Супералгебры Ли и интегрируемость

Актуальность темы и степень её разработанности. Данная диссертаци- онная работа продолжает исследование связи между теорией представлений супералгебр Ли и теорией обобщенных квантовых интегрируемых систем Ка- лоджеро-Мозера-Сазерленда(КМС), которое взяла начало в работах А.Н. Серге- ева и А.П. Веселова. Изначально наличие связей между этими двумя разделами было открыто в работах А.Н. Сергеева [1], [2]. Данные работы дали огромный толчок в исследовании квантовых интегрируемых систем с позиции супералгебр Ли, а так же показали наличие обратной связи, то есть применению методов квантовых интегрируемых систем в теории представлений супералгебр Ли. В этих же работах было показано, что при некоторой специализации параметров супермногочлены Джека переходят в определённые сферические функции, в со- ответствующих симметрических суперпространствах. Тем самым выявлена тес- ная связь с теорией представлений супералгебр Ли. Старт данных связей был дан в работах [3], [4]. Так же в работах [1], [2] был отражён ещё один немаловажный факт, а именно, что те самые супермногочлены Джека являются собственными функциями дифференциального оператора Калоджеро-Мозера, который является оператором второго порядка. Позднее М.В. Фейгин, А.П. Веселов и О.А. Чалых рассмотрели частные случаи этих дифференциальных операторов [5]. Далее в работе В.В. Сергановой было введено понятие обобщённой системы корней [6], а уже в работе [7] была показана связь обобщённой системы корней и кванто- вых интегрируемых систем, а именно построение интегралов. Иной подход к построению интегралов был получен в работах [8], [9].
В первой части настоящей работы рассматривается супералгебра Ли osp(3|2), которая является одним из простейших примеров супералгебр, теория представлений которых не полупроста. В этом случае как правило задача описа- ния неприводимых представлений в терминах более простых представлений (в частности вычисления их суперхарактеров) является глубоко нетривиальной. В общем случае для супералгебр osp(n|2m) эта задача была решена В.В. Сергано- вой [10]. При этом используются полиномы Каждана–Люстига специального ви- да, а соответствующий алгоритм дает кратности неприводимых модулей в вир- туальных модулях Эйлера, суперхарактеры которых известны. В данной работе в частном случае супералгебры osp(3|2) дается другой способ вычисления супер- характеров неприводимых представлений. А именно,используя связь между су- пералгебрами Ли и деформированными квантовыми интегрируемыми системами [7] вычисляются специализации собственных полиномиальных функций опера- тора Калоджеро-Мозера-Сазерленда типа B(1,1). Более точно, рассматриваемые собственные функции являются полиномами от двух переменных JΛ(v, u) и ну- меруются диаграммами Юнга Λ специального вида (крюки). При этом, коэффи- циенты этих полиномов рационально зависят от двух параметров k и p. Случай k = −1,p = −1 соответствует супералгебре Ли osp(3|2). Но этот случай является особым, в том смысле, что коэффициенты полиномов JΛ(v,u) имеют полюса в этих точках. Оказывается, что предел при k → −1,p → −1 существует, если параметры p, k связаны линейным соотношением (которое зависит от диаграм- мы Λ), и совпадает с суперхарактером неприводимого модуля соответствующего диаграмме Λ.
Во второй части настоящей работы рассматриваются супермногочлены Якоби, которые являются собственными функциями дифференциального опера- тора Калоджеро-Мозера-Сазерленда и так же как и сам оператор зависят от трёх параметров k,p,q. Основная трудность заключается в том, что при специализа- ции коэффициентов (k,p,q) → (−1,0,0) данные многочлены не всегда корректно определены. В работе [11] было показано, что lim(p,q)→(0,0) limk→−1 Jλ(x,y,k,p,q), с точностью до знака, совпадает с суперхарактером Эйлера супергруппы Ли OSP (2m|2n). Мы рассматриваем частный случай супергруппы Ли OSP (2m|2n) при m = 1 супергруппу Ли OSP(2|2n). Основной результат работы можно сформулировать следующим образом. Пусть H(1,n)− множество разбиений λ таких,что λ2 n и Jλ(x,y,k,p,q) соответствующее семейство супермногочленов Якоби. Разбиение λ ∈ H(1,n) называется особым, если оно удовлетворяет ра- венству λ1 −n = λ′j +n−j для некоторого 1 j n, в противном случае оно называется регулярным. Установим q = 0 и p = t(k + 1) и для общего параметра t возьмем предел супермногочленов Якоби при k → −1. Тогда мы получим но- вое семейство многочленов SJλ(x,y,t). Тогда мы имеем:
1) Если λ-регулярное разбиение,то SJλ(x,y,t) не зависит от t и совпадает (до знака) с суперхарактером неприводимого модуля L(λ) над супергруппой Ли OSP (2|2n).
2) Если λ-особое разбиение, то SJλ(x,y,λ′j) хорошо определен и совпадает (до знака) с суперхарактером неприводимого модуля L(λ) над супергруппой Ли OSP (2|2n).
В настоящей работе используется два основных свойства супермногочле- нов Якоби. Первое заключается в том, что они являются собственными функ- циями деформированного оператора Калоджеро – Мозера-Сазерленда, а второе свойство состоит в том, что они удовлетворяют формуле Пиери. Поэтому вместо вычисления предела супермногочленов Якоби мы вычисляем предел оператора КМС и предел коэффициентов формул Пиери. Основным инструментом явля- ются трансляционные функторы, которые в этом контексте были определены в работе [12].
Целью данной работы является исследование связей между теорией пред- ставлений супералгебр Ли и квантовыми интегрируемыми системами. Для до- стижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
1. Нахождение таких условий на параметры, что при специализации по- лучаются суперхарактеры неприводимых представлений супералгебры osp(3|2). 2. Исследование связей теории представлений супергруппы OSP(2|2n) и соответствующей системы КМС.
3. Использование техники трансляционных функторов для задачи специа- лизации параметров суперполиномов Якоби.
4. Исследование комбинаторики возникающих диаграмм Юнга.
5. Построение нового семейства полиномов зависящих от одного пара- метра, различные специализации которого дают суперхарактеры Эйле- ра, суперхарактеры проективных накрытии, суперхарактеры неприво-
димых модулей.
Научная новизна:
1. Найдены такие условия на параметры, что при специализации по- лучаются суперхарактеры неприводимых представлений супералгебры osp(3|2).
2. Исследована связь теории представлений супергруппы OSP(2|2n) и со- ответствующей системы КМС.
3. Использована техника трансляционных функторов для задачи специа- лизации параметров суперполиномов Якоби.
4. Исследована комбинаторики возникающих диаграмм Юнга.
5. Построено новое семейства полиномов зависящих от одного параметра, различные специализации которого дают суперхарактеры Эйлера, су- перхарактеры проективных накрытии, суперхарактеры неприводимых
модулей.
Практическая значимость. Работа носит теоретически характер. Резуль-
таты могут быть использованы в теории представлений супералгебр Ли, теории квантовых интегрируемых систем, теории специальных функций, математиче- ской физике.
Mетодология и методы исследования. В диссертации используются ме- тоды теории представлений супералгебр Ли, теории квантовых интегрируемых систем, комбинаторики диаграмм Юнга, трансляционных функторов, теории специальных функций.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Найдены такие условия на параметры, что при специализации по- лучаются суперхарактеры неприводимых представлений супералгебры osp(3|2).
2. Исследована связь теории представлений супергруппы OSP(2|2n) и со- ответствующей системы КМС.
3. Использована техника трансляционных функторов для задачи специа- лизации параметров суперполиномов Якоби.
4. Исследована комбинаторики возникающих диаграмм Юнга.
5. Построено новое семейства полиномов зависящих от одного параметра, различные специализации которого дают суперхарактеры Эйлера, су- перхарактеры проективных накрытии, суперхарактеры неприводимых
модулей.
Достоверность полученных результатов обеспечивается теоретическими
выкладками, строгими доказательствами и примерами, опирающимися на мето- ды теории представлений и квантовых интегрируемых систем. Результаты нахо- дятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.
Апробация работы. Основные результаты докладывались:
На конференциях: XIV Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения»(2016. Саратов. СГУ.); VII Международ- ная научно-практическая конференция «Presenting Academic Achievements to the World» (2016, Саратов); VI школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов».(2017. Москва. МГУ.); Научная конференция ме- ханико-математического факультета «Актуальные проблемы математики и меха- ники»(2016, 2017, 2018, 2019). Саратов. СГУ.; VIII школа-конференция «Алгеб- ры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов»(2020. Москва. МГУ.) На семинарах: механико-математического факультета при кафедре геометрии под руководством проф. А.Н. Сергеева.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 5 пе- чатных изданиях, в том числе 2 , входящих в перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результа- ты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук(2 – в изданиях, входящих в базы цитирования Web of Science и Scopus, из них 1 – в изданиях, рекомендуемых ВАК), 3 — в тезисах докладов.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх раз- делов, заключения. Полный объём диссертации составляет 105 страниц. Список литературы содержит 45 наименований.
Краткое содержание диссертационной работы. Первый раздел состо- ит из семи подразделов. В первом подразделе приводятся все вспомогательные сведения о супералгебрах Ли. Во втором подразделе вводятся основные поня- тия связанные с простыми супералгебрами Ли и системами корней. В третьем подразделе приводятся основные понятия по ортосимплектическим супералгеб- рам Ли. В четвёртом подразделе вводятся основные сведения о супералгебре Ли osp(3|2). В пятом подразделе вводятся основные сведения о супералгебре Ли osp(2|2n). В шестом подразделе приводятся все предварительные сведения о мночгочленах Якоби. В седьмом подразделе приводится связь интегрируемых систем с ортосимплектическими супералгебрами Ли.
Второй раздел состоит из пяти подразделов. В первом подразделе рас- сматривается дифференциальный оператор КМС с системой корней типа B(1,1). Данный оператор приводится к более удобному виду путем некоторых замен. Во втором подразделе приводится естественная область действия оператора КМС, которая называется алгеброй деформированных симметрических многочленов. Вводятся многочлены Джека и показывается, что они составляют базис данной алгебры. Далее рассматривается действие оператора КМС на базис и выводится формула Пиери для многочленов Джека. В третьем подразделе приводится ал- гебра сдвинутых деформированных симметрических многочленов, описывается её базис и выводится формул Пиери для него. В четвёртом подразделе вводятся супермногочлены Якоби, которые являются линейно комбинацией многочленов Джека. Показывается, что супермногочлены Якоби являются собственной функ- цией дифференциального оператора КМС, введённого в первом подразделе. В пятом подразделе приводится основной результат второго раздела. Показывает- ся, что собственные функции, то есть супермногочлены Якоби, при определён- ных значениях параметров k и p специализируются в суперхарактеры неприво- димых представлений супералгебры Ли osp(3|2).
Третий раздел состоит из пяти подразделов. В первом подразделе вводится дифференциальный оператор КМС типа B(1,n) и супермногочлены Якоби. Во втором разделе приводятся трансляционный функтор, описываются его свойства и исследуется комбинаторика возникающих диаграмм Юнга. В третьем разделе строится неособый базис из многочленов Якоби с применением трансляционно- го функтора и показывается корректность этого базиса при k = −1, p = q = 0. В четвёртом подразделе вычисляется специализация супермногочленов Якоби и показывается её корректность. В пятом подразделе показывается связь специа- лизированных супермногочленов Якоби с теорией представлений супергруппы Ли OSP(2|2n), а именно с суперхарактерами неприводимых модулей над су- пергруппой Ли OSP(2|2n). Данный подраздел является основным результатом третьего раздела.