![](https://expert-mik.ru/wp-content/themes/24author/assets/img/work/work-img.png)
Ромбовидные иерархические игры
В данной работе рассматривается трехуровневая иерархическая игра с конечным числом игроков на каждом уровне. После нахождения в игре ситуации равновесия по Нэшу методом, обобщающим результаты полученные ранее, рассматривается бесконечно повторяющаяся трехуровневая иерархическая игра. Для такой многошаговой игры строятся различные ситуации равновесия по Нэшу, в том числе, с помощью введения стратегий угроз и наказаний. Для кооперативного варианта игры рассчитывается цена анархии и цена устойчивости.
Введение …………………………………………………………………… 3
Постановка задачи …………………………………………………… 5
Обзор литературы……………………………………………………. 7
Глава 1. Иерархическая трехуровневая игра + +
лиц ……………………………………………………………………………. 9
1.1 Описание хода игры ………………………………………………. 11
1.2 Поиск ситуации равновесия по Нэшу ……………………… 16
1.3 Построение другого равновесия по Нэшу ………………. 24
Глава 2. Повторяющаяся иерархическая игра + +
лиц ………………………………………………………………………….. 27
2.1 Бесконечно повторяющаяся игра ………………………….. 27
2.2 Равновесие по Нэшу в бесконечно повторяющейся
игре ……………………………………………………………………………. 30
2.3 Равновесие по Нэшу введением стратегий угроз ….. 30
2.4 Равновесие по Нэшу введением стратегий наказания
…………………………………………………………………………………… 31
Глава 3. Кооперация в бесконечно повторяющейся игре
……………………………………………………………………………….. 37
Заключение ……………………………………………………………… 42
Список цитируемой литературы …………………………….. 44
Иерархические игры являются важнейшим подклассом многошаговых неантагонистических игр [9]. С помощью иерархических игр моделируют конфликтно-управляемые системы, имеющие сложную иерархическую структуру. Иерархическая игра задается последовательностью уровней, каждый из которых имеет определенный приоритет. Иерархические игры принято классифицировать по количеству уровней иерархии и характеру вертикальных связей.
В 1 главе работы рассматривается трехуровневая одношаговая иерархическая игра + + лиц. Эта игра является обобщением простой ромбовидной структуры управления. Для трехуровневой иерархической игры происходит построение двух различных ситуаций равновесия по Нэшу методом, обобщающим результаты, опубликованные ранее. Одна из ситуаций равновесия по Нэшу строится с условием введения стратегий «угроз» со стороны игроков нижнего уровня иерархии.
Во 2 главе работы описывается бесконечно повторяющаяся игра, этапными играми которой
3
являются трехуровневые иерархические игры, рассмотренные в 1 главе работы. Для бесконечно повторяющейся игры построены различные ситуации равновесия по Нэшу, в том числе с условием введения стратегий «угроз» со стороны игроков нижних уровней и стратегий «наказаний» со стороны игроков верхних уровней.
В 3 главе работы описывается кооперативный вариант взаимодействия игроков в бесконечно повторяющейся игре, рассмотренной во 2 главе работы. Для такого варианта игры описывается процесс вычисления цены анархии и цены устойчивости.
4
Постановка задачи
Целью данной работы является анализ иерархических игр сложной ромбовидной структуры, которые являются важным подклассом неантагонистических игр.
Для достижения поставленной цели необходимо:
1. исследовать иерархические игры сложной ромбовидной структуры. В данном виде игры предполагается игроков первого уровня, игроков второго уровня и игроков третьего
уровня иерархии;
2. методом, обобщающим результаты,
опубликованные ранее ([1], [8]), найти ситуацию равновесия в игре сложной ромбовидной структуры ([3]) и построить равновесие другого типа, которое основано на введении стратегий угроз со стороны игроков, находящихся на нижнем уровне иерархии [2], [4], [5];
3. рассмотреть бесконечно повторяющиеся игры, этапными играми которой будут
5
являться трехуровневые иерархические игры,
и исследовать для них подобные вопросы;
4. для бесконечно повторяющейся игры найти другую ситуацию равновесия по Нэшу, основанную на введении стратегий наказаний со стороны игроков, находящихся на верхних
уровнях иерархии;
5. для бесконечно повторяющейся игры
построить наилучшее и наихудшее равновесия по Нэшу, то есть те, ситуации, которые будут давать максимально и минимально возможные выигрыши в рассматриваемой игре;
6. на основе найденных в предыдущем пункте ситуаций равновесия по Нэшу определить цену анархии и цену устойчивости [6], [7].
В ходе выполнения данной исследованы
иерархические игры сложной ромбовидной структуры.
В первую очередь была рассмотрена одношаговая
трехуровневая иерархическая игра, имеющая игроков
на первом уровне, игроков на втором уровне и
игроков на третьем уровне иерархии. В данной игре было
найдено несколько ситуаций равновесия по Нэшу, одно
из которых строится на основе введения стратегий угроз
со стороны игроков, находящихся на нижнем уровне
иерархии.
Далее была исследована бесконечно
повторяющиеся игра, этапными играми которой
являлись трехуровневые иерархические игры,
рассмотренные в главе 1. Для бесконечно
повторяющейся игры получилось построить три
различных ситуации равновесия по Нэшу, одна из
которых была основана на введении стратегий наказаний
со стороны игроков, находящихся на верхних уровнях
иерархии. Другая же ситуация была основана на
стратегиях угроз со стороны игроков, находящихся на
нижнем уровне иерархии.
Также для кооперативного варианта бесконечно
повторяющейся игры построены наилучшее и наихудшее
равновесия по Нэшу и определены:
• цена анархии = ∞;
• цена устойчивости = 1.
1. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Громова Е.В.
Теория игр. М.: Физматлит, 2012.
2. Aumann R. J., Maschler M., Stearns R. E. Repeated
games with incomplete information. – MIT press,
1995.
3. NashJ.Non-cooperativegames//Annalsof
mathematics. – 1951. – С. 286-295.
4. Fudenberg D., Maskin E. The folk theorem in
repeated games with discounting or with incomplete
information //A Long-Run Collaboration On Long-
Run Games. – 2009. – С. 209-230.
5. Maschler M., Solan E., Zamir S. Game Theory
(Translated from the Hebrew by Ziv Hellman and
edited by Mike Borns) //Cambridge University Press,
Cambridge, pp. xxvi. – 2013. – Т. 979. – С. 4.
6. MazalovV.Mathematicalgametheoryand
applications. – John Wiley & Sons, 2014.
7. Christodoulou G., Koutsoupias E. On the price of
anarchy and stability of correlated equilibria of linear
congestiongames//EuropeanSymposiumon
Algorithms. – Springer, Berlin, Heidelberg, 2005. –
С. 59-70.
8. Petrosyan L., Pankratova Y. Equilibrium and
CooperationinRepeatedHierarchicalGames
//InternationalConferenceonMathematical
Optimization Theory and Operations Research. –
Springer, Cham, 2019. – С. 685-696.
9. Morgenstern O., Von Neumann J. Theory of games
and economic behavior. – Princeton university press,
1953.
![](https://expert-mik.ru/wp-content/themes/24author/assets/img/signup-document.png)
Последние выполненные заказы
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!