Функционалы полного типа в задаче анализа устойчивости нелинейных дифференциально-разностных систем и их приложения

Многие математические модели в естественных науках, инженерии и эконо- мике описываются с помощью дифференциальных уравнений. Обыкновен- ные дифференциальные уравнения подразумевают зависимость скорости от текущего состояния объекта и, быть может, момента времени. Одна- ко скорость некоторых процессов зависит не только от текущего, но и от некоторого предыдущего состояния.
Например, известно [2], что обыкновенное дифференциальное уравне- ние П. Ф. Ферхюльста хорошо описывает динамику популяции простейших микроорганизмов, но не подходит для моделирования численности боль- шинства млекопитающих. Этот процесс описывается уже дифференциаль- но-разностным уравнением, которое предложил Г. Хатчинсон [14], запазды- вание в нем учитывает тот факт, что особь полноценно вступает во внут- ривидовую конкуренцию при достижении репродуктивного возраста.
Для таких математических моделей исследуют устойчивость по Ля- пунову [8] положений равновесия. Для этого анализируют, как изменяется траектория движения при малых изменениях начальных данных от поло- жения равновесия. Это позволяет анализировать и прогнозировать есте- ственные процессы, проектировать надежные системы, строить стабилизи- рующие управления объектами и решать другие задачи.
Часто математическая модель задана системой дифференциальных уравнений, которые затруднительно проинтегрировать аналитически. В та- ком случае рассматривают некоторое приближение системы в окрестности положения равновесия. Доказано [8], что при выполнении определенных условий свойства устойчивости совпадают для исходной и приближенной систем, поэтому разумно исследовать свойства аппроксимирующих систем.
Наиболее изученным классом таких систем являются линейные си- стемы дифференциальных уравнений. Для них известны способы построе- ния решений и критерии устойчивости. Однако возможна ситуация, когда первое в широком смысле приближение не содержит линейных членов, в этом случае появляются однородные уравнения порядка выше 1.
Для анализа устойчивости в работе используется прямой метод Ля- пунова. Рассматриваются два способа обобщения этого метода на диф-
3
ференциально-разностные системы: подход Н. Н. Красовского [7] и подход Б. С. Разумихина [10]. Красовский предложил рассматривать функциона- лы, зависящие от участка траектории. Этот подход позволяет получить критерий устойчивости и является более общим, но функционалы исследо- вать сложнее, чем функции. Разумихин же предложил исследовать функ- ции, но рассматривать их производные вдоль непрерывных функций, удо- влетворяющих специальному условию. Этот подход позволяет получить лишь достаточные условия, но для некоторых классов систем осуществля- ется намного проще. В работе используются оба подхода.
Задержки в моделируемых процессах имеют разную природу, поэто- му в дифференциально-разностных уравнениях используются различные запаздывания. Широко распространено постоянное запаздывание, напри- мер, оно используется в уже упомянутой модели Хатчинсона. Кроме того, запаздывание может линейно возрастать с течением времени, например, при моделировании перемешивания содержимого смесительного бака [5], движения по кольцевой дороге [17] или работы информационного серве- ра [4].
В работе исследуется устойчивость одного класса однородных диф- ференциально-разностных систем с линейно возрастающим запаздывани- ем. Работа имеет следующую структуру. После введения идут постановка задачи и обзор литературы по данной теме. Далее следует основная часть, состоящая из двух глав. Первая глава посвящена подходу Красовского. В ней построен функционал Ляпунова-Красовского для одного однородного уравнения с линейно возрастающим запаздыванием, и на его основе получе- ны достаточные условия устойчивости нулевого решения этого уравнения. Во второй главе рассматривается подход Разумихина, и на его основе полу- чены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого реше- ния одной однородной системы с линейно возрастающим запаздыванием. Кроме того, во второй главе исследуются робастная устойчивость и систе- ма со смешанным запаздыванием. В конце работы представлены выводы и заключение.