Эргодичность центральных мер на пространстве путей в графе Юнга — Фибоначчи

Евтушевский Всеволод Юрьевич
Бесплатно
В избранное
Работа доступна по лицензии Creative Commons:«Attribution» 4.0

Среди центральных мер на пространстве путей в графе Юнга — Фибоначчи особо интересна мера Планшереля. Её эргодичность была доказана Керовым и Гнединым. Цель данной работы — доказать, что оставшиеся меры с границы Мартина этого графа (описанные Керовым и Гудманом) также эргодичны.

1 Введение 2
2 Подготовка к доказательству гипотезы 5
3 Доказательство Теоремы 2 27
4 Доказательство Следствия 5 46
5 Доказательство Следствия 6 48
6 Подготовка ко второй части доказательства гипотезы 58
7 Волшебные таблицы 123
8 Доказательство Теоремы 3 140
9 Доказательство Теоремы 4 152
10 Завершение доказательства гипотезы 198
11 Благодарности Список литературы
203 204

Рассмотрим слова над алфавитом {1,2} с данной суммой цифр n. Как известно, их количество есть число Фибоначчи Fn+1 (F0 = 0, F1 = 1, Fk+2 = Fk+1 +Fk), и это самая распространённая комбинаторная интерпре- тация чисел Фибоначчи. Также можно думать о разбиениях полосы 2 × n на домино 1 × 2 и 2 × 1, сопоставляя двойки парам горизонтальных домино, а единицы вертикальным домино.
Введём на этом множестве слов частичный порядок: будем говорить, что слово x предшествует слову y, если после удаления общего суффикса в слове y остаётся не меньше двоек, чем в слове x остаётся цифр.
Это действительно частичный порядок, более того, соответствующее ча- стично упорядоченное множество является модулярной решёткой, извест- ной как решётка Юнга – Фибоначчи.
Графом Юнга – Фибоначчи (он изображён на рисунке выше) называют диаграмму Хассе этой решётки. Это градуированный граф, который мы представляем растущим снизу вверх начиная с пустого слова. Градуиров- кой служит функция суммы цифр. Опишем явно, как устроены ориентиро- ванные рёбра. Рёбра “вверх” из данного слова x ведут в слова, получаемые из x одной из двух операций:
2

1. заменить самую левую единицу на двойку;
2. вставить единицу левее чем самая левая единица.
Этот граф помимо модулярности является 1-дифференциальным, то есть для каждой вершины исходящая степень на 1 превосходит входящую степень.
Изучение градуированного графа Юнга – Фибоначчи было иницииро- вано в 1988 году одновременно и независимо такими математиками, как Ричард Стенли [9] и Сергей Владимирович Фомин [7].
Причина интереса к нему в том, что существует всего две 1-дифференциальных модулярных решётки, вторая — это решётка диаграмм Юнга, имеющая ключевое значение в теории представлений симметрической группы.
Центральные вопросы о градуированных графах касаются центральных мер на пространстве (бесконечных) путей в графе. Эта точка зрения после- довательно развивалась в работах Анатолия Моисеевича Вершика, к недав- нему обзору которого [4] и приводимой там литературе мы отсылаем чита- теля.
Среди центральных мер выделяют те, которые являются пределами мер, индуцированных путями в далёкие вершины — так называемую границу Мартина графа.
Граница пространства путей графа Юнга – Фибоначчи изучалась в ра- боте Фредерика Гудмана и Сергея Васильевича Керова (2000) [5].
Они использовали алгебраический формализм Окады [6].
Как следует из самого определения, асимптотический вопрос о грани- це напрямую связан с перечислительным вопросом о числе путей между двумя вершинами графа. Отметим важную общую работу С. В. Фомина [8] о перечислении путей в градуированных графах, в которой приводит- ся ряд общих тождеств и указывается связь помимо прочего с обобщением алгоритма Робинсона – Шенстеда – Кнута .
Гудман и Керов обходятся без явных формул для числа путей, хотя, как указал автору Павел Павлович Никитин, из их рассуждений и можно их извлечь — но количество слагаемых оказывается экспоненциальным по длине меньшего из слов. Формула с полиномиальным числом слагаемых была получена в работе [1], (сокращённая версия которой опубликована как [2]). Ниже используются ссылки на оба текста.
Керов и Гудман доказали, что список интересующих нас центральных мер исчерпывается следующими мерами:
1) Мера Планшереля: мера множества путей, проходящих через данную вершину v, равна d(ε,v)2 , где d(u, v) – количество путей “вниз” из v в
u.
n!
2) Меры μ{wi′}, параметризующиеся некоторой бесконечной последова- тельностью вершин графа Юнга–Фибоначчи. Нам удобнее другое эк- вивалентное определение в терминах некоторого бесконечного слова w (содержащего “достаточно мало” двоек) и числа β ∈ (0, 1]. См. по- дробнее Лемму 1.
3

Доказательство эргодичности меры Планшереля было получено Керо- вым и Гнединым [3]. Оно основано на следующей Лемме: мера Планшереля сосредоточена на путях, вершины которых содержат “достаточно много” двоек. Мы доказываем аналогичное утверждение для остальных мер μw,β, откуда стандартным рассуждением получается эргодичность.
Основной результат первой части этой работы — Теорема 2 и ей След- ствия 5 и 6. Во второй части статьи Следствия 5 и 6 используются “как чёр- ный ящик” для доказательства Теорем 3 и 4. Из Теорем 3 и 4 станадартным рассуждением получается главный результат данной работы – Следствие 14.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Катерина М. кандидат наук, доцент
    4.9 (522 отзыва)
    Кандидат технических наук. Специализируюсь на выполнении работ по метрологии и стандартизации
    Кандидат технических наук. Специализируюсь на выполнении работ по метрологии и стандартизации
    #Кандидатские #Магистерские
    836 Выполненных работ
    Виктор В. Смоленская государственная медицинская академия 1997, Леч...
    4.7 (46 отзывов)
    Имеют опыт грамотного написания диссертационных работ по медицине, а также отдельных ее частей (литературный обзор, цели и задачи исследования, материалы и методы, выв... Читать все
    Имеют опыт грамотного написания диссертационных работ по медицине, а также отдельных ее частей (литературный обзор, цели и задачи исследования, материалы и методы, выводы).Пишу статьи в РИНЦ, ВАК.Оформление патентов от идеи до регистрации.
    #Кандидатские #Магистерские
    100 Выполненных работ
    Дарья С. Томский государственный университет 2010, Юридический, в...
    4.8 (13 отзывов)
    Практикую гражданское, семейное право. Преподаю указанные дисциплины в ВУЗе. Выполняла работы на заказ в течение двух лет. Обучалась в аспирантуре, подготовила диссерт... Читать все
    Практикую гражданское, семейное право. Преподаю указанные дисциплины в ВУЗе. Выполняла работы на заказ в течение двух лет. Обучалась в аспирантуре, подготовила диссертационное исследование, которое сейчас находится на рассмотрении в совете.
    #Кандидатские #Магистерские
    18 Выполненных работ
    Александр О. Спб государственный университет 1972, мат - мех, преподав...
    4.9 (66 отзывов)
    Читаю лекции и веду занятия со студентами по матанализу, линейной алгебре и теории вероятностей. Защитил кандидатскую диссертацию по качественной теории дифференциальн... Читать все
    Читаю лекции и веду занятия со студентами по матанализу, линейной алгебре и теории вероятностей. Защитил кандидатскую диссертацию по качественной теории дифференциальных уравнений. Умею быстро и четко выполнять сложные вычислительные работ
    #Кандидатские #Магистерские
    117 Выполненных работ
    Дарья П. кандидат наук, доцент
    4.9 (20 отзывов)
    Профессиональный журналист, филолог со стажем более 10 лет. Имею профильную диссертацию по специализации "Радиовещание". Подробно и серьезно разрабатываю темы научных... Читать все
    Профессиональный журналист, филолог со стажем более 10 лет. Имею профильную диссертацию по специализации "Радиовещание". Подробно и серьезно разрабатываю темы научных исследований, связанных с журналистикой, филологией и литературой
    #Кандидатские #Магистерские
    33 Выполненных работы
    Яна К. ТюмГУ 2004, ГМУ, выпускник
    5 (8 отзывов)
    Помощь в написании магистерских диссертаций, курсовых, контрольных работ, рефератов, статей, повышение уникальности текста(ручной рерайт), качественно и в срок, в соот... Читать все
    Помощь в написании магистерских диссертаций, курсовых, контрольных работ, рефератов, статей, повышение уникальности текста(ручной рерайт), качественно и в срок, в соответствии с Вашими требованиями.
    #Кандидатские #Магистерские
    12 Выполненных работ
    Юлия К. ЮУрГУ (НИУ), г. Челябинск 2017, Институт естественных и т...
    5 (49 отзывов)
    Образование: ЮУрГУ (НИУ), Лингвистический центр, 2016 г. - диплом переводчика с английского языка (дополнительное образование); ЮУрГУ (НИУ), г. Челябинск, 2017 г. - ин... Читать все
    Образование: ЮУрГУ (НИУ), Лингвистический центр, 2016 г. - диплом переводчика с английского языка (дополнительное образование); ЮУрГУ (НИУ), г. Челябинск, 2017 г. - институт естественных и точных наук, защита диплома бакалавра по направлению элементоорганической химии; СПХФУ (СПХФА), 2020 г. - кафедра химической технологии, регулирование обращения лекарственных средств на фармацевтическом рынке, защита магистерской диссертации. При выполнении заказов на связи, отвечаю на все вопросы. Индивидуальный подход к каждому. Напишите - и мы договоримся!
    #Кандидатские #Магистерские
    55 Выполненных работ
    Лидия К.
    4.5 (330 отзывов)
    Образование высшее (2009 год) педагог-психолог (УрГПУ). В 2013 году получено образование магистр психологии. Опыт преподавательской деятельности в области психологии ... Читать все
    Образование высшее (2009 год) педагог-психолог (УрГПУ). В 2013 году получено образование магистр психологии. Опыт преподавательской деятельности в области психологии и педагогики. Написание диссертаций, ВКР, курсовых и иных видов работ.
    #Кандидатские #Магистерские
    592 Выполненных работы
    Глеб С. преподаватель, кандидат наук, доцент
    5 (158 отзывов)
    Стаж педагогической деятельности в вузах Москвы 15 лет, автор свыше 140 публикаций (РИНЦ, ВАК). Большой опыт в подготовке дипломных проектов и диссертаций по научной с... Читать все
    Стаж педагогической деятельности в вузах Москвы 15 лет, автор свыше 140 публикаций (РИНЦ, ВАК). Большой опыт в подготовке дипломных проектов и диссертаций по научной специальности 12.00.14 административное право, административный процесс.
    #Кандидатские #Магистерские
    216 Выполненных работ

    Другие учебные работы по предмету