Решения дифференциальных уравнений методом коллокации в программной среде MATLAB

Шаймарданова, Айжан Алтайханкызы Отделение экспериментальной физики (ОЭФ)
Бесплатно
В избранное
Работа доступна по лицензии Creative Commons:«Attribution» 4.0

Данная работа посвящена решению обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом коллокации. Разработан алгоритм решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом коллокации в программной среде MATLAB. Проведено тестирование разработанного алгоритма.

Введение …………………………………………………………………………………………… 12
1. Объект и метод исследования………………………………………………………….. 14
1.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения ………………………….. 14
1.2 Теоретические основы численных методов ………………………………. 17
1.3 Базисные функции ………………………………………………………………….. 21
1.4 Метод коллокаций ………………………………………………………………….. 22
2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ……………………………………………………………. 28
2.1 Метод полиномиальной коллокации ………………………………………… 28
2.2 Метод коллокации Фурье ………………………………………………………… 38
2.3 Анализ устойчивости метода …………………………………………………… 49
3 СОЦИАЛЬНАЯ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ …………………………………………. 54
3.1 ПРАВОВЫ И ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ
БЕЗОПАСНОСТИ …………………………………………………………………………… 54
3.1.1 Правовые нормы трудового законодательства для рабочей зоны 54
3.1.2 ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ ………………………….. 55
3.2 АНАЛИЗ ВРЕДНЫХ И ОПАСНЫХ ФАКТОРОВ, КОТОРЫЕ
МОЖЕТ СОЗДАТЬ ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ. …………………………….. 56
3.2.1 Отклонение показателей микроклимата ………………………………… 56
3.2.2 Повышенный уровень шума …………………………………………………. 58
3.2.3 Недостаточная освещенность рабочей зоны …………………………… 59
3.2.4 Повышенное значение напряжения в электрической цепи,
замыкание которой может произойти через тело человека ………………. 61
3.2.4 Повышенный уровень электромагнитных излучений ……………… 64
3.3 ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ ……………………………………. 65
3.4 БЕЗОПАСНОСТЬ ПРИ ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЯХ ……….. 66
4 ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ, РЕСУРСОЭФФЕКТИВНОСТЬ И
РЕСУРСОСБРЕЖЕНИЕ …………………………………………………………………….. 70
4.1 Предпроектный анализ ……………………………………………………………. 70
4.1.1 Потенциальные потребители результатов исследования …………. 70
4.1.2 Анализ конкурентных технических решений с позиции
ресурсоэффективности и ресурсосбережения …………………………………. 71
4.1.3 SWOT-анализ ……………………………………………………………………….. 72
4.1.4 Оценка готовности проекта к коммерциализации …………………… 74
4.1.5 Методы коммерциализации результатов научно-технического
исследования ……………………………………………………………………………….. 76
4.2 Инициализация проекта …………………………………………………………… 76
4.2.1 Цели и результат проекта ……………………………………………………… 77
4.2.2 Организационная структура проекта……………………………………… 78
4.2.3 Ограничения и допущения проекта ……………………………………….. 79
4.3 Планирование процесса управления НТИ: структура и график
проведения, бюджет, риски и организация закупок …………………………… 79
4.3.1 Разработка календарного плана проекта ………………………………… 79
4.3.2 Бюджет научного исследования ……………………………………………. 81
4.3.3 специальное оборудование для научных (специальных) работ … 81
4.4 Реестр рисков проекта …………………………………………………………….. 87
4.5 Определение ресурсной (ресурсосберегающей), финансовой,
бюджетной, социальной и экономической эффективности исследования88
4.5.1 Оценка абсолютной эффективности исследования …………………. 88
Оценка сравнительной эффективности исследования ……………………… 94
ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………………………………. 98
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ……………………………….. 99
Приложение A Разработанный алгоритм……………………………………………. 103
Приложение Б Раздел ВКР, выполненный на иностранном языке ……….. 107

Развитие вычислительной техники позволило численным методам
стать одними из самых эффективных средств для решения сложных
краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Применение вычислительной техники позволяет автоматизировать
процесс нахождения решения либо же упростить наиболее трудоемкие
процедуры вычисления, а также уменьшить количество итераций, которые
необходимы для поиска точного или приближенного решения .
Численные методы решения различных видов уравнений представляют
собой алгоритмы нахождения приближенных (в некоторых случаях –
точных) значений искомого решения. Стоит отметить, что численные
методы возможно использовать только в случае корректно поставленной
задачи. Для того, чтобы решить дифференциальное уравнение численными
методами, нужны два известных параметра: начальное условие и заданный
интервал. В случае наличия данных факторов решение
дифференциального уравнения представляет собой несложную задачу. В
то же время аналитическое решение краевых задач является источником
больших затруднений, что закономерно стало причиной развития
множества приближенных методов решения задач. По типу представления
результатов приближенного решения методы подразделяются на две
группы:
 приближенно-аналитические, которые дают приближенное решение
краевой задачи на отрезке [a, b] как некоторую конкретную функцию;
 собственно численные и сеточные методы, которые дают каркас
приближенного решения на заданной [a, b] сетке.
В данной выпускной квалификационной работе мы будем
рассматривать метод коллокаций. Суть данного метода заключается в том,
что процесс поиска приближенного решения проводится в конечномерном
линейном пространстве функций, при этом неизвестные коэффициенты его
разложения по базису пространства находят из уравнений коллокаций и
краевых условий. В данном случае уравнения коллокаций являются
требованиями удовлетворения приближенного решения
дифференциальным уравнениям задачи в конечном множестве точек
области постановки задачи, которые называются узлами коллокаций.
Получение краевых условий осуществляется из соответствующих условий
исходной постановки задачи, которые записаны в нескольких точках на
границе области. В данном методе количество уравнений равно
количеству неизвестных.
В последнее время развитие информационных технологий привело к
тому, что решение дифференциальных уравнения вручную стало
длительным и нерациональным ввиду наличия возможности написания
отдельного алгоритма, который найдет решение поставленной задачи,
затратив минимум времени. Также не исключается возможность
самостоятельного ввода необходимых данных, а также изменения
дифференциального уравнения в целых решения уже другой поставленной
задачи.
В качестве программной среды реализации выбран пакет MATLAB.
MATLAB является средой и языком технических расчетов, который
предназначен для решения широкого спектра инженерных и научных задач
любой сложности во всех отраслях.
1. ОБЪЕКТ И МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

В результате выпускной квалификационной работы был разработан
алгоритм, для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Данный алгоритм позволяет пользователю самостоятельно ввести
необходимые параметры, а также изменить дифференциальное уравнение
для выполнения уже другой поставленной задачи.
Проведены численные эксперименты разработанного алгоритма на
различных типах уравнений второго порядка. Была посчитана погрешность
и построен график зависимости погрешности от количества точек
коллокаций. Точность численного решения зависит от правильного выбора
базисных функций. Количество узлов коллокации влияет на погрешность.
При увеличении точек коллокаций погрешность стремиться к нулю. Также
проведен анализ устойчивости метода и приведен иллюстративный
рисунок области абсолютной устойчивости метода.
В выпускной квалификационной работе также разработаны меры по
охране труда работников и по защите окружающей среды.
В экономическом разделе рассчитаны основные технико-
экономические показатели проекта, определена себестоимость получаемой
целевой продукции и прибыль от ее реализации.

1. Иванов В.И. Дифференциальные уравнения: методические указания /
В.И. Иванов. – М.: 2013. – 13c.
2. ЛебедевА.Г.Лекциипочисленнымметодам:Обыкновенные
дифференциальные уравнения: Учебное пособие для студентов / А.Г.
Лебедев. – Изд. 3-е. – М.: Рубцовский индустриальный институт, 2016.
– 37-38с.
3. Киреев В.А. Метод коллокации с бикубическим эрмитовым базисом в
области с криволинейной границей / Киреев Виталий Александрович. –
М.: Вестник СибГАУ, 2014. №3(55). – 73с.
4. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов /
В.М. Вержбицкий. – 2-е изд. – М.: Высшая школа, 2005. – 631-637c.
5. Демидович Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций,
дифференциальные и интегральные уравнения: Учебное пособие / Б.П.
Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. – 5-е изд. – М.: Изд-во Лань,
2010. – 255-257с.
6. Venkateshan S.P. Prasanna Swaminathan, in Computational Methods in
Engineering / S.P. Venkateshan. – М.: ScienceDirect, 2014.
https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/collocation-point

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Александр О. Спб государственный университет 1972, мат - мех, преподав...
    4.9 (66 отзывов)
    Читаю лекции и веду занятия со студентами по матанализу, линейной алгебре и теории вероятностей. Защитил кандидатскую диссертацию по качественной теории дифференциальн... Читать все
    Читаю лекции и веду занятия со студентами по матанализу, линейной алгебре и теории вероятностей. Защитил кандидатскую диссертацию по качественной теории дифференциальных уравнений. Умею быстро и четко выполнять сложные вычислительные работ
    #Кандидатские #Магистерские
    117 Выполненных работ
    Дарья С. Томский государственный университет 2010, Юридический, в...
    4.8 (13 отзывов)
    Практикую гражданское, семейное право. Преподаю указанные дисциплины в ВУЗе. Выполняла работы на заказ в течение двух лет. Обучалась в аспирантуре, подготовила диссерт... Читать все
    Практикую гражданское, семейное право. Преподаю указанные дисциплины в ВУЗе. Выполняла работы на заказ в течение двух лет. Обучалась в аспирантуре, подготовила диссертационное исследование, которое сейчас находится на рассмотрении в совете.
    #Кандидатские #Магистерские
    18 Выполненных работ
    Яна К. ТюмГУ 2004, ГМУ, выпускник
    5 (8 отзывов)
    Помощь в написании магистерских диссертаций, курсовых, контрольных работ, рефератов, статей, повышение уникальности текста(ручной рерайт), качественно и в срок, в соот... Читать все
    Помощь в написании магистерских диссертаций, курсовых, контрольных работ, рефератов, статей, повышение уникальности текста(ручной рерайт), качественно и в срок, в соответствии с Вашими требованиями.
    #Кандидатские #Магистерские
    12 Выполненных работ
    Анна Н. Государственный университет управления 2021, Экономика и ...
    0 (13 отзывов)
    Закончила ГУУ с отличием "Бухгалтерский учет, анализ и аудит". Выполнить разные работы: от рефератов до диссертаций. Также пишу доклады, делаю презентации, повышаю уни... Читать все
    Закончила ГУУ с отличием "Бухгалтерский учет, анализ и аудит". Выполнить разные работы: от рефератов до диссертаций. Также пишу доклады, делаю презентации, повышаю уникальности с нуля. Все работы оформляю в соответствии с ГОСТ.
    #Кандидатские #Магистерские
    0 Выполненных работ
    Сергей Н.
    4.8 (40 отзывов)
    Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных с... Читать все
    Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных статей в области экономики.
    #Кандидатские #Магистерские
    56 Выполненных работ
    Антон П. преподаватель, доцент
    4.8 (1033 отзыва)
    Занимаюсь написанием студенческих работ (дипломные работы, маг. диссертации). Участник международных конференций (экономика/менеджмент/юриспруденция). Постоянно публик... Читать все
    Занимаюсь написанием студенческих работ (дипломные работы, маг. диссертации). Участник международных конференций (экономика/менеджмент/юриспруденция). Постоянно публикуюсь, имею высокий индекс цитирования. Спикер.
    #Кандидатские #Магистерские
    1386 Выполненных работ
    AleksandrAvdiev Южный федеральный университет, 2010, преподаватель, канд...
    4.1 (20 отзывов)
    Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.
    Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.
    #Кандидатские #Магистерские
    28 Выполненных работ
    Александра С.
    5 (91 отзыв)
    Красный диплом референта-аналитика информационных ресурсов, 8 лет преподавания. Опыт написания работ вплоть до докторских диссертаций. Отдельно специализируюсь на повы... Читать все
    Красный диплом референта-аналитика информационных ресурсов, 8 лет преподавания. Опыт написания работ вплоть до докторских диссертаций. Отдельно специализируюсь на повышении уникальности текста и оформлении библиографических ссылок по ГОСТу.
    #Кандидатские #Магистерские
    132 Выполненных работы
    Анна С. СФ ПГУ им. М.В. Ломоносова 2004, филологический, преподав...
    4.8 (9 отзывов)
    Преподаю англ язык более 10 лет, есть опыт работы в университете, школе и студии англ языка. Защитила кандидатскую диссертацию в 2009 году. Имею большой опыт написания... Читать все
    Преподаю англ язык более 10 лет, есть опыт работы в университете, школе и студии англ языка. Защитила кандидатскую диссертацию в 2009 году. Имею большой опыт написания и проверки (в качестве преподавателя) контрольных и курсовых работ.
    #Кандидатские #Магистерские
    16 Выполненных работ

    Другие учебные работы по предмету

    Кооперативные игры на гиперграфах
    📅 2019год
    🏢 Санкт-Петербургский государственный университет