Применение символьных методов для вычисления радиуса устойчивости
В настоящей работе рассматриваются символьные методы вычисления комплексного и вещественного радиуса устойчивости. В результате работы алгоритма за конечное число элементарных алгебраических операций вычисляется полином, корнем которого является искомое значение радиуса устойчивости. Также для анализа устойчивости предложены аналитические алгоритмы вычисления спектральной абсциссы и спектрального радиуса без непосредственного нахождения спектра исходной матрицы. В приложении приведен код алгоритмов в системе Wolfram Mathematica.
Основные обозначения и соглашения 3
Введение 4
1 Устойчивость в пространстве параметров 6
1.1 Устойчивость постоянных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Устойчивость по Гурвицу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Устойчивость по Шуру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Вычисление спектральной абсциссы и спектрального радиуса . . . . . . . 12
2 Комплексный радиус устойчивости 15
2.1 Вычисление комплексного радиуса устойчивости по Гурвицу . . . . . . . 15
2.2 Вычисление комплексного радиуса устойчивости по Шуру . . . . . . . . . 19
3 Вещественный радиус устойчивости 24
3.1 Вычисление вещественного радиуса устойчивости по Гурвицу . . . . . . . 24
Приложение. Программная реализация в системе Wolfram Mathematica 30
Список литературы 33
Основные обозначения и соглашения
Mm,n (F ), Mn (F ) множество матриц над F порядка m × n, n × n
Λ(A), Λ(W ) спектр матрицы A, спектр матричного пучка W
C− множество {z ∈ C | Re z < 0}
C1 множество {z ∈ C | |z| < 1}
Sn− (F ), Sn1 (F ) множество устойчивых матриц по Гурвицу, по Шуру
Un− (F ), Un1 (F ) множество неустойчивых матриц по Гурвицу, по
Шуру
Матрица называется устойчивой по Гурвицу (или просто устойчивой), если ее
спектр лежит в C− . Аналогично матрица называется устойчивой по Шуру, если ее
спектр лежит внутри C1 .
AT , A∗ транспонирование матрицы A, эрмитово сопряжение
матрицы A
||A||2 2-норма матрицы A
σmin (A) минимальное сингулярное число A
η(A) спектральная абсцисса матрицы A
ρ(A) спектральный радиус матрицы A
t дизъюнктное объединение
P(X) множество всех подмножеств X
D(f ), Dx (f (x)) дискриминант полинома f (x)
R(f, g), Rx (f (x), g(x)) результант двух полиномов
f ∗ , f ∗ (x) полином, коэффициенты которого записаны в обрат-
ном порядке
f¯, f¯(x) сопряжение коэффициентов полинома
Если коэффициенты полинома зависят от параметров, то дополнительно указы-
вается относительно какой переменной происходят преобразования. Пусть, например,
f (λ, t) = a0 (t)λn + a1 (t)λn−1 + . . . + an (t),
тогда
f¯λ (λ, t) := a0 (t)λn + a1 (t)λn−1 + . . . + an (t),
fλ∗ (λ, t) := an (t)λn + an−1 (t)λn−1 + . . . + a0 (t).
Во многих инженерных и физических приложениях исследуется устойчивость
линейных систем. Для ее анализа в ряде работ [1, 2] был введен в рассмотрение ра-
диус устойчивости. Данное понятие нашло свое применение во многих приложени-
ях, таких как электродинамика, теория управления, робототехника, ядерная энергети-
ка [8, 13, 18], в частности, оно применялось для сравнения динамики нейромеханических
систем [11], при анализе уязвимости комплексных систем [12], для выбора оптималь-
ных параметров течения в системе управления температурой теплоносителя быстрого
свинцового реактора [13].
Рассмотрим необходимые сведения. Пусть C = Cg t Cb — разбиение комплекс-
ной плоскости на «хорошую» и «плохую» области, где Cg открыто, а Cb замкнуто.
В наиболее общем случае радиус устойчивости представляет собой следующую
функцию [1]:
rF : Mn (F ) × Mn,l (F ) × Mq,n (F ) × P(C) −→ R,
(A, B, C, Cb ) 7→ inf{||∆||2 | ∆ ∈ Ml,q (F ), Λ(A + B∆C) ∩ Cb 6= ∅}.
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.9 (20 отзывов)
5 (22 отзыва)
4.3 (248 отзывов)
4.4 (59 отзывов)
4.9 (5 отзывов)
4.9 (37 отзывов)
5 (188 отзывов)
4.7 (82 отзыва)
4.8 (37 отзывов)
