Применение символьных методов для вычисления радиуса устойчивости

В настоящей работе рассматриваются символьные методы вычисления комплексного и вещественного радиуса устойчивости. В результате работы алгоритма за конечное число элементарных алгебраических операций вычисляется полином, корнем которого является искомое значение радиуса устойчивости. Также для анализа устойчивости предложены аналитические алгоритмы вычисления спектральной абсциссы и спектрального радиуса без непосредственного нахождения спектра исходной матрицы. В приложении приведен код алгоритмов в системе Wolfram Mathematica.

Основные обозначения и соглашения 3

Введение 4

1 Устойчивость в пространстве параметров 6
1.1 Устойчивость постоянных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Устойчивость по Гурвицу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Устойчивость по Шуру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Вычисление спектральной абсциссы и спектрального радиуса . . . . . . . 12

2 Комплексный радиус устойчивости 15
2.1 Вычисление комплексного радиуса устойчивости по Гурвицу . . . . . . . 15
2.2 Вычисление комплексного радиуса устойчивости по Шуру . . . . . . . . . 19

3 Вещественный радиус устойчивости 24
3.1 Вычисление вещественного радиуса устойчивости по Гурвицу . . . . . . . 24

Приложение. Программная реализация в системе Wolfram Mathematica 30

Список литературы 33
Основные обозначения и соглашения

Mm,n (F ), Mn (F ) множество матриц над F порядка m × n, n × n
Λ(A), Λ(W ) спектр матрицы A, спектр матричного пучка W
C− множество {z ∈ C | Re z < 0} C1 множество {z ∈ C | |z| < 1} Sn− (F ), Sn1 (F ) множество устойчивых матриц по Гурвицу, по Шуру Un− (F ), Un1 (F ) множество неустойчивых матриц по Гурвицу, по Шуру Матрица называется устойчивой по Гурвицу (или просто устойчивой), если ее спектр лежит в C− . Аналогично матрица называется устойчивой по Шуру, если ее спектр лежит внутри C1 . AT , A∗ транспонирование матрицы A, эрмитово сопряжение матрицы A ||A||2 2-норма матрицы A σmin (A) минимальное сингулярное число A η(A) спектральная абсцисса матрицы A ρ(A) спектральный радиус матрицы A t дизъюнктное объединение P(X) множество всех подмножеств X D(f ), Dx (f (x)) дискриминант полинома f (x) R(f, g), Rx (f (x), g(x)) результант двух полиномов f ∗ , f ∗ (x) полином, коэффициенты которого записаны в обрат- ном порядке f¯, f¯(x) сопряжение коэффициентов полинома Если коэффициенты полинома зависят от параметров, то дополнительно указы- вается относительно какой переменной происходят преобразования. Пусть, например, f (λ, t) = a0 (t)λn + a1 (t)λn−1 + . . . + an (t), тогда f¯λ (λ, t) := a0 (t)λn + a1 (t)λn−1 + . . . + an (t), fλ∗ (λ, t) := an (t)λn + an−1 (t)λn−1 + . . . + a0 (t).