Решения дифференциальных уравнений методом коллокации в программной среде MATLAB

Шаймарданова, Айжан Алтайханкызы Отделение экспериментальной физики (ОЭФ)
Бесплатно
В избранное
Работа доступна по лицензии Creative Commons:«Attribution» 4.0

Данная работа посвящена решению обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом коллокации. Разработан алгоритм решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом коллокации в программной среде MATLAB. Проведено тестирование разработанного алгоритма.

Введение …………………………………………………………………………………………… 12
1. Объект и метод исследования………………………………………………………….. 14
1.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения ………………………….. 14
1.2 Теоретические основы численных методов ………………………………. 17
1.3 Базисные функции ………………………………………………………………….. 21
1.4 Метод коллокаций ………………………………………………………………….. 22
2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ……………………………………………………………. 28
2.1 Метод полиномиальной коллокации ………………………………………… 28
2.2 Метод коллокации Фурье ………………………………………………………… 38
2.3 Анализ устойчивости метода …………………………………………………… 49
3 СОЦИАЛЬНАЯ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ …………………………………………. 54
3.1 ПРАВОВЫ И ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ
БЕЗОПАСНОСТИ …………………………………………………………………………… 54
3.1.1 Правовые нормы трудового законодательства для рабочей зоны 54
3.1.2 ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ ………………………….. 55
3.2 АНАЛИЗ ВРЕДНЫХ И ОПАСНЫХ ФАКТОРОВ, КОТОРЫЕ
МОЖЕТ СОЗДАТЬ ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ. …………………………….. 56
3.2.1 Отклонение показателей микроклимата ………………………………… 56
3.2.2 Повышенный уровень шума …………………………………………………. 58
3.2.3 Недостаточная освещенность рабочей зоны …………………………… 59
3.2.4 Повышенное значение напряжения в электрической цепи,
замыкание которой может произойти через тело человека ………………. 61
3.2.4 Повышенный уровень электромагнитных излучений ……………… 64
3.3 ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ ……………………………………. 65
3.4 БЕЗОПАСНОСТЬ ПРИ ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЯХ ……….. 66
4 ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ, РЕСУРСОЭФФЕКТИВНОСТЬ И
РЕСУРСОСБРЕЖЕНИЕ …………………………………………………………………….. 70
4.1 Предпроектный анализ ……………………………………………………………. 70
4.1.1 Потенциальные потребители результатов исследования …………. 70
4.1.2 Анализ конкурентных технических решений с позиции
ресурсоэффективности и ресурсосбережения …………………………………. 71
4.1.3 SWOT-анализ ……………………………………………………………………….. 72
4.1.4 Оценка готовности проекта к коммерциализации …………………… 74
4.1.5 Методы коммерциализации результатов научно-технического
исследования ……………………………………………………………………………….. 76
4.2 Инициализация проекта …………………………………………………………… 76
4.2.1 Цели и результат проекта ……………………………………………………… 77
4.2.2 Организационная структура проекта……………………………………… 78
4.2.3 Ограничения и допущения проекта ……………………………………….. 79
4.3 Планирование процесса управления НТИ: структура и график
проведения, бюджет, риски и организация закупок …………………………… 79
4.3.1 Разработка календарного плана проекта ………………………………… 79
4.3.2 Бюджет научного исследования ……………………………………………. 81
4.3.3 специальное оборудование для научных (специальных) работ … 81
4.4 Реестр рисков проекта …………………………………………………………….. 87
4.5 Определение ресурсной (ресурсосберегающей), финансовой,
бюджетной, социальной и экономической эффективности исследования88
4.5.1 Оценка абсолютной эффективности исследования …………………. 88
Оценка сравнительной эффективности исследования ……………………… 94
ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………………………………. 98
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ……………………………….. 99
Приложение A Разработанный алгоритм……………………………………………. 103
Приложение Б Раздел ВКР, выполненный на иностранном языке ……….. 107

Развитие вычислительной техники позволило численным методам
стать одними из самых эффективных средств для решения сложных
краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Применение вычислительной техники позволяет автоматизировать
процесс нахождения решения либо же упростить наиболее трудоемкие
процедуры вычисления, а также уменьшить количество итераций, которые
необходимы для поиска точного или приближенного решения .
Численные методы решения различных видов уравнений представляют
собой алгоритмы нахождения приближенных (в некоторых случаях –
точных) значений искомого решения. Стоит отметить, что численные
методы возможно использовать только в случае корректно поставленной
задачи. Для того, чтобы решить дифференциальное уравнение численными
методами, нужны два известных параметра: начальное условие и заданный
интервал. В случае наличия данных факторов решение
дифференциального уравнения представляет собой несложную задачу. В
то же время аналитическое решение краевых задач является источником
больших затруднений, что закономерно стало причиной развития
множества приближенных методов решения задач. По типу представления
результатов приближенного решения методы подразделяются на две
группы:
 приближенно-аналитические, которые дают приближенное решение
краевой задачи на отрезке [a, b] как некоторую конкретную функцию;
 собственно численные и сеточные методы, которые дают каркас
приближенного решения на заданной [a, b] сетке.
В данной выпускной квалификационной работе мы будем
рассматривать метод коллокаций. Суть данного метода заключается в том,
что процесс поиска приближенного решения проводится в конечномерном
линейном пространстве функций, при этом неизвестные коэффициенты его
разложения по базису пространства находят из уравнений коллокаций и
краевых условий. В данном случае уравнения коллокаций являются
требованиями удовлетворения приближенного решения
дифференциальным уравнениям задачи в конечном множестве точек
области постановки задачи, которые называются узлами коллокаций.
Получение краевых условий осуществляется из соответствующих условий
исходной постановки задачи, которые записаны в нескольких точках на
границе области. В данном методе количество уравнений равно
количеству неизвестных.
В последнее время развитие информационных технологий привело к
тому, что решение дифференциальных уравнения вручную стало
длительным и нерациональным ввиду наличия возможности написания
отдельного алгоритма, который найдет решение поставленной задачи,
затратив минимум времени. Также не исключается возможность
самостоятельного ввода необходимых данных, а также изменения
дифференциального уравнения в целых решения уже другой поставленной
задачи.
В качестве программной среды реализации выбран пакет MATLAB.
MATLAB является средой и языком технических расчетов, который
предназначен для решения широкого спектра инженерных и научных задач
любой сложности во всех отраслях.
1. ОБЪЕКТ И МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

В результате выпускной квалификационной работы был разработан
алгоритм, для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Данный алгоритм позволяет пользователю самостоятельно ввести
необходимые параметры, а также изменить дифференциальное уравнение
для выполнения уже другой поставленной задачи.
Проведены численные эксперименты разработанного алгоритма на
различных типах уравнений второго порядка. Была посчитана погрешность
и построен график зависимости погрешности от количества точек
коллокаций. Точность численного решения зависит от правильного выбора
базисных функций. Количество узлов коллокации влияет на погрешность.
При увеличении точек коллокаций погрешность стремиться к нулю. Также
проведен анализ устойчивости метода и приведен иллюстративный
рисунок области абсолютной устойчивости метода.
В выпускной квалификационной работе также разработаны меры по
охране труда работников и по защите окружающей среды.
В экономическом разделе рассчитаны основные технико-
экономические показатели проекта, определена себестоимость получаемой
целевой продукции и прибыль от ее реализации.

1. Иванов В.И. Дифференциальные уравнения: методические указания /
В.И. Иванов. – М.: 2013. – 13c.
2. ЛебедевА.Г.Лекциипочисленнымметодам:Обыкновенные
дифференциальные уравнения: Учебное пособие для студентов / А.Г.
Лебедев. – Изд. 3-е. – М.: Рубцовский индустриальный институт, 2016.
– 37-38с.
3. Киреев В.А. Метод коллокации с бикубическим эрмитовым базисом в
области с криволинейной границей / Киреев Виталий Александрович. –
М.: Вестник СибГАУ, 2014. №3(55). – 73с.
4. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов /
В.М. Вержбицкий. – 2-е изд. – М.: Высшая школа, 2005. – 631-637c.
5. Демидович Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций,
дифференциальные и интегральные уравнения: Учебное пособие / Б.П.
Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. – 5-е изд. – М.: Изд-во Лань,
2010. – 255-257с.
6. Venkateshan S.P. Prasanna Swaminathan, in Computational Methods in
Engineering / S.P. Venkateshan. – М.: ScienceDirect, 2014.
https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/collocation-point

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Вики Р.
    5 (44 отзыва)
    Наличие красного диплома УрГЮУ по специальности юрист. Опыт работы в профессии - сфера банкротства. Уровень выполняемых работ - до магистерских диссертаций. Написан... Читать все
    Наличие красного диплома УрГЮУ по специальности юрист. Опыт работы в профессии - сфера банкротства. Уровень выполняемых работ - до магистерских диссертаций. Написание письменных работ для меня в удовольствие.Всегда качественно.
    #Кандидатские #Магистерские
    60 Выполненных работ
    Логик Ф. кандидат наук, доцент
    4.9 (826 отзывов)
    Я - кандидат философских наук, доцент кафедры философии СГЮА. Занимаюсь написанием различного рода работ (научные статьи, курсовые, дипломные работы, магистерские дисс... Читать все
    Я - кандидат философских наук, доцент кафедры философии СГЮА. Занимаюсь написанием различного рода работ (научные статьи, курсовые, дипломные работы, магистерские диссертации, рефераты, контрольные) уже много лет. Качество работ гарантирую.
    #Кандидатские #Магистерские
    1486 Выполненных работ
    Анна В. Инжэкон, студент, кандидат наук
    5 (21 отзыв)
    Выполняю работы по экономическим дисциплинам. Маркетинг, менеджмент, управление персоналом. управление проектами. Есть опыт написания магистерских и кандидатских диссе... Читать все
    Выполняю работы по экономическим дисциплинам. Маркетинг, менеджмент, управление персоналом. управление проектами. Есть опыт написания магистерских и кандидатских диссертаций. Работала в маркетинге. Практикующий бизнес-консультант.
    #Кандидатские #Магистерские
    31 Выполненная работа
    Евгения Р.
    5 (188 отзывов)
    Мой опыт в написании работ - 9 лет. Я специализируюсь на написании курсовых работ, ВКР и магистерских диссертаций, также пишу научные статьи, провожу исследования и со... Читать все
    Мой опыт в написании работ - 9 лет. Я специализируюсь на написании курсовых работ, ВКР и магистерских диссертаций, также пишу научные статьи, провожу исследования и создаю красивые презентации. Сопровождаю работы до сдачи, на связи 24/7 ?
    #Кандидатские #Магистерские
    359 Выполненных работ
    Антон П. преподаватель, доцент
    4.8 (1033 отзыва)
    Занимаюсь написанием студенческих работ (дипломные работы, маг. диссертации). Участник международных конференций (экономика/менеджмент/юриспруденция). Постоянно публик... Читать все
    Занимаюсь написанием студенческих работ (дипломные работы, маг. диссертации). Участник международных конференций (экономика/менеджмент/юриспруденция). Постоянно публикуюсь, имею высокий индекс цитирования. Спикер.
    #Кандидатские #Магистерские
    1386 Выполненных работ
    Вирсавия А. медицинский 1981, стоматологический, преподаватель, канди...
    4.5 (9 отзывов)
    руководитель успешно защищенных диссертаций, автор около 150 работ, в активе - оппонирование, рецензирование, написание и подготовка диссертационных работ; интересы - ... Читать все
    руководитель успешно защищенных диссертаций, автор около 150 работ, в активе - оппонирование, рецензирование, написание и подготовка диссертационных работ; интересы - медицина, биология, антропология, биогидродинамика
    #Кандидатские #Магистерские
    12 Выполненных работ
    Оксана М. Восточноукраинский национальный университет, студент 4 - ...
    4.9 (37 отзывов)
    Возможно выполнение работ по правоведению и политологии. Имею высшее образование менеджера ВЭД и правоведа, защитила кандидатскую и докторскую диссертации по политоло... Читать все
    Возможно выполнение работ по правоведению и политологии. Имею высшее образование менеджера ВЭД и правоведа, защитила кандидатскую и докторскую диссертации по политологии.
    #Кандидатские #Магистерские
    68 Выполненных работ
    Анна С. СФ ПГУ им. М.В. Ломоносова 2004, филологический, преподав...
    4.8 (9 отзывов)
    Преподаю англ язык более 10 лет, есть опыт работы в университете, школе и студии англ языка. Защитила кандидатскую диссертацию в 2009 году. Имею большой опыт написания... Читать все
    Преподаю англ язык более 10 лет, есть опыт работы в университете, школе и студии англ языка. Защитила кандидатскую диссертацию в 2009 году. Имею большой опыт написания и проверки (в качестве преподавателя) контрольных и курсовых работ.
    #Кандидатские #Магистерские
    16 Выполненных работ
    Родион М. БГУ, выпускник
    4.6 (71 отзыв)
    Высшее экономическое образование. Мои клиенты успешно защищают дипломы и диссертации в МГУ, ВШЭ, РАНХиГС, а также других топовых университетах России.
    Высшее экономическое образование. Мои клиенты успешно защищают дипломы и диссертации в МГУ, ВШЭ, РАНХиГС, а также других топовых университетах России.
    #Кандидатские #Магистерские
    108 Выполненных работ

    Другие учебные работы по предмету

    Кооперативные игры на гиперграфах
    📅 2019год
    🏢 Санкт-Петербургский государственный университет