Свободно 3-порождённые решетки с элементами дистрибутивного и модулярного типов среди порождающих : диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук : 01.01.06
Введение …………………………………………………………………………………………………… 3
Глава 1. Некоторые 3-порождённые решётки
с определяющими соотношениями ………………………………………………………… 11
§ 1.1. Множество соотношений и базовые подмножества …………………. 11
§ 1.2. Решётка L1, свободная модулярная решётка ранга 3
и решётка S …………………………………………………………………………………………. 14
§ 1.3. Решётка L2 …………………………………………………………………………………. 20
§ 1.4. Решётка L3 …………………………………………………………………………………. 27
Глава 2. Модулярность и дистрибутивность 3-порождённых решёток с
элементами дистрибутивного и модулярного типов
среди порождающих……………………………………………………………………………….. 35
§ 2.1. Эквациональные свойства элементов модулярного типа ………… 35
§ 2.2. Примеры малых немодулярных решёток с порождающими
элементами дистрибутивного и модулярного типов среди
порождающих …………………………………………………………………………………….. 41
§ 2.3. Модулярность 3-порожденных решёток с элементами
модулярного типа среди порождающих ……………………………………………. 44
§ 2.4. Дистрибутивность 3-порожденных решёток с элементами
модулярного и дистрибутивного типов среди порождающих ………….. 48
Глава 3. Конечные и бесконечные свободные 3-порожденные решётки с
порождающими элементами модулярного типа …………………………………… 56
§ 3.1. Конечность свободных 3-порожденных решёток с элементами
модулярного типа среди порождающих …………………………………………….. 56
§ 3.2. Бесконечные свободные 3-порожденные решётки с элементами
модулярного типа среди порождающих ……………………………………………. 62
Заключение ……………………………………………………………………………………………. 74
Список литературы ………………………………………………………………………………. 75
С момента возникновения теории решёток в классических работах
Г. Биркгофа, Р. Дедекинда, О. Оре и других математиков внимание в первую
очередь было уделено решёткам двух важных классов – классу
дистрибутивных решёток и классу модулярных решёток, определяемых
посредством тождества дистрибутивности и квазитождества модулярности,
соответственно. В последующем изучались элементы решёток, которые в той
или иной степени аккумулировали в себе свойство дистрибутивности. Так,
Г. Биркгоф [15] определил нейтральный элемент как такой элемент решётки,
который в совокупности с любыми двумя другими элементами порождает
дистрибутивную подрешётку, определения дистрибутивного и стандартного
элементов используют тождество дистрибутивности.
Приведём основные определения, указывая, кому они принадлежат.
Определение 1. ([21]) Элемент d решётки L называется дистрибутивным,
если
x, y L: d (x y) = (d x) (d y).
Определение 2. ([17]) Элемент d решётки L называется стандартным,
если
x, y L: x (y d) = (x y) (x d).
Определение 3. Элемент d решётки L называется нейтральным, если
x, y L: (x y) (y d) (d x) = (x y) (y d) (d x).
Эквивалентность этого определения упомянутому выше определению
нейтрального элемента, предложенному Г. Биркгофом, доказана Г. Гретцером
[16].
Отметим, что свойство «быть нейтральным элементом» самодвойственно.
Для других свойств естественно возникают двойственные понятия.
Определение 4. Элемент называется кодистрибутивным
(костандартным), если он дистрибутивен (соответственно, стандартен)
в двойственной решётке.
Для краткости будем говорить, что элемент является элементом
дистрибутивного типа, если он обладает каким-либо свойством
из определений 1 – 4 или комбинацией таких свойств.
Обширную информацию об элементах дистрибутивного типа,
показывающих естественность и необходимость их изучения можно найти,
например, в [1] и [31].
Легко видеть, что определения элементов дистрибутивного типа получены
по одной схеме – в равенстве, выражающем закон дистрибутивности, квантор
всеобщности применяется только к двум элементам из трех, и оставшийся
свободным третий элемент, для которого оказывается истинным
сконструированное таким образом высказывание, и получает
соответствующее название.
Если в тождестве дистрибутивности зафиксировать не один элемент, а два,
то получаем определение дистрибутивной пары (О. Оре [23]). Аналогичный
подход естественно применить, используя квазитождество модулярности.
Определение 5. ([36]) Пара элементов (a, b) решётки L называется
модулярной, если
x L: x ≤ b x (a b) = (x a) b.
Если в этом определении применить квантор всеобщности еще к одному
элементу – a или b, то возникают понятия левомодулярного и
правомодулярного элементов [31].
Определение 6. Элемент a решётки L называется левомодулярным, если
для любого элемента b из L пара (a, b) модулярна.
Определение 7. Элемент b решётки L называется правомодулярным, если
для любого элемента a из L пара (a, b) модулярна.
Свойство «быть левомодулярным элементом» самодвойственно, что не
имеет места для правой модулярности.
Определение 8. Элемент называется коправомодулярным, если он
В диссертации решены задачи 1 – 3. Основные результаты состоят
в следующем:
1. Найдены конечные наборы определяющих соотношений для ряда
свободно 3-порождённых решёток, у которых среди порождающих есть
элементы дистрибутивного и модулярного типов. Построены диаграммы этих
решёток.
2. Найдены все минимальные тройки с элементами модулярного типа, для
которых решётка, свободно порождённая такой тройкой, является
модулярной.
3. Найдены все минимальные тройки с элементами дистрибутивного и
модулярного типов, для которых решётка, свободно порождённая такой
тройкой является дистрибутивной.
4. Найдены все минимальные тройки с элементами модулярного типа, для
которых решётка, свободно порождённая такой тройкой, является конечной.
В дальнейшем интерес представляет следующие направления:
Найти все минимальные тройки с элементами дистрибутивного и
модулярного типов, для которых решётка, свободно порождённая такой
тройкой, является конечной.
Любая конечно порождённая дистрибутивная решётка конечна, а
свободная n-порождённая модулярная решётка при n > 3 бесконечна. Какие
свойства модулярного и дистрибутивного типа у порождающих элементов
могут гарантировать конечность n-порождённой решётки?
В [3] было показано, что решётка, порождённая n вполне модулярными
элементами, при n > 3 может уже не быть модулярной. Какие свойства
дистрибутивного типа у порождающих элементов могут гарантировать
модулярность n-порождённой решётки?
[1] Гретцер, Г. Общая теория решеток. / Г. Гретцер. — М.: Мир, 1982.
[2] Шушпанов, М. П.Достаточныеусловиямодулярностирешётки
с порождающими элементами, обладающими свойствами типа модуляр-
ности / А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов // Сибирский математический
журнал. — 2015. — Т. 56. — № 4. — С. 798–804.
[3] Шушпанов, М. П. Конечнопорождённые решётки с вполне модулярными
элементами среди порождающих / А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов //
Алгебраилогика.—2013.—Т.52.—№6.—
С. 657–666.
[4] Шушпанов, М. П. Модулярность и дистрибутивность 3-порождённых
решёток со специальными элементами среди порождающих / А. Г. Гейн,
М. П. Шушпанов // Алгебра и логика. — 2017. — Т. 56. — № 1. —
С. 3–19.
[5] Шушпанов, М. П. О бесконечности свободной 3-порожденной решетки
с одним левомодулярным порождающим / М. П. Шушпанов // Сибирские
электронныематематическиеизвестия.—2017.—Т.14.—
С. 528–532.
[6] Шушпанов, М. П. Об определяющих соотношениях свободной модуляр-
ной решетки ранга 3 / А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов // Известия высших
учебных заведений. Математика. — 2013. — № 10. — С. 69–72.
[7] Шушпанов, М. П. О вложении свободной решётки ранга 3 в свободную
решётку, порождённую тремя вполне правомодулярными элементами /
М. П. Шушпанов // Международная конференция «Мальцевские чтения»:
Тез. докл. Новосибирск. — 2017. — С. 160.
[8] Шушпанов, М. П. О конечности 3-порождённой решётки с ограниче-
ниями типа модулярности на порождающие элементы / М. П. Шушпанов
// Международная конференция «Мальцевские чтения»: Тез. докл. Ново-
сибирск. — 2016. — С. 203.
[9] Шушпанов, М. П. О подрешётке, порождённой модулярными элемен-
тами / А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов // Международная алгебраическая
конференция«Алгебраилинейнаяоптимизация»,посвященная
100-летию С.Н. Черникова: Тез. докл. Екатеринбург. — 2012. — С. 47.
[10] Шушпанов, М. П. О решетках, порожденных вполне модулярными
элементами / А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов // Международная алгебраи-
ческая конференция «Мальцевские чтения»: Тез. докл. Новосибирск. —
2012. — С. 52.
[11] Шушпанов, М. П. Решётки, порождённые модулярными элементами /
М. П. Шушпанов // Известия высших учебных заведений. Математика. —
2015. — № 12. — С. 84–86.
[12] Шушпанов, М. П. Решётки с определяющими соотношениями, близкими
кдистрибутивности/А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов//Сибирский
математический журнал. — 2017. — Т. 58. — № 6. — С. 1267–1275.
[13] Шушпанов, М. П. Условия дистрибутивности 3-порождённых решёток /
А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов // Международная алгебраическая конфе-
ренция «Мальцевские чтения»: Тез. докл. Новосибирск. — 2014. — С. 131.
[14] Bhata, S. P. A characterization of neutral elements by the exclusion of
sublattices / S. P. Bhata // Discrete Mathematics. — 2009. — Vol. 309. —
P. 1691–1702.
[15] Birkhoff, G. Neutral elements in general lattices / G. Birkhoff // Bull. Amer.
Math. Soc. — 1940. — Vol. 46. — P. 702–705.
[16] Grätzer, G. A characterization of neutral elements in lattices. (Note on Lattice
Theory, I) / G. Grätzer // Magyar Tud. Akad. Mat. Kutató Int. Közl. — 1962.
— Vol. 7. — P. 191–192.
[17] Grätzer, G. Standard ideals / G. Grätzer // Magyar Tud. Akad. Mat. Fiz. Oszt.
Közl. — 1959. — Vol. 9. — P. 81–97.
[18] Grätzer, G. Standard ideals in lattices / G. Grätzer, E. T. Schmidt // Acta Math.
Acad. Sci. Hungar. — 1961. — Vol. 12. — P. 17–86.
[19] Kolibiar, M. Distributive sublattices of a lattice / M. Kolibiar // Proc. Amer.
Math. Soc. — 1972. — Vol. 34. — № 2. — P. 359–364.
[20] Ladzianska, Z. Modular substructures of a structure / Z. Ladzianska // Mat.
časop. — 1974. — Vol. 24. — № 1. — P. 81–83.
[21] Ore, O. On the foundations of abstract algebra. I / O. Ore // Ann. of Math. —
1935. — Vol. 36. — P. 406–437.
[22] Ore, O. On the theorem of Jordan–Hölder / O. Ore // Trans. Amer. Math. Soc.
— 1937. — Vol. 41. — P. 266–275.
[23] Ore, O. Structures and group theory. II / O. Ore // Duke Math. J. — 1938. —
Vol. 4. — № 2. — Р. 247–269.
[24] Schmidt, R. Subgroup Lattices of Groups / R. Schmidt. — Berlin: Walter de
Cruyter, 1994.
[25] Shushpanov, M. P. Free 3-Generated Lattices with Two Semi-Normal
Generators / A. G. Gein, M. P. Shushpanov // Order. — 2018. — P. 1–6.
[26] Shushpanov, M. P. On 3-generated lattices with a completely modular element
among generators / M. P. Shushpanov // Algebra Univ. — 2017. — Vol. 78. — №
3. — P. 377–387.
[27] Shushpanov, M. P. On the embedding of the free lattice of rank 3 in the lattice
freelygeneratedbythreecompletelyrightmodularelements/
M. P. Shushpanov // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2017. —
Vol. 14. — P. 1215–1219.
[28] Shushpanov, M. P. Nonmodular lattices generated by modular elements /
M. P. Shushpanov // International Conference on Algebra dedicated to 100th
anniversary of S. M. Chernikov: Book of abstracts. Kyiv, Ukraine. — 2012. —
P. 146.
[29] Shushpanov, M. P. On lattices with left modular and distributive elements
among generators / M. P. Shushpanov // The International Conference and
PhD-Master Summer School «Groups and Graphs, Metrics and Manifolds»:
Book of abstracts. Yekaterinburg. — 2017. — P. 93.
[30] Shushpanov, M. P. The Minimal System of Defining Relations of the Free
Modular Lattice of Rank 3 and Lattices Close to Modular One / A. G. Gein,
M. P. Shushpanov // Mathematics and Statistics. — 2014. — Vol. 2. — № 1. —
P. 27–31.
[31] Stern, M. Semimodular Lattices. Theory and Applications / M. Stern. —
Cambridge: Cambridge University Press, 1999.
[32] Šik, F. Modular and Distributive Equalities in Lattices / F. Šik // Mat. časop. —
1973. — Vol. 23. — № 4. — P. 342–351.
[33] Varea V. R. Modular subalgebras, quasi-ideals and inner ideals Lie algebras of
prime characteristic / V. R. Varea // Comm. in Algebra. — 1993. —
Vol. 21. — № 11. — P. 4195–4218.
[34] Vernikov, B. M. Special elements in lattices of semigroup varieties / B. M.
Vernikov // Acta Sci. Math. (Szeged). — 2015. — Vol. 81. — № 1–2. — P. 79–
109.
[35] Vernikov, B. M. Special elements of the lattice of epigroup varieties /
V. Yu. Shaprynski, D. V. Skokov, B. M. Vernikov // Algebra Univ. — 2016. —
Vol. 76. — № 1. — P. 1–30.
[36] Wilcox, L. R. Modularity in the theory of lattices / L. R. Wilcox // Ann. of
Math. — 1939. —Vol. 40. — № 2. — P. 490–505.
[37] Zassenhaus, H. The theory of group / H. Zassenhaus. — 2nd ed. — New York:
Chelsea Publishing Company, 1958.
Помогаем с подготовкой сопроводительных документов
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.9 (20 отзывов)
4.7 (18 отзывов)
4.8 (1033 отзыва)
4.8 (9 отзывов)
4.9 (66 отзывов)
5 (44 отзыва)
4.7 (96 отзывов)
5 (158 отзывов)
5 (91 отзыв)
