Эргодичность центральных мер на пространстве путей в графе Юнга — Фибоначчи

Евтушевский Всеволод Юрьевич
Бесплатно
В избранное
Работа доступна по лицензии Creative Commons:«Attribution» 4.0

Среди центральных мер на пространстве путей в графе Юнга — Фибоначчи особо интересна мера Планшереля. Её эргодичность была доказана Керовым и Гнединым. Цель данной работы — доказать, что оставшиеся меры с границы Мартина этого графа (описанные Керовым и Гудманом) также эргодичны.

1 Введение 2
2 Подготовка к доказательству гипотезы 5
3 Доказательство Теоремы 2 27
4 Доказательство Следствия 5 46
5 Доказательство Следствия 6 48
6 Подготовка ко второй части доказательства гипотезы 58
7 Волшебные таблицы 123
8 Доказательство Теоремы 3 140
9 Доказательство Теоремы 4 152
10 Завершение доказательства гипотезы 198
11 Благодарности Список литературы
203 204

Рассмотрим слова над алфавитом {1,2} с данной суммой цифр n. Как известно, их количество есть число Фибоначчи Fn+1 (F0 = 0, F1 = 1, Fk+2 = Fk+1 +Fk), и это самая распространённая комбинаторная интерпре- тация чисел Фибоначчи. Также можно думать о разбиениях полосы 2 × n на домино 1 × 2 и 2 × 1, сопоставляя двойки парам горизонтальных домино, а единицы вертикальным домино.
Введём на этом множестве слов частичный порядок: будем говорить, что слово x предшествует слову y, если после удаления общего суффикса в слове y остаётся не меньше двоек, чем в слове x остаётся цифр.
Это действительно частичный порядок, более того, соответствующее ча- стично упорядоченное множество является модулярной решёткой, извест- ной как решётка Юнга – Фибоначчи.
Графом Юнга – Фибоначчи (он изображён на рисунке выше) называют диаграмму Хассе этой решётки. Это градуированный граф, который мы представляем растущим снизу вверх начиная с пустого слова. Градуиров- кой служит функция суммы цифр. Опишем явно, как устроены ориентиро- ванные рёбра. Рёбра “вверх” из данного слова x ведут в слова, получаемые из x одной из двух операций:
2

1. заменить самую левую единицу на двойку;
2. вставить единицу левее чем самая левая единица.
Этот граф помимо модулярности является 1-дифференциальным, то есть для каждой вершины исходящая степень на 1 превосходит входящую степень.
Изучение градуированного графа Юнга – Фибоначчи было иницииро- вано в 1988 году одновременно и независимо такими математиками, как Ричард Стенли [9] и Сергей Владимирович Фомин [7].
Причина интереса к нему в том, что существует всего две 1-дифференциальных модулярных решётки, вторая — это решётка диаграмм Юнга, имеющая ключевое значение в теории представлений симметрической группы.
Центральные вопросы о градуированных графах касаются центральных мер на пространстве (бесконечных) путей в графе. Эта точка зрения после- довательно развивалась в работах Анатолия Моисеевича Вершика, к недав- нему обзору которого [4] и приводимой там литературе мы отсылаем чита- теля.
Среди центральных мер выделяют те, которые являются пределами мер, индуцированных путями в далёкие вершины — так называемую границу Мартина графа.
Граница пространства путей графа Юнга – Фибоначчи изучалась в ра- боте Фредерика Гудмана и Сергея Васильевича Керова (2000) [5].
Они использовали алгебраический формализм Окады [6].
Как следует из самого определения, асимптотический вопрос о грани- це напрямую связан с перечислительным вопросом о числе путей между двумя вершинами графа. Отметим важную общую работу С. В. Фомина [8] о перечислении путей в градуированных графах, в которой приводит- ся ряд общих тождеств и указывается связь помимо прочего с обобщением алгоритма Робинсона – Шенстеда – Кнута .
Гудман и Керов обходятся без явных формул для числа путей, хотя, как указал автору Павел Павлович Никитин, из их рассуждений и можно их извлечь — но количество слагаемых оказывается экспоненциальным по длине меньшего из слов. Формула с полиномиальным числом слагаемых была получена в работе [1], (сокращённая версия которой опубликована как [2]). Ниже используются ссылки на оба текста.
Керов и Гудман доказали, что список интересующих нас центральных мер исчерпывается следующими мерами:
1) Мера Планшереля: мера множества путей, проходящих через данную вершину v, равна d(ε,v)2 , где d(u, v) – количество путей “вниз” из v в
u.
n!
2) Меры μ{wi′}, параметризующиеся некоторой бесконечной последова- тельностью вершин графа Юнга–Фибоначчи. Нам удобнее другое эк- вивалентное определение в терминах некоторого бесконечного слова w (содержащего “достаточно мало” двоек) и числа β ∈ (0, 1]. См. по- дробнее Лемму 1.
3

Доказательство эргодичности меры Планшереля было получено Керо- вым и Гнединым [3]. Оно основано на следующей Лемме: мера Планшереля сосредоточена на путях, вершины которых содержат “достаточно много” двоек. Мы доказываем аналогичное утверждение для остальных мер μw,β, откуда стандартным рассуждением получается эргодичность.
Основной результат первой части этой работы — Теорема 2 и ей След- ствия 5 и 6. Во второй части статьи Следствия 5 и 6 используются “как чёр- ный ящик” для доказательства Теорем 3 и 4. Из Теорем 3 и 4 станадартным рассуждением получается главный результат данной работы – Следствие 14.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Егор В. кандидат наук, доцент
    5 (428 отзывов)
    Здравствуйте. Занимаюсь выполнением работ более 14 лет. Очень большой опыт. Более 400 успешно защищенных дипломов и диссертаций. Берусь только со 100% уверенностью. Ск... Читать все
    Здравствуйте. Занимаюсь выполнением работ более 14 лет. Очень большой опыт. Более 400 успешно защищенных дипломов и диссертаций. Берусь только со 100% уверенностью. Скорее всего Ваш заказ будет выполнен раньше срока.
    #Кандидатские #Магистерские
    694 Выполненных работы
    Юлия К. ЮУрГУ (НИУ), г. Челябинск 2017, Институт естественных и т...
    5 (49 отзывов)
    Образование: ЮУрГУ (НИУ), Лингвистический центр, 2016 г. - диплом переводчика с английского языка (дополнительное образование); ЮУрГУ (НИУ), г. Челябинск, 2017 г. - ин... Читать все
    Образование: ЮУрГУ (НИУ), Лингвистический центр, 2016 г. - диплом переводчика с английского языка (дополнительное образование); ЮУрГУ (НИУ), г. Челябинск, 2017 г. - институт естественных и точных наук, защита диплома бакалавра по направлению элементоорганической химии; СПХФУ (СПХФА), 2020 г. - кафедра химической технологии, регулирование обращения лекарственных средств на фармацевтическом рынке, защита магистерской диссертации. При выполнении заказов на связи, отвечаю на все вопросы. Индивидуальный подход к каждому. Напишите - и мы договоримся!
    #Кандидатские #Магистерские
    55 Выполненных работ
    Евгений А. доктор, профессор
    5 (154 отзыва)
    Более 40 лет занимаюсь преподавательской деятельностью. Специалист в области философии, логики и социальной работы. Кандидатская диссертация - по логике, докторская - ... Читать все
    Более 40 лет занимаюсь преподавательской деятельностью. Специалист в области философии, логики и социальной работы. Кандидатская диссертация - по логике, докторская - по социальной работе.
    #Кандидатские #Магистерские
    260 Выполненных работ
    Катерина В. преподаватель, кандидат наук
    4.6 (30 отзывов)
    Преподаватель одного из лучших ВУЗов страны, научный работник, редактор научного журнала, общественный деятель. Пишу все виды работ - от эссе до докторской диссертации... Читать все
    Преподаватель одного из лучших ВУЗов страны, научный работник, редактор научного журнала, общественный деятель. Пишу все виды работ - от эссе до докторской диссертации. Опыт работы 7 лет. Всегда на связи и готова прийти на помощь. Вместе удовлетворим самого требовательного научного руководителя. Возможно полное сопровождение: от статуса студента до получения научной степени.
    #Кандидатские #Магистерские
    47 Выполненных работ
    Лидия К.
    4.5 (330 отзывов)
    Образование высшее (2009 год) педагог-психолог (УрГПУ). В 2013 году получено образование магистр психологии. Опыт преподавательской деятельности в области психологии ... Читать все
    Образование высшее (2009 год) педагог-психолог (УрГПУ). В 2013 году получено образование магистр психологии. Опыт преподавательской деятельности в области психологии и педагогики. Написание диссертаций, ВКР, курсовых и иных видов работ.
    #Кандидатские #Магистерские
    592 Выполненных работы
    Рима С.
    5 (18 отзывов)
    Берусь за решение юридических задач, за написание серьезных научных статей, магистерских диссертаций и дипломных работ. Окончила Кемеровский государственный универси... Читать все
    Берусь за решение юридических задач, за написание серьезных научных статей, магистерских диссертаций и дипломных работ. Окончила Кемеровский государственный университет, являюсь бакалавром, магистром юриспруденции (с отличием)
    #Кандидатские #Магистерские
    38 Выполненных работ
    Дмитрий К. преподаватель, кандидат наук
    5 (1241 отзыв)
    Окончил КазГУ с красным дипломом в 1985 г., после окончания работал в Институте Ядерной Физики, защитил кандидатскую диссертацию в 1991 г. Работы для студентов выполня... Читать все
    Окончил КазГУ с красным дипломом в 1985 г., после окончания работал в Институте Ядерной Физики, защитил кандидатскую диссертацию в 1991 г. Работы для студентов выполняю уже 30 лет.
    #Кандидатские #Магистерские
    2271 Выполненная работа
    AleksandrAvdiev Южный федеральный университет, 2010, преподаватель, канд...
    4.1 (20 отзывов)
    Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.
    Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.
    #Кандидатские #Магистерские
    28 Выполненных работ
    Антон П. преподаватель, доцент
    4.8 (1033 отзыва)
    Занимаюсь написанием студенческих работ (дипломные работы, маг. диссертации). Участник международных конференций (экономика/менеджмент/юриспруденция). Постоянно публик... Читать все
    Занимаюсь написанием студенческих работ (дипломные работы, маг. диссертации). Участник международных конференций (экономика/менеджмент/юриспруденция). Постоянно публикуюсь, имею высокий индекс цитирования. Спикер.
    #Кандидатские #Магистерские
    1386 Выполненных работ

    Другие учебные работы по предмету