Решение задачи длительной эксплуатации нескольких ресурсов методами дифференциальных игр

Лахина Юлия Эдуардовна
Бесплатно
В избранное
Работа доступна по лицензии Creative Commons:«Attribution» 4.0

Работа посвящена изучению математических моделей управления ресурсами с многомерной фазовой переменной. Рассматриваются два типа ресурсов: вложения в рекламную кампанию различными фирмами – в главе 2, и объемы выпуска продукции, пропорциональные объемам вредных выбросов в окружающую среду – в главе 3. Показывается, что и в случае кооперации игроков при нахождении оптимального управления, и в некооперативной постановке игры, в случае нахождения равновесия по Нэшу, в классе позиционных стратегий решение определяется неединственным образом. Рассматриваются два метода для отбора допустимых решений: математический подход и экономический критерий. Также, в случае кооперативной постановки задачи находится распределение общего выигрыша между игроками в соответствии с вектором Шепли, а затем распределение его компонент во времени согласно процедуре распределения дележа (ПРД). В четвертой главе строится дифференциальная игра на сети для модели управления выбросами, где находится решение коалиционной игры.

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Основные цели и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Обзор литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1. Основные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1. Постановка задачи оптимального управления . . . . . . . . 11
1.2. Критерии отбора допустимых решений в случае их неедин-
ственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1. Экономический критерий Басса . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2. Математический метод для линейно-квадратичных за-
дач оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Принцип оптимальности в кооперативной игре . . . . . . . . 14
1.3.1. Дележ. Вектор Шепли . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2. Принцип динамической устойчивости. Процедура рас-
пределения дележа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Дифференциальная игра на сети . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Теоретико-игровая модель управления инвестициями в
рекламу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Кооперативный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Применение критериев для отбора допустимых решений . . 22
2.3.1. Математический метод для линейно-квадратичных за-
дач оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2. Экономический критерий Басса . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Распределение кооперативного выигрыша . . . . . . . . . . . 24

3. Теоретико-игровая модель управления объемами вредных
выбросов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Равновесие по Нэшу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1. Применение критериев для отбора допустимых решений 33
3.3. Модификация модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1. Графическая интерпретация . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4. Кооперативный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.1. Графическая интерпретация . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.2. Распределение кооперативного выигрыша . . . . . . 41

4. Сетевая дифференциальная игра управления объемами
вредных выбросов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2. Функции выигрыша . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3. Решение коалиционной игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Вывод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

В настоящее время модели управления ресурсами имеют широкое
применение в таких важных областях как экономика и экология, поскольку
позволяют решать актуальные проблемы.
Грамотная рекламная политика является основным методом привле-
чения целевой аудитории, и, как следствие, неотъемлемой частью успешно-
го функционирования компании, поэтому вопрос об управлении инвестици-
ями в рекламную кампанию становится актуальным. Также как и вопрос
об управлении объемами вредных выбросов в окружающую среду в связи
с современной неблагоприятной экологической ситуацией.
В данной работе исследуются теоретико-игровые модели управления
ресурсами с многомерной фазовой переменной на бесконечном временном
промежутке с постоянной ставкой дисконтирования. В качестве ресурсов
рассматриваются инвестиции в рекламу и количество выбросов в окружа-
ющую среду.
В первой главе приводятся основные модели и методы, используе-
мые в ВКР. Формулируется постановка задачи оптимального управления
на бесконечном промежутке времени с интегральной формой выигрыша
и дисконтированием подынтегральной функци, рассматривается метод ее
решения, а также критерии для отбора допустимых решений. Поиск оп-
тимальных управлений в кооперативной дифференциальной игре также
может быть описан в форме задачи оптимального управления, поскольку
игроки объединяются с целью максимизации общего суммарного выигры-
ша.
Проблема распределения суммарного выигрыша между игроками, в
том числе, с учетом фактора времени, описана с точки зрения пробле-
мы динамической устойчивости. Распределение компонент дележа игро-
ков предлагается осуществить согласно процедуре распределения дележа
(ПРД).
Кроме того, в главе I формализуется постановка сетевой дифферен-
циальной игры.
Во второй главе изучена кооперативная дифференциальная игра управ-
ления инвестициями в рекламную кампанию для случая n симметричных
игроков, которые конкурируют за объем собственных продаж некоторого
однородного продукта с учетом амортизации, свойственной рынку. В тре-
тьей главе предложена модель управления объемами вредных выбросов
при производстве взаимозаменяемых товаров для двух симметричных иг-
роков при отсутствии абсорбции. Дифференциальная игра изучается как в
кооперативной постановке, для которой также находится распределение об-
щего выигрыша игроков, так и в некооперативной, в которой рассматрива-
ется вопрос существования квадратичного решения задачи. Показывается,
что решение в обеих моделях является неединственным, поэтому осуществ-
ляется отбор допустимых решений с помощью критериев, предложенных
в первой главе. В главах II и III также изучается проблема динамической
устойчивости, т.е. реализации при долгосрочном процессе. Для решения
данной проблемы используются схемы ПРД из главы I.
В последней главе математическая модель управления вредными вы-
бросами формулируется как дифференциальная игра на сети, в которой
находится равновесие по Нэшу.
Основные цели и задачи

В ходе проделанной работы были рассмотрены модели управления
в дифференциальных играх двумя типами ресурсов: инвестирование в ре-
кламу (в кооперативной постановке для n игроков) и выбросы в окружа-
ющую среду (в кооперативной и некооперативной постановке для двух иг-
роков).
Показано, что уравнение Гамильтона–Якоби–Беллмана имеет неедин-
ственное решение, которое требует изучения для отбраковки несостоятель-
ных решений. В ходе применения экономического критерия и классическо-
го метода, используемого для линейно-квадратичных задач оптимизации
(LQR), было установлено:
дифференциальная игра управления рекламой имеет допустимое ре-
шение, которое удовлетворяет обоим критериям;
игра управления вредными выбросами в некооперативной постановке
не имеет решений в указанных классах функций, полученные результаты
также были проинтерпретированы графически.
Кроме того, в случае кооперативной постановки задачи в рассмат-
риваемых моделях было найдено распределение общего выигрыша меж-
ду игроками в соответствии с выбранными принципами оптимальности, а
именно, вектором Шепли, а затем распределение его компонент во времени
согласно процедуре распределения дележа (ПРД).
Также для модели управления выбросами была построена диффе-
ренциальная игра на сети для трех игроков. Выражения для управлений
игроков в коалиционной игре были получены в аналитическом виде.
Таким образом, поставленные цели и задачи были достигнуты.

[1] Беллман Р. Динамическое пргораммирование М.:И.Л., 1960.
[2] Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные иг-
ры. М.: Наука, 1974. 455 с.
[3] Frutos J., Martin-Herran G. Selection of a Markov perfect Nash equilibrium
in a class of differential games. Dynamic Games and Applications. Vol. 8,
№ 3. 2018. P. 620–636.
[4] Fershtman C., Nitzan S. Dynamic voluntary provision of public goods.
European Economic Review. Vol. 35, № 5. 1991. P. 1057–1067.
[5] Wirl F. Dynamic voluntary provision of public goods: extension for nonlinear
strategies. European Journal of Political Economy. Vol. 12, № 3. 1996.
P. 555–560.
[6] Dockner E. J. Optimal pricing in a dynamic duopoly game model. Zeitschrift
fur Operations Research. Basar T. Informationally nonunique equilibrium
solutions in differential games. 1985. P. 1–16.
[7] Leitmann G., and Schmitendorf W. E. Profit maximization through
advertising: nonzero-sum differential game approach. IEEE Transactions on
Automatic Control. Vol. 23, № 4. 1978. P. 645–650.
[8] Basar T. Informationally nonunique equilibrium solutions in differential
games. SIAM Journal on Control and Optimization. Vol. 15, № 4. 1977.
P. 636—660.
[9] Driskill R. Durable goods monopoly, increasing marginal cost and
depreciation. Economica. Vol. 64, № 253. 1997. P. 137—154.
[10] Cartigny P., Michel P. On the Selection of One Feedback Nash Equilibrium
in Discounted Linear-Quadratic Games. Journal of Optimization Theory
and Applications. Vol. 117, № 2. 2003. P. 231—243.
[11] Громова Е. В., Громов Д. В., Лахина Ю. Э. О дифференциальной игре
управления инвестициями в рекламную кампанию. Труды института
математики и механики УРО РАН. Т. 24, № 2. 2018. С. 64–75.
[12] Петросян Л. А., Зенкевич H. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр. СПБ.:
Изд-во БХВ-Петербург, 2012. 432 с.
[13] Жуковский В. И., Чикрий A. А. Линейно-квадратичные дифференци-
альные игры. Киев: Науковая думка, 1994. 320 с.
[14] Olsder G. G., Basar T. Dynamic Noncooperative Game Theory, 2nd
Edition. New York: Academic Press, 1999. 519 p.
[15] Dockner E. J., Jorgensen S., Long N. V., Sorger G. Differential Games
in Economics and Management Science. Cambridge: Cambridge University
Press, 2000. 396 p.
[16] Jorgensen S., Zaccour G. Differential Games in Marketing. Boston: Kluwer
Academic Publisher. 2004. 159 p.
[17] Papavassilopoulos G., Olsder G. J. On the linear-quadratic, closedloop, no-
memory Nash game. Journal of Optimization Theory and Applications. Vol.
42, № 4. 1984. P. 551—560.
[18] Reddy P. V., Zaccour G.: Feedback Nash equilibria in linear-quadratic
difference games with constraints. IEEE Transactions on Automatic Control.
Vol. 62, № 2. 2017. P. 590—604.
[19] Шевкопляс Е. В. Устойчивая кооперация в дифференциальных играх
со случайной продолжительностью. УБС, 31.1. 2010. С. 162—190.
[20] Singh R., Wisznieszka-Matyszkiel A. Linear-quadratic game of exploitation
of common renewable resources with inherent constraints. Topological
Methods in Nonlinear Analysis. Vol. 51, № 1. 2018. P. 23—54.
[21] Dockner E.J., Sorger G.: Existence and properties of equilibria for a
dynamic game on productive assets. J. Economic Theory. Vol. 71, № 1.
1996. P. 209—227.
[22] Singh R., Wisznieszka-Matyszkiel A.: Discontinuous Nash Equilibria in a
Two Stage Linear-Quadratic Dynamic Game with Linear Constraints. IEEE
Transactions on Automatic Control. Vol. 64, № 7. 2018. P. 3074–3079.
[23] Kononenko A.: The structure of the optimal strategy in controlled dynamic
systems. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics.
Vol. 20, № 5. 1980. P. 13–24.
[24] Malafeev O.: Stationary strategies in differential games. USSR
Computational Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 17, № 1. 1977.
P. 37–46.
[25] Basar T.: On the uniqueness of the Nash solution in linear-quadratic
differential games. International Journal of Game Theory. Vol. 5, № 2-3.
1976. P. 65—90.
[26] Gromova E., Lakhina Yu. On the selection of the Nash equilibria in a
linear-quadratic differential game of pollution control. Frontiers of Dynamic
Games. Ed. by L. Petrosyan, V. Mazalov, N. Zenkevich. St. Petersburg.
2018. P. 37–48.
[27] Bass F. M., Krishnamoorthy A., Prasad A., Sethi S. P. Generic and brand
advertising strategies in a dynamic duopoly. Marketing Science. Vol. 24, № 4.
2005. P. 556–568.
[28] Александров А. Г. Оптимальные и адаптивные системы: Учеб. пособие
для вузов по спец. «Автоматика и упр. в техн. системах». М.: Высшая
школа, 1989. 263 с.
[29] Петросян Л. А. Кооперативные дифференциальные игры на сетях. Тр.
Ин-та математики и механики УрО РАН. Т. 16, № 5, 2010. С. 143–150.
[30] Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения. Спб.: Изд-во
Лань, 2010. 448 с.
[31] Жабко А. П., Котина Е. Д., Чижова О. Н. Дифференциальные уравне-
ния и устойчивость. Спб.: Изд-во Лань, 2015. 310 с.
[32] Лахина Ю. Э. Оптимальное управление инвестициями в рекламу на
рынке однородной продукции. Процессы управления и устойчивость.
2018. Т. 5. № 1. С. 470–474.
[33] Лахина Ю. Э. О существовании равновесия по Нэшу в некооператив-
ной дифференциальной игре управления объемами вредных выбросов.
Процессы управления и устойчивость. 2020.
[34] Лахина Ю. Э. Оптимальное управление в задаче эксплуатации
нескольких ресурсов. Архив открытого доступа Санкт-Петербургского
государственного университета. 2018. 45 с.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Катерина М. кандидат наук, доцент
    4.9 (522 отзыва)
    Кандидат технических наук. Специализируюсь на выполнении работ по метрологии и стандартизации
    Кандидат технических наук. Специализируюсь на выполнении работ по метрологии и стандартизации
    #Кандидатские #Магистерские
    836 Выполненных работ
    Татьяна С. кандидат наук
    4.9 (298 отзывов)
    Большой опыт работы. Кандидаты химических, биологических, технических, экономических, юридических, философских наук. Участие в НИОКР, Только актуальная литература (пос... Читать все
    Большой опыт работы. Кандидаты химических, биологических, технических, экономических, юридических, философских наук. Участие в НИОКР, Только актуальная литература (поставки напрямую с издательств), доступ к библиотеке диссертаций РГБ
    #Кандидатские #Магистерские
    551 Выполненная работа
    Анна С. СФ ПГУ им. М.В. Ломоносова 2004, филологический, преподав...
    4.8 (9 отзывов)
    Преподаю англ язык более 10 лет, есть опыт работы в университете, школе и студии англ языка. Защитила кандидатскую диссертацию в 2009 году. Имею большой опыт написания... Читать все
    Преподаю англ язык более 10 лет, есть опыт работы в университете, школе и студии англ языка. Защитила кандидатскую диссертацию в 2009 году. Имею большой опыт написания и проверки (в качестве преподавателя) контрольных и курсовых работ.
    #Кандидатские #Магистерские
    16 Выполненных работ
    Екатерина Д.
    4.8 (37 отзывов)
    Более 5 лет помогаю в написании работ от простых учебных заданий и магистерских диссертаций до реальных бизнес-планов и проектов для открытия своего дела. Имею два об... Читать все
    Более 5 лет помогаю в написании работ от простых учебных заданий и магистерских диссертаций до реальных бизнес-планов и проектов для открытия своего дела. Имею два образования: экономист-менеджер и маркетолог. Буду рада помочь и Вам.
    #Кандидатские #Магистерские
    55 Выполненных работ
    Анастасия Л. аспирант
    5 (8 отзывов)
    Работаю в сфере метрологического обеспечения. Защищаю кандидатскую диссертацию. Основной профиль: Метрология, стандартизация и сертификация. Оптико-электронное прибост... Читать все
    Работаю в сфере метрологического обеспечения. Защищаю кандидатскую диссертацию. Основной профиль: Метрология, стандартизация и сертификация. Оптико-электронное прибостроение, управление качеством
    #Кандидатские #Магистерские
    10 Выполненных работ
    Дмитрий Л. КНЭУ 2015, Экономики и управления, выпускник
    4.8 (2878 отзывов)
    Занимаю 1 место в рейтинге исполнителей по категориям работ "Научные статьи" и "Эссе". Пишу дипломные работы и магистерские диссертации.
    Занимаю 1 место в рейтинге исполнителей по категориям работ "Научные статьи" и "Эссе". Пишу дипломные работы и магистерские диссертации.
    #Кандидатские #Магистерские
    5125 Выполненных работ
    Шагали Е. УрГЭУ 2007, Экономика, преподаватель
    4.4 (59 отзывов)
    Серьезно отношусь к тренировке собственного интеллекта, поэтому постоянно учусь сама и с удовольствием пишу для других. За 15 лет работы выполнила более 600 дипломов и... Читать все
    Серьезно отношусь к тренировке собственного интеллекта, поэтому постоянно учусь сама и с удовольствием пишу для других. За 15 лет работы выполнила более 600 дипломов и диссертаций, Есть любимые темы - они дешевле обойдутся, ибо в радость)
    #Кандидатские #Магистерские
    76 Выполненных работ
    Мария А. кандидат наук
    4.7 (18 отзывов)
    Мне нравится изучать все новое, постоянно развиваюсь. Могу написать и диссертацию и кандидатскую. Есть опыт в различных сфера деятельности (туризм, экономика, бухучет... Читать все
    Мне нравится изучать все новое, постоянно развиваюсь. Могу написать и диссертацию и кандидатскую. Есть опыт в различных сфера деятельности (туризм, экономика, бухучет, реклама, журналистика, педагогика, право)
    #Кандидатские #Магистерские
    39 Выполненных работ
    Сергей Е. МГУ 2012, физический, выпускник, кандидат наук
    4.9 (5 отзывов)
    Имеется большой опыт написания творческих работ на различных порталах от эссе до кандидатских диссертаций, решения задач и выполнения лабораторных работ по любым напра... Читать все
    Имеется большой опыт написания творческих работ на различных порталах от эссе до кандидатских диссертаций, решения задач и выполнения лабораторных работ по любым направлениям физики, математики, химии и других естественных наук.
    #Кандидатские #Магистерские
    5 Выполненных работ

    Другие учебные работы по предмету

    Кооперативные игры на гиперграфах
    📅 2019год
    🏢 Санкт-Петербургский государственный университет