Алгоритмы автоматического дифференцирования в задачах финансовой математики
Цель работы: разработка и реализация алгоритмов автоматического дифференцирования (АД) на модели Блэка-Шоулза (Б.-Ш.) на языке C++.
Объектом исследования является технология АД процессов, описывающих стоимость опционов.
Предметом исследования являются скорость и точность вычисления первых производных АД на примере модели Б.-Ш.
Научная новизна состоит в применении технологии АД в задачах финансовой математики.
ВВЕДЕНИЕ _______________________________________________________13
1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ __________________________________________15
2 МЕТОДЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ
ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ _____________________________________18
2.1 Методы вычисления производных ______________________________18
2.2 Применение методов дифференцирования для решения задач
финансовой математики ___________________________________________20
2.2.1 Задачи финансовой математики _______________________20
2.2.2 Анализ расчёта чувствительности цены портфеля ценных
бумаг к изменениям различных риск-факторов на основе численного
дифференцирования. Постановка задачи. ___________________________21
3 АЛГОРИТМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИХ
ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ _____________________________________23
3.1 Методы численного дифференцирования ________________________23
3.1.1 Теория дифференцирования __________________________23
3.1.2 Аппроксимации первой производной __________________23
3.2 Методы автоматического дифференцирования ____________________25
3.2.1 Правило дифференцирования сложной функции (цепное
правило) 25
3.2.2 Прямой режим _____________________________________26
3.2.3 Обратный режим ___________________________________28
3.2.4 Дуальные числа ____________________________________29
3.2.5 Существующие библиотеки АД _______________________30
3.3 Разработка алгоритмов и программы автоматического
дифференцирования применительно к задачам финансовой математики ___31
3.3.1 Описание алгоритмов автоматического дифференцирования
3.3.2 Программная реализация алгоритмов __________________34
3.3.2.1 Понятие класса _______________________________________34
3.3.2.2 Шаблоны классов _____________________________________35
3.3.2.3 Перегрузка операторов _________________________________35
3.3.2.4 Контейнер «vector» ____________________________________36
4 РЕАЛИЗАЦИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА
МОДЕЛИ БЛЭКА-ШОУЛЗА _________________________________________38
4.1 Модель Блэка-Шоулза ________________________________________38
4.1.1 «Греки» и их применение ____________________________40
4.2 Методы оценки опционов _____________________________________40
4.2.1 Метод Монте-Карло _________________________________41
4.3 Реализация конечно-разностного метода и автоматического
дифференцирования на модели Блэка-Шоулза _____________________________ 42
4.4 Сравнение эффективности автоматического дифференцирования и
метода конечных разностей ________________________________________43
4.4.1 Исследование точности вычисления ___________________44
4.4.2 Исследование скорости вычисления ___________________46
5 ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ, РЕСУРСОЭФФЕКТИВНОСТЬ
И РЕСУРСОСБЕРЕЖЕНИЕ __________________________________________48
5.1 Оценка коммерческого потенциала и перспективности проведения
научных исследований с позиции ресурсоэффективности и
ресурсосбережения _______________________________________________48
5.1.1 Потенциальные потребители результатов исследования ___48
5.1.2 Анализ конкурентных технических решений ____________48
5.1.3 SWOT-анализ ______________________________________50
5.2 Планирование научно-исследовательских работ ___________________52
5.2.1 Структура работ в рамках научного исследования ________52
5.2.2 Определение трудоёмкости выполнения работ ___________53
5.2.3 Разработка графика проведения научного исследования ___57
5.2.4 Бюджет научно-технического исследования (НТИ) _______58
5.2.4.1 Расчёт затрат на специальное оборудование для научных
(экспериментальных) работ ____________________________________58
5.2.4.2 Основная заработная плата исполнителей темы ____________59
5.2.4.3 Дополнительная заработная плата исполнителей темы _______60
5.2.4.4 Отчисления во внебюджетные фонды (страховые отчисления) 60
5.2.4.5 Накладные расходы____________________________________61
5.2.4.6 Формирование бюджета затрат научно-исследовательского
проекта 62
5.3 Оценка эффективности исследования____________________________62
6 СОЦИАЛЬНАЯ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ ____________________________69
6.1 Производственная безопасность ________________________________69
6.2 Недостаточная освещённость рабочей зоны; отсутствие или недостаток
естественного света _______________________________________________71
6.3 Повышенный уровень шума ___________________________________73
6.4 Повышенный уровень электромагнитных излучений; повышенная
напряжённость электрического поля _________________________________74
6.5 Повышенная или пониженная влажность воздуха _________________76
6.6 Электрический ток (источник: ПК) ______________________________77
6.7 Экологическая безопасность ___________________________________78
6.8 Безопасность в чрезвычайных ситуациях. Пожарная безопасность____79
6.9 Правовые и организационные вопросы обеспечения безопасности ___81
6.9.1 Организационные мероприятия обеспечения безопасности 81
6.9.2 Особенности законодательного регулирования проектных
решений 82
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ____________________________________________________83
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ __________________________84
Приложение А _____________________________________________________87
Приложение Б ____________________________________________________ 102
В финансовой математике часто возникает проблема расчёта
чувствительности цены портфеля ценных бумаг к изменениям различных риск-
факторов (цена базового актива, процентная ставка, волатильность и т. д.),
информация о которой может быть получена на основании расчёта
производных. Значения производных цены могут быть также использованы для
выбора дальнейшей стратегии управления портфелем, оценки возможных
рисков и т. д. Поэтому точность расчёта значений производных очень важна.
Помимо точности, имеет важность также время расчёта, поскольку часто
модели для оценки рисков необходимо запускать каждый день (а то и
несколько раз в день) для большого числа портфелей.
В настоящее время для расчёта производных можно использовать
готовые библиотеки автоматического дифференцирования (АД), однако они в
совокупности имеют ряд недостатков:
отсутствие обновлений и/или технической поддержки;
сложности при внесении изменений;
вопрос внедрения готовой АД библиотеки в уже существующий
и работающий без АД код ещё не исследован (это может вызывать сложности и
потребовать больше времени, чем самостоятельная разработка).
В данной работе используется модель ценообразования опционов Блэка-
Шоулза (Б.-Ш.) по следующим причинам:
существует возможность оценки точности вычислений АД и
конечно-разностного метода (КРМ), поскольку известны аналитические
выражения всех характеристик данной модели;
методы расчёта цены опциона по модели Б.-Ш. хорошо изучены
(метод Монте-Карло, решение PDE КРМ);
модель Б.-Ш. активно используется в финансовой сфере.
Цель работы: разработка и реализация алгоритмов автоматического
дифференцирования на модели Блэка-Шоулза на языке C++.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие
задачи:
проанализировать современные проблемы финансовой
математики и провести обзор методов вычисления производных от функций в
этой области;
провести анализ существующих алгоритмов АД;
разработать алгоритм АД для области финансовой математики и
реализовать его на языке C++;
протестировать программный код на модели Б.-Ш.;
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
5 (188 отзывов)
4.2 (6 отзывов)
4.5 (330 отзывов)
4.9 (298 отзывов)
5 (8 отзывов)
4.9 (37 отзывов)
4.9 (522 отзыва)
4.8 (30 отзывов)
4.9 (20 отзывов)
