исключительных типов над кольцом целых
чисел 25
2.1. Обозначения и предварительные результаты . . . . . . . . . . . 25
2.2. Порождаемость группы Шевалле G2 (Z) тремя инволюциями,
две из которых перестановочны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Порождаемость групп Шевалле El (Z) тремя инволюциями,
две из которых перестановочны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3. Группы SL6 (Z) и SL10 (p) 47
3.1. Обозначения и известные результаты . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Порождаемость группы SL6 (Z) тремя инволюциями . . . . . . . 48
3.3. Порождаемость группы SL10 (p) тремя инволюциями . . . . . . 60
Заключение 67
Список литературы 68
Приложение А. Программа для El (Z) 73
Постановка задачи и актуальность темы исследования
Диссертация посвящена нахождению порождающих множеств инволю-
ций с различными свойствами для матричных групп и групп Шевале над
кольцом целых чисел и кольцом целых гаусовых чисел.
Вопрос о минимальном количестве и порядках порождающих элемен-
тов группы постоянно вызывал большой интерес и изучался для разнообраз-
ных классов групп: конечных и бесконечных, абстрактных, групп подстано-
вок, матричных групп и других. Порождающие тройки инволюций конечных
групп используются при нахождении гамильтоновых циклов в графах Кели
[27], при описании групп автоморфизмов карт на плоскости [22], а также при
решении обратной задачи Галуа [2].
Еще в 1890 году Ф. Клейн и Р. Фрике доказали [21], что гомоморфные об-
разы модулярной группы P SL2 (Z), за исключением трех циклических групп
Z1 , Z2 , Z3 , — это в точности (2, 3)-порожденные группы (то есть группы по-
рожденные двумя элементами порядка 2 и 3). Этим в определенной степени
объясняется важность изучения (2, 3)-порожденных групп.
Хорошо известно, что классические группы порождаются своими про-
стейшими элементами. Например, симметрические группы порождаются транс-
позициями, а простые классические линейные группы или более обобщенно
— простые группы лиева типа — порождаются корневыми элементами (см.
[5, 6, 19, 23]). В обоих случаях мощность порождающего множества растет
вместе с ростом мощности самой группы. Особый интерес вызывают порож-
дающие множества минимальной мощности относительно некоторых свойств.
Л. Диксон в 1901 г. доказал, что для любого нечетного q 6= 9, являюще-
гося степенью простого числа, группа SL2 (q) порождается двумя матрицами
! !
1 0 1 1
и ,
t 1 0 1
В заключении сформулируем результаты диссертационной работы:
а) Решены задачи о порождаемости тремя инволюциями и тремя инволю-
циями, две из которых перестановочны, для линейных групп степени два
GL2 , SL2 , P GL2 , P SL2 над кольцами целых чисел Z и целых гауссовых
чисел Z + Zi, исключая группу P SL2 (Z + Zi).
б) Найдено минимальное число n(G) порождающих инволюций, произведе-
ние которых равно 1 для групп GL2 (Z), P GL2 (Z).
в) Доказана порождаемость тремя инволюциями, две из которых переста-
новочны, групп Шевалле типа G2 , E6 , E7 , E8 над кольцом целых чисел.
Все инволюции найдены в явном виде.
г) Найдены порождающие тройки инволюций в группах SL6 (Z) и SL10 (p),
где p — простое число.
Помогаем с подготовкой сопроводительных документов
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
5 (91 отзыв)
4.6 (522 отзыва)
5 (22 отзыва)
4.8 (105 отзывов)
4.7 (18 отзывов)
4 (15 отзывов)
4.4 (93 отзыва)
5 (8 отзывов)
5 (20 отзывов)
