Анализ и синтез моделей распространения эпидемий на примере прогнозирования заболеваемости СПИД в России
В данной работе большое внимание уделяется анализу SIR-модели распространения заболеваний, выявлению зависимостей внутри модели и ее применение для прогнозирования ситуации по ВИЧ-инфекции в России. Рассматривается учет рождаемости и смертности с принятыми во внимание особенностями распространения заболевания, а также некоторые противоэпидемические меры и их влияние на динамику развития эпидемии.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Цели работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Обзор литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Глава 1. ВИЧ-инфекция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1. Анализ особенностей болезни . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Анализ особенностей статистических данных . . . . . . . 12
Глава 2. Математическое моделирование эпидемий . . . . . . 15
2.1. SIR-модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Момент максимального числа инфицированных инди-
видуумов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Выявление зависимостей и анализ SIR-модели . . . . 18
2.2. Учет рождаемости и смертности в SIR-модели . . . . . . . 20
Глава 3. Получение параметров модели без учета ошибки ста-
тистических данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1. Анализ коэффициентов для ВИЧ-инфекции . . . . . . . . 23
3.2. Анализ коэффициентов для ВИЧ-инфекции . . . . . . . . 23
3.2.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Приближение полученных результатов . . . . . . . . 25
3.3. Получение коэффициентов для SIR-модели с учётом рож-
даемости и смертности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4. Анализ полученных результатов . . . . . . . . . . . . . . . 29
Глава 4. Прогнозирование с учетом ошибки статистических
данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1. Учёт ошибки статистических данных . . . . . . . . . . . . 31
4.1.1 Разбиение на сетку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.2 Метод Монте-Карло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2. Моделирование и анализ полученных результатов . . . . . 32
4.2.1 Классическая SIR-модель . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.2 SIR-модель с учетом рождаемости и смертности . . . 35
4.2.3 Сравнение результатов для двух моделей . . . . . . . 36
Глава 5. Рассмотрение противоэпидемических мер . . . . . . 38
5.1. Методы контроля эпидемии . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1.1 Химиопрофилактика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.2 Изоляция больных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Математическое моделирование эпидемиологических процессов явля-
ется основой для прогнозирования и оценки динамики распространения за-
болевания. Качественные и адекватные математические модели позволяют
сдерживать и контролировать течение эпидемии. Грамотный прогноз раз-
вития эпидемии необходим для оптимизации противоэпидемических мер
таких, как вакцинация, карантин, изоляция больных и т. д.
Данная работа посвящена математическим моделям эпидемиологи-
ческих процессов, а именно — их анализу, синтезу, а также практическо-
му применению на примере прогнозирования ситуации в России по ВИЧ-
инфекции, на фоне которой развивается синдром приобретенного иммун-
ного дефицита (СПИД).
Математические модели эпидемий также могут применяться в моде-
лировании экономических процессов. Прогнозирование с помощью таких
моделей позволяет определять спрос на товар с течением времени, что поз-
воляет оптимизировать расход ресурсов и анализировать целесообразность
производства. Поиск одной из величин, важной в моделировании не толь-
ко медицинских, но и экономических процессов, также будет рассмотрен в
этой работе.
ВИЧ-инфекция — заболевание, провоцирующее постепенное падение
общего иммунитета человека, вследствие чего организм теряет способность
бороться с воздействием патогенных бактерий и развитием злокочествен-
ных новообразований. Последней стадией развития ВИЧ-инфекции, на ко-
торой происходит разрушение жизненно важных систем организма, явля-
ется СПИД.
Статистика по ВИЧ-инфекции в России с каждым годом изменяется
в худшую сторону: растет чисто инфицированных, возрастает смертность.
По отношению числа новых случаев инфекции к численности населения
Россия занимает лидирующие позиции в мире.
Для построения математической модели заболевания требуется рас-
смотреть процесс её протекания, способы передачи и другие особенности,
которые следует учитывать при создании модели. Это необходимо для со-
здания оптимальной структуры модели: определения необходимых к рас-
смотрению групп индивидуумов, анализа вида связей и переходов между
этими группами, а также для определения допустимых значений исполь-
зуемых в модели коэффициентов.
В данной работе анализируются ключевые особенности ВИЧ-инфекции
и статистических данных по болезни в России для дальнейшего использо-
вания этой информации в прогнозировании течения эпидемии. Большое
внимание уделяется пику эпидемии — моменту максимального числа ин-
фицированных.
Основным инструментом моделирования в работе является класси-
ческая SIR-модель Кермака — МакКендрика, рассматривающая деление
популяции на три группы индивидуумов: восприимчивые к заболеванию,
инфицированные и выбывшие из группы инфицированных. Помимо приме-
нения классической модели рассматриваются модели, дополненные учетом
рождаемости и смертности, а также модели противоэпидемических мер.
Цели работы
Ключевыми целями данной работы являются:
1. Анализ и синтез существующих моделей распространения заболе-
ваний: поиск зависимостей внутри классической SIR-модели распростране-
ния заболеваний, составление модели с учетом рождаемости и смертности,
подходящей для моделирования ВИЧ-инфекции.
2. Получение параметров рассматриваемых моделей с помощью ста-
тистических данных по заболеваемости ВИЧ-инфекцией.
3. Прогнозирование ситуации по заболеваемости ВИЧ-инфекцией в
России, рассмотрение протекания эпидемии с применением противоэпиде-
мических мер.
Обзор литературы
Одна из наиболее известных работ, посвященных математическому
моделированию распространения заболеваний, «A Contribution to the
Mathematical Theory of Epidemics» [1] под авторством W. O. Kermack и
A. G. McKendrick, описывает динамику эпидемиологического процесса с
помощью системы дифференциальных уравнений, решения которых харак-
теризуют динамику изменения численности подгрупп в рассматриваемой
популяции. Кермаком и Мак-Кендриком вводится одна из простейших мо-
делей динамики эпидемии — SIR-модель, в которой рассматриваются три
группы индивидуумов: восприимчивые к заболеванию S(t) (Suspectible),
инфицированные I(t) (Infected) и выбывшие из группы инфицированных
вследствие выздоровления или смерти R(t) (Removed).
Подведем итог проделанной работы.
1. В результате анализа SIR-модели распространения заболевания по-
лучена формула нахождения момента максимального числа инфи-
цированных индивидуумов, который является важной величиной в
прогнозе не только эпидемиологических, но и экономических процес-
сов.
2. Классическая SIR-модель была дополнена учетом рождаемости и смерт-
ности с принятыми во внимание особенностями распространения эпи-
демии вертикальным способом передачи.
3. Для классической SIR-модели и модели с учетом рождаемости и смерт-
ности были найдены параметры системы по имеющейся статистике
заболеваемости. Рассмотрены различные эпидемиологические ситуа-
ции, зависящие от точности статистики, составлены лучшие и худшие
прогнозы.
4. Рассмотрены способы контроля эпидемии, составлены модели для хи-
миопрофилактики и изоляции инфицированных индивидуумов, при
этом под изоляцией подразумеваетя не буквальное отделение от обще-
ства, а изменение поведения на более безопасное для окружающих.
Рассмотрено влияние перечисленных мер на полученные прогнозы,
сделаны выводы о возможных направлениях противоэпидемической
деятельности.
Основные результаты опубликованы в [15] и [16].
[1] Kermack W. O., McKendrick A. G. A Contribution to the Mathematical
Theory of Epidemics // Proceedings of the Royal Society. 1927. P. 700–721.
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.8 (9 отзывов)
4.6 (522 отзыва)
4 (15 отзывов)
5 (145 отзывов)
4.8 (2878 отзывов)
4.5 (330 отзывов)
4.9 (35 отзывов)
5 (174 отзыва)
4.4 (93 отзыва)
