Математическое моделирование межпозвонкового диска
Межпозвонковый диск представляет из себя сложную механическую систему. Важно понимать, какие нагрузки на определенные структуры могут привести к износу или повреждению дисков. В работе предлагается математическая модель медпозвонкового диска, которая позволяет исследовать динамику жидкостного давления внутри диска при сгибании-разгибании и спрогнозировать время его релаксации. Ключевой особенностью модели является то, что она отражает внутреннюю структуру реального диска и биологические процессы, вызываемые его деформацией. Для численного эксперимента использованы усредненные геометрические размеры межпозвонковых дисков, вычисленные в другой работе, подобраны коэффициенты жесткости фиброзных колец и жидкостной диффузии. Результаты, полученные в ходе эксперимента коррелируют с результатами прочих исследований.
Введение ..…………………………………………………………………………. 3
Постановка задачи ..………………………………………………………………. 5
Обзор литературы ………………………………………………………………… 8
Глава 1. Описание математичеcкой модель ..…………………………………… 18
1.1. Геометрическая формализация …………….………………………. 19
1.2. Метод Рэлея .………………………………………………………… 20
Глава 2. Описание алгоритма ..………………………………………………… 23
2.1. Предварительные расчеты .…………………………………………. 23
2.2. Поворот пластин и описание процесса .…………………………… 24
Результаты численного эксперимента ………………………………………… 27
Заключение и вывод. …………………………………………………………… 28
Список литературы ..……………………………………………………………. 29
Приложение ..……………………………………………………………………. 33
Межпозвонковые диски представляют из себя фиброзно-хрящевые
образования, которыми связаны между собой позвонки. Они состоят из двух
основных частей – пульпозного ядра в центре и фиброзных колец вокруг него
[1]. Диски заключены между двумя хрящевыми пластинами, – симфизами, –
посредством которых они крепятся к позвонкам. Всего человеческий
позвоночник содержит 23 диска: 6 в шейном отделе, 12 в грудном и 5 в
поясничном отделе. Межпозвонковые диски, в основном, выполняют
механические функции. Они обеспечивают гибкость позвоночника и
равномерно распределяют нагрузку на него.
Межпозвонковые диски обладают особыми анатомическими и
функциональными характеристиками. Располагаясь между соседними
позвонками, они находятся в прямом контакте со спинным мозгом и пучками
ветвящихся нервов и часто ассоциируются с болью в спине. Любые изменения,
влияющие на межпозвонковые диски, с большой вероятностью будут оказывать
влияние и на близлежащие нервные окончания, что, в свою очередь, отзывается
характерными симптомами: очаговой болью, онемением нижних конечностей.
В возрасте после 30-ти обычно начинается процесс физиологической
дегенерации межпозвонковых дисков, что приводит к изменению
функциональных, биохимических и структурных свойств [1]. Однако бывает и
так, что дегенерация протекает бессимптомно [2]. Боли в пояснице обычно
наблюдаются при прогрессирующей дегенерации. Частые нагрузки на
позвоночник приводят к износу хрящевых пластин, в которые заключен диск.
Это также оказывает немалое влияние на дегенеративные изменения самих
дисков [3–4].
У около 25% людей в возрасте до 40 лет наблюдаются признаки
дегенеративных изменений межпозвонковых дисков. После 40 они
наблюдаются у 60% людей [5]. Такие изменения являются частью процесса
старения и не сопровождаются болью. Например, дегидратация пульпозного
ядра, то есть уменьшение его способности впитывать воду из-за снижения
количества протеогликанов в нем. Отчасти из-за этого, с возрастом, человек
несколько теряет в росте. Фиброзные кольца также ослабевают, и, вместе с
этим, возрастает риск их разрыва с образованием межпозвонковых грыж.
Однако, старение не единственная причина проблем с позвоночником.
Большие механические нагрузки, напряжения и травмы так же могут привести
к истощению и дегенерации межпозвонковых дисков [6]. Из-за
несбалансированной физической нагрузки пульпозное ядро может сместиться
настолько, что прорвет фиброзное кольцо и окажется снаружи – так образуется
межпозвонковая грыжа. Она давит на ближайшие нервные окончания и
мышечные ткани, что сопровождается болью в спине, онемением нижних
конечностей, снижением мышечного тонуса и другими характерными
симптомами.
Все методы лечения межпозвонковых грыж можно разделить на два вида:
хирургические и консервативные. К консервативным методам лечения
относятся массажи, лечение медикаментами и др. Они требуют времени и
внимания к проблеме, и не избавляют от грыжи как таковой, однако снимают
воспаление и симптомы. Хирургический метод подразумевает удаление грыжи
операционным путем, после этого облегчение наступает сравнительно быстро.
Хирургическое вмешательство рекомендуется в крайне редких случаях,
поскольку велика вероятность рецидива и травм позвоночника во время
процедуры, что может привести к инвалидности.
Ввиду отсутствия в межпозвонковых дисках нервных окончаний и
кровеносных сосудов, их естественная регенерация – восстановление
биомеханических свойств и биологической структуры – невозможна. Поэтому
иногда прибегают к эндопротезированию – замене диска на искусственный
имплантат. На сегодняшний день это лучшая альтернатива спондилодезу –
операции по сращиванию соседних позвонков. До появления качественных
протезов такая операция была последним из возможных методов лечения после
удаления грыжи. Такой способ в целом негативно сказывается на биомеханике
всего позвоночника и, с высокой долей вероятности, ведет к дегенерации
межпозвонковых дисков в соседних сегментах и ограничению подвижности
человека [7].
Обычно имплантацию проводят в шейном или поясничном отделах
позвоночника, для грудного же такие проблемы – требующие подобного метода
лечения – нетипичны. Для протезирования в шейном и поясничном отделах
применяются различные системы. Они схожи в строении и представляют из
себя пару металлических пластин, между которыми заключено эластичное
полимерное ядро, окруженное кольцом. Это, как ни странно, соответствует
реальному строению межпозвонкового диска. Для шейного отдела используют
цервикальные имплантаты. Они более эластичны и подвижны, легче сгибаются
и разгибаются и наиболее подходят для подвижного шейного отела. Для
поясничного используют люмбальные. Они больше по размеру, с более жестким
ядром. Это позволяет выдерживать наибольшие механические нагрузки,
которые приходятся на поясничный отдел.
Чтобы у пациента не возникло отторжения имплантата и проблем со
здоровьем впоследствии, он – имплантат – должен максимально
соответствовать конфигурации реального диска. Поэтому требуется заранее
выяснить необходимые параметры, чтобы сконструировать подходящий протез.
Также важно понимать, как он будет вести себя при деформациях позвоночника,
в который будет установлен. Поэтому существует необходимость в исследовани
и понимании строения межпозвонковых дисков, внутренних процессах в
нормальном состоянии и том, какое влияние оказывают на биохимические
процессы и строение различные нагрузки на позвоночник.
Постановка задачи
Перейдем к детальному рассмотрению строения межпозвонкового диска.
Как уже было сказано выше, он состоит из двух основных частей – пульпозного
ядра и фиброзных колец. Пульпозное ядро представляет из себя густое
гелеобразное вещество, 88% которого составляет вода. Фиброзные кольца
послойно окружают пульпозное ядро. Они состоят из волокон –
концентрических нитей, – которые косо пересекаются друг с другом в
пространстве. Во внешнем кольце волокна имеют вертикальное направление и
становятся все более горизонтальными по мере приближения к ядру. Такая
структура задерживает внутри гликозаминогликаны, связывающие воду,
позволяет позвоночнику двигаться с большей амплитудой и выдерживать
высокое давление (порядка 2.5 мПа в поясничном отделе [8]).
Диски заключены между двумя тонкими хрящевыми пластинками –
симфизами. Они обеспечивают крепление и питание дисков за счет
кровеносных сосудов в соседних позвонках (рис. 1).
Построенная модель межпозвонкового диска является уникальной.
Ключево ее особенностью является то, что она отражает внутреннюю
структуру реального диска и биологические процессы, вызываемые его
деформацие . Также она позволяет вычислить время стабилизации внутреннего
давления при динамическом изменении угла наклона пластин.
Результаты, полученные во время численного эксперимента, коррелируют
с результатами, полученными в [9] и в перспективе могут быть использованы в
области разработки биомеханических протезов межпозвонковых дисков, а
предложенная модель может послужить основой для более масштабных
исследований в области эндопротезирования или оценки влияния различных
нагрузок на позвоночник спортсменов.
й
й
1. J.P.G. Urban, S. Roberts. Degeneration of the intervertebral disc // Arthritis
Research & Therapy. – 2003. – Vol. 5. – P. 123–130.
2. S.D. Boden, D.O. Davis, T.S. Dina, N.J. Patronas, S.W. Wiesel. Abnormal
magnetic-resonance scans of the lumbar spine in asymptomatic subjects. A
prospective investigation // The Journal of Bone & Joint Surgery. – 1990. – № 72.
– P. 403–408.
3. J. Sandover. The fatigue approach to vibration and health: is it a practical and
viable way of predicting the effects on people? // Journal of Sound and
Vibration . – 1998. – № 215. – P. 699–721.
4. C.W.S. Chan, B. Gantenbein-Ritter, S.J. Ferguson. The effects of dynamic
loading on the intervertebral disc // European Spine Journal. – 2012. – № 20. – P.
1796–1812.
5. Intervertebral disc disorders // https://ghr.nlm.nih.gov/condition/intervertebral-
disc-disease#
6. Capoor Manu N., Ruzicka Filip, Schmitz Jonathan E. et al. Propionibacterium
acnes biofilm is present in intervertebral discs of patients undergoing
microdiscectomy // PLoS One. – 2017. – Vol. 12, № 4.
7. Замена межпозвоночного диска – малоинвазивный хирургический метод для
восстановления безболезненной подвижности пациента // https://ortoped-
klinik.com/spine-surgery/spinal-disc-prosthesis.html
8. Cloward R.B., Buzaid L.L. Discography, indications and evalution of the normal
and abnormal intervertebral disk // Amer. J. Roentgenal. – 1952. – Vol. 68, № 4. –
P. 552–564.
9. Жарнов А.М., Жарнова О.А. Биомеханические процессы в позвонково-
двигательном сегменте ше ного отдела позвоночника при его движении //
Российский журнал биомеханики. – 2014. – T. 18, № 1. – С. 105–118.
й
10. Daly, C., Ghosh, P., Jenkin, G. et al. A Review of Animal Models of
Intervertebral Disc Degeneration: Pathophysiology, Regeneration, and
Translation to the Clinic // BioMed Research International. – 2016. – 14 p.
11. R. Abedi, S. Shayegan, G. Ataee and N. Fatouraee. Viscoelastic modeling of
ovine cervical intervertebral disc through stress-relaxation, constant strain rate
and dynamic loading tests // 26th National and 4th International Iranian
Conference on Biomedical Engineering (ICBME). – 2019. – P. 188–193.
12. Xin Gao, Qiaoqiao Zhu, Weiyong Gu. Prediction of glycosaminoglycan synthesis
in intervertebral disc under mechanical loading // Journal of Biomechanics. –
2016. – Vol. 49, № 13. – P. 2655–2661.
13. Yun, Z, Wang, Y, Feng, W, Zang, J, Zhang, D & Gao, Y. Overexpression of
microRNA-185 alleviates intervertebral disc degeneration through inactivation of
the Wnt/β-catenin signaling pathway and downregulation of Galectin-3 //
Molecular Pain. – 2020. – Vol. 16. – P. 1–13.
14. M. Nikkhoo, M. Haghpanahi, M. Parnianpour and J. L. Wang. An axisymmetric
poroelastic model for description of the short-term and long-term creep behavior
of L4-L5 intervertebral disc // 1st Middle East Conference on Biomedical
Engineering. – 2011. – P. 308–311.
15. Хорошев, Д.В., Ильялов, О.Р., Устюжанцев, Н.Е., Няшин, Ю.И.
Биомеханическое Моделирование Межпозвоночного Диска Поясничного
Отдела Человека – Современное Состояние Проблемы // Российский журнал
биомеханики. – 2019. – Т. 23, № 3. – С. 411–422.
16. Marini, G., Ferguson, S.J. Modelling the Influence of Heterogeneous Annulus
Material Property Distribution on Intervertebral Disk Mechanics // Ann Biomed.
– 2014. – Vol. 42. – P. 1760–1772.
17. Kwon, Kiwoon, Cegoñino, J., Moramarco, V. et al. A Constitutive Model for the
Annulus of Human Intervertebral Disc: Implications for Developing a
Degeneration Model and Its Influence on Lumbar Spine Functioning // Journal of
Applied Mathematics. – 2014. – 15 p.
18. Tamoud, A., Zaïri, F., Mesbah, A. et al. A microstructure-based model for time-
dependent mechanics of multi-layered soft tissues and its application to
intervertebral disc annulus // Meccanica. – 2021. – Vol. 56. – P. 585–606.
19. Karim Kandil, Fahmi Zaïri, Tanguy Messager, Fahed Zaïri. A microstructure-
based modeling approach to assess aging-sensitive mechanics of human
intervertebral disc // Computer Methods and Programs in Biomedicine. – 2021. –
Vol. 200.
20. Minarova, M., Sumec, J. Stress-Strain Response of the Human Spine
Intervertebral Disc As an Anisotropic Body. Mathematical Modeling and
Computation // Open Physics. – 2016. – Vol. 14, № 1. – P. 426–435.
21. Guo, L-X & Fan, W. Impact of material properties of intervertebral disc on
dynamic response of the human lumbar spine to vertical vibration: a finite
element sensitivity study // Medical & Biological Engineering & Computing. –
2019. – Vol. 57, № 1. – P. 221–229.
22. Dogru, S. C. Nonlinear Finite Element Analysis of Intervertebral Disc: A
Comparative Study // Sakarya University Journal of Science. – 2018. – Vol. 22,
№ 5. – P. 1–7.
23. Dayanand, S, Kumar, BRD, Rao, A, Chandrashekara et al. Finite element
modelling and dynamic characteristic analysis of the human CTL-Spine //
Vibroengineering Procedia. – 2020. – Vol. 30. – P. 116–120.
24. Komeili, A, Rasoulian, A, Moghaddam, F et al. The importance of intervertebral
disc material model on the prediction of mechanical function of the cervical spine
// BMC Musculoskeletal Disorders. – 2021. – Vol. 22, № 1. – P. 1–12.
25. J.C. Misra, S. Samanta. A mathematical model for the biomechanics of the body
of a vertebra // Computers & Mathematics with Applications. – 1988. – Vol. 15,
№ 2. – P. 85–96.
26. Marini, G., Studer, H., Huber, G. et al. Geometrical aspects of patient-specific
modelling of the intervertebral disc: collagen fibre orientation and residual stress
distribution // Biomech Model Mechanobiol. – 2016. – Vol. 15. – P. 543–560.
27. D.S. McNally, R.G.C. Arridge. An analytical model of intervertebral disc
mechanics // Journal of Biomechanics. – 1995. – Vol. 28, № 1. – P. 53–68.
28. Matthias Ngwa, Ephraim Agyingi. A mathematical model of the compression of a
spinal disc // Mathematical Biosciences and Engineering. – 2011. – Vol. 8, № 4. –
P. 1061–1083.
29. Pawlikowski, M, Skalski, K., Sowinski, T. Hyper-elastic modelling of
intervertebral disc polyurethane implant // Acta of Bioengineering &
Biomechanics. – 2013. – Vol. 15, № 2. – P. 43–50.
30. Yu A. Rikun, T. V. Kolmakova, S. P. Buyakova, S. N. Kulkov. Computer
Modeling of Intervertebral Disk Endoprosthesis // Journal of Physics: Conference
Series. – 2018. – Vol. 1045. – P. 12038.
31. Бидерман, В.Л. Теория механических колебани : учеб. для вузов / В.Л.
Бидерман. – М.: Высш. шк., 1980. – 408 с.
32. Бабаков, И.М. Теория колебани : учеб. пособие / И.М. Бабаков. – е изд.,
испр. – М.: Дрофа, 2004. – 591 с.
33. Яблонски , А.А. Курс теории колебани : учеб. пособие / А.А. Яблонски ,
С.С. Норе ко. – СПб.: Лань, 2003. – 256 с.
34. Обморшев, А.Н. Введение в теорию колебани : учеб. п собие для втузов. –
М.: Наука, 1965. – 276 с.
35. Тонг, К.Н. Теория механических колебани : пер. с англ. О.В. Лужина / К.Н.
Тонг; под ред. А.П. Синицына. – М.: Машгиз, 1963. – 351 с.
36. Seyed M. Hadi Mirab, Barbarestani M., Seyyed M. Tabatabaei et al. Measuring
Dimensions of Lumbar Intervertebral Discs in Normal Subjects // Anatomical
Sciences Journal. – 2018. – Vol. 15, № 1. P. 3–8.
й
й
й
й
й
й
й
о
4
й
Последние выполненные заказы
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.8 (30 отзывов)
0 (13 отзывов)
4.9 (298 отзывов)
4 (15 отзывов)
5 (1241 отзыв)
5 (44 отзыва)
4.6 (522 отзыва)
4.4 (93 отзыва)
5 (188 отзывов)
