Применение адаптивного метода для класса нелинейных задач оптимального управления

В данной работе рассматриваются различные подходы к решению нелинейных задач оптимального управления. Из всех подходов мы выбрали два наиболее характерных.
Первый использует достаточные условия оптимальности в виде уравнения Беллмана и метод динамического программирования. Второй основан на сведении задачи оптимального управления к интервальной задаче линейного программирования и нахождении решения, используя адаптивный метод Габасова. В работе подробно представлены алгоритмы обоих методов, а также сравнение возможностей этих методов в рамках конкретной задачи оптимального управления. В качестве приложения рассматривается задача построения оптимального управления в нелинейной модели макроэкономического роста с нелинейными ограничениями.

Введение. Обзор литературы 4
Постановка задачи 5
Нелинейнаязадачаоптимальногоуправления . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 1. Методы решения нелинейных задач оптимального управ- ления 6
§1.1. Адаптивныйметод……………………… 6
Линейная задача оптимального управления . . . . . . . . . . . . . 7
Сведение к интервальной задаче линейного программирования . . 8 Особенностиадаптивногометода………………. 10
§1.2. Методдинамическогопрограммирования . . . . . . . . . . . . . . 10
Принципоптимальности…………………… 11
Динамическоепрограммирование ……………… 11
Глава 2. Модель макроэкономического роста 12
§2.1.Математическаяпостановказадачи …………….. 12
§2.2.Применениеадаптивногометода ………………. 15
СведениекИЗЛП ……………………… 16
Первый способ преобразования ограничений . . . . . . . . . . . . 18
Второй способ преобразования ограничений . . . . . . . . . . . . . 19
§2.3.Численнаяреализация……………………. 19
§2.4. Сравнение адаптивного метода и метода динамического програм- мирования………………………….. 22 Применение метода динамического программирования . . . . . . 22
2
Результатыивыводы ……………………. 23
§2.5. Сравнение симплекс-метода и адаптивного метода . . . . . . . . . 26
Заключение Список литературы Приложение
27 29 32

В ходе работы над данным проектом:

1. Изучено два подхода к решению нелинейных задач оптимального управле-
ния: адаптивный метод, использующий линеаризацию и метод динамическо-
го программирования, основанный на принципе оптимальности Беллмана.
2. Применение адаптивного метода рассмотрено на примере задачи макроэко-
номического роста. Построено оптимальное управление для рассмотренной
задачи, результаты приведены на графиках.
3. Проведен сравнительный анализ метода динамического программирования
и адаптивного метода, а также симплекс- метода для построения оптималь-
ного плана в ИЗЛП.
4. Разработан пакет программ в среде MATLAB для реализации всех этапов
рассмотренного в §1.1. подхода, фрагменты которого приведены в приложе-
нии.
5. Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

• XLIX международная научная конференция аспирантов и студентов «Про-
цессы управления и устойчивость» Control Processes and Stability (CPS’18);

• Международная научная конференция “Динамические системы: устой-
чивость, управление, оптимизация”(DSSCO’18) к 100-летию со дня рож-
дения Е.А. Барбашина, 24–29 сентября 2018 года, г. Минск (Беларусь);

• 3rd International Conference on Applications in Information Technology,
November 1-3, 2018, Aizu-wakamatsu.
• Международная конференция “Game theory and management 2019″GTM’19.
Санкт-Петербург 03 – 05 июля 2019. Статья принята к публикации.

• 13th International Symposium on Intelligent Distributed Computing. IDC’19.
Санкт-Петербург 7-9 октября 2019. Статья принята к публикации.

6. Результаты частично опубликованы в работах [21–23].

1. Калман Р. Е. Об общей теории систем управления. Труды I Междунар. кон- гресса ИФАК. М.: Изд-во АН СССР, 1961. Т. 2. С. 521–547.
2. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Ма- тематическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.
3. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Машиностроение, 1974. 336 с.
4. R. Bellman and R. Kalaba. Dynamic Programming and Modern Control Theory. New York. 1965. Academic Press.
5. M.D. Intriligator. Mathematical Optimization and Economic Theory. Englewood Cliffs, New Jersey. 1971. Prentice-Hall, Inc.
6. W.R. Esposito. Dynamic Programming: Continuous-time Optimal Control. Encyclopedia of Optimization. Springer Boston, MA. 2008. URL:https://doi. org/10.1007/978-0-387-74759-0_146.
7. N.V. Smirnov and T.E. Smirnova and K.M. Volik and V.P. Peresada. Modelling of investment programs based on the impulse program controls. 2015 International Conference on “Stability and Control Processes” in Memory of V. I. Zubov SCP 2015. 494–497. doi:10.1109/SCP.2015.7342182.
8. W. Xu and Z. Wang and L. Hong and L. He and X. Chen. The uncertainty recovery analysis for interdependent infrastructure systems using the dynamic inoperability input-output model. International Journal of Systems Science. Volume 46. Number 7. 2015. p. 1299–1306. doi: 10.1080/00207721.2013.822121.
9. M. Dombi. Modeling the material stock of manufactured capital with production function. Resources, Conservation and Recycling. Volume 138. 2018. Pages 207– 214. doi: 10.1016/j.resconrec.2018.07.015.
10. B. Gong. Agricultural reforms and production in China: Changes in provincial production function and productivity in 1978–2015. Journal of Development Economics. Volume 132. 2018. Pages 18–31. doi: 10.1016/j.jdeveco.2017.12.005.
11. Альсевич В. В., Габасов Р., Глушенков В. С. Оптимизация линейных эконо- мических моделей. Минск: Изд-во БГУ, 2000. 211 c.
12. Балашевич Н. В., Габасов Р., Кириллова Ф. М. Численные методы программ- ной и позиционной оптимизации линейных систем управления// Журн. вы- числ. математики и мат. физики. 2000. Вып. 40, No 6. С. 838–859.
13. Габасов Р. Методы оптимизации: пособие. Минск: Четыре четверти, 2011. 472 с.
14. J. von Neumann and O. Morgenstern. Theory of Games and Economic Behavior. Princeton 1953. Princeton University Press
15. R. Shephard. Theory of Cost and Production Functions. Princeton, NJ 1970. Princeton University Press.
16. Л.Л. Терехов. Производственные функции. Москва 1974. Издательский до “Статистика”.
17. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической тео- рии процессов управления. М.: ИЛ, 1962. 336 с.
18. Петросян Л. А., Захаров В. В. Математические модели в экологии. СПб.:Изд-во С.-Петербург. ун-та, 1997. 253 с.
19. Попков А. С., Баранов О. В. Об оптимальном управлении вращательным движением вала электродвигателя // Процессы управления и устойчивость. 2014. Т. 1. No 1. С. 31-–36.
20. Клюенков А. Л. Реализация адаптивного метода в одной задаче оптималь- ного управления // Процессы управления и устойчивость. 2015. Т. 2. No 1. С. 53–58.
21. Бойко А. В., Зубаков А. В. Применение адаптивного метода в неоклассиче- ской модели экономического роста // Процессы управления и устойчивость. 2016. Т. 3. No 1. С. 607–611.
22. Бойко А. В. Применение адаптивного метода к задаче оптимального рас- пределения капитальных вложений в отрасли // Процессы управления и устойчивость. 2017. Т. 4. No 1. С. 581–585.
23. Boiko. A.V., Smirnov. N.V. Approach to optimal control in the economic growth model with a non-linear production function. ACM International Conference Pro-ceeding Series. 1 November 2018, Pages 85-89. ICAIT’2018 Proceedings of the 3rd International Conference on Applications in Information Technology.doi:10.1145/3274856.3274874.