Соответствие Мальцева и локальные автоморфизмы нильтреугольных алгебр классических типов

Через N Φ(K) обозначаем нильтреугольную подалгебру алгебры Ше-
валле над ассоциативно коммутативным кольцом K с единицей, ассоци-
ированную с системой корней Φ. Аналогично выбираем N Φ0 (S).
Основными результатами диссертации являются следующие.
1. Доказано, что если N Φ(K) классического типа лиева ранга n > 4,
то кольца Ли N Φ0 (S) и N Φ(K) изоморфны тогда и только тогда, когда
системы корней Φ0 , Φ эквивалентны и S ‘ K. (Решение вопроса (Б) для
классических типов.) Перечислены изоморфизмы N Φ(K) → N Φ0 (S).
2. Доказано, что если N Φ(K) классического типа лиева ранга n >
4, то кольца Ли N Φ0 (S) и N Φ(K) элементарно эквивалентны в том и
только в том случае, когда системы корней Φ0 , Φ эквивалентны и S ≡ K.
(Решение вопроса (А) для классических типов.)
3. Доказано, что локальные автоморфизмы любой алгебры или кольца
образуют группу по композиции. Установлена редукционная теорема для
локальных автоморфизмов алгебр Ли N Φ(K) классических типов.
4. Найдены новые нетривиальные локальные автоморфизмы алгебр
N T (n, K) (n > 3) и их финитарных обобщений, когда K есть кольцо
вычетов целых чисел по примарному модулю или любое поле.
В § 1.1 главы 1 приводятся необходимые теоретико-модельные сведе-
ния и определяется соответствие Мальцева для линейных групп и ко-
лец. Приведен краткий обзор исследований соответствия Мальцева для
классических линейных групп, нильтреугольных колец R = N T (n, K),
ассоциированных колец Ли R(−) и унитрегольных групп U T (n, K).
В § 1.2 выделяются основные объекты – алгебры Шевалле и их ниль-
треугольные подалгебры N Φ(K).
Комплексную алгебру Шевалле LΦ (C) характеризуют неразложимой
системой корней Φ евклидова пространства и базой Шевалле

{er (r ∈ Φ), hs (s ∈ Π)},

где Π – система простых корней или база в Φ, [26]. Система положи-
тельных корней Φ+ ⊇ Π в Φ единственна. По теореме Шевалле о базисе,
имеем
2(r, s)
er ∗ e−r = hr , hs ∗ hr = 0, hs ∗ er =er ;
(r, r)
/ Φ ∪ {0}), er ∗ es = Nrs er+s = −es ∗ er (r + s ∈ Φ),
er ∗ es = 0 (r + s ∈
где Nrs = ±1, или |r| = |s| < |r + s| и Nrs = ±2, или (тип G2 ) Nrs = ±2 или ±3. Структурные константы базы Шевалле целочисленные. Переходом от поля C к произвольному полю или даже ассоциативно коммутативному кольцу K получают алгебру Шевалле LΦ (K). Подалгебру N Φ(K) с базой er (r ∈ Φ+ ) называют нильтреугольной. Известно, что изоморфизм аддитивной группы поля K в группу ав- томорфизмов Aut LΦ (K) для любого корня r дает отображение t → xr (t) := exp (t · ad er ) (t ∈ K). Алгебра Шевалле LΦ (K) и группа Шевалле, как подгруппа группы Aut LΦ (K), определяются над любым ассоциативно коммутативным кольцом K с единицей. (Элементарную) группу Шевалле Φ(K) порож- дают корневые подгруппы Xr = xr (K). Её унипотентную подгруппу U Φ(K) порождают корневые подгруппы Xr (r ∈ Φ+ ), [26]. Группы Шевалле четырех типов An , Bn , Cn и Dn из девяти типов си- стем корней соответствуют классическим линейным группам. Для Φ ти- па An−1 группу U Φ(K) представляет унитреугольная группа U T (n, K). Алгебра Ли N Φ(K) типа An−1 представляется алгеброй Ли, ассоции- рованной с N T (n, K). Поэтому для типа An−1 вопросы (А) и (Б) решены ранее [14], [16], [17]. Решению вопросов (А) и (Б) для оставшихся типов Bn , Cn и Dn посвящены § 1.3 и глава 2. Пусть K и S – произвольные ассоциативно коммутативные кольца с единицами. Основной теоремой об изоморфизмах является Теорема 1.3.1. Пусть N Φ(K) – кольцо Ли классического типа Dn (n ≥ 4), Bn или Cn (n > 4). Кольцо Ли N Φ0 (S) изоморфно N Φ(K) тогда
и только тогда, когда S ‘ K, а системы корней Φ0 и Φ эквивалентны.
Напомним, что биективное отображение τ : Φ → Φ0 систем корней
называют их эквивалентностью, если существует вещественное число
λ > 0 такое, что
(τ (r), τ (s)) = λ · (r, s) (r, s ∈ Φ).
В доказательстве теоремы 1.3.1 используются леммы. В частности,
Лемма 2.3.1. Пусть кольца Ли N Φ(K) и N Φ0 (S) изоморфны, Φ
ранга > 1, причем 2K = K для типа F4 и 6K = K для типа G2 . Тогда
системы корней Φ и Φ0 эквивалентны.
Ясно что любая эквивалентность τ : Φ → Φ0 систем корней индуци-
рует изоморфизм τ алгебры Ли N Φ(K) по правилу
τ̄ : N Φ(K) → N Φ0 (K),er → eτ (r) (r ∈ Φ+ ).
Описание изоморфизмов использует известное специальное представ-
ление нильтреугольных алгебр N Φ(K) классических типов (§ 2.1).
Аналогично алгебрам N T (n, K) алгебры Ли N Φ(K) типа Bn , Cn и Dn
заданы в [27, Лемма 2] в базе из “матричных единиц” er = eiv (r ∈ Φ+
для соответствующей нумерации корней r = riv ) с ограничениями

−i < v < i ≤ n,−i ≤ v < i ≤ n, v 6= 0,1 ≤ |v| < i ≤ n, соответственно.Любой элемент из N Φ(K) представляется суммой + P aiv eiv и Φ -матрицей ||aiv || над K соответствующего типа. К суммам двух корней, являющихся корнем, помимо сумм rij + rjv = riv (аналогично типу An ) здесь относятся еще rkv + rm,−v = rk,−m при k > m > |v|, а для типа Cn также при k = m > |v|. Структурные
константы в выбранном базисе выписаны в лемме 2.1.1.
В этой терминологии описания верхнего и нижнего центральных ря-
дов колец Ли N Φ(K) и Aut N Φ(K) известны, см. лемму 2.2.2 и теорему
2.2.3 в § 2.2. Выявленные характеристические идеалы позволяют завер-
шить описание изоморфизмов.
Кольцевой изоморфизм θ : K → S всегда индуцирует изоморфизм

θ : N Φ(K) → N Φ(S)

колец Ли по правилу θ(xer ) = θ(x)er(x ∈ K, r ∈ Φ+ ). В § 2.3 доказана
Лемма 2.3.2. Всякий изоморфизм ϕ : N Φ(S) → N Φ(K) колец Ли
классического типа ранга n > 3 над ассоциативно коммутативными
кольцами S и K с единицами есть произведение ϕ = ηθ для подходя-
щего изоморфизма θ : S → K и η ∈ Aut N Φ(S).
Произвольный изоморфизм кольца Ли N Φ(K) на N Φ0 (S), учитывая
леммы 2.3.1 и 2.3.2, всегда допускает разложение в произведение τ̄ θη.
Тем самым, завершается описание изоморфизмов колец Ли N Φ(K). За-
вершается и доказательство теоремы 1.3.1.
Леммы 2.3.1, 2.3.2 и доказанная теорема устанавливают перечисление
изоморфизмов N Φ(K) → N Φ0 (S) и решение вопроса (Б).
В § 2.4 решение вопроса (А) о соответствии Мальцева для колец Ли
N Φ(K) (классических типов) завершает
Теорема 1.3.2. Кольца Ли N Φ0 (S) и N Φ(K) элементарно эквива-
лентны в том и только в том случае, когда K ≡ S, а системы корней
Φ и Φ0 эквивалентны.
В ее доказательстве, основываясь на теореме Кейслера-Шелаха, мы
опираемся на доказанную теорему 1.3.1 и на лемму 2.4.1 о связи уль-
трастепеней алгебраической системы с алгебраической системой над уль-
трастепенями.
Основные теоремы 1.3.1, 1.3.2 и леммы 2.3.1, 2.3.2 глав 1 и 2 аппроби-
ровались на конференциях [37]-[40] и опубликованы в совместной работе
[32] (соавтор – В.М. Левчук). Перечисленные основные результаты и их
доказательства принадлежат диссертанту. Идеи и методы доказательств
разрабатывали совместно диссертант и В.М. Левчук; ему же принадле-
жит постановка задач.
Глава 3 посвящена локальным автоморфизмам алгебры N Φ(K). Мы
используем следующее определение.
Определение 3.1.2. Локальным автоморфизмом произвольной K-
алгебры A называют автоморфизм K-модуля A, действующий на каж-
дый элемент α ∈ A как некоторый автоморфизм алгебры A, вообще
говоря, зависящий от выбора α.
В § 3.1 приводятся необходимые определения. Показана также за-
мкнутость локальных автоморфизмов по композиции. Более точно,
Предложение 3.1.3. Локальные автоморфизмы всякой алгебры
(аналогично кольца) A образуют по умножению группу.
(Обозначение: Laut A.) Предложение 3.1.3 вначале автором анонси-
ровалось [34], а с доказательством опубликовано в [31, Лемма 4].
В § 3.2 рассматривается финитарное обобщение алгебр N T (n, K).
Пусть Γ есть произвольное линейно упорядоченное множество (или крат-
ко, цепь) с отношением порядка <. Все Γ-матрицы α = kauv ku,v∈Γ над K с конечным числом ненулевых элементов (их называют финитарны- ми) образуют алгебру с обычными линейными операциями, матричным умножением и матричными единицами eij (i, j ∈ Γ). Подалгебру с базой eij (i, j ∈ Γ, i > j) называем нильтреугольной
и обозначаем через N T (Γ, K). Очевидно, N T (Γ, K) есть ниль-алгебра.
Мы выявляем примеры нетривиальных локальных автоморфизмов ал-
гебр N T (Γ, K) (в частности, алгебр N T (n, K)).
Первый элемент цепи Γ (если он существует) обозначаем через p, а
последний элемент – через q. Множество {u ∈ Γ | i ≤ u ≤ j} при i ≤ j
из Γ называем отрезком в Γ и обозначаем через [i, j]. Отображение

1+ϕkm,t : α = kaij k → α+takm eqp ,(α ∈ N T (Γ, K))(1)
очевидно, является модульным автоморфизмом алгебры N T (Γ, K) при
любых t ∈ K и k, m ∈ Γ, k > m. Следующая, основная в § 3.2 теорема
рассматривает отображение (1) только при условии p < k − m < q. Теорема 3.2.1. Если (1) есть локальный автоморфизм алгебры R для t 6= 0 из K, то либо a) m = p и |[p,k]|=3, либо b) k = q и |[m,q]|=3. Если Kt – единственный минимальный ненулевой идеал кольца K, то (1) является нетривиальным локальным автоморфизмом алгебры R. Соответствующие примеры в § 3.2 показывают, что к новым нетриви- альным локальным автоморфизмам мы приходим, когда K есть кольцо вычетов целых чисел по примарному модулю или любое поле. Известно, что всякая конечная цепь Γ порядка n изометрична цепи {1, 2, ..., n} и, поэтому N T (Γ, K) ' N T (n, K). Этот случай теоремы 3.2.1 исследовался диссертантом ранее в совместной статье [31] в нераздель- ном соавторстве. Полностью теорема представлена на 14-й международ- ной летней школе-конференции "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры" в Эрлаголе (НГТУ – ИМ СО РАН, 2021). В § 3.3 разрабатывается редукционный метод исследования локаль- ных автоморфизмов алгебр Ли N Φ(K) классических типов. Для типов An и Dn редукция ведется к тривиальным автоморфизмам по модулю идеалов Li стандартного центрального ряда. Для алгебр R(−) при R = N T (n, K) (то есть для типа An−1 ) А.П. Елисова [29] разработала редукцию по модулю L2 . Однако, для типов Bn и Cn идеалы Li , вообще говоря, не образуют нижний центральный ряд. В § 3.3 доказана Теорема 3.3.1. В алгебре Ли N Φ(K) классического типа ранга > 4
идеал L2 является (Laut N Φ(K))-инвариантным, а всякий локальный
автоморфизм действует по модулю L2 как её подходящий автомор-
физм.
Замечание. Наряду с финитарной алгеброй N T (Γ, K) из § 3.2 всех
Γ-матриц над K с произвольной цепью Γ индексов, рассматривают и
алгебру R нефинитарных Γ-матриц над K, которая определена лишь
для бесконечных цепей Γ = N, Z или Z N, например, [30]. Аналог
редукционной теоремы 3.3.1 выполняется для указанных нефинитар-
ных алгебр R, как анонсировано на “Мальцевские чтения – 2020” (ИМ
СО РАН) и на 14-й международной летней школе-конференции “Погра-
ничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры” в Эрлаголе
(НГТУ – ИМ СО РАН, 2021).
Теорема 3.3.1 опубликована автором в [33].
Автор благодарен научному руководителю профессору Левчуку Вла-
димиру Михайловичу за постановку задач и внимание к работе. При-
знателен сотрудникам кафедры алгебры и математической логики и Ин-
ститута математики и фундаментальной информатики СФУ за хорошие
условия работы над диссертацией.