Квазиоптимальные полиномиальные траектории в задачах управления подвижных объектов

В данной работе исследован вопрос построения допустимой траектории движения нелинейной управляемой механической системы представленной в форме дифференциального включения высшего порядка. Подобная задача возникает в теории управления при построении программного движения, при этом требуется построить программное движение, которое удовлетворяло бы дифференциальное включение (фазовые ограничения) и было бы близко к оптимальному значению некоторого заданного функционала качества. Часто есть смысл рассматривать только полиномиальные траектории системы в пространстве состояний, как, например, в задаче о посадке беспилотного летательного аппарата, так как не всегда на практике требуется экстремальное управлениe, часто требуется лишь приближение к оптимальному в определенном классе функций, и, применительно к данной задаче, метод полиномиальных траекторий может быть успешно использован. Представлен способ учета фазовых и управляющих ограничений при прямом построении квазиоптимальной полиномиальной траектории в пространстве состояний дифференциального включения высшей степени. Чтобы учесть фазовые ограничения, мы используем асимптотически точную монотонную оценку диапазона значений полинома, основанную на обобщенном разложении по полиномам Бернштейна. Граничные условия учитываются с помощью полинома Эрмита. Представленный метод иллюстрируется на примере задачи терминального управления летательным аппаратом, а именно посадки на движущуюся по заданному закону платформу.

Введение …………………………… 3
Обзорлитературы ……………………… 4
Постановказадачи ……………………… 5
Глава1.Полиномы ……………………… 7
1.1. Общий вид полинома и мультииндексная нотация . . . . . 7
1.2. Полиномыисвертки ………………… 8
1.3. Оценка области значений полинома на единичном сегменте 10
1.4. Условия включения полинома в выпуклое множество. . . 13
Глава 2. Квази-аппроксимация задач оптимального управле- ния………………………….. 14
2.1. Постановказадачи …………………. 14
2.2. Граничныеусловия …………………. 15
2.3. Сведение к конечномерной задаче нелинейного програм- мирования ……………………… 15
2.4. Градиенты полиномиальных ограничений . . . . . . . . . 17
Глава3.Пример……………………….. 21
3.1. Постановказадачи …………………. 21
3.2. ВидзадачиНЛП ………………….. 24
3.3. Численныйэксперимент ………………. 25
Заключение………………………….. 30
Списоклитературы …………………….. 31

В данной работе был предложен метод сведения задач оптимального управления, представленных в форме дифференциального включения с за- данным граничным включением, к задаче нелинейного программирования специального типа, причем метод сведения гарантирует допустимость тра- ектории при выполнении ограничений задачи нелинейного программирова- ния в конечномерном пространстве. В этом заключается основное преиму- щество метода, в отличии от методов типа коллокаций, когда рассматрива- ются интерполирующие функции заданные через промежуточные точки, в предложенном методе оптимизация ведется по коэффициентам полинома, который удовлетворяет граничному включению — это позволило нам ука- зать достаточные конечномерные условия допустимости траектории. Как уже было сказано, параметризация с помощью полинома Эрмита обеспе- чивает точное выполнение граничных условий на траектории конструктив- ным образом. Представленный метод подходит для случаев с невыпуклы- ми ограничениями и позволяет выделить выпуклую часть отдельно. Если множество дифференциального включения не представимо в виде пере- сечения множества с алгебраической границей множества выпуклого, то можно аппроксимировать это множество так, чтобы оно допускало такое представление, от этой аппроксимации, однако, будет зависеть сохранится ли достаточность ограничений задачи конечномерного программирования для допустимости траектории в терминах исходной задачи. Этот вопрос резонно решать для каждой задачи отдельно, так как его общее рассмот- рение может быть достаточно громоздко. Изложенный метод проиллюстри- рован на примере задачи посадки летательного аппарата на движущуюся по заданному закону платформу. Эта задача является достаточно слож- ной чтобы её решение с применением принципа максимума Понтрягина было крайне затруднено, но, с другой стороны, данная задача хорошо ил- люстрирует подход, когда не требуется находить экстремальное решение, а нужно лишь получить возможность уменьшать время посадки до при- емлемого значения посредством добавления дополнительных коэффици- ентов и осуществления шагов методами наподобие SQP. Показано, что в
30
рамках данной задачи и при заданных параметрах не имеет смысла стро- ить полиномиальную траекторию выше 15 степени, так как это не влечет практически никаких преимуществ по результрующему времени посадки, и, напротив, может затруднить сходимость.

[1] Benson, D.A., Huntington, G.T. , Thorvaldsen, T.P. , Rao, A.V.: Direct Trajectory Optimization and Costate Estimation via an Orthogonal Collocation Method. J. Guid. Control Dyn. 6, 1435–1440 (2006)
[2] Mehne, H. H., Borzabadi, A. H.: A Numerical Method for Solving Optimal Control Problems Using State Parametrization. Numer. Algorithm. 2, 165–169 (2006)
[3] Kafash, B., Delavarkhalafi, A., Karbassi, S. M.: Application of Chebyshev Polynomials to Derive Efficient Algorithms for the Solution of Optimal Control Problems. Sci. Iran. 3, 795–805 (2012)
[4] Seywald, H.: Trajectory Optimization Based on Differential Inclusion. J. Guid. Control Dyn. 3, 480–487 (1994)
[5] Conway, B. A., Larson, K. M.: Collocation Versus Differential Inclusion in Direct Optimization. J. Guid. Control Dyn. 5, 780–785 (1998)
[6] Hermite, M.Ch., Borchardt, M.: Sur la formule d’interpolation de Lagrange. J. Reine Angew. Math. 84, 70–79 (1878)
[7] Uteshev, A.Yu., Tamasyan, G.Sh.: On the Problem of Polynomial Interpolation with Multiple Nodes (In Russian). Vestnik of Saint Petersburg University. Ser. 10. 3, 76–85 (2010)
[8] Lane, J.M., Riesenfeld, R.F.: Bounds on a Polynomial. BIT Numer. Math. 1, 112–117 (1981)
[9] Rivlin, T. J.: Bounds on a Polynomial. J. Res. Natl. Bur. Stand. Sec. B: Math. 1, 47–54 (1970)
31
[10] Nocedal, J., Wright, S.J.: Numerical Optimization, Second Edition. Springer Series in Operations Research, Springer Verlag, New York (2006)
[11] Waltz,R.A.,Morales,J.L.,Nocedal,J.,Orban,D.:AnInteriorAlgorithm for Nonlinear Optimization that Combines Line Search and Trust Region Steps. Math. Program. 107, 391–408 (2006)
[12] Lorentz, G. G.: Bernstein Polynomials. University of Toronto Press, Toronto (1953)
[13] Kanatnikov, A. N., Shmagina, E. A.: The Problem of Terminal Control of Aircraft Movement (In Russian). In: Emelyanov, S. V., Korovina, S. K. (eds.) Nonlinear Dynamics and Control, vol. 7, pp. 79-94. Fizmatlit, Moscow (2010)