Моделирование информационных процессов в социальных сетях

Математическое моделирование уже давно применяется для изуче-
ния распространения инфекционных заболеваний. С его помощью были
созданы эпидемические модели — упрощенный способ описания передачи
инфекционных заболеваний через отдельных лиц. Эпидемическое модели-
рование помогает исследовать процессы распространения вирусных заболе-
ваний, выявлять их тенденции к дальнейшему развитию, искать решения
предотвращения эпидемий в будущем.
Самыми первыми эпидемическими моделями являются детерминиро-
ванные. При их использовании предполагается, что популяция разделена
на группы, которые соответствуют стадиям развития болезни и размер по-
пуляции фиксирован.
Первая детерминированная модель была представлена в 1927 году в
статье «Contribution to the mathematical theory of epidemics» [1]. В ней
W. O. Kermack и A. G. McKendrick описали модель SIR (susceptible —
infected — recovered). Она легла в основу математического моделирования
эпидемических процессов, так как позволяет описывать распространение
простых инфекционных заболеваний, которые включают в себя три основ-
ные группы, соответствующие стадиям болезни: S — восприимчивые, I —
инфицированные, R — иммунные. Но также SIR легко адаптируется под
более сложные виды эпидемий.
В современных исследованиях большое внимание уделяется модели
SIS (susceptible — infected — susceptible) [2] — модификации SIR модели —
так как она может рассматриваться как простейшая модель эпидемии, в
которой популяция разделена на две группы: инфицированные и воспри-
имчивые.
В последнее время детерминированные модели применяются все ре-
же, так как имеют некоторые недостатки. Один из самых главных заклю-
чается в том, что детерминированные модели не учитывают влияние от-
дельных индивидов на эпидемический процесс. Данный факт не позволя-
ет получить полноценное представление об эпидемическом процессе. Это
приводит к тому, что используемая модель далека от реальности. Поэто-
му сейчас изучаются новые методы и модели, учитывающие взаимосвя-
зи индивидов в популяции. Это необходимо для того, чтобы оценивать и,
возможно, контролировать влияние каждого индивида в распространении
инфекционного заболевания.
Модификация детерминированных моделей заключается в том, что
распространение инфекционного заболевания рассматривается на графе с
применением теории марковских процессов. Узлы графа обозначают аген-
тов, а ребра графа — контакты. В этом случае говорят о точных или сто-
хастических моделях. Такой метод исследования эпидемического процесса
применяет Piet Van Mieghem в своей статье [3]. В ней автор получает диф-
ференциальные уравнения для точных моделей SIR и SIS.
Модель SIR была тщательно изучена в работе «An individual-based
approach to SIR epidemics in contact networks» [4]. В этой статье, на осно-
ве детерминированной модели SIR, авторы проводят сравнительный ана-
лиз нескольких видов моделей распространения инфекции на случайной
сети. Также исследуют взаимосвязь топологии сети и спектра матрицы
смежности с параметрами эпидемии. Еще одним примером исследования
влияния топологии является статья «Networks and epidemic models» [5].
Однако, в ней авторы делают упор на определение взаимосвязи между ди-
намикой эпидемического процесса и различными типами сетей: случайной
сетью, решеткой, моделью малого мира. Понимание структуры сети явля-
ется важным аспектом моделирования, так как учет реальных размеров
сети обычно невозможен в силу ограниченности ресурсов.
Как правило, в задачах моделирования процессов сеть задается од-
ним графом. Однако, при изучении эпидемий это не всегда может быть
корректно, так как между индивидами в обществе возникают контакты
разных видов. Поэтому следующей ступенью в изучении распространения
инфекционных заболеваний встал вопрос об изменении одноуровневой се-
тевой модели. В связи с этим в задачах, требующих рассмотрения несколь-
ких типов взаимодействий между агентами, необходимо использовать мно-
гоуровневые сети.
Авторы в работе «Generalized Epidemic Mean-Field Model for Spreading
Processes Over Multilayer Complex Networks» [6] предлагают обобщенную
модель GEMF (Generalized Epidemic Mean-Field), применимую к эпидеми-
ческим моделям, которые могут включать в себя любое число состояний
и уровней сети. Таким образом, исследование процессов распространения
становится более эффективным, при использовании такой модели.
К сожалению, анализ точных моделей довольно сложный, поэтому на
практике используются аппроксимации точных моделей. Piet Van Mieghem
в статье «The N-Nntertwined SIS epidemic network model» [7] предложил
модель NIMFA (N-Intertwined mean-field approximation) — аппроксимацию
точной модели SIS. В работе «Virus spread in Networks» [8] в общем ви-
де моделируется процесс распространения вируса на сети с применением
теории Маркова для эпидемии, которая имеет два возможных состояния
(группы). Найдена система обыкновенных дифференциальных уравнений
для модели NIMFA, а также проведен сравнительный анализ этой модели
и аналогичной ей точной модели.
На сегодняшний день имеется много научных исследований, посвя-
щенных изучению точных эпидемических моделей и их аппроксимаций.
Причин такого интереса к данной теме может быть несколько.
Во-первых, конечно, с развитием науки люди смогли искоренить опре-
деленные виды инфекционных заболеваний, некоторые научились контро-
лировать и не допускать их распространения среди населения. Однако,
все еще существуют инфекционные заболевания, способные привести к ле-
тальному исходу, а также появляются новые, не изученные виды вирусов,
которые могут спровоцировать вспышку эпидемии. К тому же у вирусов,
вызывающих инфекционные заболевания, возникают мутации. Эта пробле-
ма была исследована в статье «Optimal Control of Influenza Epidemic Model
with Virus Mutations» [9]. В ней рассматривается вариант эпидемии вируса
гриппа среди населения, когда за один эпидемический сезон вирус грип-
па мутирует, что приводит к циркуляции уже двух типов вируса в одной
популяции. Классическая модель SIR, которая обычно применяется для
изучения этого заболевания, не приспособлена для такого вида постановки
задачи. Поэтому необходимо модернизировать ее, чтобы она учитывала ди-
намику не только эпидемического процесса среди населения, но и мутации
вируса.
Во-вторых, существуют различные аппроксимационные методы, ко-
торые, в большинстве случаев, могут быть применимы ко множеству эпи-
демических моделей. Однако, на сегодняшний момент не существует наи-
лучшего метода аппроксимации, поэтому до сих пор возникают новые.
В работах [10] – [11] рассматриваются аппроксимации с использо-
ванием как методов теории среднего поля для модели SIS: N-intertwined
mean-field approximation (NIMFA), Heterogeneous mean-field method (HMF),
Second-order NIMFA, так и методов Link percolation approach (LP), Message
passing approach (MP). Каждый из методов имеет свои положительные и
отрицательные стороны, поэтому необходимо выбирать тот, который при-
меним к конкретной задаче.
В-третьих, на основе классических моделей создаются новые за счет
исключения или добавления состояний, описывающих эпидемию. Поэтому,
для любого процесса, поведение которого подобно эпидемическому, можно
создать модель и изучить динамику этого процесса. Например, авторы F.
D. Sahneh и C. Scoglio статьи «Epidemic Spread in Human Networks» [12]
добавили новую группу A (alert – бдительный) к модели SIS и получили
модель SAIS. Она предполагает, что восприимчивый индивидуум может
перейти в бдительное состояние A с вероятностью γA , если он окружен ин-
фицированными соседями, а из этого состояния в инфицированное (I) с
вероятностью γI < β , где β - вероятность перехода индивида из воспри- имчивого в инфицированное состояние. Как уже говорилось, методы моделирования эпидемий могут также применяться вне эпидемиологии, расширяя тем самым область их примене- ния и круг задач. Например, для изучения распространения информации в обществе, в задачах сетевой безопасности или в исследованиях вирусного маркетинга. A. L.Hill, D. G. Rand, M. A. Nowak, N. A. Christakis провели интерес- ное исследование, посвященное изучению распространения положительных и отрицательных эмоций у людей посредством социальных сетей. В статье «Emotions as infectious diseases in a large social network: the SISa model» [13] приводятся результаты этого исследования. Они предложили свою модель SISa, которая была получена на основе классической SIS модели, с помо- щью дополнительной стадии a, которая задает процесс спонтанной смены настроения у человека, который не зависит от контактов рассматриваемого индивида. Например, в работе «Complete game-theoretic characterization of SIS epidemics protection strategies» [14] группа ученых используют аппрокси- мационную модель NIMFA для анализа процесса распространения вируса в полной сети. В этой статье формулируется задача о поиске оптимальной стратегии защиты игрока от вредоносного программного обеспечения. Для постановки задачи применяется не только теория эпидемического модели- рования, но и теория игр заполнения [15]. Рассмотрим еще один пример использования эпидемических моделей вне эпидемиологии. Для качественного налогового контроля необходимо осуществлять налоговые проверки, направленные на выявление недобро- совестных налогоплательщиков, которые деклалируют свои доходы не в полном объеме или не декларируют их вовсе. Проблема заключается в том, что проведение таких аудитов требует больших финансовых вложений. По- этому для снижения расходов на проверки, а также для побуждения людей платить налоги, указывая весь доход, в работах [16] - [18] рассматривается возможность влияния на поведение налогоплательщиков с помощью рас- пространения информации о предстоящем аудите. Постановка задачи и целей Динамические процессы, происходящие в окружающей среде, могут описываться с помощью математических моделей. Они задаются системой дифференциальных уравнений и моделируют эпидемические, социальные изменения в жизни общества, а также экономические процессы. В данной работе будем рассматривать принципы математического моделирования в задаче о системе налогообложения. Таким образом, в рамках этой работы была определена цель: разра- ботать модель, описывающую динамику распространения и влияния ин- формации о налоговой проверке в популяции, в которой взаимодействие агентов описывается на многоуровневой сети. Налоги и сборы составляют основу налоговой системы, а ее ключе- вой функцией является контроль уплаты налогов налогоплательщиками. Необходимость контроля состоит в том, что существуют налогоплательщи- ки, которые предпочитают уклоняться от налогов. Однако, любой вид на- логового аудита требует определённых затрат. Следовательно, при увели- чении числа проверяемых налоговым органом, снижается эффективность проверки. Необходимо ввести меры влияния на общество, позволяющие одно- временно увеличивать налоговые выплаты и снижать затраты на налого- вый контроль. Один из способов решения данной проблемы заключается в воздействии на общество с помощью распространения информации о пред- стоящей проверке. Будем полагать, что в начальный момент времени рассмотрения про- цесса распространения часть налогоплательщиков обладает информацией о предстоящей налоговой проверке. Далее эта информация циркулирует среди агентов в рассматриваемом обществе. Так как время проведения на- логовой проверки ограничено, то информация о ней может устаревать. По- этому информированный агент, через определенный промежуток времени, может перестать обладать информацией. Описанный процесс аналогичен распространению инфекции в обще- стве, который соответствует эпидемической модели SIS. Однако, в нашем случае, распространение информации о налоговой проверке имеет некото- рые особенности, что приводит к усложнению этой модели. Основной целью применения в сфере налогового контроля распро- странения информации в обществе является побуждение налогоплатель- щиков платить налоги и платить в полном объеме. В связи с этим, при создании модели, необходимо учесть влияние, которое оказывает инфор- мация на поведение человека, после того как он ее получил. Поэтому глав- ное отличие от эпидемиологии состоит в том, что нужно не только изучить процесс распространения информации, но и проанализировать его влияние на общество. Однако, каждый налогоплательщик принимает решение об уплате налога исходя из своих личных убеждений и в действительности все при- чины, оказывающие влияние на этот выбор неизвестны. Для того, чтобы приблизить наше исследование к реальности, мы будем моделировать рас- пространение информации основываясь, на многоуровневой модели GEMF (Generalized Epidemic Mean-Field). В соответствии с целью выпускной квалификационной работы основ- ными задачами стали: