Синхронизация в спайковых нейронных сетях

Семенов Данила Михайлович. Магистерская диссертация «Синхронизация в спайковых нейронных сетях». Научный руководитель: д. т. н., профессор Фрадков А. Л. Направление подготовки «Прикладная математика и информатика», профиль подготовки «Динамические системы, эволюционные уравнения, экстремальные задачи и математическая кибернетика». Данная работа направлена, в первую очередь, на изучение причин формирования синхронных режимов функционирования нейронных популяций в центральной нервной системе человека или животного. Хорошо известно, что синхронизация большого количества нейронов центральной нервной системы играет ключевую роль в формировании макроколебаний в мозге. Также установлено, что ряд заболеваний центральной нервной системы напрямую связан с аномальной синхронизацией некоторых нейронных популяций. Сегодня в терапии данных заболеваний активно внедряются методы, основанные на использовании электрических импульсов для подавления патологической синхронизации в определенных зонах мозга. Однако, такие методы пока находятся на раннем этапе развития и требуют качественного математического описания. Такое описание возможно получить, если построить математическую модель популяции биологических нейронов и исследовать условия их синхронизации внутри данной популяции, что и является конечной целью настоящей работы. Объем 67 стр., 8 рис., 1 прил., 39 использованных источников.

Введение 4

1 Предварительные сведения 6
1.1 Устойчивость нелинейных систем . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Определение и некоторые виды синхронизации . . . . . . . . 8
1.3 Вспомогательные сведения из теории графов . . . . . . . . . 9
1.4 Метод скоростного градиента . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Спайковая модель Хиндмарш-Роуз . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Синхронизация двух связанных неидентичных моделей Хинд-
марш-Роуз при наличии возмущений 15
2.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Основной результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Компьютерное моделирование . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Адаптивная синхронизация двух связанных неидентичных
моделей Хиндмарш-Роуз 24
3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Основной результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Компьютерное моделирование . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Адаптивная синхронизация гетерогенной спайковой нейрон-
ной сети Хиндмарш-Роуз 32
4.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Основной результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Компьютерное моделирование . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Заключение 44

Список литературы 45

Приложение 49
Код MATLAB программы для моделирования сети Хиндмарш-Роуз 49

В настоящей работе рассмотрена задача управления синхронизацией в
спайковых нейронных сетях Хиндмарш-Роуз для трех случаев: при нали-
чии ограниченных возмущений в сети; при отсутствии априорной информа-
ции о значениях параметров сети; при отсутствии априорной информации
как о значениях параметров сети, так и о топологии сети. В первых двух
случаях топология сети является фиксированной и представляет собой две
связанные модели Хиндмарш-Роуз. В третьем случае топология сети явля-
ется произвольной. Во всех трех случаях предполагается неидентичность
узлов сети по параметрам, т. е. сети являются гетерогенными.
В ходе работы для каждого случая был предложен свой закон управле-
ния и математически доказана достижимость синхронизации в рассматри-
ваемой сети, посредством предложенного закона. Для каждого из рассмат-
риваемых в работе случаев было проведено компьютерное моделирование,
результаты которого полностью соответствуют полученным теоретическим
выводам.
Направлением дальнейших исследований, в первую очередь, является
введение нелинейных связей между узлами сети, т. е. между нейронами.
Эта необходимость вызвана, прежде всего, физиологическими особенностя-
ми механизма взаимодействия нервных клеток между собой. Кроме того,
в дальнейшем необходимо разработать алгоритмы управления, обеспечи-
вающие условия синхронизации сети Хиндмарш-Роуз даже при наличии
временных задержек при передаче сигналов между нейронами.