Применение символьных методов для вычисления радиуса устойчивости
В настоящей работе рассматриваются символьные методы вычисления комплексного и вещественного радиуса устойчивости. В результате работы алгоритма за конечное число элементарных алгебраических операций вычисляется полином, корнем которого является искомое значение радиуса устойчивости. Также для анализа устойчивости предложены аналитические алгоритмы вычисления спектральной абсциссы и спектрального радиуса без непосредственного нахождения спектра исходной матрицы. В приложении приведен код алгоритмов в системе Wolfram Mathematica.
Основные обозначения и соглашения 3
Введение 4
1 Устойчивость в пространстве параметров 6
1.1 Устойчивость постоянных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Устойчивость по Гурвицу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Устойчивость по Шуру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Вычисление спектральной абсциссы и спектрального радиуса . . . . . . . 12
2 Комплексный радиус устойчивости 15
2.1 Вычисление комплексного радиуса устойчивости по Гурвицу . . . . . . . 15
2.2 Вычисление комплексного радиуса устойчивости по Шуру . . . . . . . . . 19
3 Вещественный радиус устойчивости 24
3.1 Вычисление вещественного радиуса устойчивости по Гурвицу . . . . . . . 24
Приложение. Программная реализация в системе Wolfram Mathematica 30
Список литературы 33
Основные обозначения и соглашения
Mm,n (F ), Mn (F ) множество матриц над F порядка m × n, n × n
Λ(A), Λ(W ) спектр матрицы A, спектр матричного пучка W
C− множество {z ∈ C | Re z < 0}
C1 множество {z ∈ C | |z| < 1}
Sn− (F ), Sn1 (F ) множество устойчивых матриц по Гурвицу, по Шуру
Un− (F ), Un1 (F ) множество неустойчивых матриц по Гурвицу, по
Шуру
Матрица называется устойчивой по Гурвицу (или просто устойчивой), если ее
спектр лежит в C− . Аналогично матрица называется устойчивой по Шуру, если ее
спектр лежит внутри C1 .
AT , A∗ транспонирование матрицы A, эрмитово сопряжение
матрицы A
||A||2 2-норма матрицы A
σmin (A) минимальное сингулярное число A
η(A) спектральная абсцисса матрицы A
ρ(A) спектральный радиус матрицы A
t дизъюнктное объединение
P(X) множество всех подмножеств X
D(f ), Dx (f (x)) дискриминант полинома f (x)
R(f, g), Rx (f (x), g(x)) результант двух полиномов
f ∗ , f ∗ (x) полином, коэффициенты которого записаны в обрат-
ном порядке
f¯, f¯(x) сопряжение коэффициентов полинома
Если коэффициенты полинома зависят от параметров, то дополнительно указы-
вается относительно какой переменной происходят преобразования. Пусть, например,
f (λ, t) = a0 (t)λn + a1 (t)λn−1 + . . . + an (t),
тогда
f¯λ (λ, t) := a0 (t)λn + a1 (t)λn−1 + . . . + an (t),
fλ∗ (λ, t) := an (t)λn + an−1 (t)λn−1 + . . . + a0 (t).
Во многих инженерных и физических приложениях исследуется устойчивость
линейных систем. Для ее анализа в ряде работ [1, 2] был введен в рассмотрение ра-
диус устойчивости. Данное понятие нашло свое применение во многих приложени-
ях, таких как электродинамика, теория управления, робототехника, ядерная энергети-
ка [8, 13, 18], в частности, оно применялось для сравнения динамики нейромеханических
систем [11], при анализе уязвимости комплексных систем [12], для выбора оптималь-
ных параметров течения в системе управления температурой теплоносителя быстрого
свинцового реактора [13].
Рассмотрим необходимые сведения. Пусть C = Cg t Cb — разбиение комплекс-
ной плоскости на «хорошую» и «плохую» области, где Cg открыто, а Cb замкнуто.
В наиболее общем случае радиус устойчивости представляет собой следующую
функцию [1]:
rF : Mn (F ) × Mn,l (F ) × Mq,n (F ) × P(C) −→ R,
(A, B, C, Cb ) 7→ inf{||∆||2 | ∆ ∈ Ml,q (F ), Λ(A + B∆C) ∩ Cb 6= ∅}.
Последние выполненные заказы
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.4 (59 отзывов)
4.9 (826 отзывов)
4.6 (30 отзывов)
4.6 (92 отзыва)
4.2 (25 отзывов)
4.7 (82 отзыва)
4.6 (522 отзыва)
4.9 (343 отзыва)
4.8 (40 отзывов)
