Применение символьных методов для вычисления радиуса устойчивости

Смолькин Юрий Андреевич
Бесплатно
В избранное
Работа доступна по лицензии Creative Commons:«Attribution» 4.0

В настоящей работе рассматриваются символьные методы вычисления комплексного и вещественного радиуса устойчивости. В результате работы алгоритма за конечное число элементарных алгебраических операций вычисляется полином, корнем которого является искомое значение радиуса устойчивости. Также для анализа устойчивости предложены аналитические алгоритмы вычисления спектральной абсциссы и спектрального радиуса без непосредственного нахождения спектра исходной матрицы. В приложении приведен код алгоритмов в системе Wolfram Mathematica.

Основные обозначения и соглашения 3

Введение 4

1 Устойчивость в пространстве параметров 6
1.1 Устойчивость постоянных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Устойчивость по Гурвицу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Устойчивость по Шуру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Вычисление спектральной абсциссы и спектрального радиуса . . . . . . . 12

2 Комплексный радиус устойчивости 15
2.1 Вычисление комплексного радиуса устойчивости по Гурвицу . . . . . . . 15
2.2 Вычисление комплексного радиуса устойчивости по Шуру . . . . . . . . . 19

3 Вещественный радиус устойчивости 24
3.1 Вычисление вещественного радиуса устойчивости по Гурвицу . . . . . . . 24

Приложение. Программная реализация в системе Wolfram Mathematica 30

Список литературы 33
Основные обозначения и соглашения

Mm,n (F ), Mn (F ) множество матриц над F порядка m × n, n × n
Λ(A), Λ(W ) спектр матрицы A, спектр матричного пучка W
C− множество {z ∈ C | Re z < 0} C1 множество {z ∈ C | |z| < 1} Sn− (F ), Sn1 (F ) множество устойчивых матриц по Гурвицу, по Шуру Un− (F ), Un1 (F ) множество неустойчивых матриц по Гурвицу, по Шуру Матрица называется устойчивой по Гурвицу (или просто устойчивой), если ее спектр лежит в C− . Аналогично матрица называется устойчивой по Шуру, если ее спектр лежит внутри C1 . AT , A∗ транспонирование матрицы A, эрмитово сопряжение матрицы A ||A||2 2-норма матрицы A σmin (A) минимальное сингулярное число A η(A) спектральная абсцисса матрицы A ρ(A) спектральный радиус матрицы A t дизъюнктное объединение P(X) множество всех подмножеств X D(f ), Dx (f (x)) дискриминант полинома f (x) R(f, g), Rx (f (x), g(x)) результант двух полиномов f ∗ , f ∗ (x) полином, коэффициенты которого записаны в обрат- ном порядке f¯, f¯(x) сопряжение коэффициентов полинома Если коэффициенты полинома зависят от параметров, то дополнительно указы- вается относительно какой переменной происходят преобразования. Пусть, например, f (λ, t) = a0 (t)λn + a1 (t)λn−1 + . . . + an (t), тогда f¯λ (λ, t) := a0 (t)λn + a1 (t)λn−1 + . . . + an (t), fλ∗ (λ, t) := an (t)λn + an−1 (t)λn−1 + . . . + a0 (t).

Во многих инженерных и физических приложениях исследуется устойчивость
линейных систем. Для ее анализа в ряде работ [1, 2] был введен в рассмотрение ра-
диус устойчивости. Данное понятие нашло свое применение во многих приложени-
ях, таких как электродинамика, теория управления, робототехника, ядерная энергети-
ка [8, 13, 18], в частности, оно применялось для сравнения динамики нейромеханических
систем [11], при анализе уязвимости комплексных систем [12], для выбора оптималь-
ных параметров течения в системе управления температурой теплоносителя быстрого
свинцового реактора [13].
Рассмотрим необходимые сведения. Пусть C = Cg t Cb — разбиение комплекс-
ной плоскости на «хорошую» и «плохую» области, где Cg открыто, а Cb замкнуто.
В наиболее общем случае радиус устойчивости представляет собой следующую
функцию [1]:
rF : Mn (F ) × Mn,l (F ) × Mq,n (F ) × P(C) −→ R,
(A, B, C, Cb ) 7→ inf{||∆||2 | ∆ ∈ Ml,q (F ), Λ(A + B∆C) ∩ Cb 6= ∅}.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Сергей Н.
    4.8 (40 отзывов)
    Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных с... Читать все
    Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных статей в области экономики.
    #Кандидатские #Магистерские
    56 Выполненных работ
    Татьяна П.
    4.2 (6 отзывов)
    Помогаю студентам с решением задач по ТОЭ и физике на протяжении 9 лет. Пишу диссертацию на соискание степени кандидата технических наук, имею опыт годовой стажировки ... Читать все
    Помогаю студентам с решением задач по ТОЭ и физике на протяжении 9 лет. Пишу диссертацию на соискание степени кандидата технических наук, имею опыт годовой стажировки в одном из крупнейших университетов Германии.
    #Кандидатские #Магистерские
    9 Выполненных работ
    Рима С.
    5 (18 отзывов)
    Берусь за решение юридических задач, за написание серьезных научных статей, магистерских диссертаций и дипломных работ. Окончила Кемеровский государственный универси... Читать все
    Берусь за решение юридических задач, за написание серьезных научных статей, магистерских диссертаций и дипломных работ. Окончила Кемеровский государственный университет, являюсь бакалавром, магистром юриспруденции (с отличием)
    #Кандидатские #Магистерские
    38 Выполненных работ
    Мария А. кандидат наук
    4.7 (18 отзывов)
    Мне нравится изучать все новое, постоянно развиваюсь. Могу написать и диссертацию и кандидатскую. Есть опыт в различных сфера деятельности (туризм, экономика, бухучет... Читать все
    Мне нравится изучать все новое, постоянно развиваюсь. Могу написать и диссертацию и кандидатскую. Есть опыт в различных сфера деятельности (туризм, экономика, бухучет, реклама, журналистика, педагогика, право)
    #Кандидатские #Магистерские
    39 Выполненных работ
    Анастасия Л. аспирант
    5 (8 отзывов)
    Работаю в сфере метрологического обеспечения. Защищаю кандидатскую диссертацию. Основной профиль: Метрология, стандартизация и сертификация. Оптико-электронное прибост... Читать все
    Работаю в сфере метрологического обеспечения. Защищаю кандидатскую диссертацию. Основной профиль: Метрология, стандартизация и сертификация. Оптико-электронное прибостроение, управление качеством
    #Кандидатские #Магистерские
    10 Выполненных работ
    Александра С.
    5 (91 отзыв)
    Красный диплом референта-аналитика информационных ресурсов, 8 лет преподавания. Опыт написания работ вплоть до докторских диссертаций. Отдельно специализируюсь на повы... Читать все
    Красный диплом референта-аналитика информационных ресурсов, 8 лет преподавания. Опыт написания работ вплоть до докторских диссертаций. Отдельно специализируюсь на повышении уникальности текста и оформлении библиографических ссылок по ГОСТу.
    #Кандидатские #Магистерские
    132 Выполненных работы
    Шагали Е. УрГЭУ 2007, Экономика, преподаватель
    4.4 (59 отзывов)
    Серьезно отношусь к тренировке собственного интеллекта, поэтому постоянно учусь сама и с удовольствием пишу для других. За 15 лет работы выполнила более 600 дипломов и... Читать все
    Серьезно отношусь к тренировке собственного интеллекта, поэтому постоянно учусь сама и с удовольствием пишу для других. За 15 лет работы выполнила более 600 дипломов и диссертаций, Есть любимые темы - они дешевле обойдутся, ибо в радость)
    #Кандидатские #Магистерские
    76 Выполненных работ
    AleksandrAvdiev Южный федеральный университет, 2010, преподаватель, канд...
    4.1 (20 отзывов)
    Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.
    Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.
    #Кандидатские #Магистерские
    28 Выполненных работ
    Мария Б. преподаватель, кандидат наук
    5 (22 отзыва)
    Окончила специалитет по направлению "Прикладная информатика в экономике", магистратуру по направлению "Торговое дело". Защитила кандидатскую диссертацию по специальнос... Читать все
    Окончила специалитет по направлению "Прикладная информатика в экономике", магистратуру по направлению "Торговое дело". Защитила кандидатскую диссертацию по специальности "Экономика и управление народным хозяйством". Автор научных статей.
    #Кандидатские #Магистерские
    37 Выполненных работ

    Другие учебные работы по предмету

    Кооперативные игры на гиперграфах
    📅 2019год
    🏢 Санкт-Петербургский государственный университет